全国通用2019版高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天微专题33天体质量密度和重力加速度备考精炼

专题3 天体运动的常见模型考点一双星及多星模型(1)多星系统的条件:各星彼此相距较近,离其他星体很远(忽略其他星体的影响);各星绕同一圆心做匀速圆周运动。

(2)双星及多星模型示例 类型双星模型三星模型四星模型结构图向心力来源两星之间的万有引力提供各星做匀速圆周运动的向心力,故两星的向心力大小相等每颗星运行所需的向心力都由其余星对其的万有引力的合力提供运动参量各星转动的周期、角速度相等例(多项选择)(2018课标Ⅰ,20,6分)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )答案BC 此题考查万有引力定律的应用等知识。

双星系统由彼此间万有引力提供向心力,得GG1G2G2=m1G12r1,G G1G2G2=m2G22r2,且T=2πG,两颗星的周期及角速度相同,即T1=T2=T,ω1=ω2=ω,两颗星的轨道半径r1+r2=L,解得G1G2=G2G1,m1+m2=4π2G3GG2,因为G2G1未知,故m1与m2之积不能求出,那么选项A错误,B正确。

各自的自转角速度不可求,选项D错误。

速率之和v1+v2=ωr1+ωr2=ω·L,故C项正确。

考向1 宇宙双星模型1.宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星〞,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,不至因为万有引力的作用而吸引到一起。

如下图,某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比r A∶r B=1∶2,那么两颗天体的( )A∶m B=2∶1A∶ωB=1∶2A∶v B=2∶1A∶F B=2∶1答案 A A 、B 绕O 点做匀速圆周运动,它们的角速度相等、周期相等,两者之间的万有引力提供向心力,F=m A ω2r A =m B ω2r B ,所以m A ∶m B =2∶1,选项A 正确,B 、D 错误;由v=ωr 可知,线速度大小之比v A ∶v B =1∶2,选项C 错误。

