高考数学总复习 考前三个月 解答题滚动练3 理

穿插滚动练(三)1．已知集合A ＝{x|log2x<1}，B ＝{x|0<x<c ，其中c>0}．若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由A ∪B ＝B ，得A ⊆B.所以c≥2.2．设函数f(x)＝⎩⎨⎧12x －1(x≥0)，1x (x<0)，若f(a)＝a ，则实数a 的值为________．答案 －1 解析 当a≥0时，f(a)＝12×a －1＝a ，a ＝－2，不合题意，舍去；当a<0时，f(a)＝1a ＝a ，a ＝－1(a ＝1舍去)．3．已知定义在R 上的函数f(x)的图象关于原点对称，其最小正周期为4，且x ∈(0,2)时，f(x)＝log2(1＋3x)，则f(2 015)＝________.答案 －2解析 由函数f(x)的最小正周期为4，所以f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)，又函数f(x)的图象关于原点对称，知f(－x)＝－f(x)，故f(2 015)＝f(－1)＝－f(1)＝－log24＝－2.4．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：当a≥b 时，a b ＝a ；当a<b 时，a b ＝b.则函数f(x)＝(1 x)·x －(2 x)(x ∈[－2,2])的最大值等于(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)________．答案 2解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ∈[－2，1])，x2－2(x ∈(1，2])，x ＝2时有最大值， 所以函数最大值是2.5．若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．答案 －43或－43 3解析 依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sin α·cos α＝34，得－4a a2＋16＝34，即3a2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－43 3.6．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a5＝5，S5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1anan ＋1的前100项和为________．答案 100101解析 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋4d ＝5，5a1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，d ＝1，∴an ＝a1＋(n －1)d ＝n. ∴1anan ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1anan ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.7.设f(x)是一个三次函数，f′(x)为其导函数，如图所示的是y ＝x·f′(x)的图象的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是________．答案 f(－2)与f(2)解析 由图象知f′(2)＝f′(－2)＝0.∵x>2时，y ＝x·f′(x)>0，∴f′(x)>0，∴y ＝f(x)在(2，＋∞)上单调递增；同理，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，∴y ＝f(x)的极大值为f(－2)，极小值为f(2)．8．以下命题正确的个数为________．①命题“若x2>1，则x>1”是否命题为“若x2≤1，则x≤1”；②命题“若α>β，则tan α>tan β”的逆命题为真命题；③命题“∃x ∈R ，使得x2＋x ＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，都有x2＋x ＋1≥0”；④“x>1”是“x2＋x －2>0”的充分不必要条件．答案 3解析 否命题是将命题的条件和结论都否定，所以①正确；当α＝60°，β＝210°时，有tan α>tan β成立，但α>β不成立，故②不正确；存在性命题的否定是将存在量词改为全称量词，再否定结论，所以③正确；x2＋x －2>0的解集是x>1或x<－2，所以④正确．9．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________． 答案 9解析 f′(x)＝12x2－2ax －2b ，∵f(x)在x ＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.又a>0，b>0，∴a ＋b≥2ab ，∴2ab ≤6，∴ab≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴ab 的最大值为9.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y≥0，2x ＋y≤2，y≥0，x ＋y≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．答案 0<a≤1或a≥43解析 先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为(23，23)，故当x ＋y ＝a 过点B 时，a ＝43，所以a≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰过A 点时，a ＝1＋0＝1，且当0<a≤1时可行域也为三角形．故0<a≤1或a≥43.11．已知集合A ＝{x|12<2x<8，x ∈R}，B ＝{x|－1<x<m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x|12<2x<8，x ∈R}＝{x|－1<x<3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m>2.12．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…的前100项的和为________．答案 19114解析 S100＝1×1＋2×12＋3×13＋4×14＋…＋13×113＋9×114＝19114.13．命题“∃x ∈R,2x2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 [－22，2 2 ]解析 “∃x ∈R,2x2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.14．函数f(x)(x ∈R)满足f(1)＝1，f′(x)<12，则不等式f(x2)<x22＋12的解集为________．答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 将x2换元成t ，则原式化为f(t)<t 2＋12，当t ＝1时，f(t)＝1，且t 2＋12＝1，又由f′(t)<12，可知当t>1时，f(t)<t 2＋12；当t<1时，f(t)>t 2＋12.故f(t)<t 2＋12的解集为t>1，即x2>1，因此x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．15．设Sn 是数列{an}的前n 项和，若S2n Sn (n ∈N*)是非零常数，则称数列{an}为“和等比数列”．若数列{2bn}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{bn}________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．答案 是解析 由题意2bn ＝22n －1，即bn ＝2n －1，从而S2n ＝4n2，Sn ＝n2，S2n Sn ＝4(常数)．16．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos2A ，sin A)，n ＝(1，－sin A)，且m ⊥n.(1)求A 的大小；(2)当AB →＝pm ，AC →＝qn(p>0，q>0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵m ⊥n ，∴3cos2A －sin2A ＝0.∴3cos2A －1＋cos2A ＝0，∴cos2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝(34，32)，n ＝(1，－32)．∴|AB →|＝214p ，|AC →|＝72q.∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝2132pq.又∵p ＋q ＝6，且p>0，q>0， ∴p·q ≤p ＋q 2. ∴p·q ≤3，∴0<p·q≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.17．设函数f(x)＝a2ln x －x2＋ax ，a>0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f(x)≤e2对x ∈[1，e]恒成立．注：e 为自然对数的底数．解 (1)因为f(x)＝a2ln x －x2＋ax ，其中x>0，所以f′(x)＝a2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x. 由于a>0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意得f(1)＝a －1≥e －1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]内单调递增，要使e －1≤f(x)≤e2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a2－e2＋ae≤e2，解得a ＝e. 18．已知数列{an}，其前n 项和为Sn ，点(n ，Sn)在以F(0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线上，数列{bn}满足bn ＝2na .(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn ＝an·bn ，求数列{cn}的前n 项和Tn.解 (1)因为以F(0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为x2＝y ，又点(n ，Sn)在抛物线上，所以Sn ＝n2.当n≥2时，Sn －1＝(n －1)2，两式相减，得Sn －Sn －1＝an ＝n2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，a1＝S1＝1，满足上式．所以数列{an}的通项公式为an ＝2n －1(n ∈N*)．故bn ＝2an ＝22n －1(n ∈N*)．(2)由(1)，知cn ＝(2n －1)·22n －1，所以Tn ＝1·21＋3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1，①则4Tn ＝1·23＋3·25＋5·27＋…＋(2n －1)·22n ＋1，②①－②，得－3Tn ＝21＋2·23＋2·25＋…＋2·22n －1－(2n －1)·22n ＋1＝4n ＋1－103－(2n －1)·22n ＋1 ＝4·4n －103－(4n －2)·4n ＝(10－12n )4n －103， 所以Tn ＝10＋(12n －10)4n 9(n ∈N*)． 19．(2013·广东)设数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a1＝1，2Sn n ＝an ＋1－13n2－n －23，n ∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a1＋1a2＋…＋1an <74.(1)解 2S1＝a2－13－1－23，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.(2)解 当n≥2时，2Sn ＝nan ＋1－13n3－n2－23n ，2Sn －1＝(n －1)an －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2an ＝nan ＋1－(n －1)an －13(3n2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)an ＝nan ＋1－n(n ＋1)，即an ＋1n ＋1－an n ＝1，又a22－a11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是首项为a11＝1，公差为1的等差数列，所以an n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以an ＝n2，所以数列{an}的通项公式为an ＝n2，n ∈N*.(3)证明 1a1＋1a2＋1a3＋…＋1an ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74，所以对一切正整数n ，有1a1＋1a2＋…＋1an <74.20．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an ＋1＝an ＋2an －1(n≥2)．(1)设bn ＝an ＋1＋λan ，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列？且公比小于0.若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)在(1)的条件下，求数列{an}的前n 项和Sn.解 (1)假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，设bn bn －1＝q(n≥2)， 即an ＋1＋λan ＝q(an ＋λan －1)，得an ＋1＝(q －λ)an ＋qλan －1.与已知an ＋1＝an ＋2an －1比较，令⎩⎪⎨⎪⎧ q －λ＝1，qλ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1q ＝2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，q ＝－1.所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．(2)由(1)知当λ＝－2时，q ＝－1，b1＝1，则数列{bn}是首项为1，公比为－1的等比数列．∴bn ＝(－1)n ＋1.∴an ＋1－2an ＝(－1)n ＋1(n≥1)，所以an ＋12n ＋1－an 2n ＝(－1)n ＋12n ＋1＝(－12)n ＋1(n≥1)， 当n≥2时，an 2n ＝a121＋(a222－a121)＋(a323－a222)＋…＋(an 2n －an －12n －1) ＝12＋(－12)2＋(－12)3＋…＋(－12)n＝12＋(－12)2[1－(－12)n －1]1－(－12)＝12＋16[1－(－12)n －1]．