6.3 二元一次方程组的应用

6.3二元一次方程组的应用数学备课组主备人贾桂敏教学目标1.能够列方程解决实际问题；掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；2.掌握解二元一次方程组的一般步骤.进一步运用二元一次方程组解决实际问题. 教学重点：让学生经历和体验把实际问题转化为二元一次方程组的过程，用二元一次方程组解决实际问题．教学难点：如何根据实际问题列出相应的方程；正确的去分母．教学过程（一）创设情境，引入新课（多媒体素材图片引入）前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法一主要是要估算的运用，而方法二是方程思想的应用.（二）合作交流，探索新知请利用方程解决上面问题：学生活动设计：对于问题1：学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程．教师活动设计：由于已经有了列方程解决实际问题的经验，所有可以让学生自主探究，寻找解决问题的思路，在解决问题的过程中可能产生不同的形式，此时可以分析不同方法中异同，让学生比较不同方法间的简单程度，进而引导学生在解决问题的过程中尽量采用简单的方法解决问题．分步到位，渗透模型化的思想.规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯. 通过两种方法的比较分析，加深对方程组的认识.活动1学生活动设计：找出题中存在的两个等量关系，然后设出未知数、列出方程组.教师活动设计：出示问题题一方面及时巩固用方程组解决实际问题的过程，另一方面让学生感受数学文化。

活动2：通过以上解方程的过程，你能总结出列二元一次方程组解应用题的一般步骤吗？学生活动设计：学生通过观察思考，总结出解方程的一般步骤：①设未知数．②找相等关系．③列方程组．④检验并作答．教师活动设计：让学生充分发表自己的看法，然后在总结时进行必要的补充和说明．活动3：根据上述总结，请解下列问题：请说明理由.学生活动设计：先让学生在下面思考等量关系，然后找两名同学黑板进行板演，其余学生独立完成，完成后根据黑板上的解法进行交流和总结，发现问题，寻找问题出现的原因，分析原因．教师活动设计：分析解决问题的过程，让学生自主发现问题所在，从而培养学生的严谨的精神．学生活动设计：学生自主探索，合作交流，整理思路：学生经讨论后发现列方程组求解较为方便.教师活动设计：引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路.（1）设未知数.（2）找相等关系.（3）列方程组.（4）检验并作答.学生活动设计：学生自主探索，合作交流，整理思路：学生经讨论后发现列方程组求解较为方便.教师活动：巡视、指导，师生共同讲评.（三）应用新知，体验成功利用多媒体素材中的“练习”进行教学.（四）课堂小结，体验收获（PPT显示）这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）列二元一次方程组解实际应用问题的方法与步骤共性意见：只做练习的基础练习，拓展与提升留课下作业.个性意见：针对我的学生应再加两个扩展提升题。

冀教版数学七年级下册6.3《二元一次方程组的应用》教学设计1一. 教材分析冀教版数学七年级下册6.3《二元一次方程组的应用》是学生在学习了二元一次方程组的基础知识后，对实际问题进行分析，建立方程组，求解问题的一种应用。

通过本节课的学习，学生能够掌握二元一次方程组在实际问题中的应用，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习了二元一次方程组的基础知识后，对解二元一次方程组有了初步的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为方程组，对如何运用方程组求解实际问题还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为方程组，并通过实例让学生了解方程组在实际问题中的应用。

三. 教学目标1.理解二元一次方程组的应用，能够将实际问题转化为方程组。

2.掌握解二元一次方程组的方法，能够熟练运用方程组解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：二元一次方程组的应用，如何将实际问题转化为方程组。

2.教学难点：如何引导学生发现实际问题中的相等关系，建立方程组。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例引导学生发现实际问题中的相等关系，建立方程组，并求解问题。

同时，采用小组合作学习的方式，让学生在小组内讨论问题，共同解决问题，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备实例和问题，用于引导学生发现实际问题中的相等关系。

2.学生准备笔记本，用于记录解题过程和结果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引导学生发现实际问题中的相等关系，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师呈现一组实际问题，让学生独立思考，如何将这些实际问题转化为方程组。

