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专练21二次函数的图像变换问题1.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.（1）a、b的值；（2）设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积；（3）设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.【答案】（1）解：将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：{9a−3b+3=0a−b+3=0，解得：a=1、b=4．（2）解：连接MQ、QD、DN，由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1），当x=0时，y=3，∴Q （0，3）；设直线OM 的解析式为y=kx ，∴-2k=-1，∴k= 12 ， ∴直线OM ：y= 12 x ，联立直线y=-2x+9，得：{y =12x y =−2x +9， 解得{x =185y =95． 则D （ 185,95 ）；曲线QM 扫过的区域的面积：S=S ▱ MQND=2S △MQD =2×12×OQ ×|x M −x D |=3×|−2−185|=845 ；（3）解：由于抛物线的顶点始终在y= 12 x 上，可设其坐标为（h ， 12 h ），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h ）2+ 12 h ；①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C （0，9）时，有：h2+ 12 h=9，解得：h= −1−√1454 （依题意，舍去正值） ②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：{y =−2x +9y =(x −h)2+12h ， 消去y ，得：x2-（2h-2）x+h2+ 12 h-9=0，则：△=（2h-2）2-4（h2+ 12 h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，结合图形，当平移的抛物线与射线CD （含端点C ）没有公共点时，h ＜ −1−√1454 或h ＞4．2.定义：如果一条抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然，“特征轴三角形”是等腰三角形.（1）抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是________；抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是________.（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形.）（2）若抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a的值.（3）如图，面积为12 √3的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE 是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式.【答案】（1）②；④（2）解：设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，∴AB2＝AD2+BD2 ，∴16＝4+16a2+4+16a2 ，∴a＝±12；（3）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AE＝CE＝OE＝BE，∴S△ABE＝14S矩形ABCD＝14×12 √3＝3 √3，∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE＝AB，∴AE＝AB＝BE，∴△ABE是等边三角形，过点A作AH⊥BE，∴AH＝ABsin∠ABE＝√32AB＝√32BE，∴√34BE2＝3 √3，∴BE＝2 √3，∴AH＝3，EH＝√3，∴A（3 √3，3），E（2 √3，0），B（4 √3，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣3 √3）2+3，将点E（2 √3，0）代入得，a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3 √3）2+3＝﹣x2+6 √3x﹣24.∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y＝﹣x2+6 √3x﹣24.【解析】解：（1）由抛物线y＝x2﹣2 √3x可得顶点坐标为：(√3,−3)，与x轴的交点坐标为：(0,0),(2√3,0)，∴抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是等边三角形；由抛物线y＝12x2﹣2可得顶点坐标为：(0,−2)，与x轴的交点坐标为：(−2,0),(2,0)，∴抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形；故答案为②；④；3.已知抛物线y=x2−2mx+m2+2m−2，直线l1:y=x+m，直线l2:y=x+m+b（1）当m=0时，若直线l2经过此抛物线的顶点，求b的值（2）将此抛物线夹在l1与l2之间的部分（含交点）图象记为C，若-32<b<0，①判断此抛物线的顶点是否在图象C上，并说明理由；②图象C上是否存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b2？若存在，求相应的m和b的取值范围【答案】（1）解：当m=0时，抛物线：y=x2−2则顶点坐标为（0，-2）把（0，-2）代入l2:y=x+b，可得b=-2（2）解：①抛物线的顶点不在图像C上，理由如下：因为y=x2−2mx+m2+2m−2=(x−m)2+(2m−2)，所以抛物线顶点为（m，2m-2）当x=m时，对于l1:y=2m，对于l2:y=2m+b因为−32<b<0所以2m−32<2m+b<2m所以2m−2<2m+b<2m即顶点在l1,l2的下方所以抛物线的顶点不在图像C上②解：设直线l1与抛物线交于A、B两点，且y A<y Bx2−2mx+m2+2m−2=x+m解得x1=m−1,x2=m+2因为y A<y B，且对于l1，y随x的增大而增大所以x A<x B所以x A=m−1，此时y A=2m−1设直线l2与抛物线交于C，D两点，且y C<y Dx2−2mx+m2+2m−2=x+m+b所以x2−（2m+1）x+（m2+m−2−b）=0所以Δ=[−（2m+1）]2−4×1×（m2+m−2−b）=4b+9因为b>−32所以4b+9>0，所以x=2m+1±√4b+92因为y c<y D，且对于l2，y随x的增大而增大，所以x C<x D所以x D=2m+1+√4b+92，此时y D=2m+1+√4b+92+m+b因为y A−y D=−3−2b−√4b+92，又因为−32<b<0所以−3−2b<0又因为√4b+9>0所以y A−y D<0，即y A<y D因为x A<m，即点A在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点A′(x A′,y A′)，其中y A′=y A所以y A′<y D因为抛物线的开口向上，所以当x<m时，y随x的增大而减小，因为抛物线顶点在l2的下方，故点C也在抛物线对称轴左侧，设(x0,y0)是抛物线上A、C两点之间的任意一点，则有x A<x0<m所以y0<y A又因为在抛物线上必存在其对称点(x0′,y0′)，其中y0′=y0所以y0′<y A也即抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方同理，抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方所以图像C上不存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b24.若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B在抛物线l1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线l1，l2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。
