2016-2017年江苏省南通市海安实验中学高一上学期数学期中试卷和解析

2016-2017学年江苏省南通市海安实验中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=．2．函数f（x）=+的定义域为．3．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，则d的值为．4．现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A乘坐在第一辆车”的概率为．5．如图是一个算法的流程图，则输出k的值是．6．函数f（x）=2x在点A（1，2）处切线的斜率为．7．为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位．8．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是．9．已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为．10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数x满足f（x）+f（x+）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，则实数a的取值范围是．11．向量，的夹角为60°，且•=3，点D是线段BC的中点，则||的最小值为．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（﹣2）=3，当x≠0时有x•f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围为．13．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为．14．已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=•﹣，=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx）．（1）求函数y=f（x）在x∈[0，]时的值域；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，a=3，f（B）=0，求边b的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．17．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x﹣1（x∈R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN 为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论．19．已知函数f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R）．（1）若f（x）是在定义域内的增函数，求c的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）+f'（x）﹣（其中f'（x）为f（x）的导函数）存在三个零点，求c的取值范围．20．设各项均为正数的数列{a n}满足=pn+r（p，r为常数），其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）若p=1，r=0，求证：{a n}是等差数列；（2）若p=，a1=2，求数列{a n}的通项公式；（3）若a2016=2016a1，求p•r的值．2016-2017学年江苏省南通市海安实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N={0，1} ．【考点】交集及其运算．【分析】通过解二次方程求出集合N，然后求解交集．【解答】解：因为集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={x|x=0，1}，则M∩N={0，1}．故答案为：{0，1}2．函数f（x）=+的定义域为（2，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要使函数f（x）有意义，应满足，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=+，∴，即，解得2＜x＜3；∴f（x）的定义域为（2，3）．故答案为：（2，3）．3．已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，则d的值为±1．【考点】等差数列的性质；极差、方差与标准差．【分析】a1，a3，a5，a7，a9的平均值是a5，结合方差的定义进行解答．【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，∴a1，a3，a5，a7，a9的平均值是a5，∵a1，a3，a5，a7，a9的方差为8，∴ [（﹣4d）2+（﹣2d）2+0+（2d）2+（4d）2]=8，解得d=±1．故答案是：±1．4．现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，则“A乘坐在第一辆车”的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出“A乘坐在第一辆车”包含的基本事件个数m=，由此能求出“A乘坐在第一辆车”的概率．【解答】解：现有4名学生A，B，C，D平均分乘两辆车，基本事件总数n==6，“A乘坐在第一辆车”包含的基本事件个数m==3，∴“A乘坐在第一辆车”的概率为p==．故答案为：．5．如图是一个算法的流程图，则输出k的值是5．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：k=1，S=1S=3不满足条件S＞80，执行循环体，k=2，S=8不满足条件S＞80，执行循环体，k=3，S=19不满足条件S＞80，执行循环体，k=4，S=42不满足条件S＞80，执行循环体，k=5，S=89满足条件S＞80，退出循环，输出k=5．故答案为：5．6．函数f（x）=2x在点A（1，2）处切线的斜率为2ln2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，将x=1代入f′（x）即可求出切线的斜率．【解答】解：f′（x）=2x ln2，故f′（1）=2ln2，故切线的斜率是：2ln2，故答案为：2ln2．7．为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可．【解答】解：∵函数y=sin3x+cos3x=cos（3x﹣）=cos[3（x﹣）]，∴只需将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位，得到y=cos[3（x﹣+）]=cos3x的图象．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离d，由于△ABC为正三角形，可得=cos30°，代入即可得出．【解答】解：圆心C（1，a）到直线ax+y﹣2=0的距离d==．∵△ABC为正三角形，∴=cos30°，∴=×，化为：2a=0，解得a=0．故答案为：0．9．已知圆柱M的底面半径为2，高为，圆锥N的底面直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设圆锥N的底面直径为2r，则高为r，利用圆柱M的底面半径为2，高为，圆柱M和圆锥N的体积相同，建立方程能求出结果．【解答】解：设圆锥N的底面直径为2r，则高为r，∵圆柱M的底面半径为2，高为，圆柱M和圆锥N的体积相同，∴=，解得r=2，∴圆锥N的底面半径为2．故答案为：2．10．已知函数f（x）是R上的奇函数，且对任意实数x满足f（x）+f（x+）=0，若f（1）＞1，f（2）=a，则实数a的取值范围是a＜﹣1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】首先，根据f（x+）=﹣f（x），得到f（x）是周期为3的函数，然后，得到f（1）=﹣a，再结合f（1）＞1，得到答案．【解答】解：∵f（x）+f（x+）=0，∴f（x+）=﹣f（x），∴f（x+3）=f（x），∴f（x）是周期为3的函数，∵f（2）=f（3﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=a∴f（1）=﹣a又∵f（1）＞1，∴﹣a＞1，∴a＜﹣1故答案为a＜﹣1．11．向量，的夹角为60°，且•=3，点D是线段BC的中点，则||的最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，从而由条件得出，两边平方进行数量积的运算即可得出，根据不等式a2+b2≥2ab及数量积的计算公式即可得出，从而便可得出的最小值．【解答】解：如图，根据条件：；∴====；∴；即的最小值为．故答案为：．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（﹣2）=3，当x≠0时有x•f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围为．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据x•f'（x）＞0恒成立得到函数的单调性，从而将f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化简f（﹣a﹣2b）≤3，得到﹣2≤﹣a﹣2b≤0．然后在aob坐标系内作出相应的平面区域，得到如图所示的阴影部分平面区域，利用直线的斜率公式即可求出的取值范围．【解答】解：由x•f'（x）＞0恒成立可得：当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，又∵a，b为非负实数，∴f（2a+b）≤1可化为f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3，同理可得﹣2≤﹣a﹣2b≤0，即0≤a+2b≤2，作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域，得到如图的阴影部分区域，解之得A（0，1）和B（1.5，0）而等于可行域内的点与P（﹣1，﹣2）连线的斜率，结合图形可知：k PB是最小值，k PA是最大值，由斜率公式可得：k PA==3，k PB==，故的取值范围为[，3]故答案为：13．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为12．【考点】等比数列的通项公式．【分析】2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，公比q＞0，a1＞0．可得：a1=＞0，可得q＞1．则2a5+a4===，设=x∈（0，1），则y=x﹣x3，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，公比q＞0，a1＞0．∴a1（2q3+q2﹣2q﹣1）=8，∴a1=＞0，可得q＞1．则2a5+a4===，设=x∈（0，1），则y=x﹣x3，由y′=1﹣3x2=0，解得x=．可得x=时，y取得最大值，y max=．∴2a5+a4的最大值为=12．故答案为：12．14．已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1，∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，解得，x=1，故k AC=﹣1；设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=﹣1；故k AB=﹣2+=﹣，故﹣1＜﹣k＜﹣，即＜k＜1；故答案为（，1）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知函数f （x ）=•﹣， =（sinx ，cosx ），=（cosx ，﹣cosx ）．