2017版考前三个月(浙江专版文理通用)习题 高考知识 方法篇 专题4 三角函数与平面向量 第15练 含答案

一．基础题组1. 【2014年。

浙江卷。

文4】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象( )A 。

向右平移12π个单位长 B 。

向右平移4π个单位长C.向左平移12π个单位长 D.向左平移4π个单位长【答案】A考点：三角函数的图象的平移变换，公式)4sin(2cos sin π+=+x x x 的运用,容易题。

2。

【2013年。

浙江卷。

文6】函数f （x )＝sin x cos x ＋3cos 2x 的最小正周期和振幅分别是（ ）．A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2 【答案】：A【解析】：由y ＝sin x cos x 3x ＝12sin 2x 3x ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,因为ω＝2,所以T ＝2πω＝π,又观察f (x )可知振幅为1,故选A 。

3. 【2012年。

浙江卷。

文6】把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变）,然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（ ）【答案】A 【解析】y ＝cos2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1,再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1）＋1,再向下平移1个单位长度得y 3＝cos （x ＋1）,故相应的图象为A 项．4。

【2011年。

浙江卷.文5】在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分,,a b c 。

若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（A ）— 12（B)12（C) -1（D) 1【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =,∴B A A 2sin cos sin =， ∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A ，故选D.5。

【2010年。

浙江卷.文12】函数2()sin(2)4f x x π=-的最小正周期是 . 【答案】2π6。

第15练 三角函数的化简与求值[题型分析·高考展望] 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用．体验高考1．(2015·课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°等于( )A ．－32 B.32C ．－12D.12答案 D 解析 sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12. 2．(2015·重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3. 3．(2016·课标全国甲)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin2α等于( ) A.725B.15 C ．－15D ．－725答案 D解析 因为sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725，故选D. 4．(2016·课标全国丙)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α等于( ) A.6425B.4825 C ．1D.1625 答案 A解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝cos 2α＋4sinαcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 5．(2016·四川)cos 2π8－sin 2π8＝________. 答案 22解析 由题可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 高考必会题型题型一 利用同角三角函数基本关系式化简与求值基本公式：sin 2α＋cos 2α＝1；tan α＝sin αcos α. 基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代换，即1＝sin 2α＋cos 2α；(3)在进行开方运算时，注意判断符号．例1 已知tan α＝2，求：(1)4sin α－2cos α5sin α＋3cos α的值； (2)3sin 2α＋3sin αcos α－2cos 2α的值．解 (1)方法一 ∵tan α＝2，∴cos α≠0，∴4sin α－2cos α5sin α＋3cos α＝4sin αcos α－2cos αcos α5sin αcos α＋3cos αcos α＝4tan α－25tan α＋3＝4×2－25×2＋3＝613. 方法二 由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得4sin α－2cos α5sin α＋3cos α＝4×2cos α－2cos α5×2cos α＋3cos α＝6cos α13cos α＝613. (2)3sin 2α＋3sin αcos α－2cos 2α＝3sin 2α＋3sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3tan 2α＋3tan α－2tan 2α＋1＝3×22＋3×2－222＋1＝165. 点评 本题(1)(2)两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式．对于这样的多项式一定可以化成切函数，分式可以分子分母同除“cos α”的最高次幂，整式可以看成分母为“1”，然后用sin 2α＋cos 2α代换“1”，变成分式后再化简．变式训练1 已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解 由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 题型二 利用诱导公式化简与求值1．六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”．2．诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例2 (1)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________. (2)化简：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos (π＋α)＋ sin (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.答案 (1)3 (2)0解析 (1)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan (－23π6)＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝ 3. (2)原式＝cos αsin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0.点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．变式训练2 (1)(2016·课标全国乙)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝________. 答案 (1)－43(2)0 解析 (1)将θ－π4转化为(θ＋π4)－π2. 由题意知sin(θ＋π4)＝35，θ是第四象限角， 所以cos(θ＋π4)＞0，所以cos(θ＋π4)＝1－sin 2(θ＋π4)＝45. tan(θ－π4)＝tan(θ＋π4－π2)＝－tan[π2－(θ＋π4)] ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－(θ＋π4)cos ⎣⎡⎦⎤π2－(θ＋π4)＝－cos (θ＋π4)sin (θ＋π4) ＝－4535＝－43. (2)cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 题型三 利用其他公式、代换等化简求值两角和与差的三角函数的规律有三个方面：(1)变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．(3)变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．例3 化简：(1)sin50°(1＋3tan10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 解 (1)sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋tan60°tan10°) ＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°·cos (60°－10°)cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos2x ＝12cos2x . 点评 (1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用．(2)重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”．变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形．变式训练3 (1)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2的值为________．(2)2cos10°－sin20°sin70°的值是( ) A.12B.32C.3D. 2 (3)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A.118B ．－118 C.1718D ．－1718答案 (1)3 (2)C (3)D解析 (1)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan A ＋C 2＝3， 所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3⎝⎛⎭⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝ 3. (2)原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70° ＝3cos20°cos20°＝ 3.(3)cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin(π4－α)≠0，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.高考题型精练1．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵sin α＝cos α⇒cos2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos2α＝0⇔cos α＝±sin αsin α＝cos α，故选A.2．若cos θ＝－55，θ∈[0，π]，则tan θ等于( ) A.12B ．－12C ．－2D ．2答案 C解析 因为cos θ＝－55且θ∈[0，π]，所以sin θ＝255，所以tan θ＝sin θcos θ＝－2，故选C.3．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2＜α＜0，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于() A ．－255 B.3510C ．－3510D.255答案 A 解析 由tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2＜α＜0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 4．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg5)，b ＝f (lg 15)，则( ) A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1 答案 C解析 a ＝f (lg5)＝sin 2(lg5＋π4)＝1－cos (2lg5＋π2)2＝1＋sin (2lg5)2， b ＝f (lg 15)＝sin 2(lg 15＋π4)＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2lg 15＋π22＝1－sin (2lg5)2，则可得a ＋b ＝1. 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235C.45D ．－45答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45， 故sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6 ＝－⎝⎛⎭⎫32sin α＋12cos α＝－45. 6．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)等于( )A.14B.12C ．4D ．12答案 C 解析 由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17，∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝4. 7．(2015·江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 答案 3解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17， 解得tan β＝3.8．已知cos(π2＋α)＝2sin(α－π2)，则sin (π－α)＋cos (α＋π)5cos (5π2－α)＋3sin (7π2－α)＝________. 答案 17解析 ∵cos(π2＋α)＝2sin(α－π2)， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，∴原式＝sin α－cos α5sin α－3cos α＝2cos α－cos α10cos α－3cos α＝17. 9．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. 答案 268 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， ∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1 ＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝268.10．(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 －1解析 ∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2.又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝2×(－2)－1(－2)2＋1＝－1. 11．(2015·广东)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值． 解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4 ＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3. (2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2 ＝2×222＋2－2 ＝1.12．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24. 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝⎛⎭⎫322＋12×32＝3＋34. (2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x＝1＋cos2x 2＋12sin2x ＝12＋12(sin2x ＋cos2x ) ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π4 ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝12＋22⎝⎛⎭⎫12sin α＋32cos α. 又因为sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24＝12＋22⎝⎛⎭⎫12×35－32×45 ＝10＋32－4620.。