因为a121＝12也适合上式，所以an 2n ＝12＋16[1－(－12)n －1](n≥1)．所以an ＝13[2n ＋1＋(－1)n]．则Sn ＝13[(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n]＝13[4(1－2n )1－2＋(－1)(1－(－1)n )1－(－1)] ＝13[(2n ＋2－4)＋(－1)n －12]． 21．(2014·四川)已知函数f(x)＝ex －ax2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围．解 (1)由f(x)＝ex －ax2－bx －1，有g(x)＝f′(x)＝ex －2ax －b.所以g′(x )＝ex －2a.因此，当x ∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a ，e －2a]．当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b ；当a≥e 2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b ；当12<a<e 2时，令g′(x)＝0得x ＝ln(2a)∈(0,1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b.综上所述，当a≤12时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b ；当12<a<e 2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a －2aln(2a)－b ；当a≥e 2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e －2a －b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减，则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理，g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a≤12时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当a≥e 2时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点；当12<a<e 2，此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b>0，g(1)＝e －2a －b>0.由f(1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，则g(0)＝1－b ＝a －e ＋2>0，g(1)＝e －2a －b ＝1－a>0，解得e －2<a<1.当e －2<a<1时，g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln(2a))．若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x ∈[0,1])，从而f(x)在区间[0,1]上单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))<0.又g(0)＝a －e ＋2>0，g(1)＝1－a>0，故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2,1]上单调递增， 所以f(x1)>f(0)＝0，f(x2)<f(1)＝0，故f(x)在(x1，x2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2,1)．。

2021年高考数学一轮复习高考大题专项练3高考中的数列1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.2.设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=3,S n+1=3S n+3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和T n.3.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N+.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=2,求+…+.4.已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=(n∈N+).(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列的前n项和S n.5.(xx江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{a n}是等差数列.6.设S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.(1)求a n;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n>(n∈N+).7.已知正项数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n=(n≥2).(1)求证:{}为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N+,不等式4T n<a2-a恒成立,求实数a的取值范围.8.(xx山东潍坊一模)已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,数列{b n}是公比大于0的等比数列,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)令c n=求数列{c n}的前n项和T n.参考答案高考大题专项练三高考中的数列1.解(1)依题意得,解得故a n=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即a n=2n+1.(2)由题意可知=3n-1,则b n=a n·3n-1=(2n+1)·3n-1.故T n=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1, ①3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n, ②①-②得-2T n=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,因此,T n=n·3n.2.解(1)(方法一)∵S n+1=3S n+3,∴S n+1+=3.∴S n+3n-1=×3n-1=.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1==3n,a1也适合.∴a n=3n.(方法二)由S n+1=3S n+3(n∈N+),可知当n≥2时,S n=3S n-1+3,两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).又a1=3,代入S n+1=3S n+3得a2=9,故a n=3n.(2)∵b n=,∴T n=, ①∴T n=, ②由①-②,得T n=,解得T n=.3.解(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.所以a3=2a2,故q=2.所以a n=2n-1.(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=.由e2==2,解得q=.所以+…+=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]=n+[1+q2+…+q2(n-1)]=n+=n+(3n-1).4.(1)证明∵a n+1=,∴.∴-1=.又a1=,∴-1=.∴数列是以为首项,以为公比的等比数列.(2)解由(1)知-1=,则+1.故+n.设T n=+…+, ①则T n=+…+, ②由①-②得T n=+…+=1-,∴T n=2-.又1+2+3+…+n=,∴数列的前n项和S n=2-.5.证明(1)因为{a n}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3, 所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n, ①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1), ③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.6.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,由题意得解得故a n=a1+(n-1)d=2n+1.(2)证明∵a1=3,d=2,∴S n=na1+d=n(n+2).∴b n=.∴T n=b1+b2+…+b n-1+b n=,故T n>.7.解(1)因为a n=,所以S n-S n-1=,即=1,所以数列{}是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,所以a n==n+(n-1)=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=1也适合,所以a n=2n-1.(2)因为,所以T n=+…+.所以T n<.要使不等式4T n<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).8.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q>0,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.∴a1=-1,-1+2d+2q=-1,3×(-1)+3d+2×2×q2=7,解得d=-2,q=2.∴a n=-1-2(n-1)=1-2n,b n=2n.(2)c n=①当n=2k(k∈N+)时,数列{c n}的前n项和T n=T2k=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k)=2k++…+,令A k=+…+,∴A k=+…+,∴A k=+4+…++4×,可得A k=.∴T n=T2k=2k+.②当n=2k-1(k∈N+)时,数列{c n}的前n项和T n=T2k-2+a2k-1=2(k-1)++2=2k+.∴T n=k∈N+.。

解答题滚动练31.(2017·日照模拟)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x －1＝3sin 2x －(cos 2x ＋1)－1 ＝3sin 2x －cos 2x －2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－4. (2)因为f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－2＝0， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1.又C ∈(0，π)，2C －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3. 因为sin B ＝2sin A ，由正弦定理，得b ＝2a ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2， 又c ＝3，所以a ＝1，b ＝2.2.某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水(A 级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p (0＜p ＜1).经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测.多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放. 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若p ＝25，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率；(2)若p ＝25，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？(3)若“方案三”比“方案四”更“优”，求p 的取值范围. 解 (1)该混合样本达标的概率是⎝⎛⎭⎪⎫252＝45， 所以根据对立事件原理，不达标的概率为1－45＝15.(2)方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为45；若不达标则检测次数为3，概率为15.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2，4，6.其分布列如下，可求得方案二的期望为E (ξ2)＝2×1625＋4×825＋6×125＝145，方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1，5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为E (ξ4)＝1×1625＋5×925＝6125.比较可得E (ξ4)＜E (ξ2)＜4，故选择方案四最“优”. (3)方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5.E (η3)＝2·p 3＋5(1－p 3)＝5－3p 3；方案四：设化验次数为η4，η4可取1，5.E (η4)＝1·p 4＋5(1－p 4)＝5－4p 4；由题意得E (η3)＜E (η4)⇔5－3p 3＜5－4p 4⇔p ＜34.故当0＜p ＜34时，方案三比方案四更“优”.3.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为菱形且∠BAA 1＝60°，D ，M 分别为CC 1和A 1B 的中点，A 1D ⊥CC 1，AA 1＝A 1D ＝2，BC ＝1.(1)证明：直线MD ∥平面ABC ； (2)求二面角B －AC －A 1的余弦值. 