34 人造卫星运行规律分析[方法点拨] (1)由v ＝GMr得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要符合三个宇宙速度．(2)做圆周运动的卫星的向心力由地球对它的万有引力提供，并指向它们轨道的圆心——地心．(3)在赤道上随地球自转的物体不是卫星，它随地球自转所需向心力由万有引力和地面支持力的合力提供．1．(2017·江西鹰潭一模)我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射．量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系．假设量子卫星轨道在赤道平面，如图1所示．已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一点，由此可知( )图1A ．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n 3m3B ．同步卫星与P 点的速度之比为1nC ．量子卫星与同步卫星的速度之比为n mD ．量子卫星与P 点的速度之比为n 3m2．(2017·山东日照一模)2016年11月22日，我国成功发射了天链一号04星．天链一号04星是我国发射的第4颗地球同步卫星，它与天链一号02星、03星实现组网运行，为我国神舟飞船、空间实验室天宫二号提供数据中继与测控服务．如图2所示，1是天宫二号绕地球稳定运行的轨道，2是天链一号绕地球稳定运行的轨道．下列说法正确的是( )图2A ．天链一号04星的最小发射速度是11.2 km/sB ．天链一号04星的运行速度小于天宫二号的运行速度C ．为了便于测控，天链一号04星相对于地面静止于北京飞控中心的正上方D ．由于技术进步，天链一号04星的运行速度可能大于天链一号02星的运行速度 3．(多选)(2017·黑龙江大庆一模)如图3所示，a 为放在地球赤道上随地球表面一起转动的物体，b 为处于地面附近近地轨道上的卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，若a 、b 、c 、d 的质量相同，地球表面附近的重力加速度为g .则下列说法正确的是( )图3A ．a 和b 的向心加速度都等于重力加速度gB ．b 的角速度最大C ．c 距离地面的高度不是一确定值D ．d 是三颗卫星中动能最小，机械能最大的4．(2017·福建漳州联考)同步卫星离地面距离为h ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R .则( ) A.v 1v 2＝Rh ＋RB.a 1a 2＝ h ＋RR C.a 1a 2＝R 2(h ＋R )2D.v 1v 2＝R h ＋R5．(2018·安徽省“皖南八校”第二次联考)一颗在赤道上空做匀速圆周运动运行的人造卫星，其轨道半径上对应的重力加速度为地球表面重力加速度的四分之一，则某一时刻该卫星观测到地面赤道最大弧长为(已知地球半径为R )( ) A.23πR B.12πR C.13πR D.14πR 6．(多选)(2017·广东广州测试一)已知地球半径R ＝6 390 km 、自转周期T ＝24 h 、表面重力加速度g ＝9.8 m/s 2，电磁波在空气中的传播速度c ＝3×108m/s ，不考虑大气层对电磁波的影响．要利用同一轨道上数量最少的卫星，实现将电磁波信号由地球赤道圆直径的一端传播到该直径的另一端的目的，则( ) A ．需要的卫星数量最少为2颗B ．信号传播的时间至少为8.52×10－2s C ．卫星运行的最大向心加速度为4.9 m/s 2D ．卫星绕地球运行的周期至少为24 h图47．如图4所示，质量分别为m和2m的甲、乙两颗卫星以相等的轨道半径分别绕质量为M 和2M的行星做匀速圆周运动，不考虑其他天体的影响，则两颗卫星( )A．所受的万有引力大小之比为1∶2B．运动的向心加速度大小之比为1∶2C．动能之比为1∶2D．运动的角速度大小之比为1∶2答案精析1．D [根据G Mm r 2＝m 4π2T2r ，得T ＝4π2r3GM ，由题意知r 量＝mR ，r 同＝nR ，所以T 同T 量＝r 3同r 3量＝(nR )3(mR )3＝n 3m 3，故A 错误；P 为地球赤道上一点，P 点角速度等于同步卫星的角速度，根据v ＝ωr ，所以有v 同v P ＝r 同r P ＝nR R ＝n 1，故B 错误；根据G Mm r 2＝m v 2r，得v ＝GM r ，所以v 量v 同＝ r 同r 量＝nRmR ＝n m ，故C 错误；v 同＝nv P ，v 量v 同＝v 量nv P ＝n m ，得v 量v P＝n 3m，故D 正确．] 2．B [由于第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动时的最大速度，同时又是最小的发射速度，可知卫星的发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s.若卫星的发射速度大于第二宇宙速度11.2 km/s ，则卫星会脱离地球束缚，所以卫星的发射速度要介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故A 错误；由万有引力提供向心力得：GMm r 2＝mv 2r 可得：v ＝GMr，可知轨道半径比较大的天链一号04星的运行速度小于天宫二号的运行速度，故B 正确；天链一号04星位于赤道正上方，不可能位于北京飞控中心的正上方，故C 错误；根据题意，天链一号04星与天链一号02星，轨道半径相同，所以天链一号04星与天链一号02星具有相同的速度，故D 错误．]3．BD [地球同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2r 知，c 的向心加速度大于a 的向心加速度．由牛顿第二定律得：G Mmr2＝ma ，解得：a ＝GMr2，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星c 的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，故知a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G Mm r2＝m ω2r ，解得：ω＝GMr 3，由于r b ＜r c ＜r d ，则ωb ＞ωc ＞ωd ，a 与c 的角速度相等，则b 的角速度最大，故B 正确；c 是同步卫星，同步卫星相对地面静止，c 的轨道半径是一定的，c 距离地面的高度是一确定值，故C 错误；卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：G Mm r 2＝m v 2r ，卫星的动能：E k ＝GMm2r，三颗卫星中d 的轨道半径最大，则d 的动能最小，若要使卫星的轨道半径增大，必须对其做功，则d 的机械能最大，故D 正确．]4．D [ 因为地球同步卫星的周期等于地球自转的周期，所以地球同步卫星与地球赤道上物体的角速度相等，根据a ＝ω2r 得：a 1a 2＝h ＋R R ，B 、C 错误；根据万有引力提供向心力有G Mmr2＝m v 2r，解得v ＝GM r ，则：v 1v 2＝RR ＋h，A 错误，D 正确．]5．A6．ABC [由几何关系可知，过圆的直径两端的切线是平行的，所以1颗卫星不可能完成将电磁波信号由地球赤道圆直径的一端传播到该直径的另一端的目的，但两颗或两颗以上的卫星接力传播可以实现，所以需要的卫星的最小数目为2颗，故A 正确； 使用2颗卫星传播时，可能有两种情况，如图所示．通过图中的比较可知，轨道上有三颗卫星时，将电磁波信号由地球赤道圆直径的一端传播到该直径的另一端的路程更长，则轨道上有三颗卫星时，将电磁波信号由地球赤道圆直径的一端传播到该直径的另一端所需的时间长．由几何关系可知，在图乙中，信号由A →1→2→B 的路程的长度为4R ，则信号传播的时间：t ＝4R c ＝4×6 390×1033×108s ＝8.52×10－2s ，故B 正确； 由图乙可知，该卫星对应的轨道半径：r ＝2R ，卫星的向心加速度：a ＝GM r 2＝GM2R 2，而地球表面的重力加速度：g ＝GM R2，所以：a ＝12g ＝12×9.8 m/s 2＝4.9 m/s 2，故C 正确；地球同步卫星的周期为24 h ，而该卫星的半径r ＝2R <6.6R ＝r 同步，由T ＝2π r 3gR 2可知轨道半径越小，运行周期越小，故该卫星的运行周期小于24 h ，故D 错误．]7．B [由万有引力定律，卫星甲所受的万有引力F 甲＝G Mm r2，卫星乙所受的万有引力F 乙＝G2M ·2m r 2＝4G Mm r 2，即它们所受的万有引力大小之比为1∶4，A 错误；由G Mm r 2＝ma 甲，4G Mmr2＝2ma 乙，可知它们运动的向心加速度大小之比为1∶2，B 正确；由G Mm r 2＝mv 12r可知，卫星甲的动能为12mv 12＝GMm 2r ，同理，卫星乙的动能为12×2mv 22＝2GMm r ，动能之比为1∶4，C 错误；由v ＝ωr 可知，它们运动的角速度大小之比为ω1∶ω2＝v 1∶v 2＝GMr∶2GMr＝1∶2，D 错误．]。