二次函数图象变换1. 二次函数图象关于x轴对称变换变形：特点：a、b、c符号都改变；依据：点关于x轴对称，该点的横坐标不变，纵坐标变为相反数；图例：2. 二次函数图象关于y轴对称变换变形：特点：a、c符号不变，b符号改变；依据：点关于y轴对称，该点横坐标变为相反数，纵坐标不变；图例：3. 二次函数图象关于原点中心对称变换变形：特点：a、c符号改变，b符号不变；依据：点关于原点对称，该点的横纵坐标都变为相反数；图例：4. 二次函数图象关于顶点中心对称变换变形：特点：变为顶点式后a符号改变；依据：变换后顶点坐标不变，开口大小不变，只改变开口方向；图例：例题1（某某）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，43），M是OA的中点。
（1）求此二次函数的解析式。
（2）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OB′A，B′为B关于x轴的对称点，在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D。
若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由。
解析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）假设存在满足条件的点C ，由△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，可得点C 纵坐标是点D 纵坐标的3倍，由此列方程求出点C 的坐标。
答案：解：（1）∵抛物线过原点，∴设其解析式为：y ＝ax 2＋bx ∵抛物线经过点A （4，0），B （2 ，43） ∴16a 4b 034a 2b 3+⎧⎪⎨+-⎪⎩＝＝，解得3a 43b 3⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴二次函数解析式为：2343y x =- （2）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：2343y x x 33=-+ 假设存在这样的点C ，∵△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍， ∴CD＝2MD ，∴CM＝3MD如下图所示，分别过点D 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点E 、点F ，则有DE∥CF∴DE ME MDCF MF MC＝＝MD CM 3=∴CF＝3DE ，MF ＝3ME 令0=y ，则x x y 334332-=的图象与x 轴的交点坐标分别为)0,4(A ，)0,0(O ∵M 为OA 中点)0,2(M ∴ 设C2343x -（，）， 则MF ＝x －2，11ME MF x 233==-（），14OE ME OM x 33=+=+ ∴D2143144314x x x 333333+++（，（）（）） ∵CF＝3DE ， ∴223433144314x x 3[x x ]33333333-=-+++（）（）， 整理得：x 2－4x －8＝0，解得：12x 223,x 223=+=- ∴128383y y 33== ∴存在满足条件的点C ，点C 的坐标为：838322323+-（，，）点拨：本题为二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、解方程、翻折变换等知识点。
千 变 万 化——二次函数图象的变换【知识要点】1．二次函数的表达式：①一般式：2y ax bx c =++ (a ≠0)②顶点式：()0)(2≠+-=a k h x a y ，顶点坐标：（h,k ）,对称轴：x=h③一般式向顶点式的转化： 2224()24b ac b y ax bx c y a x a a -=++⇔=++. ∴顶点坐标24(,)24b ac b a a -- 2．二次函数图象的平移规律① 二次函数2(0)y ax bx ca =++≠是通过2(0)y ax a =≠平移得到的2y ax =的图象顶点（0，0） ② h>0，k>0,平移2y ax =的图象。
Ⅰ.沿x轴向左平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =+Ⅱ.沿x 轴向右平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =-Ⅲ.沿y 轴向上平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =+Ⅳ.沿y 轴向下平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =-3．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=24．求抛物线c bx ax y ++=2绕其顶点旋转0180对应的抛物线解析式时：首先把抛物线配成顶点式()k h x a y +-=2，再把a 变为其相反数-a 就得到对应解析式：()k h x a y +--=2. 【经典例题】2y ax k =+的图象0，k ） ()2h x a y -=的图象顶点（h,0） ()k h x a y +-=2的图象顶点（h,k ）例1．（1）抛物线22(1)3y x =-+是由抛物线22y x =怎样平移得到的？（2）若抛物线2y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。
二次函数的图象判断和几何变换模块一：二次函数的图象判断1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然． （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异”当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点；当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2．二次函数的图象信息（1）根据抛物线的开口方向判断a 的正负性． （2）根据抛物线的对称轴判断b 的正负性． （3）根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的正负性． （4）根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性． （5）根据抛物线的对称轴可得2ba-与1±的大小关系，可得2a b ±的正负性． （6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a ，b ，c 的等式．