方法一 (1)证明 连接A 1C ，∵A 1D ⊥CC 1，且D 为中点，AA 1＝A 1D ＝2，∴A 1C ＝A 1C 1＝5＝AC ， 又BC ＝1，AB ＝BA 1＝2，∴CB ⊥BA ，CB ⊥BA 1， 又BA ∩BA 1＝B ，∴CB ⊥平面ABB 1A 1，取AA 1的中点F ，则BF ⊥AA 1，即BC ，BF ，BB 1两两互相垂直，以B 为原点，BB 1，BF ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图，∴B 1()2，0，0，C ()0，0，1，A ()－1，3，0，A 1()1，3，0，C 1()2，0，1，D ()1，0，1，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， MD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，1，设平面ABC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BA →＝－x ＋3y ＝0，m ·BC →＝z ＝0.取m ＝(3，1，0)，∵m ·MD →＝32－32＋0＝0，∴m ⊥MD →，又MD ⊄平面ABC ，∴直线MD ∥平面ABC .(2)解 设平面ACA 1的法向量为n ＝()x 1，y 1，z 1，AC →＝()1，－3，1，AA 1→＝()2，0，0， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝x 1－3y 1＋z 1＝0，n ·AA 1→＝2x 1＝0.取n ＝()0，1，3，又由(1)知平面ABC 的法向量为m ＝()3，1，0， 设二面角B －AC －A 1为θ，θ为锐角， ∴cos θ＝||m ·n ||m ||n ＝12·2＝14.方法二 (1)证明 如图，取AB 的中点N ，连接MN ，CN ，则有MN 綊12AA 1綊CD ，∴四边形MNCD为平行四边形，∴MD ∥NC ，又MD ⊄平面ABC ，NC ⊂平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC .(2)解 由各棱长易得BC ⊥BA ，BC ⊥BA 1， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1，如图所示，取AB 的中点N ，连接A 1N ，过N 作NH ⊥AC 于H ，连接HA 1.∵BC ⊥A 1N ，AB ⊥A 1N ，AB ∩BC ＝B ， ∴A 1N ⊥平面ABC ， ∴A 1N ⊥AC ，又∵NH ⊥AC ，NH ∩A 1N ＝N ， ∴AC ⊥平面A 1NH ， ∴A 1H ⊥AC ，故∠NHA 1为所求的二面角的平面角， 在Rt△A 1NH 中，由△ANH ∽△ACB ，得NH ＝55，AH ＝255，则A 1H ＝455，故cos∠NHA 1＝NH A 1H＝55455＝14，故所求的二面角的余弦值为14.4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过点E (－7，0)的椭圆的两条切线相互垂直.(1)求此椭圆的方程；(2)若存在过点(t ，0)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，使得FA ⊥FB (F 为右焦点)，求t 的取值范围.解 (1)由椭圆的对称性，不妨设在x 轴上方的切点为M ，x 轴下方的切点为N ，则k ME ＝1，ME 的直线方程为y ＝x ＋7，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋7，x 24c 2＋y 23c2＝1，得7x 2＋87x ＋28－12c 2＝0，由Δ＝0，得c ＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 24＋y23＝1，得(3m 2＋4)y 2＋6mty ＋3t 2－12＝0， 由Δ＞0，得3m 2－t 2＋4＞0， y 1＋y 2＝－6mt 3m 2＋4，y 1y 2＝3t 2－123m 2＋4，FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FA →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋(mt －m )(y 1＋y 2)＋t 2－2t ＋1＝0， 所以7t 2－8t －8＝9m 2有解，所以7t 2－8t －8≥0，且7t 2－8t －8－3t 2＋12＞0， 则t ≥4＋627或t ≤4－627.。

第7练 抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力.常考题型精析题型一 函数单调性、奇偶性的应用1.常用结论：设x 1、x 2∈[a ，b ]，则(x 1－x 2) [f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上递增.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上递减.2.若f (x )和g (x )都是增函数，则f (x )＋g (x )也是增函数，－f (x )是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断.3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数.4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数.例1 (1)(2014·湖北)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( ) A.[－16，16]B.[－66，66]C.[－13，13]D.[－33，33] (2)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x ).(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.变式训练1 (1)(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x -m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.a ＜c ＜bD.c ＜b ＜a(2)(2015·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A.y ＝x 2sin x B.y ＝x 2cos x C.y ＝|ln x |D.y ＝2-x题型二 函数的周期性与对称性的应用重要结论：1.若对于定义域内的任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则f (x )关于x ＝a 对称. 2.若对于任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )的周期为T .例2 (1)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[－1,0)时，f (x )＝－x ，则f (2 015)＋f (2 016)＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x ).当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 016)＝________.点评 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.变式训练2 已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________. 题型三 分段函数例3 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围.点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.(2)在求分段函数f (x )解析式时，一定要首先判断x 属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.变式训练3 (2014·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0. 若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________.高考题型精练1.(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝ln x B.y ＝x 2＋1 C.y ＝sin xD.y ＝cos x2.(2015·陕西)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14 C.12D.323.(2014·山东)函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 4.(2014·江西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2-x ，x <0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a 等于( ) A.14 B.12 C.1D.25.下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝1x －xB.f (x )＝x 3C.f (x )＝ln xD.f (x )＝2x6.函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2·f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝(log 1214)·f (log 1214)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.a >c >b7.设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎨⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )， 则f (x )的值域是( )A.[－94，0]∪(1，＋∞)B.[0，＋∞)C.[－94，＋∞)D.[－94，0]∪(2，＋∞)8.(2015·青岛模拟)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－x 2)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A.(－∞，－2]∪(－1，32)B.(－∞，－2]∪(－1，－34)C.(－1，14)∪(14，＋∞)D.(－1，－34)∪[14，＋∞)9.(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 10.对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________.11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是____________. 12.已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，有下列4个命题：①若f (1＋2x )＝f (1－2x )，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ②y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x ＝2对称；③若f (x )为偶函数，且f (2＋x )＝－f (x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ④若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象关于直线x ＝1对称. 其中正确命题的序号为________.答案精析第7练 抓重点——函数性质与分段函数常考题型精析 例1 (1)B (2)(－1,3)解析 (1)因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2<x <2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x ≥0时的解析式等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. (2)∵f (x )是偶函数， ∴图象关于y 轴对称.又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. 变式训练1 (1)B (2)B解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，∴f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 23|＞0，∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)， 故选B.(2)由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数. 例2 (1)1 (2)336解析 (1)由f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数且f (x )的图象关于直线x ＝1对称，知f (x )的周期为4， f (2 015)＝f (3)＝f (－1)＝1， f (2 016)＝f (4)＝f (0)＝0. ∴f (2 015)＋f (2 016)＝1＋0＝1.(2)由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的一个周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]×336＝336. 变式训练2 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，f (－2)＝0，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确； 根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确； 根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确.故正确命题的序号为①②④.例3 解 (1)∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x ). 当x >0时，－x <0，有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x )， 即x 2－mx ＝x 2－2x . ∴m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，如图.当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， ∴当x ∈[1，＋∞)时，f (x )单调递减； 当x ∈(0,1]时，f (x )单调递增.当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴当x ∈(－∞，－1]时，f (x )单调递减； 当x ∈[－1,0)时，f (x )单调递增. 