学生通过思考，发现实际问题中的相等关系，建立方程组。

3.操练（10分钟）教师给出几组实际问题，让学生以小组为单位，共同讨论如何将这些实际问题转化为方程组，并求解问题。

二元一次方程组的应用1．一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果13米木料可制桌面50个或桌腿300条，现有53米木料，请你设计一下，用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？2．某县两个重点企业去年计划共完成利税720万元，结果甲企业完成了计划的115％，乙企业完成了计划的110％，两企业共完成利税812万元，去年两企业各超额完成利税多少万元？3．在byax=+2中，已知1=x时，2=y；2=x时，21=y，求代数式22baba+-的值．4．已知甲、乙两种商品的原单价之和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价10％，调价后甲、乙两种商品的单价之和比原单价之和提高了2％，求甲、乙两种商品的原单价各是多少元？5．有两块金和铜的合金，一块含金95％，另一块含金80％，这两块合金与2克纯金一起熔炼后得到含金90.6％的新合金25克，计算原来两块合金的质量．参考答案1．33米木材做桌面，23米木材做桌腿，恰好配成方桌150张． 2．甲企业超额完成60万元，乙企业超额完成35.2万元． 3．.377322=+-==b ab a b a ，，4．甲、乙两种商品的原单价分别是40元、60元． 5．含金95％的合金重15克，含金80％的合金重8克．6.2 立方根一．选择题（共3小题）1．有下列说法：（1）﹣3是的平方根；（2）7是（﹣7）2的算术平方根；（3）27的立方根是±3；（4）1的平方根是±1；（5）0没有算术平方根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列等式成立的是（）A．B．C．D．3．立方根等于它本身的有（）A．0，1 B．﹣1，0，1 C．0 D．1二．填空题（共3小题）4．已知＝﹣3，则a＝．5．的平方根是，﹣125的立方根是．6．若a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b＝．三．解答题（共6小题）7．求下列各式中的x（1）（x﹣1）2＝9（2）8（x+1）3＝﹣278．已知﹣3是2a﹣1的平方根，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．9．一个正方体的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块．（1）求每个小正方体的棱长．（2）现有一张面积为36cm2长方形木板，已知长方形的长是宽的4倍，若把以上小正方体排放在这张长方形木板上，且只排放一层，最多可以放几个小正方体？请说明理由．10．（1）若x，y为实数，且x＝+4，求（x﹣y）2的平方根；（2）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．11．按要求填空：（1）填表：a0.0004 0.04 4 400（2）根据你发现规律填空：已知：＝2.638，则＝，＝；已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝．12．已知是m+3的算术平方根是n ﹣2的立方根，试求：（1）m和n的值；（2）A﹣B的值．人教新版七年级下学期《6.2 立方根》2020年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．有下列说法：（1）﹣3是的平方根；（2）7是（﹣7）2的算术平方根；（3）27的立方根是±3；（4）1的平方根是±1；（5）0没有算术平方根．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案．【解答】解：（1）﹣3是的平方根，（1）正确；（2）7是（﹣7）2的算术平方根，（2）正确；（3）27的立方根是3，（3）错误；（4）1的平方根是±1，（4）正确；（5）0的算术平方根是0，（5）错误；故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根，本题属于基础题型．2．下列等式成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据立方根的含义和求法，逐项判断即可．【解答】解：∵＝﹣1，∴选项A不符合题意；∵＝≠，∴选项B不符合题意；∵＝﹣3，∴选项C符合题意；∵﹣＝﹣2，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．立方根等于它本身的有（）A．0，1 B．﹣1，0，1 C．0 D．1【分析】根据开立方的意义，可得答案．【解答】解：立方根等于它本身的有﹣1，0，1．故选：B．【点评】本题考查了立方根，解题的关键是明确正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．二．填空题（共3小题）4．已知＝﹣3，则a＝﹣6 ．【分析】根据立方根的意义，列出方程即可解决问题；【解答】解：由题意4a﹣3＝﹣27∴a＝﹣6，故答案为﹣6【点评】本题考查立方根的意义，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．5．的平方根是±3 ，﹣125的立方根是﹣5 ．【分析】直接利用平方根、立方根、算术平方根的定义得出答案【解答】解：因为＝9，所以的平方根是±3；﹣125的立方根是﹣5．故答案为：±3，﹣5．【点评】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．6．若a2＝9，b3＝﹣8，则a﹣b＝﹣1或5 ．【分析】根据平方根和立方根的定义即可求出a，b的值，进一步计算即可．【解答】解：因为a2＝9，b3＝﹣8，所以a＝±3，b＝﹣2，所以a﹣b＝3﹣（﹣2）＝5或a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）﹣1．故答案为：﹣1或5．【点评】此题主要考查了平方根和立方根，能够根据平方根和立方根的定义正确得出a，b的值是解题关键．三．解答题（共6小题）7．求下列各式中的x（1）（x﹣1）2＝9（2）8（x+1）3＝﹣27【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（2）两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）开方得：x﹣1＝±3，解得：x1＝4，x2＝﹣2．（2）两边开立方得：2（x﹣1）＝﹣3，解得：x＝﹣．【点评】本题主要考查了立方根、平方根．解题的关键是能根据平方根和立方根定义得出一元一次方程．8．已知﹣3是2a﹣1的平方根，3a+2b+4的立方根是3，求a+b的平方根．【分析】先根据平方根、立方根的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而得到a+b的平方根．【解答】解：由题意，有，解得．∴±＝＝±3．即a+b的平方根为±3．【点评】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．