（7）根据抛物线的顶点，判断244ac b a -的大小．模块二：二次函数的几何变换 1．二次函数图象的平移平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”．2．二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达． （1）关于x 轴对称关于x 轴对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =---． （2）关于轴对称关于y 轴对称后，得到的解析式是．2()y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是2()y a x h k =++． （3）关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是．2y ax bx c =++2y ax bx c =---y 2y ax bx c =++2y ax bx c =-+2y ax bx c =++2y ax bx c =-+-2()y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是2()y a x h k =-+-． （4）关于点(,)m n 对称2()y a x h k =-+关于点(,)m n 对称后，得到的解析式是2(2)2y a x h m n k =-+-+- 3．二次函数图象的翻折函数的图象可以由函数通过关于x 轴的翻折变换得到．具体规则为函数图象在x 轴上方的部分不变，在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方．|()|y f x =()y f x =()y f x =模块一 二次函数的图象判断题组一：（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数()y a b x ac =++的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-2，则下列六个代数式：ab 、ac 、a b c ++、a b c -+、2a b +、2a b -、24b ac -中，其值为正的式子的个数是（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个（3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，则22a b c a b c a b a b ++--+++--_______0．（填“>”、“<”或“=”）．图1-1 图1-2 图1-3题组二：（1）如图2-1，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③2b <-；④22()a c b +<，其中正确的结论有________．（填序号）（2）如图2-2，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)，下列结论：①20a b +<；②0abc <；③1a c +<-；④284b a ac +<，其中正确结论的有________．（填序号）（3）（成外半期）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图2-3所示，有下列5个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数），其中正确的结论的有________.（填序号）图2-1 图2-2 图2-3题组三：（1）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图3-1所示，它与x 轴两个交点分别为(1,0)-，30（，）．对于下列命题：①20b a -=；②0abc <；③102a b c --+<；④80a c +>．其中正确的有________．（填序号）（2）如图3-2，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是1x =-，且过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，有下列结论：①0abc >；②240a b c -+=；③251040a b c -+=；④320b c +>．其中正确的结论有________．（填序号） （3）如图3-3，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点(10A -，），对称轴为直线1x =，与y 轴的交点B 在(0,2)和(0,3)之间（包括这两点），下列结论：①当3x >时，0y <；②30a b +<；③213a -≤≤-；④248acb a ->；其中正确的结论是_________．（填序号）图3-1 图3-2 图3-3题组四：（1）已知二次函数y ax bx c 2=+++2的图象如图4-1所示，顶点为(,)-10，下列结论：①abc <0；②b ac 2-4=0；③a >2；④a b c 4-2+>0．其中正确结论的个数是____________．（填序号） （2）二次函数2y ax bx c =++的图象如图4-2所示，给出下列结论：①20a b +>；②若11m n -<<<，则bm n a+<-；③3||||2||a cb +<；④b ac >>，其中正确的结论有____________．（填序号）图4-1 图4-2yAO xx =1模块二 二次函数的几何变换题组一：（1）二次函数2241y x x =-++的图象如何移动就得到22y x =-的图象（ ）． A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位 C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位（2）一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x =-+，则平移前抛物线的解析式为________________．（3）如果将抛物线228y x =-+向右平移a 个单位后，恰好过点(3,6)，那么a 的值为__________． 题组二：（1）如图6-1所示，已知抛物线0C 的解析式为22y x x =-，则抛物线0C 的顶点坐标____________；将抛物线0C 每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线1C 、2C 、3C 、…、n C （n 为正整数），则抛物线n C 的解析式为___________． （2）如图6-2，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(6,0)A -和原点(0,0)O ，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为___________．图6-1 图6-2题组三：已知二次函数221y x x =--，求：（1）与此二次函数关于x 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （2）与此二次函数关于y 轴对称的二次函数解析式为_____________________； （3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为_____________________． 题组四：已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是1C ． （1）求1C 关于点(1,0)R 中心对称的图象2C 的解析式；（2）设曲线1C 、2C 与y 轴的交点分别为A ，B ，当||18AB =时，求a 的值．