综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增. 又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围是(1,3]. 变式训练3 a ≤ 2解析 f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤2.高考题型精练1.D [对数函数y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1为偶函数但没有零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝cos x 是偶函数且有零点，故选D.]2.C [∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C.] 3.C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2>1，解得x >2或0<x <12.故选C.]4.A [由题意得f (－1)＝2－(－1)＝2，f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.]5.A [“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”等价于在(0，＋∞)上f (x )为减函数，易判断f (x )＝1x－x 符合.]6.B [因为函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，所以y ＝f (x )关于y 轴对称. 所以函数y ＝xf (x )为奇函数. 因为[x f (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x ∈(－∞，0)时，[x f (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0， 函数y ＝xf (x )单调递减，从而当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减. 因为1<20.2<2,0<ln 2<1，log 1214＝2， 从而0<ln 2<20.2<log 1214，所以b >a >c .]7.D [由x <g (x )得x <x 2－2， ∴x <－1或x >2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞). 当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0].综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞).]8.B [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－(x －x 2)≤1，x －x 2，x 2－2－(x －x 2)>1，即f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1或x >32，f (x )的图象如图所示，由图象可知B 正确.]9.516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316. ∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ， ∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12.11 ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝－316＋12＝516. 10.1解析 依题意，得h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.11.⎣⎡⎭⎫14，13解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x <1时，f (x )＝x ，当1≤x <2时，f (x )＝x －1，当2≤x <3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x <k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎡⎭⎫14，13.12.①②④解析 1＋2x ＋1－2x 2＝1，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故①正确；对于②，令t ＝x －2，则问题等价于y ＝f (t )与y ＝f (－t )图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t ＝0对称，即函数y ＝f (x －2)与y ＝f (2－x )的图象关于直线x －2＝0即x ＝2对称，故②正确；由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4k (k ∈Z )对称，不能推得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故③错误；由于函数f (x )为奇函数，由f (x )＝f (－x －2)，可得f (－x )＝f (x ＋2)，由于－x ＋x ＋22＝1，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故④正确.。

高考数学二轮复习 考前三个月冲刺穿插转动练习 理（五）新人教 A 版内容：不等式、函数与导数、三角函数、数列、立体几何、分析几何一、选择题1． 若会合 A ＝ { x|x ≥ 0} ，且 A ∩B ＝ B ，则会合 B 可能是()A ． {1,2}B ． { x|x ≤ 1}C ．{ － 1,0,1}D ．R答案 A分析因为 A ∩ B ＝ B ，所以 B? A ，因为 {1,2} ? A ，所以答案为 A.2． 设 { a n } 是等比数列，则“ a 1＜ a 2＜ a 3”是“数列 { a n } 为递加数列”的()A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充足必需条件D ．既不充足也不用要条件答案C分析 “ a 1＜ a 2＜ a 3” ? “ 数列 { a n } 是递加数列 ”．π的图象，只要将函数 y ＝ sin 2x 的图象()3． 要获得函数 y ＝ sin 2x － 3π B ．向右平移 πA ．向左平移 12个单位12个单位πD ．向右平移 πC ．向左平移 6个单位 6个单位答案Dππ分析要获得函数 y ＝ sin 2x － 3 ，只要将函数 y ＝ sin 2x 中的 x 减去 6，即获得 y ＝sin2 x － π 2x － π6 ＝ sin 3.4． 已知各项都是正数的等比数列{ a n } 中，存在两项 a m ， a n (m ， n ∈N *)使得 a m a n ＝4a 1，且1＋4的最小值是()a 7＝ a 6＋ 2a 5，则 m n34 23A. 2B.3C.3D.4答案 A分析记等比数列 { a n 5 25 5 5 2} 的公比为 q(q ＞ 0)，依题意有 a q ＝ a q ＋2a ，由 a ≠ 0，得 q － q － 2＝ 0，解得 q ＝ 2，m －1) ·(a 1·2 n －1 2又 (a 1·2 ) ＝ 16a 1，即 2 m ＋ n －24＝ 2 ，∴ m ＋ n － 2＝ 4，∴ m ＋ n ＝ 6， 14 1 1 4 1 n 4m∴ m ＋ n ＝ 6m ＋ n (m ＋ n)＝ 65＋m ＋ n ≥1 36(5＋ 4)＝ 2，当且仅当 n ＝ 2m 时 “ ＝” 成立．的最小值是()A. 3B. 5C ． 2D. 5－1答案 D分析由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0) ．设点 P 到直线 l 的距离为 d ，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为 |PF|－ 1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d ＋ |PF|－ 1.易知 d ＋ |PF |的最小值为点F 到直线 l 的距离，故d ＋ |PF|的最小值为|2＋ 3|5，所以 d ＋ |PF|－ 1 的最小值为5－ 1.＝ 22＋ －1 2226． 已知抛物线 x 2＝ 2py(p>0) 的焦点 F 恰巧是双曲线y2－x2＝ 1(a>0，b>0) 的一个焦点，且两ab条曲线交点的连线过点 F ，则该双曲线的离心率为()A. 2B ．1± 2C ．1＋ 2D ．没法确立答案 C分析依题意得，p的坐标为 (0，c)，两条曲线交点的连线垂直y 轴，将 y ＝ c 代2＝ c ，F入双曲线方程得交点横坐标为b 2 b 4± ，代入抛物线方程得a 2＝ 2 ·2c ·c ，b 2＝2ac ，c 2－a 2＝ 2ac ，ae 2－ 2e － 1＝ 0， e ＝ 1 ± 2，由 e>1 得 e ＝ 1＋ 2，应选 C.7． 已知直线 l ⊥平面 α，直线 m? 平面 β，有下边四个命题： ①α∥ β? l ⊥ m ；② α⊥ β? l ∥ m ；③ l ∥ m? α⊥ β；④ l ⊥ m? α∥ β.此中正确的命题()A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④答案 C分析关于 ① ，由 l ⊥ α， α∥ β? l ⊥ β，又因为直线 m? 平面 β，所以 l ⊥ m ，故 ① 正确，同理可得 ③ 正确； ② 与 ④不正确，应选 C.1－ x ＋ ln x 对随意 x ∈ [1， 2]恒成立，则 a 的最大值为()8． 已知 a ≤ x2A ． 0B ． 1C ．2D ． 3答案 A分析1－x－ x ＋ x － 1 1 x － 11设 f(x)＝x ＋ ln x ，则 f ′ (x)＝x2＋ x ＝ x 2 .当 x ∈ [ 2，1) 时， f ′ (x)<0 ，1故函数 f(x)在 [2，1) 上单一递减； 当 x ∈ (1,2] 时，f ′ (x)>0 ，故函数 f(x)在 (1,2] 上单一递加，∴ f(x)min ＝ f(1)＝ 0， ∴ a ≤0，即 a 的最大值为 0.19． 已知函数 f(x)＝ sin x － 2x(x ∈ [0， π])，那么以下结论正确的选项是( )πA ． f(x)在 0，2上是增函数πB．f(x)在，π上是减函数6πC．? x∈ [0，π]， f(x)> f(3)πD． ? x∈ [0，π]，f(x)≤f(3)答案D分析注意到 f′ (x)＝ cos x－1ππ2，当 x∈ (0，)时， f ′ (x)>0；当 x∈ ( ，π)时， f′ (x)<0 ，33πππ所以函数 f(x)在 (0，3)上是增函数，在 (3，π)上是减函数， f(x)在 [0，π]内的最大值是f(3)，π即 ?x∈ [0 ，π]，都有 f(x)≤ f(3)，所以 D 项正确．x2 y210．以双曲线a2－b2＝ 1(a>0，b>0) 的左焦点 F 为圆心，作半径为 b 的圆 F ，则圆 F 与双曲线的渐近线()A ．订交B ．相离C．相切 D ．不确立答案C分析左焦点 F 为(－ c,0)，渐近线方程为 y＝bx 即 bx－ ay＝ 0，∴圆心到直线的距离为a|－bc|＝ b，所以相切．a2＋b211．在正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1中， AA1＝2AB ，E 为 AA 1的中点，则异面直线BE 与 CD1所成角的余弦值为()101A. 10B.53103C. 10D.5答案C分析连结 BA1，因为 CD 1∥ BA 1，所以∠ A1BE 即为异面直线 BE 与 CD1所成的角，令310 AA1＝2AB ＝2，则 EB＝ 2， A1E＝ 1， A1B＝5，故由余弦定理得cos∠ A1BE＝10 ，310即异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为10 .212．已知抛物线 y2＝ 2px(p>0)上一点 M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线x－ y2＝ 1a 的左极点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数 a 的值为() 11A. 9B.411C.3D.2答案A分析 因为 M(1， m)在抛物线上， ∴ m 2＝ 2p ，而 M 到抛物线的焦点的距离为5，依据p p抛物线的定义知点 M 到抛物线的准线x ＝－ 2的距离也为 5，∴ 1＋2＝ 5，∴p ＝ 8，由此能够求得 m ＝4，双曲线的左极点为 A(－ a ，0)，∴ k AM ＝ 4，而双曲线的渐近线方1＋ a程为 y ＝±x，依据题意得，4 ＝ 1， ∴ a ＝ 1.a1＋ a a 9二、填空题13．已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2＝ px(p ＞ 0)的焦点 F ，且与 y 轴订交于点A.若△ OAF (O为坐标原点 )的面积为 1，则 p ＝ ________.答案4p分析设直线 l 的方程为： y ＝ 2 x － 4 ，p令 x ＝ 0，得 y ＝－ 2，p即点 A 的坐标为0，－ 2 .1∴ S △ OAF ＝ 2|OF |× |OA|1 p p p 2＝ 2×4× 2＝ 16＝ 1， ∴ p ＝ 4.→ →π C 在以 O 为圆心的圆弧→14．长度都为 2 的向量 OA ， OB 的夹角为 ，点AB(劣弧 )上， OC ＝3→→mOA ＋ nOB ，则 m ＋ n 的最大值是 ________．答案 2 33分析→ → → α，成立平面直角坐标系， 设向量 OA ＝ (2,0)，向量 OB ＝ (1， 3)．设向量 OC ＝ (2cosπ → → →2sin α)， 0≤α≤ 3.由 OC ＝ mOA ＋ nOB ，得 (2cos α， 2sin α)＝ (2m ＋ n ， 3n)， 即 2cos α＝ 2m ＋ n,2sin α＝ 3n ，解得 m ＝ cos α－1sin α，n ＝ 2 s in α.3 31 2 3 π 2 3故 m ＋ n ＝ cos α＋ 3 sin α＝ 3 sin α＋ 3 ≤3.x 2 y 215．过双曲线 a 2－ b 2＝ 1(a ＞ 0， b ＞ 0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O 为原点 )的垂直均分线上，则双曲线的离心率为________． 答案2分析依题意知 △ OFG (G 为垂足 )为等腰直角三角形，则bc c2a ＝ 2，即 a ＝ b ，故双曲线为等轴双曲线，离心率为 2.16．如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 1， BC ＝ a(a ＞ 0)，PA ⊥平面 AC ， BC 边上存在点 Q ，使得PQ ⊥ QD ，则实数 a 的取值范围是 ________．答案[2，＋∞ )分析如图，连结 AQ ， ∵ PA ⊥ 平面 AC ，∴ PA ⊥ QD ，又 PQ ⊥ QD ，PQ ∩ PA ＝ P ， ∴ QD ⊥ 平面 PQA ，于是 QD ⊥ AQ ，∴ 在线段 BC 上存在一点 Q ，使得 QD ⊥ AQ ，等价于以 AD 为直径的圆与线段 BC 有交点，∴ a≥ 1， a ≥ 2. 