9．一个正方体的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块．（1）求每个小正方体的棱长．（2）现有一张面积为36cm2长方形木板，已知长方形的长是宽的4倍，若把以上小正方体排放在这张长方形木板上，且只排放一层，最多可以放几个小正方体？请说明理由．【分析】（1）要先根据正方体的体积即可求出每个小正方体的棱长；（2）设长方形宽为x，可得4x2＝36，再根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：（（1），所以立方体棱长为cm；（2）最多可放4个．设长方形宽为x，可得：4x2＝36，x2＝9，∵x＞0，∴x＝3，，横排可放4个，竖排只能放1个，4×1＝4个．所以最多可放4个．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是把正方形进行分割，可以自己动手试一试．10．（1）若x，y为实数，且x＝+4，求（x﹣y）2的平方根；（2）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．【分析】（1）根据被开方数是非负数，可得x的值，根据开平方，可得答案；（2）根据平方根的意义、立方根的意义，可得答案．【解答】解：（1）由题意得：，解得y＝3，∴x＝4，∴（x﹣y）2＝1，∴（x﹣y）2的平方根是±1．（2）由x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，得x﹣2＝4，2x+y+7＝27，解得x＝6，y＝8．∴x2+y2＝100，∴x2+y2的算术平方根是10．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，用被开方数是非负数得出不等式组是解（1）题关键；利用平方根的意义、立方根的意义是解（2）的关键．11．按要求填空：（1）填表：a0.0004 0.04 4 400（2）根据你发现规律填空：已知：＝2.638，则＝26.38 ，＝0.02638 ；已知：＝0.06164，＝61.64，则x＝3800 ．【分析】（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案．（2）将720化为7.2××10﹣4×10﹣3可得出第二空的答案．【解答】解：（1）＝0.02，＝0.2，＝2，＝20；（2）＝＝2.638×10＝26.38，＝＝2.638×10﹣2＝0.02638；∵＝0.06164，＝61.64，61.64＝0.06164×10﹣3∴x＝3800．故答案为：0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800．【点评】此题考查了计算器数的开方，属于基础题，解答本题的关键是熟练计算机的运用，难度一般．12．已知是m+3的算术平方根是n ﹣2的立方根，试求：（1）m和n的值；（2）A﹣B的值．【分析】根据算术平方根和立方根的定义得出方程组，求出m、n，再求出A、B，即可得出答案．【解答】解：（1）∵A＝是m+3的算术平方根，B＝是n﹣2的立方根，∴m﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3，解得：m＝6，n＝3，（2）∵m＝6，n＝3，∴A＝＝3，B＝＝1，∴A﹣B＝3﹣1＝2．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的定义，能根据算术平方根和立方根的定义求出m、n的值是解此题的关键．6.1 平方根一．平方根（共8小题）1．的平方根等于（）A．2 B．﹣4 C．±4 D．±2 2．|﹣9|的平方根等于（）A．±3 B．3 C．±D．3．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5 4．9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81 5．一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为．6．（﹣2）2的平方根是．7．若一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，求a的值．8．已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的平方根，求x﹣y的平方根．二．算术平方根（共12小题）9．实数的平方根是（）A．±3 B．±C．﹣3 D．3 10．化简的结果是（）A．﹣4 B．4 C．±4 D．2 11．（﹣3）2的算术平方根是（）A．9 B．3 C．±3 D．﹣3 12．的算术平方根是（）A．±13 B．13 C．﹣13 D．13．若＝1，则﹣（2x﹣3）＝．14．若5x﹣19的算术平方根是4，求3x+9的平方根．15．的算术平方根是（）A．B．﹣C．D．±16．有一列数如下排列﹣，﹣，，﹣，﹣，…，则第2015个数是（）A．B．﹣C．D．﹣17．的算术平方根是（）A．2 B．4 C．±2 D．±418．请你观察，思考下列计算过程：，由此猜想＝．19．已知＝1.8，若＝180，则a＝．20．将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列：若3的位置记为（2，3），2的位置记为（3，2），则这组数中最大有理数的位置记为．三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）21．代数式+2的最小值是．人教新版七年级下学期《6.1 平方根》2020年同步练习卷参考答案与试题解析一．平方根（共8小题）1．的平方根等于（）A．2 B．﹣4 C．±4 D．±2【分析】原式利用算术平方根，平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的平方根是±2，故选：D．【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．2．|﹣9|的平方根等于（）A．±3 B．3 C．±D．【分析】根据平方根的定义解答即可．【解答】解：|﹣9|的平方根等于±3，故选：A．【点评】此题考查平方根的问题，关键是根据一个正数的平方根有两个．3．若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a﹣b的值为（）A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5【分析】利用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a﹣b的值．【解答】解：∵a2＝4，b2＝9，∴a＝±2，b＝±3，∵ab＜0，∴a＝2，则b＝﹣3，a＝﹣2，b＝3，则a﹣b的值为：2﹣（﹣3）＝5或﹣2﹣3＝﹣5．故选：B．【点评】此题主要考查了平方根的定义以及有理数的乘法等知识，得出a，b的值是解题关键．4．9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81【分析】依据平方根的定义求解即可．【解答】解：9的平方根是±3，故选：C．