xyO…C nC 1C 0题组五：作出2|5|y x x =+的函数图象． 题组七：已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数． （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1()2y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．复习巩固模块一 二次函数的图象判断（1）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-1，则一次函数by ax c =-的图象不经过第________象限．（2）如图1-2，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,2)-和(1,0)，给出五个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >；⑤9640a b c ++>．其中结论正确的是________．（3）二次函数2y ax bx c =++的图象如图1-3，小丹观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，其中结论正确的是________．图1-1 图1-2 图1-3（1）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图2-1所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③20a b +>；④930a b c ++<；⑤80a c +>．其中结论正确的是________．（填序号即可）（2）如图2-2，抛物线2y ax bx c =++的图象交x 轴于1(,0)A x 、(2,0)B ，交y 轴正半轴于C ，且OA OC =．下列结论：①0a b c ->；②1ac b =-；③12a =-；④22bc +=，其中结论正确的是________．图2-1 图2-2Oyx模块二 二次函数的几何变换（1）（树德实验半期）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为________．（2）将函数2y x x =+的图象向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为________．（3）如图，在平面直角坐标xOy 中，抛物线1C 的顶点为(1,4)A --，且过点(3,0)B -： ①将抛物线1C 向右平移2个单位得抛物线2C ，则抛物线2C 的解析式_____________； ②写出阴影部分的面积S =_____________．（1）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，则经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．（2）已知二次函数234y x x =--的图象，将其函数图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，结合图象写出当直线(1)y x n n =+<与这个新图象有两个公共点时，n 的取值范围为__________．y xOyxO AB。
二次函数图象的几何变换一、二次函数图象的平移变换(1 )具体步骤：先利用配方法把二次函数化成y = a{x-h^^k 的形式，确定其顶点(力,灯，然后做出二次函数y =的图像，将抛物线y = ax 2平移，使其顶点平移到(h,k).具体平移方法如图所示：(2)平移规律：在原有函数的基础上“左加右减：二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于x 轴对称后，得到的解析式是y = -ax 2 -bx -c ；y = a(x-h)2 +k 关于x 轴对称后，得到的解析式是y = -?(x-/?)' -k ；2.关于y 轴对称y = cix 2 + + c 关于y 轴对称后，得到的解析式是y = ax 2 - bx 4- c ；y = a(x-h)2 +k 关于y 轴对称后，得到的解析式是y 之⑺+盯+鸟；3.关于原点对称y = ax 1 +bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是y = -ax 2 +bx-c ；y = a(x_//)2 +￡关于原点对称后，得到的解析式是y =-6Z(J +/?)2-k ；4.关于顶点对称y = dX +鸟兀+ ?关于顶点对称后，得到的解析式是y = -ax 2 -bx-vc- — }2ay = a(x-h)2+k 关于顶点对称后，得到的解析式是y = -a^x-h)" + k .5.关于点(加,/?)对称y = a(x-h)2 +k 关于点(〃7, n)对称后，得到的解析式是y = -°(兀+力-2加『+2斤-￡根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此问永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.一、二次函数图象的平移变换【例1】函数y = 3(x + 2)2-l 的图象可由函数y = 3x 2的图象平移得到，那么平移的步骤是：()A.右移两个单位，下移一个单位B.右移两个单位，上移一个单位C.左移两个单位，下移一个单位D.左移两个单位，上移一个单位尸at"尸y=a(x-h)2-i-k卜(JKO)平移|上|个单僻向上(Q0).下(X0)平移M I 个单位【例2 ]函数y = -2(x-1)2-1的图彖可由函数y = -2(x + 2尸+ 3的图彖平移得到，那么平移的步骤是( )A.右移三个单位，下移四个单位B.右移三个单位，上移四个单位C.左移三个单位，下移四个单位D.左移四个单位，上移四个单位【例3】二次函数= +4x4-1的图象如何移动就得到)=-2戏的图象( )A?向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向右移动1个单位，向上移动3个单位.U向左移动1个单位，向下移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.【例4】将函数的图象向右平移G(G>0)个单位，得到函数尸/_3兀+ 2的图象，则。
二次函数图像与几何变换1．将抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（）种．A．6B．5C．4D．32．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2B．4C．8D．164．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．5．如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C1：y＝x2﹣2x+3上的两点，将抛物线C1向左平移，得到抛物线C2，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C2的解析式是（）A．y＝（x﹣5）2+1B．y＝（x﹣2）2+4C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+2）2﹣26．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝．7．