2三、解答题17．设函数 f(x)＝ sin xcos x － 3cos( π＋ x)cos x(x ∈R )．(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若函数 y ＝ f(x)的图象按 b ＝π 3 平移后获得函数y ＝ g(x)的图象，求 y ＝ g(x)在 [0，4，2 π4] 上的最大值．1解 (1)f(x)＝ 2sin 2x ＋ 3cos 2x1 3＝ 2sin 2x ＋ 2 (1＋ cos 2x)1 3 3 ＝ 2sin 2x ＋2 cos 2x ＋ 2π 3 ＝ sin(2x ＋ 3)＋ 2 .2π故 f(x) 的最小正周期为 T ＝ 2 ＝ π.π 3(2)依题意 g(x)＝ f(x －4)＋ 2π π 3 3＝ sin [2( x －4)＋ 3]＋2 ＋ 2π＝ sin (2x － 6)＋ 3.ππ π π π π 当 x ∈ [0， ] 时， 2x －∈[ －， ]， g(x)为增函数，所以 g(x)在 [0， ] 上的最大值为 g( )4663443＝ 2 3.18．如图，已知四棱锥P — ABCD 的底面为等腰梯形， AB ∥CD ， AC ⊥ BD ，垂足为 H ， PH是四棱锥的高， E 为 AD 的中点．(1)证明： PE⊥ BC；(2)若∠ APB＝∠ ADB ＝ 60°，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值．(1)证明以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0) ， B(0,1,0) ，设 C(m,0,0)，P(0,0， n)(m<0， n>0) ，1m则 D(0， m,0)， E(2，2， 0)．→1m→可得 PE＝ (2，2，－ n) ，BC＝ (m，－ 1,0)．→ →m m因为 PE·BC＝－＋0＝0，22所以 PE ⊥ BC.3(2)解由已知条件可得m＝－3， n＝ 1，33故 C(－3， 0,0)， D(0，－3， 0)，13E(2，－6，0) ，P(0,0,1)，设 n ＝(x，y， z)为平面 PEH 的法向量，→13n ·HE ＝0，2x－6 y＝0，则即→z＝ 0n ·HP ＝0，所以能够取n＝(1，3， 0)，→由 PA＝ (1,0，－ 1) ．→2可得 |cos〈PA， n〉 |＝4，2所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 4 .19．已知数列 { a } 是等差数列， { b } 是等比数列，且 a ＝ b ＝ 2，b ＝54， a ＋ a ＋ a ＝ b ＋n n1141232 b3.(1)求数列 { a } 和 { b} 的通项公式；n n(2)数列 { c n} 知足 c n＝ a n b n，求数列 { c n} 的前 n 项和 S n.54解 (1)设 { a n} 的公差为 d， { b n} 的公比为 q，由 b4＝ b1q3，得 q3＝＝ 27，进而 q＝ 3，2n－1n－1所以 b n＝b1·q＝2·3 ，又 a1＋ a2＋ a3＝3a2＝b2＋ b3＝ 6＋ 18＝ 24，∴a2＝8，进而 d＝ a2－ a1＝ 6，故 a n＝ a1＋ (n－ 1) ·6＝ 6n－ 4.(2)c ＝an －1b ＝ 4·(3n －2) ·3，nn n1 2 n －2n － 1令 T n ＝ 1× 3 ＋ 4× 3 ＋ 7× 3 ＋ ＋ (3n －5) 3· ＋ (3n － 2) 3· .3T n ＝ 1×3 1＋4× 23n － 1n3 ＋ 7×3 ＋ ＋ (3n － 5) 3· ＋ (3n －2) 3·. 两式相减得n －1－ 1－ 2T n1 23n － 1n3 3 1＋ 3×3＋3×3 ＋3× 3 ＋ ＋3×3－ (3n － 2) 3·＝1＋ 3×－ (3n －＝3－1n －1 － 1n＝1＋ 9 3n2) ·32－ (3n －2) 3·，∴ T n 7 3n6n － 7n nn＝ 4＋4，故 S ＝ 4T ＝7＋ (6n － 7) ·3.20．已知圆 C ： x 2＋ y 2＋ 2x － 4y ＋ 3＝ 0.(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆 C 外一点 P(x 1，y 1)向该圆引一条切线， 切点为 M ，O 为坐标原点，且有 |PM |＝ |PO |， 求使得 |PM |获得最小值的点P 的坐标．解 (1)将圆 C 配方得： (x ＋ 1)2＋ (y － 2)2＝ 2.① 当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝ kx ，由直线与圆相切得： y ＝(2 ± 6)x.② 当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋ y － a ＝ 0，由直线与圆相切得： x ＋ y ＋ 1＝ 0 或 x ＋ y －3＝ 0.故切线方程为 y ＝ (2 ±6)x 或 x ＋ y ＋ 1＝ 0 或 x ＋y －3＝ 0.(2)由 |PO|＝ |PM |，得：2222－4y 1＋ 3＝ 0.即点 P 在直线 l ：2x － 4y ＋ 3＝ 0 上，当 |PM| x 1＋ y 1＝ (x 1＋ 1) ＋ (y 1－ 2) － 2? 2x 1 取最小值时即 |OP|获得最小值，直线 OP ⊥ l.∴ 直线 OP 的方程为： 2x ＋ y ＝ 0.2x ＋ y ＝ 0，解方程组2x － 4y ＋ 3＝ 0.33得 P 点坐标为 －10， 5 .21．已知函数 f(x)＝ x 3＋ ax 2＋ bx.(1) 若函数 y ＝ f(x)在 x ＝ 2 处有极值－ 6，求 y ＝f(x)的单一递减区间；(2) b 的取值范围．若 y ＝ f( x)的导数 f ′ (x)对 x ∈ [ － 1,1] 都有 f ′ (x)≤ 2，求 a － 1 解 (1)f ′ (x)＝3x 2 ＋2ax ＋ b ，f ′ 2 ＝0，12＋ 4a ＋ b ＝0， 依题意有即f 2 ＝－ 6， 8＋4a ＋ 2b ＝－ 6，a ＝－ 52，2解得∴ f ′ (x)＝ 3x － 5x － 2.b ＝－ 2.1由 f ′ (x)＜ 0，得－ 3＜ x ＜ 2.∴ y ＝ f(x)的单一递减区间是1－3，2 .f ′ －1 ＝3－ 2a ＋ b ≤ 2， 2a － b －1≥ 0，(2)由得 f ′ 1 ＝ 3＋2a ＋ b ≤2 2a ＋ b ＋ 1≤ 0.不等式组确立的平面地区如图暗影部分所示：2a － b － 1＝ 0， a ＝ 0，由得2a ＋ b ＋ 1＝ 0b ＝－ 1.∴ Q 点的坐标为 (0，－ 1)．设 z ＝ b，则 z 表示平面地区内的点 (a ， b)与点a －1P(1,0)连线的斜率．∵ k PQ ＝1，由图可知 z ≥ 1 或 z ＜－ 2，即 b∈ (－ ∞ ，－ 2) ∪[1，＋∞ )．a － 12222．如图，椭圆 C 0： x 2＋ y2＝1(a ＞ b ＞ 0，a ， b 为常数 )，动圆 C 1： x 2＋ y 2＝ t 12， b ＜ t 1＜ a.点a bA ，A 分别为 C 的左，右极点， C与 C 订交于 A ，B ， C ， D 四点．1 21(1)求直线 AA 1 与直线 A 2B 交点 M 的轨迹方程；(2)设动圆 C ：x 2＋ y 2＝ t 2与 C 订交于 A ′， B ′，C ′， D ′四点，此中 b ＜ t ＜ a ，t ≠ t .22 0 2 1 2若矩形 ABCD 与矩形 A ′ B ′C ′ D ′的面积相等，证明：22为定值．t 1＋ t 2 (1)解 设 A( x ， y )， B(x ，－ y )，1 1 1 1又知 A ( －a,0)， A (a,0)，1 2则直线 A 1A 的方程为 y ＝y 1①(x ＋ a)，x 1 ＋ a－ y 1直线 A 2B 的方程为 y ＝ ( x － a)．②x 1－ a2由 ①② 得 y 2＝ － y 1 (x 2－ a 2)．③22x 1－ a22由点 A(x 110 x 1＋ y 1＝ 1.， y )在椭圆 C上，故 a 2b 222 2x 1进而 y 1＝ b1－ a 2 ，x 2 y28＝4|x2||y2 |，2222故 x1y1＝ x2y2.因为点 A， A′均在椭圆上，222 2x1 2 2x2所以 b x11－a2＝ b x21－a2 .222222由 t1≠ t2，知 x1≠ x2，所以 x1＋ x2＝ a.进而 y1＋ y2＝ b，所以 t21＋ t22＝ a2＋ b2为定值．。

滚动过关检测三 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·河北保定模拟]已知P ＝{1,2,3}，Q ＝{y |y ＝2cos θ，θ∈R }，则P ∩Q ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3}2．[2022·广东清远一中月考]“cos α＝32”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知a ＝log 35，b ＝log 23，c ＝2－0.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．c <a <bD ．a <b <c4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 5．[2022·山东淄博模拟]函数f (x )＝(e x＋e －x)tan x 的部分图象大致为( )6．[2022·河北衡水中学模拟]已知cos θ－sin θ＝43，则θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．[2022·湖南株洲模拟]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若23a cos C －3b cos C ＝3c cosB ，则角C 的大小为( )A.π6B.π4 C.π3 D.2π38．[2022·皖南八校联考]已知函数f (x )＝(3a )x－x 3a(a >1)，当x ≥2e 时，f (x )≥0恒成立，则实数a 的取值范围为A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e 3，＋∞ C ．(1，e) D.⎝⎛⎦⎥⎤1，2e 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的有( )A ．终边在y 轴上的角的集合为θ⎪⎪⎪θ＝π2＋2k π，k ∈ZB ．已知3a ＝4b＝12，则1a ＋1b＝1C ．已知x ，y ∈R ＋，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值为8D ．已知幂函数f (x )＝kx a的图象过点(2,4)，则k ＋a ＝3 10．[2022·辽宁丹东模拟]已知a ，b ∈R ，且3a <3b<1，则( ) A ．a 2<b 2B ．ln|a |>ln|b |C.b a ＋ab>2 D ．a ＋b ＋2ab >011．[2022·河北石家庄一中月考]对于△ABC ，有如下判断，其中正确的判断是( ) A ．若cos A ＝cos B ，则△ABC 为等腰三角形B ．若△ABC 为锐角三角形，有A ＋B >π2，则sin A ＞cos BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形12．[2022·辽宁沈阳模拟]函数f (x )为定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝x [f (x )－f (2)]，则( )A ．函数h (x )＝f (x )cos x 为奇函数B ．f (x )的解析式可能是f (x )＝e x＋e －x－x 2C ．函数g (x )有且只有3个零点D ．不等式g (x )≤0的解集为[－2,2]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 14．[2022·湖北石首一中月考]在△ABC 中，已知sin A sin B sin C ＝357，则此三角形最大内角度数为________．15．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝________. 16．[2022·浙江杭州模拟]函数f (x )＝2x－x 2的零点个数为________，若函数f (x )＝a x －x 2(a >1)恰有两个零点，则a ＝________.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2022·北京海淀模拟]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求角A 的大小；(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求△ABC 的面积． 第①组条件：a ＝19，c ＝5； 第②组条件：cos C ＝13，c ＝42；第③组条件：AB 边上的高h ＝3，a ＝3.18．(12分)[2022·山东日照模拟]已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．19．(12分)[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝ b ； (2)若AD ＝2DC ，求cos∠ABC .20．(12分)已知：f (x )＝3sin(π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝1，a ＝2，求△ABC 面积的最大值．21.(12分)[2022·湖北九师联盟]已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－x ＋1. (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极值；(2)证明：有且只有两条直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切．22．(12分)[2022·广东茂名五校联考]已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax . (1)当a ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程；(2)若x 1，x 2(x 1<x 2)是函数f (x )的两个极值点，证明：f (x 1)－f (x 2)>ln a 28＋64－a 416a2.滚动过关检测三 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形1.答案：B解析：因为P ＝{1,2,3}，Q ＝{y |y ＝2cos θ，θ∈R }＝{y |－2≤y ≤2}，所以P ∩Q ＝{1,2}． 2．答案：A解析：由cos2α＝12可得2cos 2α－1＝12，解得：cos α＝±32，所以“cos α＝32”是“cos2α＝12”的充分不必要条件． 3．答案：C解析：因为1<log 35<log 3332＝1.5，log 23>log 2232＝1.5，所以a <b ，又因为c ＝2－0.3<20<1，故c <a <b .4．