√
C.2
解析 设f(x)上任意一点为(x，y)，关于y＝－x的对称点为(－y，－x).
将(－y，－x)代入y＝2x＋a，得y＝a－log2(－x)，
由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，2a＝4，a＝2.
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
5.设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25， 则f(x)可以是( A.f(x)＝x2－1 C.f(x)＝ln(x＋1) ) B.f(x)＝2x－4
√
D.f(x)＝8x－2
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
2 6.已知0＜a＜1，则函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为_____. 解析 分别画出函数 y ＝ ax(0 ＜ a ＜ 1) 与 y ＝ |logax|(0 ＜ a ＜ 1) 的图象，如图 所示，图象有两个交点.
解析答案
)
√
D.(b－1)(b－a)＞0
解析
1
2
3
4
2.(2016· 山东)已知函数 f(x)的定义域为 R， 当 x<0 时， f(x)＝x3－1； 当－1≤x≤1
1 1 1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x>2时，fx＋2＝fx－2 ，则 f(6)等于(
(1)当 a＝5 时，解不等式 f(x)＞0；
解
1 4x＋1 1 log2x＋5＞0⇔x＋5＞1⇔ x ＞0⇔x(4x＋1)＞0，
1 ∴不等式的解为{x|x＞0 或 x＜－ }. 4