【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．5．一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为 4 ．【分析】直接利用平方根的定义得出2m﹣1+（﹣3m+）＝0，进而求出m的值，即可得出答案．【解答】解：根据题意，得：2m﹣1+（﹣3m+）＝0，解得：m＝，∴正数a＝（2×﹣1）2＝4，故答案为：4．【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．6．（﹣2）2的平方根是±2 ．【分析】先求出（﹣2）2的值，然后开方运算即可得出答案．【解答】解：（﹣2）2＝4，它的平方根为：±2．故答案为：±2．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．7．若一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，求a的值．【分析】利用正数的两平方根和为0，进而求出m的值，即可得出答案．【解答】解：∵一正数a的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，∴2m﹣3+5﹣m＝0，解得：m＝﹣2，则2m﹣3＝﹣7，解得a＝49．【点评】此题主要考查了平方根的定义，得出m的值是解题关键．8．已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的平方根，求x﹣y的平方根．【分析】根据题意可求出2x﹣y及3x+y的值，从而可得出x﹣y的值，继而可求出x﹣y的平方根．【解答】解：由题意得：2x﹣y＝9，3x+y＝16，解得：x＝5，y＝1，∴x﹣y＝4，∴x﹣y的平方根为±＝±2．【点评】本题主要考查了平方根的知识，难度不大，解题的关键是求x、y的值．二．算术平方根（共12小题）9．实数的平方根是（）A．±3 B．±C．﹣3 D．3【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是±，故选：B．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，属于基础题型．10．化简的结果是（）A．﹣4 B．4 C．±4 D．2【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可．【解答】解：＝＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．11．（﹣3）2的算术平方根是（）A．9 B．3 C．±3 D．﹣3【分析】直接化简数据，再利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：（﹣3）2＝9，则9算术平方根是：3．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．12．的算术平方根是（）A．±13 B．13 C．﹣13 D．【分析】本身是一个算术平方根的运算，表示13，求的算术平方根即为求13的算术平方根．【解答】解：∵＝13∴的算术平方根即为13的算术平方根结果为故选：D．【点评】本题考查的是算术平方根的运算，关键是要看清本题中涉及两次算术平方根的运算．13．若＝1，则﹣（2x﹣3）＝ 3 ．【分析】直接利用算术平方根的定义得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵＝1，∴x+1＝1，解得：x＝0，则﹣（2x﹣3）＝3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．14．若5x﹣19的算术平方根是4，求3x+9的平方根．【分析】由题意得4的平方是16，那么5x﹣19＝16，即可求得x，进而求得3x+9的平方根．【解答】解：∵5x﹣19的算术平方根是4∴5x﹣19＝16∴x＝7∴3x+9＝30，其平方根为±．【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，注意：被开方数应等于它的算术平方根的平方．一个正数的平方根有2个．15．的算术平方根是（）A．B．﹣C．D．±【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：＝的算术平方根是：．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．16．有一列数如下排列﹣，﹣，，﹣，﹣，…，则第2015个数是（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】观察所给数字可知：第一个数字是﹣＝﹣；第二个数字是﹣＝﹣；第三个数字是＝；第四个数字是﹣＝﹣；继而即可总结规律，求出第2015个数．【解答】解：观察可以发现：第一个数字是﹣＝﹣；第二个数字是﹣＝﹣；第三个数字是＝＝；第四个数字是﹣＝﹣；…；可得第2015个数即是﹣，故选：D．【点评】本题主要考查了数字变化，算式平方根的性质，数列规律问题，找出一般规律是解题的关键．17．的算术平方根是（）A．2 B．4 C．±2 D．±4【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．18．请你观察，思考下列计算过程：，由此猜想＝111 111 111 ．【分析】【解答】解：∵，∴＝111 111 111．故答案为：111 111 111．【点评】本题考查了信息获取能力，先利用已知的计算，认真观察是解决此类问题的关键．19．已知＝1.8，若＝180，则a＝32400 ．【分析】根据被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，算术平方根的小数点先左（或向右）移动1位求解可得．【解答】解：∵＝1.8，∴＝180，则a＝32400，故答案为：32400．【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，算术平方根的小数点先左（或向右）移动1位．20．将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列：若3的位置记为（2，3），2的位置记为（3，2），则这组数中最大有理数的位置记为（17，2）．【分析】根据规律发现，被开方数是从2开始的偶数列，最后一个数的被开方数是204，所以最大的有理数是被开方数是196的数，然后求出196在这列数的序号，又6个数一组，求出是第几组第几个数，即可确定它的位置．【解答】解：∵2＝，∴这列数中最大的数是＝14，设196是这列数中的第n个数，则2n＝196，解得n＝98，观察发现，每6个数一行，即6个数一循环，∴98÷6＝16…2，∴是第17组的第2个数．最大的有理数n的位置记为（17，2）．故答案为：（17，2）．【点评】本题利用算术平方根考查了数字的规律变化问题，求出最大的有理数的序号，并6个数作为一个循环组是解题的关键．三．非负数的性质：算术平方根（共1小题）21．代数式+2的最小值是 2 ．【分析】根据算术平方根恒大于等于0，即可确定出最小值．【解答】解：∵≥0，∴+2≥2，即的最小值是2．故答案为：2．【点评】此题考查了非负数的性质．熟练掌握算术平方根的非负数性质是解本题的关键．。