答案：B解析：∵f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2，A >0，∴A ＝2；∵f (x )最小正周期T ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12－π3＝π，∴ω＝2πT ＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－2π3(k ∈Z )， 又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.5．答案：D解析：因为f (x )＝(e x ＋e －x)tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，定义域关于原点对称，且f (－x )＝(e x＋e －x)tan(－x )＝－f (x )， 所以函数为奇函数，故排除C 选项， 当x ＝0时，f (0)＝0，故排除B 选项； 当x ＝1时，f (1)>0，故排除A. 6．答案：D解析：由cos θ－sin θ＝43，平方得：sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝169，则1－sin2θ＝169，即sin2θ＝－79<0，则2k π＋π<2θ<2k π＋32π或2k π＋32π<2θ<2k π＋2π，k ∈Z ，即有k π＋π2<θ<k π＋34π或k π＋34π<θ<k π＋π，k ∈Z ，当k 为偶数时，θ位于第二象限，sin θ>0，cos θ<0，cos θ－sin θ<0，不成立， 当k 为奇数时，θ位于第四象限，sin θ<0，cos θ>0，成立． ∴角θ的终边在第四象限． 7．答案：A解析：因为23a cos C －3b cos C ＝3c cos B ，所以23sin A cos C －3sin B cos C ＝3sin C cos B ，所以23sin A cos C ＝3sin(C ＋B )＝3sin A ，因为A ，C ∈(0，π)，所以sin A ≠0，cos C ＝32，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6.8．答案：D解析：f (x )≥0即(3a )x ≥x 3a ，则x ln(3a )≥3a ln x ，则ln3a 3a≥ln x x ，令g (x )＝ln x x (x ≥1)，g ′(x )＝1－ln xx2(x ≥1)，当x ∈(1，e)，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∵a >1，∴3a >3>e ，又g (3a )≥g (x )，∴3a ≤x (x ≥2e)恒成立，∴a ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，2e 3.9．答案：BD解析：终边在y 轴上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪θ＝π2＋k π，k ∈Z ，故选项A 不正确；因为3a ＝4b＝12，所以a ＝log 312，b ＝log 412，则1a ＋1b＝log 123＋log 124＝log 1212＝1，故选项B 正确；因为x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y≥5＋2y x ·4xy＝9，当且仅当y ＝2x ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为9，故选项C 不正确；因为幂函数f (x )＝kx a的图象过点(2,4)，所以k ＝1,2a＝4，即a ＝2，所以k ＋a ＝3，故选项D 正确．10．答案：BC解析：已知a ，b ∈R ，且3a<3b<1，所以a <b <0，对于A 选项，a 2>b 2，故错误；对于B 选项，|a |>|b |，y ＝ln x 为增函数，所以ln|a |>ln|b |，故正确；对于C 选项，b a ，a b 均为正数，且不相等，所以b a ＋a b>2，故正确；对于D 选项，a ＋b ＝－(－a －b )<－2－a－b，所以a ＋b ＋2ab ＜0，故错误．11．答案：ABD解析：若cos A ＝cos B ，则b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22ac，整理得：a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形，故A 正确；若△ABC为锐角三角形，有A ＋B >π2，整理得A >π2－B ，故sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则sin A ＞cos B ，故B 正确；由于a ＝8，c ＝10，B ＝60°，利用余弦定理求出b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝221，故△ABC 唯一，故C 错误；sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，利用正弦定理：a 2＋b 2＜c 2，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故△ABC 是钝角三角形，故D 正确．12．答案：BC解析：对A ，因为y ＝cos x 是偶函数，且f (x )为定义在R 上的偶函数，所以h (x )＝f (x )cos x 为偶函数，故A 错误；对B ，f (x )＝e x＋e －x－x 2，f (－x )＝e －x＋e x －x 2＝f (x )，则此函数满足f (x )是偶函数，f ′(x )＝e x －e －x－2x ，f ″(x )＝e x ＋e －x －2≥2－2＝0，所以f ′(x )为R 上的增函数，在[0，＋∞)上，f ′(x )≥f ′(0)＝0，所以此函数也满足在[0，＋∞)上单调递增，故B 正确；对C ，设函数h (x )＝f (x )－f (2)，h (2)＝f (2)－f (2)＝0＝h (－2)，所以h (x )在R 上有且只有两个零点，当x ＝0时，g (0)＝0，所以g (x )＝x [f (x )－f (2)]在R 上有且只有三个零点，故C 正确；对D ，因为x [f (x )－f (2)]≤0，所以当x <0时，f (x )－f (2)≥0，则x ≤－2；当x ≥0时，f (x )－f (2)≤0，即f (x )≤f (2)，可得0≤x ≤2，故x [f (x )－f (2)]≤0的解集为(－∞，－2]∪[0,2]，故D 错误．13．答案：12解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ()－1＝12.14．答案：120°解析：在△ABC 中，利用正弦定理可得：a b c ＝357，∴△ABC 的最大内角为∠C ，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 230k 2＝－12， ∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝120°. 15．答案：－119解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝13，∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝89，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－13.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝－13－89＝－119.16．答案：3 e 2e解析：函数f (x )＝2x －x 2的零点个数，即y ＝2x 与y ＝x 2两个函数图象的交点个数，根据指数函数与二次函数的图象，当x ≤0时，y ＝2x 单调递增，值域为(0,1]，而y ＝x 2单调递减，值域为[0，＋∞)，两个函数图象有一个交点；当x >0时，f (2)＝22－22＝0，f (4)＝24－42＝0，函数f (x )有两个零点； 综上，函数f (x )＝2x －x 2的零点个数为3个．函数f (x )＝a x －x 2(a >1)恰有两个零点，等价于y ＝a x (a >1)与y ＝x 2两个函数图象恰有两个交点． 因为指数函数y ＝a x (a >1)图象与抛物线y ＝x 2在(－∞，0]上有且只有一个交点， 即函数f (x )＝a x －x 2(a >1)在(－∞，0]上有且只有一个零点， 所以问题转化为：当x >0时，f (x )＝0，即a x＝x 2有且只有一个实根，方程两边取对数，可得x ln a ＝2ln x ，从而问题等价于该方程有且只有一个实根， 即直线y ＝x ln a 与曲线y ＝2ln x 有且只有一个公共点， 所以直线y ＝x ln a 为曲线y ＝2ln x 的切线，设切点为(m,2ln m )，由y ′＝2x ，则切线的斜率为2m＝ln a ，又切点(m,2ln m )在切线y ＝x ln a 上，则2ln m ＝m ln a ， 联立求解得a ＝e 2e.17．解析：(1)由a sin B ＝3b cos A ⇒sin A sin B ＝3sin B cos A ，因为sin B ≠0，化简得tan A ＝3，A ＝π3.(2)若选①，则a ＝19，c ＝5，A ＝π3，由余弦定理可得2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2，代入数据化简得b ＝2或3，根据大边对大角原则判断，b ＝2或3都成立，故选①不成立；若选②，则cos C ＝13，c ＝42，A ＝π3，求得sin C ＝223，由正弦定理可得a sin A ＝csin C ，解得a ＝33，由sin B＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝3＋226， 因为A ＝π3，cos C ＝13，C 唯一，则B 唯一，三角形存在且唯一确定，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×33×42×3＋226＝32＋43；若选③，由AB 边上的高h ＝3可得sin A ＝hb，解得b ＝2，又a ＝3，由余弦定理可得2bc cos A ＝b 2＋c 2－a 2，代值化简得c ＝1＋6或1－6(舍去)，三角形存在且唯一确定，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.18．解析：(1)由图可知，函数f (x )图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，故cos φ＝32， 由于0＜φ＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，令πx ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k －16(k ∈Z )，令k ＝1，得x ＝56，由图可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32与⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，32关于直线x ＝56对称，所以0＋x 02＝56，解得x 0＝53. (2)g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sinπx＝cosπx cos π6－sinπx sin π6－sinπx＝－32sinπx ＋32cosπx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋5π6，由－12≤x ≤13得－π2≤πx ≤π3，π3≤πx ＋5π6≤7π6，所以g (x )的最大值为3sinπ2＝3，最小值为3sin 7π6＝－32. 19．解析：(1)由题设，BD ＝a sin C sin∠ABC ，由正弦定理知：c sin C ＝b sin∠ABC ，即sin C sin∠ABC ＝cb，∴BD ＝acb，又b 2＝ac ， ∴BD ＝b ，得证．(2)由题意知：BD ＝b ，AD ＝2b 3，DC ＝b 3， ∴cos∠ADB ＝b 2＋4b 29－c 22b ·2b 3＝13b 29－c 24b 23，同理cos∠CDB ＝b 2＋b 29－a 22b ·b 3＝10b 29－a22b 23， ∵∠ADB ＝π－∠CDB ，∴13b 29－c 24b 23＝a 2－10b 292b 23，整理得2a 2＋c 2＝11b 23，又b 2＝ac ， ∴2a 2＋b 4a 2＝11b 23，整理得6a 4－11a 2b 2＋3b 4＝0，解得a 2b 2＝13或a 2b 2＝32，由余弦定理知：cos∠ABC ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝43－a 22b2，当a 2b 2＝13时，cos∠ABC ＝76>1不合题意；当a 2b 2＝32时，cos∠ABC ＝712； 综上，cos∠ABC ＝712.20．解析：(1)因为f (x )＝3sin(π＋x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12，所以f (x )＝3(－sin x )(－cos x )＋sin 2x －12＝32sin2x ＋1－cos2x 2－12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )；(2)因为f (A )＝1，所以f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，在三角形ABC 中，利用余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－42bc ＝12，整理得：b 2＋c 2－4＝bc ，又因为b 2＋c 2≥2bc ，所以b 2＋c 2－4≥2bc －4，即bc ≥2bc －4， 所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时等号成立，S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ，所以S △ABC ≤3，当且仅当a ＝b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值 3.21．解析：(1)h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋x －1的定义域为(0，＋∞)， 且h ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x＝－x －12x ＋1x.当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以x ＝1是h (x )的极大值点， 故h (x )的极大值为h (1)＝－1，没有极小值.