第18练 平面向量中的线性问题[题型分析· (高|考 )展望] 平面向量是初等数学的重要内容 ,兼具代数和几何的 "双重特性〞 ,是解决代数问题和几何问题的有力工具 ,与很多知识联系较为密切 ,是 (高|考 )命题的热点．多与其他知识联合命题 ,题型有选择题、填空题、解答题 ,掌握好向量的根本概念、根本运算性质是解题的关键．体验 (高|考 )1．(2021·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点 ,BC →＝3CD → ,那么( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD → ,∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →) , 即4AC →－AB →＝3AD → ,∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2．(2021·课标全国甲)向量a ＝(1 ,m ) ,b ＝(3 ,－2) ,且(a ＋b )⊥b ,那么m 等于( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 答案 D解析 由题知a ＋b ＝(4 ,m －2) ,因为(a ＋b )⊥b ,所以(a ＋b )·b ＝0 , 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0 ,解之得m ＝8 ,应选D.3．(2021·山东)非零向量m ,n 满足4|m |＝3|n | ,cos 〈m ,n 〉＝13.假设n ⊥(t m ＋n ) ,那么实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n ) ,∴n ·(t m ＋n )＝0 ,即t m ·n ＋|n |2＝0 , ∴t |m ||n |cos 〈m ,n 〉＋|n |2＝0 ,又4|m |＝3|n | , ∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0 ,解得t ＝－4 ,应选B.4．(2021·北京)在△ABC 中 ,点M ,N 满足AM →＝2MC → ,BN →＝NC →.假设MN →＝xAB →＋yAC → ,那么x＝________；y ＝________. 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN → ＝13AC →＋12CB → ＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC → , ∴x ＝12 ,y ＝－16.(高|考 )必会题型题型一 平面向量的线性运算及应用例1 (1)在△ABC 中 ,点D 在线段BC 的延长线上 ,且BC →＝3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合) ,假设AO →＝xAB →＋(1－x )AC →,那么x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 12B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 13C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 0 (2)在△ABC 中 ,D 是AB 边上的一点 ,假设A D →＝2D B → ,C D →＝13C A →＋λC B →,那么λ＝________. 答案 (1)D (2)23解析 (1)设CO →＝yBC →, ∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →) ＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合) ,∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 13 ,∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →,∴x ＝－y ,∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 0.(2)因为AD →＝2DB → ,CD →＝13CA →＋λCB → ,所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA→＋23CB → ,所以λ＝23. 点评 平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法那么和平行四边形法那么的运用条件．(2)证明三点共线问题 ,可用向量共线来解决 ,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 ,当两向量共线且有公共点时 ,才能得出三点共线．(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ ,μ为实数) ,假设A ,B ,C 三点共线 ,那么λ＋μ＝1.变式训练1 (1)如图 ,两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起 ,假设AD →＝λAB →＋kAC →,那么λ＋k 等于( )A ．1＋ 2B ．2－ 2C ．2D.2＋2(2)在△ABC 中 ,GA →＋GB →＋GC →＝0 ,CA →＝a ,CB →＝b .假设CP →＝m a ,CQ →＝n b ,CG ∩PQ ＝H ,CG →＝2CH →,那么1m ＋1n ＝________.答案 (1)A (2)6解析 (1)根据向量的根本定理可得 , AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋(ED →－EC →) ＝AC →＋( 2 AC →－22BC →)＝AC →＋ 2 AC →－22 (AC →－AB →)＝⎝⎛⎭⎫1＋22·AC →＋22 AB → ,所以λ＝22 ,k ＝1＋22, 所以λ＋k ＝1＋ 2.应选A.(2)由GA →＋GB →＋GC →＝0 ,知点G 为△ABC 的重心 ,取AB 的中点D (图略) ,那么CH →＝12CG →＝13CD→＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ → ,由P ,H ,Q 三点共线 ,得16m ＋16n ＝1 ,那么1m ＋1n ＝6. 题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)点A (－3,0) ,B (0 ,3) ,点O 为坐标原点 ,点C 在第二象限 ,且∠AOC ＝30° ,OC →＝λOA →＋OB →,那么实数λ的值为________． 