（1）求函数y=f （x ）在x ∈[0，]时的值域；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足c=2，a=3，f （B ）=0，求边b 的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量的数量积与三角函数的恒等变换，求出f （x ）的解析式，再求f （x ）在[0，]取值范围即可；（2）利用f （B ）=0求出B 的值，再由余弦定理求出b 的值．【解答】解：（1）∵=（sinx ，cosx ），=（cosx ，﹣cosx ），∴f （x ）=•﹣=sinxcosx ﹣cos 2x ﹣=sin2x ﹣cos2x ﹣1=sin （2x ﹣）﹣1，…4分 ∵x ∈[0，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，∴sin （2x ﹣）∈[﹣，1]，∴函数f （x ）在[0，]的值域为[﹣，0]；…8分（2）因为f （B ）=0，即sin （2B ﹣）=1，∵B ∈（0，π），∴2B ﹣∈（﹣，），∴2B ﹣=，解得B=；…10分又有c=2，a=3，在△ABC 中，由余弦定理得：b2=c2+a2﹣2accos=4+9﹣2×2×3×=7，即b=．…14分．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M、N分别为线段A1B、AC1的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由题意，利用三角形中位线定理可证MN∥BC，即可判定MN∥平面BB1C1C．（2）利用线面垂直的性质可证CC1⊥AD，结合已知可证AD⊥平面BB1C1C，从而证明AD⊥BC，结合（1）知，MN∥BC，即可证明MN⊥AD．【解答】（本题满分为14分）证明：（1）如图，连接A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，又∵N分别为线段AC1的中点．∴AC1与A1C相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点，…2分∵M为线段A1B的中点，∴MN∥BC，…4分又∵NN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C…6分（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC1，所以CC1⊥AD，…8分∵AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，∴AD⊥平面BB1C1C，…10分又∵BC⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BC，…12分又由（1）知，MN∥BC，∴MN⊥A D…14分17．如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x 的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x﹣1（x∈R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C．（1）求圆C的方程；（2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN 为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，由题意求出D、F，求出f（0）的值后代入圆的方程求出F，可得圆C的方程；（2）由f（x）=0得求出A、B的坐标，由条件设出PA、PB的方程和点M、N的坐标，由结论求出MN为直径的圆方程，根据点P的任意性列出方程组，求出定点的坐标即可．【解答】解：（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，则与x2+2x﹣1=0 是同一个方程，所以D=2，F=﹣1，由f（x）=x2+2x﹣1得，f（0）=﹣1，令x=0 得y2+Ey+F=0，则此方程有一个根为﹣1，代入解得E=0，所以圆C 的方程为x2+y2+2x﹣1=0；…6分（2）由f（x）=x2+2x﹣1=0得，x=或x=，不妨设A（，0），B（，0），设直线PA的方程：y=k（x++1），因以MN为直径的圆经过线段AB上点，所以直线PB的方程：，设M（2，k（3+）），N（2，），所以MN为直径的圆方程为，化简得，，由P点任意性得：，解得x=，因为，所以x=，即过线段AB上一定点（，0）…16分．19．已知函数f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R）．（1）若f（x）是在定义域内的增函数，求c的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）+f'（x）﹣（其中f'（x）为f（x）的导函数）存在三个零点，求c的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）=2x﹣1﹣2ce﹣2x，利用f'（x）≥0得对于一切实数都成立，构造函数，利用导数求解函数的最小值，即可得到c的取值范围．（2）由（1）知f'（x）=2x﹣1﹣2c•e﹣2x，通过F（x）=0得，整理得，构造函数，通过导数求出导数的极值点，判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．【解答】解：（1）因为f（x）=x2﹣x+ce﹣2x（c∈R），所以函数f（x）的定义域为R，且f'（x）=2x﹣1﹣2ce﹣2x，由f'（x）≥0得2x﹣1﹣2c•e﹣2x≥0，即对于一切实数都成立…再令，则g'（x）=2xe2x，令g'（x）=0得x=0，而当x＜0时，g'（x）＜0，当x＞0时，g'（x）＞0，所以当x=0时，g（x）取得极小值也是最小值，即．所以c的取值范围是…（2）由（1）知f'（x）=2x﹣1﹣2c•e﹣2x，所以由F（x）=0得，整理得…令，则h'（x ）=2（x 2+2x ﹣3）e 2x =2（x +3）（x ﹣1）e 2x ，令h'（x ）=0，解得x=﹣3或x=1， 列表得：由表可知当x=﹣3时，h （x ）取得极大值；…当x=1时，h （x ）取得极小值．又当x ＜﹣3时，，所以此时h （x ）＞0， 故结合图象得c 的取值范围是…20．设各项均为正数的数列{a n }满足=pn +r （p ，r 为常数），其中S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）若p=1，r=0，求证：{a n }是等差数列； （2）若p=，a 1=2，求数列{a n }的通项公式； （3）若a 2016=2016a 1，求p•r 的值． 【考点】数列递推式．【分析】（1）利用递推关系即可得出； （2）利用递推关系与“累乘求积”即可得出； （3）利用递推关系，对q 分类讨论即可得出． 【解答】（1）证明：由p=1，r=0，得S n =na n ，∴S n﹣1=（n﹣1）a n﹣1（n≥2），两式相减，得a n﹣a n﹣1=0（n≥2），∴{a n}是等差数列．（2）解：令n=1，得p+r=1，∴r=1﹣p=，则S n=a n，a n﹣1，两式相减，=，∴a n=•…=•…•2=n（n+1），化简得a n=n2+n（n≥2），又a1=2适合a n=n2+n（n≥2），∴a n=n2+n．（3）解：由（2）知r=1﹣p，∴S n=（pn+1﹣p）a n，得S n﹣1=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），两式相减，得p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），易知p≠0，∴=．①当p=时，得=，∴===…==，满足a2016=2016a1，pr=．②当p时，由p（n﹣1）a n=（pn+1﹣2p）a n﹣1（n≥2），又a n＞0，∴p（n﹣1）a n＜pna n﹣1（n≥2），即，不满足a2016=2016a1，舍去．③当且p≠0时，类似可以证明a2015=2015a1也不成立；综上所述，p=r=，∴pr=．2017年3月31日。

江苏省南通市海安县实验中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知全集{}1,2,3U =，集合{}1,A m =，{}2A =U ð,则实数m = . 【答案】3 【解析】试题分析：集合{}1,A m =，{}2A =U ð的并集为全集U ，所以3m = 考点：集合运算2.函数()y f x =的图象与直线x a =的交点个数为________. 【答案】0或1考点：函数的概念3.设函数2231()61x x f x x x x ⎧--⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则()(2)f f = 【答案】3- 【解析】试题分析：()()()(2)42603f f f f =+-==- 考点：分段函数求值 4.已知1sin 4α=，且(,)2παπ∈，则tan α＝ ．【答案】【解析】试题分析：1sin sin cos tan 4cos ααααα=∴=== 考点：同角间三角函数关系5.半径为3cm ，圆心角为120的扇形面积为 2cm ． 【答案】3π 【解析】试题分析：由扇形面积公式可得21112932223S lr r παπ===⨯⨯= 考点：扇形面积6.已知1)f x +=+，则 ()f x = 【答案】()f x ＝21x - （1x ≥）考点：换元法求解析式 7.已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--在(0,)x ∈+∞时为减函数，则该幂函数的解析式是【答案】3y x -= 【解析】试题分析：由幂函数的定义可知2211201m m m m m --=∴--=∴=-或2m =，当1m =-时()01f x x ==，不是减函数，所以2m = ∴3y x -=考点：幂函数8.函数2()23f x x x =--的单调增区间是 . 【答案】()1,1-和()3,+∞ 【解析】试题分析：函数223y x x =--的对称轴为1x =，与x 轴交点为()()1,0,3,0-，将其在x 轴下方的部分与x 轴为对称轴翻折到x 轴上方可得到2()23f x x x =--的图像，所以其单调增区间为()1,1-和()3,+∞ 考点：函数单调性9.函数2()ln f x x x=-的零点所在的区间是(,1)n n +，则正整数n = 【答案】2【解析】试题分析：()()22ln 210,3ln 303f f =-<=->()()230f f ∴<，函数零点在区间()2,3内，即2n = 考点：函数零点存在性定理10.已知偶函数()f x 在[1，4]上是单调增函数，则(π)f - ()21log 8f .（填“>”或“<” 或“=”）【答案】> 【解析】试题分析：()()()()21,log 338f f f f f ππ⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭，函数()f x 在[1，4]上是单调增函数()21log 8f f π⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，则有(π)f ->()21log 8f考点：函数单调性奇偶性解不等式11.定义在R 上的奇函数()f x 对任意x ∈R 都有()(4)f x f x =+，当(20)x ∈-，时，()2x f x =，则 (2016)(2015)f f -= 【答案】12-【解析】 试题分析：()()11()(4)4(2016)(2015)01022f x f x T f f f f =+∴=∴-=--=-=- 考点：函数奇偶性周期性12.已知函数293()6,3x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集是 .