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+4绕点A（2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为．8．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（，）．9．如图，抛物线y＝x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．10．如图，已知抛物线C1：y＝a1x2+b1x+c1和C2：y＝a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和．11．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为．12．如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S ＝．13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c＝﹣1，则b2＝4a．14．如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y＝x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为．16．如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y ＝2x的图象；也可以把函数y＝x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝2x的图象．类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数y＝的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数y＝的图象；也可以把函数y＝的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝的图象．（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数的图象；（Ⅱ）为了得到函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点．A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥（3）函数y＝的图象可以经过怎样的变化得到函数y＝﹣的图象？（写出一种即可）17．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y2＝﹣x+m与二次函数y1＝ax2+bx﹣3图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y2＞y1时，自变量x的取值范围．（3）说出所求的抛物线y1＝ax2+bx﹣3可由抛物线y＝x2如何平移得到？18．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k过点A．（1）求k的值；（2）若把抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．19．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（﹣1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，E两点．（1）求此抛物线的函数关系式．（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是．20．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（2，﹣3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；（3）过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF＝EG．试题解析1．将抛物线y＝﹣x2+2x+3在x轴上方的部分沿x轴翻折至x轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线y＝x+b与此新图象的交点个数的情况有（）种．A．6B．5C．4D．3解：如图1，所示：函数图象没有交点．如图2所示：函数图象有1个交点．如图3所示，图象有两个交点．如图4所示函数图象有3个交点．如图5所示，图象有4个交点．综上所述，共有5种情况．故选：B．2．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，使点B落在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上．则抛物线y＝ax2的函数解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣2x2D．y＝﹣解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE＝75°，∵∠AOB＝45°，∴∠BOE＝30°，∵OA＝1，∴OB＝，∵∠OEB＝90°，∴BE＝OB＝，∴OE＝，∴点B坐标为（，﹣），代入y＝ax2（a＜0）得a＝﹣，∴y＝﹣．故选：B．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2B．4C．8D．16解：过点C作CA⊥y，∵抛物线y＝＝（x2﹣4x）＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2，∴顶点坐标为C（2，﹣2），对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，故选：B．4．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．B．C．D．解：∵函数y＝（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m＝（1﹣2）2+1＝1，n＝（4﹣2）2+1＝3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC＝4﹣1＝3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′＝3AA′＝9，∴AA′＝3，即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2+4．故选：D．5．如图，点A（m，5），B（n，2）是抛物线C1：y＝x2﹣2x+3上的两点，将抛物线C1向左平移，得到抛物线C2，点A，B的对应点分别为点A'，B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则抛物线C2的解析式是（）A．y＝（x﹣5）2+1B．y＝（x﹣2）2+4C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x+2）2﹣2解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣2）2+1．∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），点A（m，5），B（n，2）∴3BB′＝9，∴BB′＝3，即将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿x轴向左平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y＝（x+1）2+1．