答案 1解析 由题意知OA →＝(－3,0) ,OB →＝(0 ,3) , 那么OC →＝(－3λ ,3) ,由∠AOC ＝30° ,知∠xOC ＝150° ,∴tan 150°＝3－3λ,即－33＝－33λ ,∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a ＝(3,2) ,b ＝(－1,2) ,c ＝(4,1) ,请解答以下问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ,n ； ②假设(a ＋k c )∥(2b －a ) ,求实数k ；③假设d 满足(d －c )∥(a ＋b ) ,且|d －c |＝ 5 ,求d . 解 ①由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1) ,∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59 n ＝89.②a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k ) ,2b －a ＝(－5,2) , ∵(a ＋k c )∥(2b －a ) ,∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0 ,∴k ＝－1613.③设d ＝(x ,y ) ,那么d －c ＝(x －4 ,y －1) ,a ＋b ＝(2,4) ,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4(x －4)－2(y －1)＝0(x －4)2＋(y －1)2＝5解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3 y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝3.∴d ＝(3 ,－1)或d ＝(5,3)．点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①假设a ＝(x 1 ,y 1) ,b ＝(x 2 ,y 2) ,那么a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②假设a ∥b (a ≠0) ,那么b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行 ,也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时 ,也可以利用坐标对应成比例来求解．(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法那么进行．假设有向线段两端点的坐标 ,那么应先求出向量的坐标 ,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法那么． 变式训练2 (1)如下列图 ,在△ABC 中 ,D 为AB 的中点 ,F 在线段CD 上 ,设AB →＝a ,AC →＝b ,AF →＝x a ＋y b ,那么1x ＋2y的最||小值为( )A ．8＋2 2B ．8C ．6D ．6＋2 2(2)向量OA →＝(3 ,－4) ,OB →＝(6 ,－3) ,OC →＝(5－m ,－3－m ) ,假设点A 、B 、C 能构成三角形 ,那么实数m 满足的条件是________． 答案 (1)B (2)m ≠12解析 (1)因为点D 为AB 的中点 ,所以AB →＝2AD → ,因为AF →＝x a ＋y b ,所以AF →＝2xAD →＋yAC →.因为点F 在线段CD 上 ,所以2x ＋y ＝1 ,又x ,y ＞0 ,所以1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4xy≥4＋2y x ·4xy＝8 , 当且仅当y ＝2x ＝12时取等号 ,所以1x ＋2y的最||小值为8.(2)因为OA →＝(3 ,－4) ,OB →＝(6 ,－3) ,OC →＝(5－m ,－3－m ) ,所以AB →＝(3,1) ,BC →＝(－m －1 ,－m )．由于点A 、B 、C 能构成三角形 ,所以AB →与BC →不共线 ,而当AB →与BC →共线时 ,有3－m －1＝1－m ,解得m ＝12 ,故当点A 、B 、C 能构成三角形时 ,实数m满足的条件是m ≠12.(高|考 )题型精练1．设a 是非零向量 ,λ是非零实数 ,以下结论中正确的选项是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|a 答案 B解析 对于A ,当λ＞0时 ,a 与λa 的方向相同 ,当λ＜0时 ,a 与λa 的方向相反 ,B 正确；对于C ,|－λa |＝|－λ||a | ,由于|－λ|的大小不确定 ,故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ,|λ|a 是向量 ,而|－λa |表示长度 ,两者不能比较大小．2．设点M 是△ABC 所在平面上的一点 ,且MB →＋32MA →＋32MC →＝0 ,点D 是AC 的中点 ,那么|MD →||BM →|的值为( ) A.13 B.12 C ．1 D ．2答案 A解析 ∵D 是AC 的中点 ,延长MD 至||E ,使得DE ＝MD , ∴四边形MAEC 为平行四边形 ,∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0 ,∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3M D →,∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13 ,应选A. 3．点A (－3,0) ,B (0,2) ,点O 为坐标原点 ,点C 在∠AOB 内 ,|OC |＝2 2 ,且∠AOC ＝π4 ,设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R ) ,那么λ的值为( ) A ．1 B.13 C.12 D.23答案 D解析 过点C 作CE ⊥x 轴于点E (图略)． 由∠AOC ＝π4 ,知|OE |＝|CE |＝2 ,所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB → , 即OE →＝λOA → ,所以(－2,0)＝λ(－3,0) ,故λ＝23.4．在四边形ABCD 中 ,AB →＝a ＋2b ,BC →＝－4a －b ,CD →＝－5a －3b ,那么四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对答案 C解析 由 ,得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC → ,故AD →∥BC →.又因为A B →与C D →不平行 ,所以四边形ABCD 是梯形．5．△ABC 的面积为3 6 ,假设动点P 满足AP →＝2λAB →＋(1－λ)AC →(λ∈R ) ,那么点P 的轨迹与直线AB ,AC 所围成封闭区域的面积是( ) A ．3 6 B ．4 6 C ．6 6 D ．12 6 答案 C解析 延长AB 至||D ,使得AD ＝2AB ,连接CD , ∵AP →＝2λAB →＋(1－λ)AC → ＝λAD →＋(1－λ)AC →.