【答案】(1,3) 【解析】试题分析：由293()6,3x f x x x x ≥⎧=⎨-+<⎩，可知函数在3x <是增函数，在3x >时是常函数；所以不等式2(2)(34)f x x f x -<-转化为22343x x x -<-≤或22334x x x -<≤-，解方程可得解集为(1,3)考点：函数单调性解不等式13.下列结论中正确的序号是 _____.①函数xy a =（0a >且1a ≠）与函数log x a y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同； ②函数)0(3>⋅=k k y x （k 为常数）的图像可由函数3x y =的图像经过平移得到； ③函数11221x y =+-（0≠x ）是奇函数且函数)21131(+-=x x y （0≠x ）是偶函数；④若1x 是函数()f x 的零点，且1m x n <<，则()()0f m f n ⋅<． 【答案】①②③ 【解析】试题分析：对于①，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）与函数log x a y a =（a ＞0且a ≠1）的定义域都是R ，故正确；对于②，②因为k ＞0，所以存在t ∈R ，使得k=3t ，y=k3x =3x+t （k ＞0），故正确； 对于③，函数11221x y =+-（x ≠0）满足f （x ）+f （-x ）=0，是奇函数，函数)21131(+-=x x y （x ≠0）是奇函数乘以奇函数，是偶函数，故正确；对于④，若1x 是函数f （x ）的零点，1x 两侧的函数值可以同号，则f （m ）•f （n ）＞0，故错 考点：命题的真假判断与应用14.已知函数)(x f y =是定义域为R 上的偶函数，当0≥x 时，,2,432120,41)(2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤-=x x x x f x若关 于x 的方程[]R a ax af x f ∈=++,0167)()(2有且仅有8个不同实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】)916,47( 【解析】试题分析：当0≤x ≤2时，214y x =-递减，当x ＞2时，1324xy ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭递增，由于函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数，则f （x ）在（-∞，-2）和（0，2）上递减，在（-2，0）和（2，+∞）上递增， 当x=0时，函数取得极大值0； 当x=±2时，取得极小值-1．当0≤x ≤2时，214y x =-∈[-1，0]． 当x ＞2时，1324xy ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∈[-1，-34）要使关于x 的方程[]R a ax af x f ∈=++,0167)()(2，有且仅有8个不同实数根， 设t=f （x ），则27016a t at ++=的两根均在（-1，-34）． 则有2704312471016937016416a a a a a a a ⎧->⎪⎪⎪-<-<-⎪⎨⎪-+>⎪⎪⎪-+>⎩解得71649a <<．即有实数a 的取值范围是)916,47(考点：函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断二、解答题：(本大题包括6小题，共90分. 请在答题纸的指定区域内答题，并写出必 要的计算、证明、推理过程)15.(14分) （1）求函数2y x =+，[0,2]x ∈的值域; （22401cos 40--.【答案】（1）[4,6]（2）1 【解析】试题分析：(1)通过换元法将函数式转化为二次函数式，利用二次函数性质求解值域；（2）利用同角间三角函数关系式化简试题解析：(1)t =，则22,x t t =-∈ 原函数可化为2244y t t =-++，t ∈当0t =时，y 取得最小值4；当1t =时，y 取得最大值6所以原函数的值域为[4,6] ……………7分 (2)2401cos 40--240sin 40-＝cos 40sin 40cos 40sin 40--＝cos 40sin 40cos 40sin 40--＝1. …………14分考点：函数求值域及三角函数基本公式16.（14分）已知函数()4log f x x =，1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是集合A ,关于x 的不等式3122x ax +⎛⎫> ⎪⎝⎭()a R ∈的解集为B ，集合51x C x x ⎧-⎫=⎨⎬+⎩⎭≥0，集合{}()1210D x m x m m =+≤<->.（1）若A B B =U ,求实数a 的取值范围； （2）若D C ⊆,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(),4-∞-（2）(0,3]（2）由51xx -+≥0，解得15x -<≤，所以(1,5]C =-， 因为D C ⊆① 当121,m m +≥-即02m <≤时，D φ=，满足D C ⊆； ② 当121,m m +<-即2m >时，D φ≠，所以11215m m +>-⎧⎨-≤⎩解得23m -<≤，又因为2m >，，所以23m <≤.综上所述，实数m 的取值范围为(0,3] …………14分 考点：不等式解法，函数值域及集合的子集关系 17.(15分) 已知2()4xf x x =+，(2,2)x ∈- （1）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（2）求证：函数()f x 在(2,2)-上是增函数； （3）若(2)(12)0f a f a ++->，求实数a 的取值范围。

2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系中正确的是（）A．π∈Q B．∅⊆{0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．{（a，b）}＝{（b，a）}2．设a，b∈R，则”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a+1a =3，则a12+a−12等于（）A．2B．√5C．−√5D．±√54．已知函数f（x2﹣1）＝x4+1，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f（x）＝x2+2x+2，x≥0B．f（x）＝x2+2x+2，x≥﹣1C．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥0D．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥﹣15．已知A={x|f(x)=1x−3+√2x−4}，B＝{x|x2﹣8x+15≤0}．则A∩B＝（）A．[2，5]B．[3，5]C．（3，5]D．（2，+∞）6．若两个正实数x，y满足x+y＝xy且存在这样的x，y使不等式x+4y＜m2+8m有解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，9）B．（﹣9，1）C．（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）7．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式C=Wlog2(1+SN)，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）（附：lg5≈0.6990）A．22%B．33%C．44%D．55%8．若函数f（x）={x|x+a|−5，x≤1，ax，x＞1是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（）A ．[﹣3，﹣2]B ．[﹣3，﹣1]C ．[﹣2，0）D ．（0，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0＞c ，则（ ） A ．ac ＞bcB ．c ﹣a ＜c ﹣bC ．ab ＞c 2D ．a ﹣1c ＞b ﹣1c10．下列命题正确的是（ ） A ．集合{a ，b ，c }有6个非空子集B ．∃m ∈N ，√m 2+1∈NC ．“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件D ．已知2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则2a +b 的范围为2＜2a +b ＜5 11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．不等式x+1(x−1)2＞1的解集为[0，3]B ．若函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1，则a 的取值范围是（0，3）C ．函数f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1为同一个函数D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，则12a+1b≥4B ．若实数a ＞0，b ＞0，满足2a +b ＝1，则4a 2+b 2的最小值为13C ．若a ＞0，b ＞0，1a+b =2，则aa+1+1b的最小值为43D ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为 ．14．已知集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 ．15．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x )=5x +4x，则f （x ）的最小值为 ． 16．若对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣2x +4恒成立，则ab 的最大值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）试利用对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（2）已知x ，y ，z 为正数，若3x ＝4y ＝6z ，求yz−y x的值．18．（12分）已知集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}，B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4，x ∈（﹣2，2），满足条件f （0）＝0，且f(12)=217．（1）求a ，b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增； （3）若f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +3．（1）当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当a ∈[4，6]时，f （x ）≥0恒成立，求实数x 的取值范围．21．（12分）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y （单位：元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y ＝f （x ）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25，1600]时，①f （x ）是增函数；②f （x ）≤90恒成立；③f （x ）≤x5恒成立． （1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f （x ）=115x +10；（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？