二元一次方程组的应用二元一次方程组是高中数学的重要内容之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将探讨二元一次方程组的应用，并通过实例来解释其中的原理和方法。

一、二元一次方程组的定义二元一次方程组由两个方程组成，每个方程都包含两个变量，且变量的最高次数为1。

一般而言，二元一次方程组的形式如下：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、b₁、c₁、a₂、b₂、c₂为已知的系数，x、y为未知的变量。

二、二元一次方程组的求解方法解二元一次方程组有多种方法，常见的有代入法、消元法和图解法。

下面将分别介绍这几种方法。

1. 代入法代入法的基本思想是将其中一个方程中的一个变量表示成另一个方程中的变量的函数，然后代入到另一个方程中进行求解。

具体步骤如下：（1）选择一方程，将其中一个变量表示成另一个方程中的变量的函数。

（2）将所得的表达式代入另一个方程中，得到一个只包含单一变量的一元方程。

（3）解这个一元方程，求出该变量的值。

（4）将求得的变量值代入已知的方程中，求得另一个变量的值。

2. 消元法消元法是通过将两个方程中的同一变量系数相等，然后相加或相乘的方式，将这个方程组转变为只含有一个变量的一元方程。

具体步骤如下：（1）使两个方程中同一变量的系数相等或成比例。

（2）将两个方程相加或相减，得到一个只包含单一变量的一元方程。

（3）解这个一元方程，求出该变量的值。

（4）将求得的变量值代入已知的方程中，求得另一个变量的值。

3. 图解法图解法是通过在坐标系中表示方程组的直线图像，通过观察直线的交点确定方程组的解。

具体步骤如下：（1）将方程转化为y = ax + b的形式，确定方程的直线图像。

（2）在坐标系中画出两个直线的图像。

（3）观察两个直线的交点，该交点即为方程组的解。

三、二元一次方程组的应用举例二元一次方程组在现实生活中的应用非常广泛，下面举几个实际问题来说明。

1. 商品优惠某商场进行商品促销活动，甲乙两种商品的原价分别为x元和y元，打折后的价格分别为x-100元和y-150元。

二元一次方程组的应用例1 小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15％，支出比去年低10％，求去年的收入与支出各是多少？例2 要配制成浓度为30％的烧碱溶液50千克，需要浓度为10％和60％的两种烧碱溶液多少千克？例3 一辆汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用2小时30分，而从乙地回到甲地需用2小时18分.若汽车在平地上的速度为30千米/时，上坡的速度为20千米/时，下坡的速度为40千米/时，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？例4 某中学初三（1）班计划用66元钱同时购买单价分别为3元、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加艺术节活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半.若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，那么可有几种购买方案？每种方案中，购买的甲、乙、丙三种纪念品各是多少件？例5 某工程队计划在695米线路上分别装25.8米和25.6米长两种规格的水管共100根，问这两种水管各需多少根？例6 若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的32，从乙库运出存粮的40%，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原各存多少吨粮食？例7 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人的速度.例8 通讯员在规定的时间内由A 地前往B 地.如果他每小时走35公里，那么他就要迟到2小时；如果他每小时走50公里，那么他就可以比规定时间早到1小时，求A.B两地间的距离.例9 某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？例10 要修一段420千米长的公路.甲工程队先干2天乙工程队加入，两队再合干2天完成任务；如果乙队先干2天，甲、乙两队再合干3天完成任务，问甲、乙两个工程队每天各能修路多少千米？例11 甲乙两物体分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两物体反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两物体同向运动时，每1分钟相遇一次，求各物体的速度？参考答案例1 分析 若设去年收收x 元，支出y 元，则可由去年结余5000元，今年结余9500元这两个条件列出两个方程.解 设去年收入x 元，支出y 元，根据题意，得⎩⎨⎧=--+=-)2(.9500%)101(%)151()1( ,5000y x y x 解得⎩⎨⎧==.15000,20000y x 答：去年小明家收入20000元，支出15000元.例2 分析 本题中要抓住两个数量关系，一是两种烧碱溶液重量和为50千克，二是10％和60％的烧碱溶液中纯烧碱的量的和等于50千克30％的烧碱溶液中的纯烧碱量.解 设需要浓度为10％的烧碱溶液x 千克，浓度为60％的烧碱溶液y 千克，根据题意，得⎩⎨⎧+=+=+)2().%(30%60%10)1( ,50y x y x y x 解得 ⎩⎨⎧==.20,30y x 答：需要浓度为10％的烧碱溶液30千克，浓度为60％的烧碱溶液20千克.例3 解 设甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，则平路为)70(y x --千米， 根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++=--++.3.230702040,5.230704020y x y x y x y x解得 ⎩⎨⎧==,4,12y x 则.5470=--y x 答：从甲地到乙地上坡路12千米，下坡路4千米，平路54千米.例4 分析 可设购买甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x 、y 、z.在题目中有两个相等关系：“购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件”，“购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱”.