故选：C．6．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m＝2．解：∵一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），∴图象与x轴交点坐标为：（0，0），（3，0），∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．∴C13的解析式与x轴的交点坐标为（36，0），（39，0），且图象在x轴上方，∴C13的解析式为：y13＝﹣（x﹣36）（x﹣39），当x＝37时，y＝﹣（37﹣36）×（37﹣39）＝2．故答案为：2．7．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2+4绕点A（2，0）旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4．解：抛物线y＝﹣x2+4的顶点坐标（0，4），该顶点关于A（2，0）对称的点的坐标是（4，﹣4）．根据旋转的性质，旋转后的抛物线所对应的函数表达式为y＝（x﹣4）2﹣4．故答案是：y＝（x﹣4）2﹣4．8．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…A n，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…A n，…．则顶点M2014的坐标为（4027，4027）．解：M1（a1，a1）是抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1的顶点，抛物线y＝x2与抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2＝（x﹣a1）2+a1，即2a1x＝a12+a1，x＝（a1+1）．∵x为整数点∴a1＝1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是抛物线y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2顶点，抛物线y＝x2与y2相交于A2，x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x＝a22+a2，x＝（a2+1）．∵x为整数点，∴a2＝3，M2（3，3），M3（a3，a3）是抛物线y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3顶点，抛物线y＝x2与y3相交于A3，x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x＝a32+a3，x＝（a3+1）．∵x为整数点∴a3＝5，M3（5，5），∴点M2014，两坐标为：2014×2﹣1＝4027，∴M2014（4027，4027），故答案为：（4027，4027）9．如图，抛物线y＝x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为y＝x2﹣x+．解：∵令x＝0，则y＝，∴点A（0，），B（﹣b，），∴抛物线的对称轴为x＝﹣，直线OB的解析式为y＝﹣x，∵抛物线的顶点C在直线OB上，∴y＝∴顶点C的纵坐标为×＝，即＝，解得b1＝3，b2＝﹣3，由图可知，﹣＞0，∴b＜0，∴b＝﹣3，∴对称轴为直线x＝﹣＝，∴点D的坐标为（，0），设平移后的抛物线的解析式为y＝x2+mx+n，则，解得，所以，y＝x2﹣x+．故答案为：y＝x2﹣x+．10．如图，已知抛物线C1：y＝a1x2+b1x+c1和C2：y＝a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是y＝﹣x2+2x和y＝x2+2x（答案不唯一）．解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y＝ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA＝OM，∵OA＝MA，∴△AOM是等边三角形，设OM＝2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y＝x2+2x，故答案为：y＝﹣x2+2x，y＝x2+2x（答案不唯一）．11．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为12．解：连接AP，A′P′，过点A作AD⊥PP′于点D，由题意可得出：AP∥A′P′，AP＝A′P′，∴四边形APP′A′是平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3），平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），∴PO＝＝2，∠AOP＝45°，又∵AD⊥OP，∴△ADO是等腰直角三角形，∴PP′＝2×2＝4，∴AD＝DO＝sin45°•OA＝×3＝，∴抛物线上P A段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×＝12．故答案为：12．12．如图，抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，则图中阴影部分的面积S ＝2．解：如图，∵抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，∴两个顶点的连线平行x轴，∴图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的，∴图中阴影部分等于红色部分的面积，而红色部分的是一个矩形，长、宽分别为2，1，∴图中阴影部分的面积S＝2．13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）①b＞0②a﹣b+c＜0③阴影部分的面积为4④若c＝﹣1，则b2＝4a．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x＝﹣＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数y＝ax2+bx+c的最小值是y＝﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2＝4，∴结论③正确；∵，c＝﹣1，∴b2＝4a，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故答案为：③④．14．如图，把抛物线y＝x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．解：过点P作PM⊥y轴于点M，∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），∴平移后的抛物线对称轴为x＝﹣3，得出二次函数解析式为：y＝（x+3）2+h，将（﹣6，0）代入得出：0＝（﹣6+3）2+h，解得：h＝﹣，∴点P的坐标是（﹣3，﹣），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，∴S＝|﹣3|×|﹣|＝．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，2），（1，0），顶点C在函数y＝x2+bx﹣1的图象上，将正方形ABCD沿x轴正方形平移后得到正方形A′B′C′D′，点D的对应点D′落在抛物线上，则点D与其对应点D′间的距离为2．