（2）已知函数f （x ）＝a √x −10（a ≥2）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围． 22．（12分）已知定义在R 的函数f （x ）满足：①对∀x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1；②当x ＞0时，f （x ）＜1；③f （1）＝﹣2．（1）求f （0），判断并证明f （x ）的单调性；（2）若∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，求实数m 的取值范围； （3）解关于x 的不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6．2023-2024学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关系中正确的是（）A．π∈Q B．∅⊆{0}C．{0，1}⊆{（0，1）}D．{（a，b）}＝{（b，a）}解：对于A，因为π是无理数，所以π∉Q，故A错误；对于B，空集是任何集合的子集，所以∅⊆{0}，故B正确；对于C，集合{0，1}是数集，集合{（0，1）}是点集，所以{0，1}⊈{（0，1）}，故C错误；对于D，当a≠b时，点（a，b）与点（b，a）表示不同的点，所以{（a，b）}≠{（b，a）}，故D错误．故选：B．2．设a，b∈R，则”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据充分条件，必要条件的定义，若”a＞2且b＞1”则”a+b＞3且ab＞2”是真命题，充分性成立．反之是假命题，比如当a＝1，b＝3时满足a+b＞3且ab＞2，但推不出a＞2且b＞1故选：A．3．已知a+1a =3，则a12+a−12等于（）A．2B．√5C．−√5D．±√5解：因为a+1a=3，所以a＞0，a12+a−12＞0，（a 12+a−12）2＝a+1a+2＝5，∴a 12+a−12=√5．故选：B．4．已知函数f（x2﹣1）＝x4+1，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f（x）＝x2+2x+2，x≥0B．f（x）＝x2+2x+2，x≥﹣1 C．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥0D．f（x）＝x2﹣2x+2，x≥﹣1解：f （x 2﹣1）＝x 4+1＝[（x 2﹣1）+1]2+1，且x 2﹣1≥﹣1， 所以f （x ）＝（x +1）2+1＝x 2+2x +2，x ≥﹣1． 故选：B ．5．已知A ={x|f(x)=1x−3+√2x −4}，B ＝{x |x 2﹣8x +15≤0}．则A ∩B ＝（ ） A ．[2，5]B ．[3，5]C ．（3，5]D ．（2，+∞）解：由{x −3≠02x −4≥0，解得x ≥2且x ≠3，所以A ＝[2，3）∪（3，+∞）．由x 2﹣8x +15＝（x ﹣3）（x ﹣5）≤0，解得3≤x ≤5， 所以B ＝[3，5]，所以A ∩B ＝（3，5]． 故选：C ．6．若两个正实数x ，y 满足x +y ＝xy 且存在这样的x ，y 使不等式x +4y ＜m 2+8m 有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，9）B ．（﹣9，1）C ．（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）解：由x +y ＝xy 可得1x +1y =1，则x +4y ＝（x +4y ）（1x +1y ）＝5+4y x +x y ≥5+2√4y x ⋅x y =9，当且仅当x ＝2y 且1x +1y=1，即y =32，x＝3时等号成立，则使不等式x +4y ＜m 2+8m 有解，只需满足m 2+8m ＞9， 解得 m ∈（﹣∞，﹣9）∪（1，+∞）． 故选：C ．7．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式C =Wlog 2(1+SN )，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信通带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W 在原来的基础上增加20%，信噪比SN从1000提升至4000，则C 大约增加了（ ） （附：lg 5≈0.6990） A ．22%B ．33%C ．44%D ．55%解：技术提升前，C ＝W log 2（1+1000）≈W log 2103＝3W log 210，技术提升后，C 增加到C '，则C '＝（1+20%）W log 2（1+4000）≈1.2W log 2（4×103）＝2.4W +3.6W log 210， 所以C 大约增加了（C′C−1）×100%＝（2.4W+3.6Wlog 2103Wlog 210−1）×100%＝（0.8log 102+1.2﹣1）×100%＝[0.8（1﹣lg 5）+1.2﹣1]×100%≈[0.8（1﹣0.6990）+1.2﹣1]×100%≈44%． 故选：C ．8．若函数f （x ）={x|x +a|−5，x ≤1，a x ，x ＞1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[﹣3，﹣2]B ．[﹣3，﹣1]C ．[﹣2，0）D ．（0，+∞）解：函数f （x ）={x|x +a|−5，x ≤1，a x，x ＞1当a ＝﹣1时，f （x ）={x|x −1|−5，x ≤1，−1x ，x ＞1，当x ≤1时，f （x ）＝﹣x 2+x ﹣5，函数的对称轴为x =12，函数不是单调函数，不满足题意，排除B 、C ， 当a ＝1时，f （x ）={x|x +1|−5，x ≤1，1x，x ＞1，当x ∈（﹣1，1）时，f （x ）＝x 2+x ﹣5，函数的对称轴为x =−12，函数不是单调函数，排除D ； 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设a ＞b ＞0＞c ，则（ ） A ．ac ＞bcB ．c ﹣a ＜c ﹣bC ．ab ＞c 2D ．a ﹣1c ＞b ﹣1c解：对于A ：a ＞b ＞0＞c ，所以ac ＜bc ，故A 错误； 对于B ：由于a ＞b ＞0＞c ，故c ﹣a ＜c ﹣b ，故B 正确； 对于C ：当a ＝2，b ＝1，c ＝﹣3时，选项C 错误；对于D ：由于a ＞b ＞0＞c ，故1b ＞1a，所以a ﹣1c ＞b ﹣1c ，故D 正确．故选：BD ．10．下列命题正确的是（ ） A ．集合{a ，b ，c }有6个非空子集B ．∃m ∈N ，√m 2+1∈NC ．“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件D ．已知2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则2a +b 的范围为2＜2a +b ＜5 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，集合{a ，b ，c }非空子集的个数为23﹣1＝7，故A 错误； 对于B ，当m ＝0时，√m 2+1=1∈N ，符合题意，故B 正确；对于C ，由条件可得m ＜3⇒m ＜4，反之，不成立，所以“m ＜4”是“m ＜3”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ，因为2＜a ＜3，﹣2＜b ＜﹣1，则4＜2a ＜6，所以2＜2a +b ＜5，故D 正确． 故选：BCD ．11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．不等式x+1(x−1)2＞1的解集为[0，3]B ．若函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1，则a 的取值范围是（0，3）C ．函数f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1为同一个函数D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32] 解：由不等式可知x ＝1显然不在解集内，A 错误；由函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4有两零点，一个大于2，另一个小于﹣1可得{f(−1)=3−a ＞0f(2)=2a ＞0，解得0＜a ＜3，B 正确； 数f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1与g （x ）＝x 2﹣1的定义域都为R ，对应关系相同，是同一函数，C 正确； 若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）中，﹣2≤2x ﹣1≤2， 解得−12≤x ≤32，D 正确． 故选：BCD ．12．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项．毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称a+b 2为正数a ，b 的算术平均数，√ab 为正数a ，b 的几何平均数，并把这两者结合的不等式√ab ≤a+b2(a ＞0，b ＞0)叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A ．若a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，则12a+1b≥4B ．若实数a ＞0，b ＞0，满足2a +b ＝1，则4a 2+b 2的最小值为13C ．若a ＞0，b ＞0，1a +b =2，则aa+1+1b的最小值为43D ．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝4，则a 2a+2+b 2b+2的最小值为2解：对于A 选项：因为a ＞0，b ＞0，2a +b ＝1，所以12a+1b =(12a+1b)(2a +b)=2+b 2a+2a b≥2+2√b 2a⋅2a b=4当且仅当b2a=2a b，即b ＝2a 时，等号成立，故A 正确；对于B 选项：∵2a +b ＝1，∴1=(2a +b)2=4a 2+b 2+4ab =4a 2+b 2+2√4a 2√b 2≤2(4a 2+b 2)， ∴4a 2+b 2≥12，当且仅当{a =14b =12时等号成立，故B 错误；对于C 选项：原式=11a +1+1b =1(2−b)+1+1b =13−b +1b =13(13−b +1b )(3−b +b)=13(3−bb +1+1+b 3−b )≥43（当且仅当b =32，a =2时取等号）．故C 正确； 对于D 选项．令{a +2=m b +2=n ，则{a =m −2b =n −2，由a +b ＝4，得m +n ＝8，则a 2a+2+b 2b+2=(m−2)2m +(n−2)2n =m +4m−4+n +4n−4=4m+4n，而4m+4n=12(1m+1n)(m +n)=12(2+n m+m n)≥12(2+2√n m⋅m n)=2，当且仅当nm=m n，即n ＝m 时，等号成立，故D 正确；故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为 ． 解：由于全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ≥1，x 2≥1”的否定为：∃x ≥1，x 2＜1． 故答案为：∃x ≥1，x 2＜1．14．