根据这两个相等关系可以列出两个关于x 、y 、z 的方程.但这里有三个未知数，只列出了两个方程是无法求出它们的解的，注意到题目中还有两个限制条件：“购买甲种纪念品的件数不少于10件”，“购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半”.有了这两个条件，就确定了x 的取值范围，而x 必为正整数，因此可求出x 的值，从而求出另外两个求知数.解 设购买的甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x 、y 、z ，根据题意，有⎩⎨⎧+==++.2,6623x y z y x 则⎩⎨⎧-=+=.562,2x z x y ∵ 10≥x ，且2663≤x ，∴ 1110≤≤x ，又∵ x 为整数，∴ 10=x 或11=x .（1）当10=x 时，;121056212210=⨯-==+=z y ，（2）当11=x 时，.71156213211=⨯-==+=z y ，答：可有两种购买方案：第一种方案：购买甲种纪念品10件、乙种12件、丙种12件；第二种方案：购买甲种纪念品11件、乙种13件、丙种7件.例5 分析 本题中有两个未知数——规格为25.8米长水管的根数与规格为25.6米长水管的根数.题目中恰有两个相等关系：（1） 25.8米长的水管根数十25.6米长水管根数=100根（2） 25.8米长水管总米数十25.6米长水管的总米数=线路的总米数解 设25.8米长规格的水管需x 根，25.6米长规格的水管y 根，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+69525.625.8100y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==6535y x 答：需规格为25.8米长的水管35根，需规格为25.6米长的水管65根.说明：在实际生活中，我们常常遇到象例1这样的问题，我给出的解法是列出二元一次方程组求解.同学们想一想，还有没有其他的方法？能不能列出一元一次方程来解呢？如果能，比较两者的不同，看一看哪种方法简单？然后自己归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤.例6 分析 本题有两个未知数——甲仓库原存粮与乙库原存粮；有两个相等关系：（1）甲仓库原存粮吨数＋乙仓库原存粮吨数=95吨（2）乙仓库剩余粮食吨数=2倍甲库剩余粮食吨数解 设甲仓库原存粮食x 吨，乙仓库原存粮食y 吨， 根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+xy y x )321(2%)401(95解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==4045y x答：甲仓库原存粮食45吨，乙仓库原存粮食50吨.例7 分析 这里有两个未知数——甲、乙两人的速度.有两个相等关系：（1）甲先走2小时的行程+甲乙在2.5小时内走的行程=36千米（2）甲乙3小时走的行程+乙在2小时内走的行程=36千米解 设甲的速度为x 千米/小时，乙的速度为y 千米/小时，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+3653365.25.4y x y x解方程组，得 ⎩⎨⎧==6.36y x答：甲的速度为6千米/小时，乙的速度为3.6千米/小时.例8 分析 这里有两个未知数——规定时间和A.B 两地间距离.有两个相等关系：（1）员速度以35公里/小时走完全程用的时间－2小时=规定时间（2）通讯员速度为50公里/小时走完全程用的时间+1小时=规定时间解 设A.B 两地间的距离为x 公里，规定时间为y 小时.根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-y x y x 150235解方程组，得 ⎩⎨⎧==8350y x 答：A.B 两地间的距离为350公里.例9 分析 这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系：（1）生产螺钉的人数＋生产螺母的人数=总人数（81名）（2）每天生产的螺钉数=每天生产的螺母数解 设生产螺钉的工人有x 名，生产螺母的工人有y 名，根据题意，得⎩⎨⎧==+y x y x 9612081 解方程组，得 ⎩⎨⎧==4536y x 答：生产螺钉的工人有36名，有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房.例10 分析 这里有两个未知数——甲工程队每天修路的千米数和乙工程队每天修路的千米数；有两个相等关系：（1）甲2天修路的长＋甲、乙合修2天的公路长=公路总长（2）乙2天修路的长＋甲、乙合修3天的公路长=公路总长解 设甲每天修公路x 千米，乙每天修公路y 千米，根据题意，得 ⎩⎨⎧=++=++420)(32420)(22y x y y x x 解方程组，得 ⎩⎨⎧==3090y x 答：甲每天修公路90千米，乙每天修公路30千米.例11 分析 题中有两个未知数，即甲乙两物体速度，题中“每15秒相遇一次”就是15秒两物体经过路程之和是600米，“每分钟相遇一次”就是60秒甲物体要比乙物体多运动一周，故有两个等量关系.解 设甲物体速度为x 米／秒，乙物体为y 米／秒.根据题意得解得⎩⎨⎧=-=+,60060606001515y x y x 解得⎩⎨⎧==.1525y x 答：甲乙两物体速度为25米／秒，15米／秒.说明：解此题关键是找出甲、乙两物体同向、反向运动路程之间的相等关系，必要时可画出两物体运动的轨迹示意图，帮助找相等关系.有理数加法的运算律知识点 1 有理数加法的交换律1．交换算式(－2)＋(＋3)＋(－4)＋(＋5)中加数的位置，使负加数在前：_______________________________________________________2．下列交换加数的位置的变形中，错误的是( )A ．30＋(－20)＝(－20)＋30B ．(－5)＋(－13)＝(－13)＋(－5)C ．(－37)＋16＝16＋(－37)D ．10＋(－20)＝20＋(－10)知识点 2 有理数加法的结合律3．计算6＋(－3.5)＋(＋2.5)时，较好的方法是( )A ．按顺序进行计算B ．同号的数先相加C ．后面的两个数先相加D ．以上的方法都不对4．计算16＋(－25)＋24的结果是( )A ．15B ．－15C ．3D ．－35．计算：(－0.19)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－215＋215＝________． 