解：如图，过C作GH⊥x轴，交x轴于G，过D作DH⊥GH于H，∵A（0，2），B（1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ABO+∠CBG＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBG＝∠OAB，∵∠AOB＝∠BGC＝90°，∴△AOB≌△BGC，∴BG＝OA＝2，CG＝OB＝1，∴C（3，1），同理得：△BCG≌△CDH，∴CH＝BG＝2，DH＝CG＝1，∴D（2，3），∵C在抛物线的图象上，把C（3，1）代入函数y＝x2+bx﹣1中得：b＝﹣，∴y＝x2﹣x﹣1，设D（x，y），由平移得：D与D′的纵坐标相同，则y＝3，当y＝3时，x2﹣x﹣1＝3，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍），∴DD′＝4﹣2＝2，则点D与其对应点D′间的距离为2，故答案为：2．16．如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y ＝2x的图象；也可以把函数y＝x的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝2x的图象．类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数y＝的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，得到函数y ＝的图象；也可以把函数y＝的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，得到函数y＝的图象．（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数y＝4（x﹣1）2﹣2的图象；（Ⅱ）为了得到函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点D．A．①→⑤→③B．①→⑥→③C．①→②→⑥D．①→③→⑥（3）函数y＝的图象可以经过怎样的变化得到函数y＝﹣的图象？（写出一种即可）解：（1）把函数y＝的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，设y′＝6y，x′＝x，将y＝，x＝x′代入xy＝1可得y′＝，得到函数y＝的图象；也可以把函数y＝的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，设y′＝y，x′＝6x，将y＝y′，x＝代入xy＝1可得y′＝，得到函数y＝的图象；（2）（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化后，得到y＝4x2的图象；y＝4x2的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2的图象；y＝4（x﹣1）2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2﹣2的图象．（Ⅱ）为了得到函数y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y＝﹣x2﹣2的图象，再把y＝﹣x2﹣2的图象向右平移个单位长度，得到y＝﹣（x﹣）2﹣2的图象；最后把y＝﹣（x﹣）2﹣2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到y＝﹣（x﹣）2﹣2的图象，即y＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象．（3）∵y＝﹣＝＝﹣1，∴函数y＝的图象先将纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到y＝；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y＝﹣的图象．故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y＝4（x﹣1）2﹣2；（Ⅱ）D．17．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y2＝﹣x+m与二次函数y1＝ax2+bx﹣3图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y2＞y1时，自变量x的取值范围．（3）说出所求的抛物线y1＝ax2+bx﹣3可由抛物线y＝x2如何平移得到？解：（1）把A（﹣1，0）代入y2＝﹣x+m得：0＝﹣（﹣1）+m，∴m＝﹣1．把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点代入y1＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴y1＝x2﹣2x﹣3；（2）∵y1＝x2﹣2x﹣3＝（x+1）（x﹣3），抛物线开口向上，∴A（﹣1，0），B（2，﹣3）∴当y2＞y1时，﹣1＜x＜2；（3）∵抛物线y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴所求抛物线可由抛物线y＝x2向下平移4个单位，再向右平移1个单位而得到．18．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k过点A．（1）求k的值；（2）若把抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．解：（1）∵经过点A（3，4），∴，解得：；（2）如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD＝3，OD＝4，．∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝OC＝5，BD＝AB﹣AD＝2，∴B（﹣2，4）．令y＝0，得，解得：x1＝0，x2＝4，∴抛物线与x轴交点为O（0，0）和E（4，0），OE＝4，当m＝OC＝5时，平移后的抛物线为，令x＝﹣2得，，∴点B在平移后的抛物线上；当m＝CE＝9时，平移后的抛物线为，令x＝﹣2得，，∴点B不在平移后的抛物线上．综上，当m＝5时，点B在平移后的抛物线上；当m＝9时，点B不在平移后的抛物线上．19．如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（﹣1，2），将此矩形绕点O顺时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y＝﹣x2+bx+c过B，E两点．（1）求此抛物线的函数关系式．（2）将矩形ABCO向左平移，并且使此矩形的中心在此抛物线上，求平移距离．（3）将矩形DEFO向上平移距离d，并且使此抛物线的顶点在此矩形的边上，则d的值是或．解：（1）由题意，点E的坐标为（2，1），则，解得，∴此抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+．（2）∵矩形ABCO的中心坐标为（﹣，1），∴1＝﹣x2+x+，解得x＝﹣或2，∴平移距离d＝﹣﹣（﹣）＝．（3）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为（，），∵E（2，1），∴平移距离d＝或﹣1＝，故答案为或20．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（2，﹣3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式；（3）过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF＝EG．（1）解：把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴其顶点坐标为：（，）；（2）解：∵y＝x2﹣x﹣2，∴当x＝0时，y＝﹣2，∴D点坐标为（0，﹣2）．∵将点（，）向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可得到点D，∴将y＝x2﹣x﹣2向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，顶点为点D，此时平移后的抛物线解析式为：y＝x2﹣2；（3）证明：设直线OC的解析式为y＝kx，∵C（2，﹣3），∴2k＝﹣3，解得k＝﹣，∴直线OC的解析式为y＝﹣x．当x＝m时，y F＝m2﹣2，则PF＝﹣（m2﹣2）＝2﹣m2，当x＝m时，y E＝m2﹣m﹣2，y G＝，则EG＝y G﹣y E＝2﹣，∴PF＝EG．。