已知集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}，B ＝{x |ax ﹣2＝0}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为 ． 解：集合A ＝{x |x 2﹣4＝0}＝{2，﹣2}， B ＝{x |ax ﹣2＝0}， a ＝0时，B ＝∅，a ≠0时，B ＝{2a}，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件， 则B ⫋A ，则a ＝0或2a=2或2a=−2，故a ＝0或a ＝1或a ＝﹣1， 故答案为：{﹣1，0，1}．15．已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x )=5x +4x ，则f （x ）的最小值为 ． 解：已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且满足f(x)+2f(1x)=5x +4x，① 则f(1x )+2f(x)=5x +4x ，②由①②可得：f(x)=x +2x，x ∈（0，+∞）， 又x +2x ≥2√x ×2x =2√2，当且仅当x =2x ，即x =√2时取等号， 即f （x ）的最小值为2√2． 故答案为：2√2．16．若对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ≤2x 2﹣2x +4恒成立，则ab 的最大值为 ． 解：令x ＝1，则4≤a +b +c ≤4，故a +b +c ＝4，对任意x ∈R ，2x +2≤ax 2+bx +c ，则ax 2+（b ﹣2）x +c ﹣2≥0恒成立，∴Δ＝（b ﹣2）2﹣4a （c ﹣2）＝（a +c ﹣2）2﹣4a （c ﹣2）＝（a ﹣c +2）2≤0， ∴c ＝a +2，此时b ＝2﹣2a ，∴ab =a(2−2a)=2a(1−a)=−2(a −12)2+12≤12，当a =12，b =1，c =52时取等号， 此时2x 2−2x +4−(ax 2+bx +c)=32x 2−3x +32=32(x −1)2≥0成立， ∴ab 的最大值为12．故答案为：12．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算． （1）试利用对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值；（2）已知x ，y ，z 为正数，若3x ＝4y ＝6z ，求y z−yx的值．解：（1）原式=lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2×17lg26lg3=1712； （2）由题意知，令3x ＝4y ＝6z ＝a ，则a ＞0， 所以x ＝log 3a ，y ＝log 4a ，z ＝log 6a ， 所以yz −y x=log 4a log 6a−log 4a log 3a=lna ln4×ln6lna−lna ln4×ln3lna=ln6ln4−ln3ln4=ln22ln2=12．18．（12分）已知集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}，B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． （1）若a ＝2，求A ∪B ；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：（1）a ＝2时，集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}＝{x |1＜x ＜3}， B ＝{x |﹣1≤x ≤3}． ∴A ∪B ＝{x |﹣1≤x ≤3}；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⊆B ，集合A ＝{x |[x ﹣（a ﹣1）][x ﹣（a +1）]＜0}＝{x |a ﹣1＜x ＜a +1}≠∅， ∴{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围是[0，2]． 19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4，x ∈（﹣2，2），满足条件f （0）＝0，且f(12)=217． （1）求a ，b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增； （3）若f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围． （1）解：因为f(x)=ax+b x 2+4，f （0）＝0，f(12)=217，所以{ b4=012a+b (12)2+4=217，解得{a =1b =0， 所以a ＝1，b ＝0；（2）证明：由（1）得f(x)=xx 2+4， ∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，有f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)， 由于﹣2＜x 1＜x 2＜2，所以x 2﹣x 1＞0，x 1x 2﹣4＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．（3）解：由f （a +1）﹣f （2a ﹣1）＞0得f （a +1）＞f （2a ﹣1）又函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增，所以{−2＜a +1＜2−2＜2a −1＜2a +1＞2a −1，解得{ −3＜a ＜1−12＜a ＜32a ＜2，故−12＜a ＜1， 所以实数a 的取值范围是(−12，1)．20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +3．（1）当x ∈[﹣2，2]时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a ∈[4，6]时，f （x ）≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解：（1）对于任意x ∈[﹣2，2]，f （x ）≥a 恒成立，即x 2+ax +3﹣a ≥0对任意x ∈[﹣2，2]恒成立，令g （x ）＝x 2+ax +3﹣a ，则有：①Δ＝a 2﹣4（3﹣a ）＝a 2+4a ﹣12≤0或②{Δ＞0−a 2≤−2g(−2)=7−3a ≥0或③{Δ＞0−a 2≥2g(2)=7+a ≥0，由①得﹣6≤a ≤2；由②得∅；由③得﹣7≤a ＜﹣6．综上，实数a 的取值范围为[﹣7，2]；（2）令m （a ）＝xa +x 2+3．当a ∈[4，6]时，m （a ）≥0恒成立，只需{m(4)≥0m(6)≥0，即{x 2+4x +3≥0x 2+6x +3≥0， 解得x ≤﹣3−√6或x ≥﹣3+√6．∴实数x 的取值范围是(−∞，−3−√6]∪[−3+√6，+∞)．21．（12分）某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y （单位：元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%即假定奖励方案模拟函数为y ＝f （x ）时，该公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25，1600]时，①f （x ）是增函数；②f （x ）≤90恒成立；③f （x ）≤x 5恒成立．（1）现有两个奖励函数模型：（Ⅰ）f （x ）=115x +10；（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？（2）已知函数f （x ）＝a √x −10（a ≥2）符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围． 解：（1）对于函数（Ⅰ），∵f （30）＝12＞6，即函数（Ⅰ）不符合条件③，∴函数f （x ）=115x +10不符合公司奖励方案函数模型的要求；对于函数（Ⅱ），当x ∈[25，1600]时，f （x ）是增函数，且f （x ）max ＝f （1600）＝2×40﹣6＝74＜90，∴f （x ）≤90恒成立．设h （x ）=2√x −6−x 5=−15(√x −5)2−1，∵√x∈[5，40]，∴当√x =5时，h （x ）max ＝﹣1≤0，得f （x ）≤x 5恒成立．∴函数（Ⅱ）f （x ）＝2√x −6符合公司要求．（2）∵a ≥2，∴函数g （x ）满足条件①，由函数g （x ）满足条件②得：a √1600−10≤90，解得a ≤52，由函数g （x ）满足条件③得，a √x −10≤x 5对x ∈[25，1600]恒成立，即a ≤√x 5+10√x x ∈[25，1600]恒成立， ∵√x 5+√x ≥2√2，当且仅当√x 5=√x ，即x ＝50时等号成立， ∴a ≤2√2．综上所述，实数a 的取值范围是[2，52]． 22．（12分）已知定义在R 的函数f （x ）满足：①对∀x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1；②当x ＞0时，f （x ）＜1；③f （1）＝﹣2．（1）求f （0），判断并证明f （x ）的单调性；（2）若∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，求实数m 的取值范围；（3）解关于x 的不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6．（1）证明：令x ＝y ＝0，得f （0）＝f （0）+f （0）﹣1，解得f （0）＝1，令x 1＜x 2，即x 2﹣x 1＞0，则f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1+x 1）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）+f （x 1）﹣1﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）﹣1， 因为x ＞0时，f （x ）＜1，所以x 1＜x 2时，f （x 2）﹣f （x 1）＝f （x 2﹣x 1）﹣1＜0，所以f （x ）在R 上的单调递减；故f （x ）单调递减区间为R ，无单调递增区间．解：（2）由（1）知，x ∈[﹣1，1]时，f （x ）单调递减，又f （1）＝﹣2，则x ∈[﹣1，1]时，f （x ）min ＝f （1）＝﹣2，因为∃x ∈[﹣1，1]，使得f （x ）≤m 2﹣2am ﹣5对∀a ∈[﹣1，1]成立，所以f （x ）min ≤m 2﹣2am ﹣5，则m 2﹣2am ﹣5≥﹣2，即对∀a ∈[﹣1，1]，m 2﹣2am ﹣3≥0成立，设g （a ）＝﹣2am +m 2﹣3，（a ∈[﹣1，1]），则对∀a ∈[﹣1，1]，g （a ）≥0恒成立，即g （﹣1）＝m 2+2m ﹣3≥0，且g （1）＝m 2﹣2m ﹣3≥0，解得m ≥3或m ≤﹣3；故实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）；（3）令y ＝﹣x ，得f （0）＝f （x ）+f （﹣x ）﹣1，又知f （0）＝1，即f （x ）+f （﹣x ）＝2，所以f （x ）＝2﹣f （﹣x ），因为f （1）＝﹣2，所以f （﹣1）＝2﹣f （1）＝4，f （﹣2）﹣f （﹣1）+f （﹣1）﹣1＝7．不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6等价于f （ax 2）﹣f （（a +2）x ）＜6，即f （ax 2）+[2﹣f （﹣（a +2）x ）]＜6⇒f （ax 2）+f （﹣（a +2）x ）＜8，又因为f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1，所以f （x ）+f （y ）＝f （x +y ）+1，故f （ax 2﹣（a +2）x ）+1＜8，则f （ax 2﹣（a +2）x ）＜7＝f （﹣2），因为f （x ）在R 上单调递减，所以ax 2﹣（a +2）x ＞﹣2，即ax 2﹣（a +2）x +2＞0⇒（ax ﹣2）（x ﹣1）＞0，①a ＞2时，0＜2a ＜1，解得x ＞1或x ＜2a ；②0＜a ＜2时，2a ＞1，解得x ＞2a 或x ＜1； ③a ＝0时，解得x ＜1；④a ＜0时，2a ＜0＜1，解得2a ＜x ＜1； 综上所述：不等式f （ax 2）＜f （（a +2）x ）+6的解集为：a ＞2时，解集为（﹣∞，2a ）∪（1，+∞）；0＜a ＜2时，解集为（﹣∞，1）∪（2a ，+∞）；a ＝0时，解集为（﹣∞，1）；a ＜0时，解集为（2a ，1）．。