知识点 3 有理数加法运算律的综合6．计算：(＋16)＋(－25)＋(＋24)＋(－35)＝[____＋____]＋[____＋____]＝(＋40)＋(－60)＝______.7．计算(－20)＋379＋20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，比较合适的做法是( ) A ．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合B ．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合C ．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合D ．把第一、二、四这三个加数结合8．小明解题时，将式子⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋(－7)＋56＋(－4)先变成[⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋56]＋[(－7)＋(－4)]，再计算结果，则小明运用了( )A ．加法交换律B ．加法交换律和加法结合律C ．加法结合律D ．无法判断9．下列各式能用加法运算律简化计算的是( )A ．313＋⎝⎛⎭⎪⎫－414 B ．825＋12＋13C ．(－7)＋(－6.8)＋(－3)＋(＋6.8)D ．412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－27＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－313＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－215 10．小华计划在十一长假期间每天做5道数学题，超过的题数记为正数，不足的题数记为负数．七天中的实际做题数记录如下：＋3，＋5，－4，－2，－1，＋7，0.则小华七天共做了________道数学题．11．计算：(1)316＋⎝⎛⎭⎪⎫－517＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－216＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－467；(2)25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3；(3)(－2.125)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫＋315＋⎝ ⎛⎭⎪⎫＋518＋(－3.2)；(4)(－0.8)＋6.4＋(－9.2)＋3.6＋(－1)．12．八袋大米，以每袋25千克为标准，称重记录如下(超过标准的千克数记为正数，不足标准的千克数记为负数)：＋2，－0.5，＋3，－1，＋2，－1.5，＋2.5，＋4.这八袋大米总共有多少千克？13．如图2－6－3，四个小三角形中所填四个数之和等于零，则中间的三角形中的数是________，这四个数的绝对值之和等于________．图2－6－314．小明写作业时不慎将污渍弄在数轴上，根据图2－6－4中的数据，判断污渍盖住部分的整数的和是________．图2－6－415．教材习题2.6第5题变式王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记作＋1，向下一楼记作－1，王先生从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下(单位：层)：＋6，－3，＋10，－8，＋12，－7，－10.(1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼；(2)该中心大楼每层高3 m，电梯每向上或下1 m需要耗电0.2度，根据王先生现在所处位置，请你算算，他办事时电梯需要耗电多少度？16．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．(1)现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数，请将它们分别填入图2－6－5①的九个方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；(2)通过研究问题(1)，利用你发现的规律，将3，5，－7，1，7，－3，9，－5，－1这九个数分别填入图2－6－5②的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．图2－6－517．阅读下面文字：对于⎝ ⎛⎭⎪⎫－556＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－923＋1734＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－312，可以按如下方法计算：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－5）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋[(－9)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋34＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－3）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋[⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12]＝0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－114 ＝－114.上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：(－201856)＋(－201723)＋(－112)＋4036.参考答案1．(－2)＋(－4)＋(＋3)＋(＋5)2．D [解析] A ，B ，C 都是正确的，D 项中，10＋ (－20)＝(－20)＋10，故错误．故选D. 3．C4．A [解析] 16＋(－25)＋24＝24＋16－25＝15.故选A. 5．－0.196．(＋16) (＋24) (－25) (－35) －20 7．A 8.B9．