微专题33 天体质量、密度和重力加速度[方法点拨] (1)考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．(2)一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力，星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力．1．(多选)(2017·河南安阳二模)“雪龙号”南极考察船在由我国驶向南极的过程中，经过赤道时测得某物体的重力是G 1；在南极附近测得该物体的重力为G 2；已知地球自转的周期为T ，引力常量为G ，假设地球可视为质量分布均匀的球体，由此可知( ) A ．地球的密度为3πG 1GT 2G 2－G 1B ．地球的密度为3πG 2GT 2G 2－G 1C ．当地球的自转周期为G 2－G 1G 2T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 D ．当地球的自转周期为G 2－G 1G 1T 时，放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力 2．(多选)(2017·黑龙江哈尔滨模拟)假设地球可视为质量分布均匀的球体．已知地球表面重力加速度的大小在两极为g 0，在赤道为g ，地球的自转周期为T ，引力常量为G ，则( ) A ．地球的半径R ＝g 0－g T 24π2B ．地球的半径R ＝g 0T 24π2C ．假如地球自转周期T 增大，那么两极处重力加速度g 0值不变D ．假如地球自转周期T 增大，那么赤道处重力加速度g 值减小图13．(多选)(2017·山东潍坊一模)一探测器探测某星球表面时做了两次测量．探测器先在近星轨道上做圆周运动测出运行周期为T ；着陆后，探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛出，测出了小球上升的最大高度h 与抛出速度v 的二次方的关系，如图1所示，图中a 、b 已知，引力常量为G ，忽略空气阻力的影响，根据以上信息可求得( ) A ．该星球表面的重力加速度为2b aB ．该星球的半径为bT 28a π2C ．该星球的密度为3πGT2D ．该星球的第一宇宙速度为4aT πb4．(2017·陕西西安二检)美国国家航天局(NASA)曾宣布在太阳系外发现“类地”行星Kepler －186f.假设宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测，该行星自转周期为T ；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h 处自由释放一个小球(引力视为恒力)，落地时间为t .已知该行星半径为R ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A ．该行星的第一宇宙速度为πR TB ．该行星的平均密度为3h2πRGt2C ．宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期不大于πt2R hD ．如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度为3hT 2R 22π2t25．(多选)(2017·安徽省十校联考)科学家们通过研究发现，地球的自转周期在逐渐增大，假设若干年后，地球自转的周期为现在的k 倍(k >1)，地球的质量、半径均不变，则下列说法正确的是( )A ．相同质量的物体，在地球赤道上受到的重力比现在的大B ．相同质量的物体，在地球赤道上受到的重力比现在的小C ．地球同步卫星的轨道半径为现在的k 23倍D ．地球同步卫星的轨道半径为现在的k 12倍6．(2017·广东惠州第三次调研)宇航员登上某一星球后，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球的质量大约是地球质量的( )A ．0.5倍B ．2倍C ．4倍D ．8倍7．(多选)(2017·湖北七市联合考试)“嫦娥三号”携带“玉兔号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测．“玉兔号”在地球表面的重力为G 1，在月球表面的重力为G 2；地球与月球均视为球体，其半径分别为R 1、R 2；地球表面重力加速度为g .则( )A ．月球表面的重力加速度为G 1g G 2B ．月球与地球的质量之比为G 2R 22G 1R 12C ．月球与地球的第一宇宙速度之比为G 1R 1G 2R 2D ．“嫦娥三号”环绕月球表面做匀速圆周运动的周期为2πG 1R 2G 2g8．(2017·河南濮阳一模)探测火星一直是人类的梦想，若在未来某个时刻，人类乘飞船来到了火星，宇航员先乘飞船绕火星做圆周运动，测出飞船做圆周运动时离火星表面的高度为H ，环绕的周期为T 及环绕的线速度为v ，引力常量为G ，由此可得出( ) A ．