江苏省海安高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试高一数学（创新班）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}1221A m =--，，，集合{}22B m =，，若B A ⊆，则实数m ▲ ． 2．函数()πcos 3y x =+的最小正周期为 ▲ ．3．已知幂函数()f x 的图象经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，则()=f x ▲ ．4．函数()f x 的定义域为 ▲ . 5．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为 ▲ 2cm . 6．已知向量(()11AP PB ==，uu u r uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r的夹角等于 ▲ ． 7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[02]x ∈，时， 2()log (1)f x x =+，则(2010)(2011)f f -+的值为 ▲ ．8．函数5()2sin(π)(0)6f x x ωω=>+的图象如图所示，若5AB =，则()f x 在[20162019]，上的单调增区间为 ▲ ． 9．在等比数列{}n a 中，公比51421156q a a a a >-=-=，，，则3=a ▲ ． 10．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点， 2DC BD =uuu r uu u r， 则AD BC ⋅uuu r uu u r＝ ▲ ．11．已知x y ∈R ，，且222x y x y +=≠，，则()()2211x y x y ++-的最小值是 ▲ ．12．在数列{}n a 中，21010a =，1n n a a n +-≤，221n n a a n +-+≥，则20182018a 的值为 ▲ ． 13．已知函数()[]sin ππlg πx x f x x x ⎧∈-⎪=⎨>⎪⎩，，，，，，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ▲ ．14．若△ABC 的内角A B C ，，满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请（第8题）在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合{}3A x x =<，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，. （1）若m =3，求()A B R ðI ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.16．在△ABC 中，C －A ＝2π，sin B ＝13. （1）求sin A 的值；（2）设AC ABC 的面积．17．已知数列{}n a 满足135a =，*112(2)n n a n n a -=-∈N ，≥,数列{}n b 满足*1()1n n b n a =∈-N ． （1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项．C(第19题)18．设向量a ()33cos sin 22θθ=，b ()cos sin θθ=-，，其中π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求⋅+a b a b的最大值和最小值；（2）若k k +=-a b b ，求实数k 的取值范围.19．如图，公园内有一块边长为2a 的正三角形ABC 空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理. 设D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 均分三角形ABC 的面积. （1）设AD x （x a ≥），DE y ，试将y 表示为x 的函数关系式； （2）若DE 是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE 的位置应在哪里？ 若DE 是参观路线，希望其最长，DE 的位置应在哪里？20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-． （1）若212n A n b ==，，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =．①当12b =时，求数列{}n nb 的前n 项和n C ；②是否存在两个整数,s t (1)s t <<，使11s ts tA A AB B B ，，成等差数列？若存在，求出s t ，的值，若不存在，请说明理由．参考答案【填空题答案】1．1 2．π 3．2x - 4． 5.2π 6.4π 7．18．[2018,2019]9. 4 10.83- 11. 1 12. 100913.(),10π【解答题答案】15. 【解】（1）当m =3时，{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，， ………………………2分而()33A =-，，于是(][)33A =-∞-+∞R ，，ð，…………………………4分所以()[)37.A B =R ，ð…………………………6分（2）A B A B A =⇔⊆ .若B =∅，则121m m -=+，解得2.m =- …………………………8分若B ≠∅，由B A ⊆得23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤， 解得21m -<≤.…………………………12分 综上得实数m 的取值范围是[]21-，. …………………………14分 16．【解】（1）由C －A ＝2π和A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝2π－2A ,0<A <4π. …………………………4分 故sin B ＝cos2A ，即1－22sin A ＝13，sin A =. …………………………7分（2）由(1)得sin sin()cos 2C A A π=+==. ………………10分又由正弦定理sin sin BC ACA B=，得BC =， …………………………12分所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=…………………………14分17．【解】（1）由*112(2)n n a n n a -=-≥∈N ，得*112()n na n a +=-∈N1111111111121n n n n n nb b a a a ++-=-=-=----- ………………………4分又152b =-，所以{}n b 是以52-为首项，1为公差的等差数列 (6)分（2）因为17(1)2n b b n n =+-=-， 所以1211n n a =+=+． (9)分13n ≤≤时数列{}n a 单调递减且1n a <，4n ≥时数列{}n a 单调递减且1n a >所以数列{}n a 的最大项为43a =，最小项为31a =-. ………………………14分18．【解】（1）a ·b ()()3333cos sin cos sin cos cos sin sin cos222222222θθθθθθθθθ=⋅-=-=，，. ……2分2cos θ+a b .于是2co 1c 2cθθθθθθ⋅-===-+a b a b …………………………4分 因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1c o s 12θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. …………………………6分 故当1cos 2θ=即π3θ=时，⋅+a b a b 取得最小值1-；当cos 1θ=即0θ=时，⋅+a b a b 取得最大值12.…………………………8分（2）由k k +=-a b b 得222221312cos23(1)6cos2cos24k k k k k k k kθθθ++=-⇔++=+-⇔=a b a b . ……………11分因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1cos 21θ-≤≤.不等式211124k k +-⇔≤≤22(1)044104k k k k k ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩≥，≤，解得22k ≤1k =-， 故实数k 的取值范围是{}221⎡-+-⎣ . …………………………16分19．【解】（1）因为DE 均分三角形ABC 的面积，所以21(2)2xA E a=，即22a AE x=. …………………………2分 在△ADE 中，由余弦定理得y =…………………………4分因为0202AD a AE a ≤≤，≤≤，所以202202x a a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≤≤， 解得2a x a ≤≤ 故y 关于x 的函数关系式为)2y a x a =≤≤. …………………………6分 （2）令2t x =，则224a t a ≤≤，且y =设()4224()4a f t t t a a t⎡⎤=+∈⎣⎦，. …………………………8分 若22122a t t a <≤≤，则()()4121212124()()0t t t t a f t f t t t ---=>所以()f t 在222a a ⎡⎤⎣⎦，上是减函数. 同理可得()f t 在2224a a ⎡⎤⎣⎦，上是增函数. ………………11分于是当22t a =即x时，min y ，此时DE //BC，且.AD = ……………………13分当2t a =或24t a =即x =a 或2a时，max y =，此时DE 为AB 或AC 上的中线. …………15分故当取AD 且DE //BC 时，DE 最短；当D 与B 重合且E 为AC 中点，或E 与C 重合且D 为AB 中点时，DE 最长. …………………………16分20．【解】（1）因为2n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩即21n a n =- ……………………2分故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2112(22n B n =⋅ ……………………4分 （2）①依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，12n n b b +=， 又因为12b =，所以0n b ≠，所以12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以2n n b =， ………………………6分12312+22+32++2n n C n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅，2341212+22+32++(1)22n n n C n n +=⨯⨯⨯⋅⋅⋅-⋅+⋅，错位相减得 1231112+2+2++22222n n n n n C n n +++-=⋅⋅⋅-⋅=--⋅所以1(1)22n n C n +=-⋅+ ……………………10分②由题意10B ≠，所以10b ≠，由①112n n b b -=得1(21)n n n a B b ==-，11(22)n n A b n +=--， 所以111(22)2(21)21n n n n n A b n n B b +--==---， ……………………12分 假设存在两个整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列， 即11,,212121s ts t---成等差数列，即121212121s t s t=+--- 即212121s t s t =+--，因为1121t t+>-，所以2121ss>-，即221s s <+ 令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =，……………………14分 代入121212121s ts t=+---得2310t t --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求；当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增，所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求. 所以，不存在正整数,s t ，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列. ……………………16分。