(2)证明：设直线l 分别切f (x )，g (x )的图象于点(x 1，ln x 1)，(x 2，x 22－x 2＋1)， 由f ′(x )＝1x ，得l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即l ：y ＝1x 1·x ＋ln x 1－1；由g ′(x )＝2x －1，得l 的方程为y －(x 22－x 2＋1)＝(2x 2－1)(x －x 2)， 即l ：y ＝(2x 2－1)x －x 22＋1. 比较l 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝2x 2－1ln x 1－1＝－x 22＋1，消去x 2，得ln x 1＋1＋x 124x 21－2＝0.令F (x )＝ln x ＋1＋x24x2－2(x >0)，则F ′(x )＝1x －1＋x2x3＝2x ＋1x －12x3.当0<x <1时，F ′(x )<0；当x >1时，F ′(x )>0，所以F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以F (x )min ＝F (1)＝－1<0.因为F (e 2)>ln(e 2)－2＝0，所以F (x )在(1，＋∞)上有一个零点；由F (x )＝ln x ＋12x ＋14x 2－74，得F (e －2)＝－2＋e 22＋e 44－74＝e 2－42＋e 4－74>0，所以F (x )在(0,1)上有一个零点． 所以F (x )在(0，＋∞)上有两个零点，故有且只有两条直线与函数f (x )，g (x )的图象都相切． 22．解析：(1)a ＝3时，f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，f (1)＝－2， 所以切点坐标为P (1，－2)．f ′(x )＝1x＋2x －3，f ′(1)＝0，于是所求切线的斜率k ＝0. 又因为所求切线过点P (1，－2)，所以曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝－2. (2)f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x，∵x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点， ∴x 1，x 2是函数f ′(x )两个大于0的零点， ∴x 1，x 2是方程2x 2－ax ＋1＝0的两个不同正解，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝a2 ①x 1x 2＝12 ②，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0Δ＝a 2－8>0⇒a >2 2.由①，②可得x 1－x 2＝x 1－12x 1，x 1＋x 2－a ＝x 1＋x 2－2(x 1＋x 2)＝－(x 1＋x 2)＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 1， 所以f (x 1)－f (x 2)＝ln x 1＋x 21－ax 1－ln x 2－x 22＋ax 2＝ln x 1x 2＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2－a )＝ln(2x 21)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－12x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 1＝ln(2x 21)－⎝⎛⎭⎪⎫x 21－14x 21＝ln(2x 21)＋1－4x 414x 21. 又∵x 1<x 2且x 1＋x 2＝a 2，∴0<x 1<a4.令2x 21＝t ⎝⎛⎭⎪⎫0<t <a 28，则f (x 1)－f (x 2)＝ln t ＋1－t 22t . 构造函数h (t )＝ln t ＋1－t 22t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t <a 28，h ′(t )＝1t －1＋t 22t 2＝－t －122t2≤0，∴h (t )是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 28上的减函数．∴h (t )>h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 28，且t →a 28时，h (t )→h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 28，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 28＝ln a 28＋64－a 416a 2，∴f (x 1)－f (x 2)>ln a 28＋64－a 416a2.。

高考数学二轮复习考前三个月冲刺穿插转动练习理（三）新人教 A 版内容：不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、推理与证明一、选择题1．设会合 A＝ { x|x＝ 3k＋ 1，k∈ N } ， B＝ { x|x≤ 7， x∈ Q} ，则 A∩ B 等于()A ． {1,3,5}B ． {1,4,7}C．{4,7} D ．{3,5}答案B分析当 k＝ 0 时， x＝ 1；当 k＝ 1时， x＝ 4；当 k＝2 时， x＝7， A＝{1,4,7} ．应选 B. 2．函数 f(x)＝a x＋ log a x 在区间 [1,2] 上的最大值与最小值之和为－1，最大值与最小值之积为－3，则 a 的值为4 8()11A. 2B.3C．2 D ．3答案A分析a x与 log a x 拥有同样的单一性，最大值与最小值在区间的端点处获得，f(1)＋ f(2) 131＝－4， f(1) f(2)·＝－8，解得 a＝2.3．在数列 { a } 中， a ＝ 1， a－ a ＝ n(n∈ N)，则 a100的值为()n1n＋ 1n*A．5 050B．5 051C．4 950 D ．4 951答案D分析因为 a2－ a1＝ 1， a3－ a2＝ 2， a4－ a3＝3，，a n－ a n－1＝ n－ 1，以上各式相加得n n－ 1n1，a－ a ＝ 1＋ 2＋ 3＋＋( n－ 1)＝2即 a n＝n n－ 1＋ 1，2所以 a100× 99＝＋ 1＝4 951，应选 D.10024．已知 { a } 为等差数列，其公差为－2，且 a是 a 与 a的等比中项， S 为 { a } 的前 n 项和，n739n n n∈ N*，则 S10的值为()A ．－ 110B．－ 90C．90 D ．110答案D分析 ∵ a 3 1 1 71 1 91 1 7 3＝ a ＋ 2d ＝ a － 4， a ＝ a ＋ 6d ＝ a － 12， a ＝ a ＋ 8d ＝ a － 16，又 ∵ a 是 a与 a 9 的等比中项， ∴ (a 1－ 12)2＝ (a 1－ 4) ·(a 1－ 16)，解得 a 1＝ 20.1∴ S 10＝ 10× 20＋ 2× 10×9× (－ 2)＝ 110.x ≥ 1，5．实数 x ，y 知足 y ≤ a ， a>1 ， 若目标函数 z ＝x ＋ y 获得最大值 4，则实数 a 的值为 ( ) x － y ≤0，3 A ．4 B ． 3C ． 2D.2答案 C分析画出可行域得直线 y ＝－ x ＋ z 过(a ， a)点时获得最大值，即 2a ＝ 4，a ＝ 2.6． 若函数 f(x)＝ sin ωx＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为 π，则它的图象的一个对称中心为 ()π B. πA.－，0， 0 8 8 π D. πC.－ ，0 ， 04 4答案 A分析π 2π 2πf(x)＝ sin ωx＋cos ωx＝ 2sin(ωx＋ )，这个函数的最小正周期是ω ，令ω ＝π，解4ππ得 ω＝ 2，故函数 f(x) ＝sin ωx＋ cos ωx＝ 2sin(2x ＋ 4)，把选项代入查验得点 －8， 0 为 其一个对称中心．7． 已知函数 f(x)＝ ax －1P ，且点 P 在直线 mx ＋ ny －1＝＋ 3(a>0 且 a ≠ 1)的图象过一个定点1＋4的最小值是()0(m>0，且 n>0)上，则 m nA ．12B ．16C ．25D ．24答案 C分析由题意知，点P(1,4)，所以 m ＋ 4n － 1＝ 0，故 14m ＋ 4n 4 m ＋ 4n4nm＋n4m4n 4mm ＋ n ＝＝ 17＋ m＋ n ≥ 25，当且仅当 m ＝ n ，即 m ＝ n 时， “ ＝ ”建立，所以所求最小值为25.8． 已知函数 f(x)是 ( －∞，＋∞ )上的偶函数，且 f(5＋ x)＝ f(5－ x)，在 [0,5] 上只有 f(1) ＝ 0，则 f(x) 在[ － 2 012,2 012] 上的零点个数为()A ．804B ．805C ．806D ．808答案C分析f(5＋ x)＝ f(5－ x)＝ f(x － 5)，故 f(x)是周期为 10 的偶函数，且f(9)＝ f(1)＝ 0， f( x)在 [0,2 010] 上有 402 个零点， f(2 011)＝ f(1)＝ 0，故 f(x) 在[0,2 012] 上有 403 个零点，又f(x)是偶函数，故 f(x)在 [－ 2 012,2 012] 上共有 806 个零点．9．已知数列 { a n} 知足 a1＝2，且对随意的正整数m，n，都有 a m＋n＝ a m·a n，若数列 { a n} 的前3n 项和为 S ，则 S 等于() n n2 －2)nA ． 2－ ( )n 1B．2－ (33n n＋122C．2－3n＋1 D ．2－3n答案D分析令 m＝ 1，得 a n＋1n＋122 1 n a1n1＝ a ·a ，即a n＝ a ＝3，可知数列 { a } 是首项为a＝3，公比2 2 nn＋ 1× 1－2n3232为 q＝3的等比数列，于是S＝＝ 2－3n .1－3x－1|() 10．已知 g(x)＝ log a|x＋ 1|(a>0 且 a≠ 1)在 (－ 1,0)上有 g(x)>0 ，则 f( x)＝ aA ．在 (－∞， 0)上是递加的B．在 (－∞， 0)上是递减的C．在 (－∞，－ 1) 上是递加的D．在 (－∞，－ 1)上是递减的答案C分析∵ x∈ (－ 1,0)，∴x＋ 1∈ (0,1)．由 g(x)>0 知 0< a<1.又 y＝ |x＋ 1|在( －∞，－ 1)上递减，所以 f(x)在 (－∞，－ 1)上是递加的，选 C.11．在同一坐标系中画出函数ax， y＝x＋ a 的图象，可能正确的选项是() y＝ log x， y＝a答案D分析y＝ x＋ a 在 B， C， D 三个选项中对应的a>1，只有选项 D 的图象正确．12．已知函数 y＝ f(x)是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数，当 x∈ 0，3时， f(x)＝ ln( x2－ x2＋ 1)，则函数 f(x)在区间 [0,6] 上的零点个数为()A ． 3B ． 5C． 7 D ．9答案C33分析当 x ∈ － 2， 0 时，－ x ∈ 0， 2 ， f(x)＝－ f( － x)＝－ ln( x 2＋ x ＋ 1)；则 f(x)在区间 33 33 9 － 2，2 上有 3 个零点 (在区间0，2 上有 2 个零点 )．依据函数周期性， 可得 f(x)在 2， 2上也有 3 个零点，在 9， 6 上有 2 个零点．故函数 f(x) 在区间 [0,6] 上一共有7 个零点．2二、填空题13．已知点 A(m ，n)在直线 x ＋2y － 1＝ 0 上，则 2m ＋ 4n 的最小值为 ________．答案 2 2分析因为点 A(m ， n) 在直线x ＋ 2y － 1＝ 0 上，所以有 m ＋ 2n ＝ 1； 2m ＋ 4n ＝ 2m＋22n≥ 2 2m·22n＝ 2 2m ＋2 n＝ 2 2，当且仅当 m ＝ 2n 时 “ ＝ ”建立．14．若函数 f(x)＝ sin(x ＋α)－ 2cos(x －α)是奇函数，则 sin α·cos α＝ ________.答案 251分析∵ f(x)是奇函数， ∴ f(0)＝ 0，则 sin α＝ 2cos α，tan α＝ 2，由 1＋ tan 2α＝，得2α1 2coscos 2α＝5， ∴ sin α·cos α＝ 2cos 2 α＝ 5.15．已知经过计算和考证有以下正确的不等式：3＋ 17<2 10， 7.5＋ 12.5<2 10 ，8＋ 2＋ 12－ 2<2 10，依据以上不等式的规律，请写出一个对正实数 m ， n 都成立的条件不等式 ________．答案 若 m>0 ， n>0，则当 m ＋ n ＝ 20 时，有 m ＋ n<2 10分析察看所给不等式能够发现：不等式左侧两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右侧都是 2 10，所以对正实数 m ，n 都建立的条件不等式是若 m>0，n>0，则当 m＋ n ＝ 20 时，有 m ＋ n<2 10.16．在△ ABC 中，角 A ，B ， C 所对应的边分别为 a ， b ， c 且 c ＝ 3， a ＝2， a ＝ 2bsin A ，则△ ABC 的面积为 ________．答案32分析由题意知， bsin A ＝ 1，又由正弦定理得： bsin A ＝ 2sin B ，故解得 sin B ＝12，所以△ ABC 的面积为1 3 acsin B ＝ .22三、解答题2π2x17．设函数 f(x)＝ cos x ＋ 3 ＋ 2cos 2， x ∈ R.(1)求 f(x)的值域；(2)记△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、b 、 c ，若 f(B)＝1， b ＝ 1，c ＝ 3，求a 的值． 解(1)f(x)＝ cos xcos2π2π3 － sin xsin 3 ＋ cos x ＋ 11 3＝－ 2cos x － 2 sin x ＋ cos x ＋ 11 3＝ 2cos x － 2 sin x ＋ 15π＝ sin x ＋ 6 ＋1，所以 f(x)的值域为 [0,2] ．5π(2)由 f(B)＝ 1 得 sin B ＋ 6 ＋ 1＝ 1，5π 即 sin B ＋ 6 ＝ 0，又因 0<B<π，π故 B ＝6.方法一由余弦定理 b 2＝ a 2＋ c 2－ 2accos B ，得 a 2－ 3a ＋ 2＝ 0，解得 a ＝ 1 或 2.方法二由正弦定理 sin b B ＝sin cC ，得3 π 2πsin C ＝ 2 ， C ＝ 3或 3 .π π 当 C ＝ 3时， A ＝ 2，进而 a ＝ b 2＋ c 2＝ 2；2π π当 C ＝ 3 时， A ＝6， π又 B ＝6，进而 a ＝ b ＝ 1. 故 a 的值为 1 或 2.18．已知函数f(x)＝ 7x ＋ 5，数列 { a n } 知足： 2a n ＋1 － 2a n ＋ a n ＋ 1a n ＝ 0 且 a n ≠0.数列 { b n } 中，b 1 x ＋ 1＝ f(0) 且 b n ＝ f(a n － 1)．1(1)求证：数列 是等差数列；(2)求数列 {| b n |} 的前 n 项和 T n .(1)证明由 2a n ＋ 1－ 2a n ＋ a n ＋1a n ＝0 得 1－ 1 ＝1，n所以数列 1是等差数列．