选修4~~5不等式选讲
知识梳理 随堂巩固
1 •绝对值三角不等式
⑴定理1:若"0是实数，则“+blW
M + lbl ,当且仅当肪三0时.等
号成立；
(2) 性质:\a\^\b\^\a±b\^\a\ + \b\;
(3) 定理 2:若 a：c 是实数，则 Itz-cl W 1/bl + IAcl ,
当且仅当(“")(b・c)$O时•等号成立.随堂巩固
知识梳理 乡
2•绝对值不等式的解法 ⑴含绝对值的不等式Ixl S与1划>“(">0)的解法： ②划 ② xl 或xOa ・
(2) lax+Z?l Wc(c>0)和 lax+bl ±c(c>0)型不等式的解法：
①ax+blWcO ・cWt/x+Z?Wc : (2\ax+b\2cO ax+b三c或ax+Z?W-c
・
(3) \x-a\ + \x-b\ 三c(c>0)和Lx-al + Lx"l Wc(c>0)型不等式的解法: 少I」用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想; 前I」用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
过构造函数,利用函数的图像求解，体现了函数与方程及数
形结合的思想.
知识梳理 随堂巩固
3 •基本不等式
定理1:设则a2+b2^ 2ab ,当且仅当a=b时，等号成 立.
定理2:若a,b为正数，则学 > 価，当且仅当a=b时，等号成立.
定理3:若a,b,c为正数，则"+?+' > 亦，当且仅当a=b=c时，等
号成立.
定理4:若如皿厶…，如为n个正数，贝I」
叟也+_ >孚如血…务，当且仅当di=d2=・・・=dn时，等号成
立. 随堂巩固
4 •不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
考点自诊
1•判断下列结论是否正确,正确的画“V”,错误的画“X”.
⑴对id"iwi“i+ibi,当且仅当ubwo时，等号成立.(V)
(2) \a+b\ + \a-b\^\2a\. ( V )
1 高三数学复习 不等式选讲
题型剖析·真题训练
题型1:含绝对值的不等式的解法
【典型例题】
【例1】►(1)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
►(2)(2013江西)不等式||x－2|－1|≤1的解集为 ．
►(3)(2013重庆)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|
【例2】(1)(2012课标)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(I)当a＝－3时,求不等式f(x)≥3的解集；
(II)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2],求a的取值范围．
►(2)(2013课标Ⅰ)函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(I)当a=-2时,求不等式f(x)
(II)设a>-1,且当1[,)22ax时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
2
【例3】(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m.
(I)当m＝5时,求f(x)>0的解集；
(II)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围．
►(2)已知函数f(x)＝|x－a|.
(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5},求实数a的值；
(II)在(I)的条件下,若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围．
3 【变式训练】
1.(2012山东)若不等式|kx-4|≤2解集为{x|1≤x≤3},则k=___.
2.不等式|x＋1||x＋2|≥1的实数解为__________．
3.(2015山东理)不等式|1||5|2xx的解集是
(A)(,4) (B) (,1) (C) (1,4) (D) (1,5)
4.(2013辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|,其中a＞1.
(1)当a＝2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值．
第二讲 选修4－5 不等式选讲
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1．绝对值不等式的求解与函数的综合问题．
2．绝对值不等式中的恒成立问题与不等式的证明相结合．
考点一 绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
(1)若c>0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后
根据a，b的取值求解即可；
(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)零点分段讨论法．
(2)绝对值的几何意义．
(3)数形结合法．
【例1】 (2019·江西南昌联考)已知函数f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|.
(1)解不等式f(x)≤9；
(2)若对于任意x∈(0,3)，不等式f(x)<2x＋a恒成立，求实数a的取值范围．
[解题指导] (1)→零点分段求
不等式解集得结
果
(2)→→由x∈
0，3
得f
x
＝
|2x－4|＋x＋1|2x－4|＋x＋1<2x＋a5－a
3
→→0，3
⊆(5－a
3，a＋3)
a≥5
[解] (1)f(x)≤9可化为|2x－4|＋|x＋1|≤9，
即
Error!或
Error!或
Error!
解得2
故不等式的解集为[－2,4]．
(2)|2x－4|＋|x＋1|<2x＋a在x∈(0,3)时恒成立
所以|2x－4|＋x＋1<2x＋a，得－x－a＋1<2x－4
3
由题意，得(0,3)⊆，所以
Error!即
Error!(5－a
3，a＋3)
所以a≥5.故a的取值范围为[5，＋∞)．
用零点分段讨论法解绝对值不等式的4步
(1)令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
(2)将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；
(3)由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；
(4)取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．
(2019·长春一模)设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.
选修4-5 不等式选讲
课 题： 不等式的基本性质
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
分析：起初的糖水浓度为ab，加入m克糖 后的糖水浓度为mamb，只要证mamb>ab即可。怎么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
0baba
0baba
0baba
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么bb。(对称性)
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。