江苏省南通市高一上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分） (2019高一上·柳江月考) 以下五个关系：，，，，，其中正确的个数是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·平罗期中) 函数在区间上的最大值为4则函数的单调递增区间是（）.A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·石嘴山期中) 已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（）A .B . 1C . 12D . 26. （2分）(2017·宜宾模拟) 已知函数有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在直线kx+y﹣1=0上，则实数k的取值范围为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·历城期中) 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A .B .C .D .8. （2分）函数f（x）=lgx﹣的零点所在的区间是（）A . （0，1]B . （1，10]C . （10，100]D . （100，+∞）9. （2分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2 ，则f （2015）=（）A . 2B . -2C . 8D . -810. （2分） (2016高一上·运城期中) 若函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使函数值y＜0的x取值范围为（）A . （﹣2，2）B . （2，+∞）C . （﹣∞，2）D . （﹣∞，2]11. （2分） (2017高一上·汪清期末) 函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的区间是（）A . （﹣2，﹣1）B . （﹣1，0）C . （0，1）D . （1，2）二、填空题 (共4题；共4分)12. （1分） (2018高一上·鹤岗期中) 已知幂函数f(x)＝k·xa则k=________13. （1分）下列等式中，当a，b的值为正数时，都是正确的，但对a，b为任意实数时，有些等式就未必成立，其中不能对任意实数a，b都成立的是________① ；② ；③am•an=am+n（m，n∈Q）；④（am）n=amn（m，n∈Q）；⑤ ；⑥ ．14. （1分） (2017高三上·长葛月考) 函数的值域为________．15. （1分） (2018高一上·台州月考) 已知函数，则函数的图像关于点成中心对称________, ________.三、解答题 (共6题；共50分)16. （5分） (2016高一上·景德镇期中) 已知集合M={x|x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）}，N={x|x2﹣2x﹣3≤0}，若M∪N=N，求实数a的取值范围．17. （10分）已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）．（1）若k=0，求不等式f（x）＞的解集；（2）若f（x）为偶函数，求k的值．18. （10分） (2016高一上·唐山期中) 设定义在[﹣2，2]上的函数f（x）是减函数，若f（m﹣1）＜f（﹣m），求实数m的取值范围．20. （5分） (2016高一上·宿迁期末) 已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m 的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．21. （10分） (2016高一上·菏泽期中) 设函数f（x）=ax﹣（m﹣2）a﹣x （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求m的值；（2）若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．参考答案一、单选题 (共11题；共22分)1-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、二、填空题 (共4题；共4分)12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共50分)16-1、17-1、18-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、。

2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，﹣1}，B={1，0}，则A∪B=．2．（5分）计算log 48﹣log3﹣e的值是．3．（5分）集合A={x丨x2+x﹣2≤0，x∈Z}，则集合A中所有元素之积为．4．（5分）已知集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}下列从A到B的对应法则f 不是映射的是（只填序号）①f：x→y=x；②f：x→y=x；③f：x→y=x．5．（5分）设f（x）=，则f[f（2）]的值为．6．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=．7．（5分）已知函数f（x）=（α﹣2）xα是幂函数，则函数f（x）的奇偶性是．8．（5分）函数的定义域为．9．（5分）已知偶函数f（x）在[1，4]上是单调增函数，则f（﹣π）．（填“＞”或“＜”或“=”）10．（5分）设集合A⊆Z，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1，若对于A中的任意一个元素x，都有f（x）=g（x）+4，则集合A 可能为．11．（5分）已知函数f（x）=|x|（x﹣a），（a＞0），写出函数f（x）的单调增区间．12．（5分）已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过A作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于点C，且BC∥x轴时，则A点的坐标为．13．（5分）已知定义在R上的函数f（x），有下列说法：（1）函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数在R上不是单调减函数；（2）对任意的x∈R，函数f（x）满足f（x+1）＞f（x），则函数在R上是单调增函数；（3）函数f（x）满足f（2）=f（﹣2），则函数f（x）是偶函数；（4）函数f（x）满足f（2）=f（﹣2），则函数f（x）不是奇函数．其中，正确的说法是（填写相应的序号）．14．（5分）若函数在（a，b+4）（b＜﹣2）上的值域为（2，+∞），则a b=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）设集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2+a＜0}（1）当a=﹣4，时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B=B，求实数a的取值范围．16．（16分）已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y ∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且对任意实数x＞0，都有f（x＜0）．（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）证明：函数f（x）是单调减函数；你能举出两个满足上述条件的函数吗？17．（16分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式式P=t，Q=．今将10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元）．（1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大，并求出最大总利润．18．（16分）对于函数f（x）=log（ax2﹣2x+4）（a∈R）．（1）当a=﹣1时，函数g（x）=，求函数g（x）的定义域；（2）若f（x）的值域为[﹣3，+∞），求实数a的值构成的集合．19．（16分）已知函数f（x）的图象为不间断的曲线，定义域为A，规定：①如果对于任意x1，x2∈A，x1≠x2，都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凹函数．②如果对于任意x 1，x2∈A，x1≠x2，都有f（）＞[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凸函数．（1）若函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）是凹函数，试写出实数a的取值范围；（直接写出结果，无需证明）（2）判断函数f（x）=2x是凹函数还是凸函数，并加以证明；（3）若对任意的x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]．20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣1．（1）若不等式f（x）＞0的解集是{x|3＜x＜4}，求a，b的值；（2）当b=2时，若不等式f（x）＜0对一切实数x恒成立，求a的取值范围；（3）当a=1时，设g（x）=f（x）﹣2b，若存在t1，t2∈[0，1]，使得g（t1）g （t2）＜0成立，求b的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A={0，﹣1}，B={1，0}，则A∪B={﹣1，0，1} ．【解答】解：∵集合A={0，﹣1}，B={1，0}，∴A∪B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．