a n(2)解因为 b 1＝ f(0) ＝ 5，7 a 1－ 1 ＋5所以 ＝ 5，a 1－ 1＋1 7a － 2＝ 5a ，所以 a ＝ 1，111112an＝ 1＋ (n － 1)×2，所以 a ＝.nn ＋ 17a n － 2b n ＝＝ 7－ (n ＋ 1)＝ 6－n.a n当 n ≤6 时， T n ＝n(5 ＋6－ n)＝ n 11－ n ；2 2n － 6当 n ≥7 时， T n ＝15＋ 2 (1＋n － 6)n 2－ 11n ＋ 60＝.2n 11－ n2， n ≤ 6，所以， T n ＝n 2－11n ＋ 602 ， n ≥7.19．已知向量 m ＝ ( 3sinx， 1)，n ＝ (cos x， cos 2x)．记 f(x)＝ m ·n.4 4 432π(1)若 f(α)＝ 2，求 cos( 3 － α) 的值；(2)在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，且知足 (2a － c)cos B ＝ bcos C ，若f(A)＝1＋ 3，试判断△ ABC 的形状．2解 f(x)＝x x 2x3 x 1x 1x π 1 3sin 4cos4＋ cos 4＝ 2 sin 2＋ 2cos 2＋ 2＝ sin( 2＋ 6)＋ 2.3α π 1 3(1)由已知 f(α)＝2得 sin( 2＋ 6)＋ 2＝2，α π π2π 于是 2＋ 6＝2k π＋ 2， k ∈ Z ，即 α＝4k π＋3 ，k ∈Z ，∴ cos(2π2π 2π3 － α)＝ cos( 3 － 4k π－ 3 )＝ 1.(2)依据正弦定理知：(2a － c)cos B ＝ bcos C? (2sin A － sin C)cos B ＝sin Bcos C? 2sin Acos B ＝ sin(B ＋ C)＝sin1 π A? cos B ＝ 2? B ＝ 3，1＋ 3∵ f(A)＝ ，2A π 11＋3A π π 2ππ 2π ∴ sin( ＋ 6 )＋ ＝? 2 ＋ 6＝ 或? A ＝ 或 π，而 0<A<3，22 2333π所以 A ＝ 3，所以 △ ABC 为等边三角形．20．为保增添、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得悉，甲项目每投资百万元需要配套电能 2 万千瓦，可供给就业岗位 24 个，增添 GDP260 万元；乙项目每项投资百万元需要配套电能4 万千瓦，可供给就业岗位32 个，增添 GDP200 万元，已知该地为甲、乙两项目最多可投资 3 000 万元，配套电能100 万千瓦，并要求它们供给的就业岗位许多于 800 个，怎样安排甲、乙两项目的投资额，增添的GDP 最大？解 设甲项目投资 x(单位：百万元 )，乙项目投资 y(单位：百万元 )，两项目增添的 GDP为 z ＝ 260x ＋ 200y ，依题意， x 、 y 知足x ＋ y ≤30，2x ＋4y ≤ 100，24x ＋32y ≥ 800，x ≥ 0，y ≥ 0，所确立的平面地区如图中暗影部分，x ＋ y ＝30，x ＝ 10，解得即 A(10,20)．2x ＋ 4y ＝ 100， y ＝ 20，x ＋ y ＝30， x ＝ 20，解得即 B(20,10)．24x ＋ 32y ＝ 800，y ＝10，设 z ＝ 0，得 y ＝－ 1.3x ，将直线 y ＝－ 1.3x 平移至经过点 B(20,10) ，即甲项目投资 2 000万元，乙项目投资1 000 万元时，两项目增添的GDP 最大． 21．已知函数 f(x)＝－ 2x ＋ n123n － 14，令 S ＝ f(n )＋ f(n )＋ f(n )＋ ＋ f(n )＋f(1) ．(1)求 S n ；a n(2)设 b n ＝(a ∈ R) 且 b n <b n ＋1 对全部正整数 n 恒建立，求a 的取值范围．S n解 (1)方法一因为 f(x)＋ f(1－ x)＝ 6，12n － 1S n ＝ f(n )＋ f(n )＋ ＋ f( n )＋ f(1) ，∴ 2S n ＝ f 1＋ f n －1＋ f 2 ＋f n － 2 ＋ ＋ f n － 1 ＋ f 1 ＋2f(1)＝ 6n －2.n n nn nn即 S n ＝ 3n － 1.方法二 1 2n － 1S n ＝ f( )＋ f( )＋ ＋ f(n)＋ f(1)nn1 2n － 1 n＝－ 2(n ＋ n ＋ ＋ n ＋ n )＋ 4n ＝3n － 1.a n n ＋11 aa)<0(*) ，(2)由 <，得： a n ( －n3n － 13n ＋2S S n ＋1高考数学二轮复习考前三个月冲刺穿插转动练习理(三)新人教A 版明显 a ≠ 0.① 当 a<0 时，则 1 － a，>03n － 1 3n ＋ 2∴ 由 (*) 式得 a n <0.但当 n 为偶数时， a n >0，矛盾，所以 a<0 不合题意；② 当 a>0 时，因为 a n >0 恒建立，由 a n ( 1 － a)<0 ，3n － 1 3n ＋ 23n ＋ 2 3得 a>＝ 1＋，3n － 13n － 135当 n ＝1 时， 1＋ 3n － 1取最大值 2，5 故 a>2.5综上所述， a 的取值范围为 (2，＋ ∞ )．a22．已知函数f(x)＝ ln x － x .(1)当 a>0 时，判断 f(x)在定义域上的单一性；3(2)f(x)在 [1， e]上的最小值为 2，务实数 a 的值；(3)试务实数 a 的取值范围，使得在区间(1，＋∞ )上函数 y ＝ x 2 的图象恒在函数 y ＝ f( x)图象的上方．解 (1)f ′ (x)＝1x ＋ x a 2＝ x 2 (x>0) ，x ＋a当 a>0 时， f ′ (x)>0 恒建立，故 f(x) 在(0 ，＋ ∞ )上是单一递加函数．(2)由 f ′(x)＝0 得 x ＝－ a ，① 当 a ≥ － 1 时， f ′(x)≥ 0 在 [1， e]上恒建立， f( x)在 [1， e]上为增函数．33f(x)min ＝ f(1) ＝－ a ＝ 2得 a ＝－ 2(舍 )．② 当 a ≤ － e 时， f ′ (x)≤ 0 在 [1， e]上恒建立， f(x)在 [1， e]上为减函数．a 3e则 f(x) min ＝f(e)＝ 1－ e ＝ 2得 a ＝－ 2(舍 )．③ 当－ e<a<－ 1 时，由 f ′ (x)＝ 0 得 x 0＝－ a.当 1<x<x 0 时， f ′ (x)<0 ， f(x)在 (1， x 0)上为减函数；当 x 0<x<e 时， f ′( x)>0 ，f(x)在 (x 0，e)上为增函数．3∴ f(x)min ＝ f(－ a)＝ ln( －a)＋ 1＝ 2，得 a ＝－ e. 综上知： a ＝－ e.a(3)由题意得： x 2>ln x － x 在 (1，＋ ∞) 上恒建立，高考数学二轮复习考前三个月冲刺穿插转动练习理(三)新人教A版即 a>xln x－ x3在 (1，＋∞ )上恒建立．设 g(x)＝ xln x－ x3(x>1) ，则g′ (x)＝ ln x－ 3x2＋ 1.令 h(x)＝ ln x－ 3x2＋ 1，则1h′ (x)＝x－ 6x.当 x>1 时， h′ (x)<0 恒建立．∴h(x)＝ g′ (x)＝ ln x－ 3x2＋ 1 在(1，＋∞ )上为减函数，则 g′ (x)<g′(1) ＝－ 2<0.所以 g(x)在 (1，＋∞ )上为减函数，∴g(x)<g(1)< － 1，故 a≥ － 1.。

冲刺2024年高考数学真题重组卷真题重组卷03（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ）A ．i-B ．iC ．0D ．12.（2023全国乙卷数学（理））设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N⋃ð3.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（ ）A B C D 4.（2023•乙卷（文））正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则(EC ED ⋅= )A B ．3C ．D ．55.（2023•新高考Ⅰ）设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，2]-B ．[2-，0)C ．(0，2]D ．[2，)+∞6．（2023全国乙卷数学（文））已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（ ）A ．－1B ．12-C ．0D ．127.（2023全国乙卷数学（文））已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．1+D ．78.（2023全国乙卷数学(理)）已知圆锥PO O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB ）A ．πB C ．3πD ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

解答题滚动练21.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人.将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？(2)若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列与期望. 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).解 (1)由题意可得列联表如下：假设网购迷与年龄不超过40岁没有关系，则K 2＝100×(20×30－45×5)265×35×25×75≈3.297＞2.706.所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关. (2)由频数分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2， P (ξ＝0)＝C 220C 225＝1930，P (ξ＝1)＝C 120C 15C 225＝13，P (ξ＝2)＝C 25C 225＝130，所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×1930＋1×13＋2×130＝25.2.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.(1)证明 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz .由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，N (1，0，2)，M (2，1，2)，则BC 1＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)，NM →＝(1，1，0)，NP →＝(－1，0，λ－2).当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，因为BC 1＝(－2，0，2)，所以BC 1＝2FP →， 即BC 1∥FP ，又FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1). 设平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)， 由⎩⎪⎨⎪⎧NM →·m ＝0，NP →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0，－x ′＋(λ－2)z ′＝0， 于是可取m ＝(λ－2，2－λ，1).若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，显然满足0＜λ＜2.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝9，且a n ＝a n －1＋λn －1(n ≥2). (1)求λ的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，求S 2n . 解 (1)∵a 1＝1，a n ＝a n －1＋λn －1，∴a 2＝2λ，a 3＝5λ－1，由a 3＝5λ－1＝9，得λ＝2，于是a n ＝a n －1＋2n －1，即a n －a n －1＝2n －1，a n －1－a n －2＝2n －3， a n －2－a n －3＝2n －5，…，a 2－a 1＝3，n ＞3. 以上各式累加得a n ＝1＋(n －1)(2n ＋2)2＝n 2，n ＞3.经验证知，a 1，a 2，a 3也满足a n ＝n 2，故a n ＝n 2(n ∈N *).(2)由(1)得b n ＝(－1)n ·(a n ＋n )＝(－1)n ·n (n ＋1)，故S 2n ＝－1×2＋2×3－3×4＋4×5－5×6＋6×7－…－(2n －1)·2n ＋2n ·(2n ＋1)＝2(－1＋3)＋4(－3＋5)＋6(－5＋7)＋…＋2n (－2n ＋1＋2n ＋1) ＝2(2＋4＋6＋…＋2n )＝2·n (2n ＋2)2＝2n 2＋2n .4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F 1(－3，0)，M (1，y )(y ＞0)为椭圆上的一点，△MOF 1的面积为34.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点T 在圆x 2＋y 2＝1上，是否存在过点A (2，0)的直线l 交椭圆C 于点B ，使OT →＝55(OA→＋OB →)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的一个焦点为F 1(－3，0)知c ＝3， 即a 2－b 2＝3.①又因为△MOF 1的面积为34，即12×3×y ＝34，求得y ＝32，则M ⎝⎛⎭⎫1，32，代入椭圆方程，得1a 2＋34b 2＝1.②由①②解得a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在过点A (2，0)的直线l 符合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在， 于是可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －2)，得(1＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－4＝0.(*)解得x B ＝8k 2－21＋4k 2，所以y B ＝－4k1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－21＋4k 2，－4k 1＋4k 2. 所以OA →＋OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 21＋4k 2，－4k 1＋4k 2， 即OT →＝55⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 21＋4k 2，－4k 1＋4k 2. 因为点T 在圆x 2＋y 2＝1上，所以15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 22＝1，化简得176k 4－24k 2－5＝0，解得k 2＝14，所以k ＝±12.经检验知，此时(*)对应的判别式Δ＞0，满足题意. 故存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±12(x －2).。