C [解析] (－7)＋(－6.8)＋(－3)＋(＋6.8)＝[(－7)＋(－3)]＋[(－6.8)＋(＋6.8)]＝－10.10．43 [解析] (＋3)＋(＋5)＋(－4)＋(－2)＋(－1)＋(＋7)＋0＋5×7＝43(道)．11．解：(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤316＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－517＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－467＝－9. (2)原式＝[25.7＋(－13.7)]＋[(－7.3)＋7.3]＝12＋0＝12.(3)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤()－2.125＋⎝ ⎛⎭⎪⎫＋518＋[⎝ ⎛⎭⎪⎫＋315＋()－3.2]＝3＋0＝3. (4)原式＝[]（－0.8）＋（－9.2）＋（－1）＋(6.4＋3.6)＝(－11)＋10＝－1. [点评] 运用运算律，通常有下列规律： (1)互为相反数的两个数可以先相加； (2)符号相同的数可以先相加； (3)分母相同的数可以先相加；(4)几个数相加能得到整数的可以先相加．12．解：25×8＋[(＋2)＋(－0.5)＋(＋3)＋(－1)＋(＋2)＋(－1.5)＋(＋2.5)＋(＋4)] ＝200＋10.5 ＝210.5(千克)．答：这八袋大米总共有210.5千克． 13．4.3 13.4 14．－415．解：(1)(＋6)＋(－3)＋(＋10)＋(－8)＋(＋12)＋(－7)＋(－10) ＝6－3＋10－8＋12－7－10 ＝28－28＝0，∴王先生最后回到出发点1楼． (2)王先生走过的路程是3×(|＋6|＋|－3|＋|＋10|＋|－8|＋|＋12|＋|－7|＋|－10|) ＝3×(6＋3＋10＋8＋12＋7＋10) ＝3×56 ＝168(m)，∴他办事时电梯需要耗电168×0.2＝33.6(度)． 16．解：(1)答案不唯一，如图①所示．(2)答案不唯一，如图②所示．17．解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2018）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋[(－2017)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23]＋[(－1)＋(－12)]＋4036＝[(－2018)＋(－2017)＋(－1)＋4036]＋[(－56)＋(－23)＋(－12)]＝0＋[(－56)＋(－23)＋(－12)]＝－2.阶段能力测试(十四)(第五章)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2018·邵阳)下列图形中，是轴对称图形的是(B)2．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列正确的是(B)A．PQ＞6 B．PQ≥6C．PQ＜6 D．PQ≤63．下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是(B)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使点B与点A重合，已知AC＝4 cm，△ADC的周长为11 cm，则BC的长(C)A．11 cmB．15 cmC．7 cmD．10 cm5．如图，C，D两点分别在AE，AB上，BC与DE相交于F点．若BD＝CD＝CE，∠ADC＋∠ACD＝114°，则∠DFC的度数为(B)A．114° B．123° C．132° D．147°,第5题图) ,第6题图)6．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为(B)A.13B.12C.23D．不能确定二、填空题(每小题5分，共20分)7．正方形有4条对称轴．8．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A＝35°，∠BCO＝30°，那么∠AOB＝130度．,第8题图) ,第9题图) 9．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝75°.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC 于点D，若CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为2.三、解答题(共50分)11．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，过点A作AD∥BC.则AD平分∠CAE吗？解：AD平分∠CAE，因为AD∥BC，所以∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C.因为AB＝AC，所以∠C＝∠B，所以∠EAD＝∠CAD，所以AD平分∠CAE.12．(12分)如图，已知△ABC，过点A作直线l.求作：△A′B′C′，使它与△ABC关于直线l对称．解：分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′，再依次连接AB′，B′C′，C′A，则△AB′C′即为所求，作图略．13．(12分)如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长．解：因为AD⊥BC，BD＝CD，所以AD垂直平分BC，所以AB＝AC.因为点C在AE的垂直平分线上，所以AC＝CE.因为AB＝5 cm，BD＝3 cm，所以CE＝AC＝AB＝5 cm，CD＝3 cm，所以BE＝BD＋DC＋CE＝11 cm.14．(14分)如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD交BC于点D，点E是AD上一点，且∠BAD ＝∠ACE，EA＝EC，试说明：EB⊥AB.证明：过点E 作EF⊥AC 于点F ， 因为EA ＝EC ， 所以AF ＝FC ＝12AC ，∠DAC ＝∠ACE.因为AC ＝2AB ，所以AF ＝AB. 因为∠BAD＝∠ACE， 所以∠BAD＝∠CAD. 在△BAE 和△FAE 中， 因为⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD，AE ＝AE ，所以△ABE≌△AFE(SAS)． 所以∠ABE＝∠AFE＝90°. 所以EB⊥AB.。