∴C ,D ,P 三点共线． ∴P 点轨迹为直线CD . ∵△ABC 的面积为3 6 , ∴S △ACD ＝2S △ABC ＝6 6.6．在四边形ABCD 中 ,AB ∥CD ,AB ＝3DC ,点E 为BC 的中点 ,那么AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD → ,AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝⎛⎭⎫AD →－23AB → ＝23AB →＋12AD →. 7．A 、B 、C 是平面上不共线的三点 ,O 是△ABC 的重心 ,点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →) ,那么S △P ABS △OAB ＝________.答案 32解析 如图 ,延长CO ,交AB 中点D ,O 是△ABC 的重心 ,那么：OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →) ＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →. ∴OP ＝14OC ＝14·23CD ＝16CD ,∴DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ,DO ＝13CD .∴S △P AB S △OAB ＝DP DO ＝12CD13CD ＝32.8．在矩形ABCD 中 ,O 是对角线的交点 ,假设BC →＝5e 1 ,DC →＝3e 2 ,那么OC →＝________.(用e 1 ,e 2表示)答案 12(5e 1＋3e 2)解析 在矩形ABCD 中 ,因为点O 是对角线的交点 ,所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2)． 9．在梯形ABCD 中 ,AB ∥CD ,AB ＝2CD ,M ,N 分别为CD ,BC 的中点 ,假设AB →＝λAM →＋μAN →,那么λ＋μ＝________. 答案 45解析 依题意得 ,AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝AB →＋BC →－14AB →＝34AB →＋BC → , AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12BC →.又AB →＝λAM →＋μAN → ,于是有AB →＝λ⎝⎛⎭⎫34AB →＋BC →＋μ⎝⎛⎭⎫AB →＋12BC → ＝⎝⎛⎭⎫34λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2BC →. 又AB →与BC →不共线 ,因此有⎩⎪⎨⎪⎧34λ＋μ＝1 λ＋μ2＝0由此解得λ＝－45 ,μ＝－2λ ,所以λ＋μ＝－λ＝45.10．点G 是△ABC 的外心 ,GA → ,GB → ,GC →是三个单位向量 ,且2GA →＋AB →＋AC →＝0 ,如下列图 ,△ABC 的顶点B ,C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动 ,点O 是坐标原点 ,那么|OA →|的最||大值为________．答案 2解析 因为点G 是△ABC 的外心 ,且2GA →＋AB →＋AC →＝0 ,所以点G 是BC 的中点 ,△ABC 是直角三角形 ,且∠BAC 是直角．又GA → ,G B → ,GC →是三个单位向量 ,所以BC ＝2 ,又△ABC 的顶点B ,C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动 ,所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧．又|GA →|＝1 ,所以当OA 经过BC 的中点G 时 ,|OA →|取得最||大值 ,且最||大值为2|GA →|＝2.11．设e 1 ,e 2是两个不共线的向量 ,AB →＝2e 1－8e 2 , CB →＝e 1＋3e 2 ,CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ,B ,D 三点共线；(2)假设BF →＝3e 1－k e 2 ,且B ,D ,F 三点共线 ,求k 的值． (1)证明 由得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2 , ∵AB →＝2e 1－8e 2 ,∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ,∴A ,B ,D 三点共线．(2)解 由(1)可知BD →＝e 1－4e 2 ,∵BF →＝3e 1－k e 2 ,且B ,D ,F 三点共线 , ∴BF →＝λBD →(λ∈R ) , 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2 ,得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝3 －k ＝－4λ.解得k ＝12. 12．点O 为坐标原点 ,A (0,2) ,B (4,6) ,OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时 ,不管t 2为何实数 ,A ,B ,M 三点都共线；(3)假设t 1＝a 2 ,求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时 ,a 的值．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时 ,有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0 2t 1＋4t 2≠0 故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时 ,由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4) ,AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB → ,又∵AM →与AB →有公共点A ,∴不管t 2为何实数 ,A ,B ,M 三点共线．(3)解 当t 1＝a 2时 ,OM →＝(4t 2,4t 2＋2a 2)．又AB →＝(4,4) ,OM →⊥AB → ,∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0 ,∴t 2＝－14a 2 ,故OM →＝(－a 2 ,a 2)． |AB →|＝4 2 ,点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|. ∵S △ABM ＝12 ,∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12 , 解得a ＝±2 ,故所求a 的值为±2.。