火星的半径为vT2πB ．火星表面的重力加速度为2πTv 3vT －2πH2C ．火星的质量为Tv 22πGD ．火星的第一宇宙速度为4π2v 2T GvT －πH39．(多选)(2017·吉林公主岭一中模拟)最近，科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运动一周所用的时间为1200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周．仅利用以上两个数据可以求出的量有( ) A ．恒量质量与太阳质量之比 B ．恒星密度与太阳密度之比 C ．行星质量与地球质量之比 D ．行星运行速度与地球公转速度之比10．(多选)(2017·吉林长春外国语学校模拟)宇宙飞船绕地心做半径为r 的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m 的人站在可称体重的台秤上，用R 表示地球的半径，g 表示地球表面处的重力加速度，g 0表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，N 表示人对台秤的压力，则关于g 0、N 下面正确的是( ) A ．g 0＝0 B ．g 0＝R 2r2gC ．N ＝0D ．N ＝mg答案精析1．BC [设地球的质量为M ，半径为R ，被测物体的质量为m .经过赤道时：G Mm R 2＝G 1＋mR 4π2T2在南极附近时：G 2＝G Mm R 2，地球的体积为V ＝43πR 3地球的密度为ρ＝M V ，解得：ρ＝3πG 2GT 2G 2－G 1，故A 错误，B 正确；当放在地球赤道地面上的物体不再对地面有压力时：G 2＝mR ·4π2T ′2，所以：T ′＝G 2－G 1G 2T ，故C 正确，D 错误．] 2．AC [处在地球两极处的物体：mg 0＝GMm R 2① 在地球赤道上的物体：GMm R 2－mg ＝m 4π2T2R ②联立①②得：R ＝g 0－g T 24π2故A 正确，B 错误；由②式知，假如地球自转周期T 增大，赤道处重力加速度g 值增大，故D 错误；由①式知，两极处的重力加速度与地球自转周期无关，故C 正确．] 3．BC4．B [根据自由落体运动规律求得该星球表面的重力加速度g ＝2ht2则该星球的第一宇宙速度v ＝gR ＝2ht 2R ，故A 错误；根据万有引力提供做圆周运动的向心力，有：G Mm r 2＝mr 4π2T2可得宇宙飞船的周期T ＝4π2r3GM，可知轨道的半径越小，周期越小，宇宙飞船的最小轨道半径为R ，则周期最小值为T min ＝4π2R3GM＝4π2R3gR 2＝4π2R2ht 2＝πt2Rh，故C 错误．由G Mm R 2＝mg ＝m 2h t 2有：M ＝2hR 2Gt2，所以星球的密度ρ＝M V ＝2hR2Gt 243πR3＝3h2Gt 2R π，故B 正确；同步卫星的周期与星球的自转周期相同，故有：GMmR ＋H2＝m (R ＋H )4π2T 2，代入数据得：H ＝3hT 2R 22π2t2－R ，故D 错误．] 5．AC [在地球赤道处，物体受到的万有引力与重力之差提供向心力，则有：GMm R 2－mg ＝m 4π2T2R ，由于地球的质量、半径均不变，当周期T 增大时，地球赤道上的物体受到的重力增大，故A 正确，B 错误；对同步卫星，根据引力提供向心力，则有：GMm r 2＝m 4π2T 2r ，当周期T 增大到k 倍时，则同步卫星的轨道半径为现在的k 23倍，故C 正确，D 错误．]6．D7．BD [“玉兔号”的质量m ＝G 1g ，月球表面的重力加速度g 月＝G 2m ＝G 2gG 1，故A 错误；根据mg ＝G Mm R 2得M ＝gR 2G ，则M 月M 地＝g 月R 月2g 地R 地2＝G 2R 22G 1R 12，故B 正确；根据第一宇宙速度v ＝GM R ＝gR ，则v 月v 地＝g 月R 月g 地R 地＝G 2R 2G 1R 1，故C 错误；根据T ＝4π2R3GM，又GM ＝gR 2，所以“嫦娥三号”绕月球表面做匀速圆周运动的周期T ＝4π2R 月3g 月R 月2＝2πR 月g 月＝2πG 1R 2G 2g，故D 正确．] 8．B [飞船在离火星表面高度为H 处做匀速圆周运动，轨道半径为R ＋H ，根据：v ＝2πR ＋H T ，得R ＋H ＝vT 2π，故A 错误；根据万有引力提供向心力，有：GMmR ＋H2＝m ·4π2T 2(R ＋H )，得火星的质量为：M ＝4π2R ＋H3GT 2＝v 3T 2πG ，在火星的表面有：mg ＝GMm R2，所以：g ＝GM R 2＝2πTv 3vT －2πH2，故B 正确，C 错误；火星的第一宇宙速度为：v ＝GMR＝gR ＝2πTv 3vT －2πH 2vT2π－H＝Tv 3vT －2πH，故D 错误．]9．AD 10.BC。