数学篇学思导引平移、轴对称、旋转是图形变换的三种基本形式.二次函数的图象也有这三种变换形式.二次函数的图象经过平移、对称与旋转变换后，图象的位置会发生变化，从而也会引起解析式的变化.那么如何求图象变换后函数的解析式呢？由于函数图象是由点构成的，函数图象位置的变化实质上就是图象上点的位置的变化，而坐标决定点的位置，因此求图象变换后的二次函数的解析式，只要求出变换后的图象的某些点的坐标即可.一、平移变换抛物线的平移实质就是顶点的平移，二次项的系数不会改变，所以解题时先利用配方法将解析式化成顶点式，确定其顶点坐标，然后作出二次函数的图象进行平移，平移的变化规律可以归纳为以下几种：1.上下平移当抛物线y=a(x-b)2+c往下平移k个单位后(k>0)，所得的抛物线的解析式为y=a(x-b)2+c-k；当抛物线y=a(x-b)2+c往上平移k个单位后(k>0)，所得的抛物线的解析式为y=a(x-b)2+c+k.2.左右平移当抛物线y=a(x-b)2+c向右平移k个单位后(k>0)，所得的抛物线的解析式为y=a(x-b-k)2+c；当抛物线y=a(x-b)2+c向左平移k个单位后(k>0)，所得的抛物线的解析式为y=a(x-b+k)2+c.例1将抛物线y=-x2向左平移一个单位，接着再将其向上平移3个单位，最终可得到的二次函数解析式为（）.A.y=-(x+1)2+3B.y=-(x-1)2+3C.y=-(x+1)2-3D.y=(x-1)2+3解析：首先将抛物线y=-x2向左平移1个单位得到解析式y=-(x+1)2，然后再将其向上平移3个单位后得到解析式y=-(x+1)2+3，因此本题正确答案为A项.例2当抛物线y=x2+ax+b的函数图象往右平移2个单位，然后再往下平移3个单位，最终得到抛物线的表达式为y=x2-2x-3，那么原本解析式中的a和b的取值分别为（）A.a=2，b=-3B.a=-2，b=-3C.a=2，b=0D.a=-2，b=2解析：通过变形y=x2-2x-3=(x-1)2-4得出顶点坐标是（1，-4），那么可以反推出将y=x2-2x-3的函数图象往上平移3个单位然后再往左平移2个单位，就能够得到所求解析式y=x2+ax+b，因此y=x2+ax+b的顶点坐标是（-1，-1），即函数解析式y=(x+1)2-1=x2+2x，由此可得a=2，b=0，因此本题正确答案为C项.二、对称变换二次函数图象的对称变换包括关于x轴对称、y轴对称、原点对称、顶点对称、任意点对称五类.对称变换后抛物线的解析式随对称中心的不同而不同，可以用一般式或顶点式表达：1.关于x轴对称y=ax2+bx+c关于x轴对称的函数解析式是y=-ax2-bx-c；y=a(x-h)2+k关于x轴对称的函数解析式是y=-a(x-h)2-k；2.关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称的函数解析式是y=ax2-bx+c；y=a(x-h)2+k关于y轴对称的函数解析式是y=a(x+h)2+k；3.关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称的函数解析式是y=-ax2+bx-c；y=a(x-h)2+k关于原点对称的函数解析式是y=-a(x+h)2-k；例谈二次函数图象的三种变换江苏省盐城市鹿鸣路初级中学吴越28数学篇学思导引4.关于顶点对称y =ax 2+bx +c 关于顶点对称的函数解析式是y =ax 2-bx +c -b 22a；y =a (x -h )2+k 关于顶点对称的函数解析式是y =-a (x -h )2+k ；5.关于任意点对称y =a (x -h )2+k 关于任意点（m ,n ）对称的函数解析式是y =-a (x +h -2m )2+2n +k例3在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2-4x +5与y 轴相交于点C ，则该抛物线关于点C 对称的抛物线的表达式为（）.A.y =-x 2-4x +5B.y =x 2+4x +5C.y =-x 2+4x -5D.y =-x 2-4x -5解析：先求出C 点坐标，当x =0时，y =5，所以C 点坐标为（0，5），设新抛物线上的点的坐标为(x ,y )，因为原抛物线与新抛物线关于点C 对称，由2×0-x =-x ，2×5-y =10-y ，所以对应的原抛物线上点的坐标是(-x ,10-y )，代入原抛物线解析式可得：10-y =(-x )2-4×(-x )+5，得出y =-x 2-4x +5，故选A 项．例4求抛物线y =-x +2x +3关于原点O 对称的抛物线的解析式.解析：因为点P (1，4)关于原点O 的对称点为P (-1，-4)，而且抛物线y =-x 2+2x +3关于原点O 对称的过程中开口方向由向下变为向上，所以所求抛物线的解析式为y =(x +1)2-4，即y =x 2+2x -3.三、旋转变换二次函数图象的旋转问题由于受限于函数这一前提，故只能将二次函数图象旋转180°.抛物线绕某点旋转180°，即关于某点中心对称.已知点(-m ,k )关于原点的对称点为(m ,-k )，所以抛物线y =a (x +m )2+k 绕原点旋转180°后所得的抛物线为y =-a (x -m )2-k .图象旋转后形状不变，开口方向和顶点坐标均改变.若抛物线绕顶点旋转180°，则抛物线的形状、顶点坐标不变，只是改变了抛物线的开口方向.故只需将原抛物线的解析式配成顶点式，然后改变“a ”的符号即可.例5当二次函数解析式y =x 2-2x +3绕原点旋转180°，最终所呈现出的函数图象解析式是__________.解析：将抛物线y =x 2-2x +3化简成y =(x -1)2+2，可以得出顶点坐标是（1，2），将此点围绕原点旋转180°之后可以获得新的顶点坐标（-1，-2），因此本题所求的二次函数图象的解析式是y =-(x +1)2-2.例6在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y =x 2+5x +6，则原抛物线的解析式是（）.A.y =-(x -52)2-114B.y =-(x +52)2-114C.y =-(x -52)2-14 D.y =-(x +52)2+114解析：可先求出绕原点旋转180°的抛物线的解析式，再求出向下平移3个单位长度的解析式.因为抛物线的解析式为y =x 2+5x +6，所以绕原点旋转180°变为y =-x 2+5x -6，即y =-(x -52)2+14，然后向下平移3个单位长度的解析式为y =-(x -52)2+14-3=-(x -52)2-114．故选A 项．以二次函数为背景的几何图形的变换问题是近年来各地中考的热点问题.解答此类问题时，要抓住函数图象变换中变与不变的因素，理清点的坐标变化、函数图象变化、函数解析式变化之间的关系，从而找到解题的突破口，提升解答函数问题的能力.29。