（5分）计算log 48﹣log3﹣e的值是1．【解答】解：log 48﹣log3﹣e=．故答案为：1．3．（5分）集合A={x丨x2+x﹣2≤0，x∈Z}，则集合A中所有元素之积为0．【解答】解：∵x2+x﹣2≤0，∴（x+2）（x﹣1）≤0，解得﹣2≤x≤1，又∵x∈Z，∴x=﹣2，﹣1，0，1．∴A={﹣2，﹣1，0，1}．∴（﹣2）×（﹣1）×0×1=0，∴集合A中所有元素之积为0．故答案为0．4．（5分）已知集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}下列从A到B的对应法则f 不是映射的是③（只填序号）①f：x→y=x；②f：x→y=x；③f：x→y=x．【解答】解：集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，①f：x→y=x，由x∈[0，2]，可得从A到B的对应法则f是映射；②f：x→y=x，x∈[0，]⊊[0，2]，可得从A到B的对应法则f是映射；③f：x→y=x，x∈[0，]⊈[0，2]，可得从A到B的对应法则f不是映射．故答案为：③．5．（5分）设f（x）=，则f[f（2）]的值为2．【解答】解：∵f（x）=，∴f（2）=log3（4﹣1）=1，f[f（2）]=f（1）=2e1﹣1=2．故答案为：2．6．（5分）已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=﹣．【解答】解：由①，两边平方得：（sinα+cosα）2=，即sin2α+2sinαcosα+cos2α=，∴2sinαcosα=﹣，∴1﹣2sinαcosα=，即（sinα﹣cosα）2=，又0＜α＜π，开方得：sinα﹣cosα=②，①+②得：sinα=，把sinα=代入①得：cosα=﹣，则tanα=﹣．故答案为：﹣7．（5分）已知函数f（x）=（α﹣2）xα是幂函数，则函数f（x）的奇偶性是奇函数．【解答】解：∵函数f（x）=（α﹣2）xα是幂函数，∴α﹣2=1，∴α=3；∴f（x）=x3，∴函数f（x）是R上的奇函数．故答案为：奇函数．8．（5分）函数的定义域为（，] ．【解答】解：∵，被开方数大于0，∴log0.5（4x﹣1）≥0，又指数函数y=log0.54x﹣1是减函数，∴0＜4x﹣1≤1，解得：＜x≤，∴f（x）的定义域为（，]；故答案为：9．（5分）已知偶函数f（x）在[1，4]上是单调增函数，则f（﹣π）＞．（填“＞”或“＜”或“=”）【解答】解：由题意：f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x），则f（﹣π）=f（π），∵=﹣3，即=f（﹣3）=f（3）．∵f（x）在[1，4]上是单调增函数3＜π，∴f（π）＞f（3）即f（﹣π）＞．故答案为：＞．10．（5分）设集合A⊆Z，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1，若对于A中的任意一个元素x，都有f（x）=g（x）+4，则集合A 可能为{﹣2}或{3}或{﹣2，3} ．【解答】解：∵集合A⊆Z，且A≠∅，从A到Z的两个函数分别为f（x）=x2﹣1，g（x）=x+1，对于A中的任意一个元素x，都有f（x）=g（x）+4，∴x2﹣1=x+1+4，整理，得：x2﹣x﹣6=0，解得x=﹣2或x=3．∴集合A可能为{﹣2}或{3}或{﹣2，3}．故答案为：{﹣2}或{3}或{﹣2，3}．11．（5分）已知函数f（x）=|x|（x﹣a），（a＞0），写出函数f（x）的单调增区间．【解答】解：函数f（x）=|x|（x﹣a），（a＞0），当x≥0时，f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣，可得增区间为（，+∞）；当x＜0时，f（x）=ax﹣x2=﹣（x﹣）2+，可得增区间为（﹣∞，0）．则f（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞）；故答案为：（﹣∞，0），（，+∞）．12．（5分）已知过原点O的直线与函数y=log8x的图象交于A，B两点，分别过A作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于点C，且BC∥x轴时，则A点的坐标为．【解答】解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知，x1＞1，x2＞1．则点A、B纵坐标分别为log8x1，log8x2，因为A、B在过点O的直线上，所以=，点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．由于BC平行于x轴，可知，log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，∴x2=．代入x2log8x1=x1log8x2，得x12log8x1=3x1log8x1．由于x1＞1知log8x1≠0，∴x12=3x1．考虑x1＞1，解得x1=．于是点A的坐标为（，log8），故答案为：（，log8）．13．（5分）已知定义在R上的函数f（x），有下列说法：（1）函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数在R上不是单调减函数；（2）对任意的x∈R，函数f（x）满足f（x+1）＞f（x），则函数在R上是单调增函数；（3）函数f（x）满足f（2）=f（﹣2），则函数f（x）是偶函数；（4）函数f（x）满足f（2）=f（﹣2），则函数f（x）不是奇函数．其中，正确的说法是（1）（填写相应的序号）．【解答】解：对于（1），可以变形为“若f（x）在R上是单调减函数，则函数f （x）满足f（2）≤f（1）”，显然是真命题；（2）若定义在R的函数f（x）满足f（x+1）＞f（x）成立，无法得出f（x）在R 上单调递增，因此不正确．对于（3）（4），给出函数y=x3﹣4x，满足f（﹣2）=f（2），但f（x）是奇函数，说明（3）（4）是假命题；故答案为：（1）．14．（5分）若函数在（a，b+4）（b＜﹣2）上的值域为（2，+∞），则a b=．【解答】解：将已知函数变形为，又∵b＜﹣2，∴b+2＜0．∴函数在（a，b+4）（b＜﹣2）上为减函数，∴又∵值域为（2，+∞），∴，趋向于+∞．∴b=﹣4，a=﹣2，∴a b=．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（16分）设集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|x2+a＜0}（1）当a=﹣4，时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x+2≤0}=[1，2]，当a=﹣4时，B={x|x2﹣4＜0}=（﹣2，2），所以A∩B=[1，2），A∪B=（﹣2，2]…（6分）（2）C R A=（﹣∞，1）∪（2，+∞）因为（C R A）∩B=B，所以B⊆C R A，若B=∅，则a≥0；若B≠∅，则a＜0，且B={x|x2+a＜0}=，因为＜0，所以B=Ë（2，+∞），所以，解得﹣1≤a＜0．综上，实数a的取值范围是[﹣1，+∞）…（14分）16．（16分）已知定义在实数集上的函数y=f（x）满足条件：对于任意的x，y ∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且对任意实数x＞0，都有f（x＜0）．（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）证明：函数f（x）是单调减函数；你能举出两个满足上述条件的函数吗？【解答】（1）证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），所以f（﹣x）=﹣f（x）所以函数f（x）是奇函数．（2）证明：设x1，x2为R上任意两个数，且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0．∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）＜f（x1），∴函数f（x）在R上是单调减函数．满足上述条件的函数有：y=﹣x，y=﹣3x．17．（16分）销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式式P=t，Q=．今将10万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元）．（1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）如何投资经营甲、乙两种商品，才能使得总利润最大，并求出最大总利润．【解答】解：（1）由题意总利润y=P+Q，即，定义域为[0，10]．（2）由（1）可知，x∈[0，10]．令，因为定义域为[0，10]，所以，则x=10﹣t2那么函数f（t）=当时，函数为单调递增函数；当时，函数为单调递减函数．所以当时，即时，总利润最大为万元．即甲商品投入万元，乙商品投入万元时，总利润最大为万元．18．（16分）对于函数f（x）=log（ax2﹣2x+4）（a∈R）．（1）当a=﹣1时，函数g（x）=，求函数g（x）的定义域；（2）若f（x）的值域为[﹣3，+∞），求实数a的值构成的集合．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数g（x）=，所以，即．故函数g（x）的定义域为．…（8分）（2）令z（x）=ax2﹣2x+4因为f（x）的值域为[﹣3，+∞），所以z（x）需取遍且只可取（0，8]内每个值．…（10分）当a≥0时，不适合，舍去；当a＜0时，函数y=z（x）对称轴为，所以，解得，适合．综上所述，．…（16分）19．（16分）已知函数f（x）的图象为不间断的曲线，定义域为A，规定：①如果对于任意x1，x2∈A，x1≠x2，都有f（）＜[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凹函数．②如果对于任意x1，x2∈A，x1≠x2，都有f（）＞[f（x1）+f（x2）]，则称函数f（x）是凸函数．（1）若函数f（x）=log a x（a＞0且a≠1）是凹函数，试写出实数a的取值范围；（直接写出结果，无需证明）（2）判断函数f（x）=2x是凹函数还是凸函数，并加以证明；（3）若对任意的x1，x2∈R且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），试证明存在x0∈（x1，x2），使f（x0）=[f（x1）+f（x2）]．【解答】解：（1）由对数函数的性质可知：0＜a＜1；…（2分）（2）因为x1≠x2，故，所以，则函数f（x）是凸函数．…（8分）（3）设，，又因为f（x1）≠f（x2），所以F（x1）•F（x2）＜0，所以F（x）在区间（x1，x2）上有零点，即存在x0∈（x1，x2），使．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx﹣1．（1）若不等式f（x）＞0的解集是{x|3＜x＜4}，求a，b的值；（2）当b=2时，若不等式f（x）＜0对一切实数x恒成立，求a的取值范围；（3）当a=1时，设g（x）=f（x）﹣2b，若存在t1，t2∈[0，1]，使得g（t1）g （t2）＜0成立，求b的取值范围．【解答】解（1）因为f（x）＞0，即ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，∴3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣，解得a=﹣，b=；（2）当b=2时，不等式f（x）＜0等价于ax2+2x﹣1＜0．若a=0，则不等式2x﹣1＜0不恒成立．则由题意可得解得a＜﹣1，即a的取值范围是（﹣∞，﹣1）；（3）因为存在t1，t2∈[0，1]，使得g（t1）g（t2）＜0成立，所以关于x的方程g（x）=0有两个不等实根，且至少有一根在（0，1）内．由+2b+1＞0，解得b＜﹣2﹣4或b＞2﹣4 ①，当x∈（0，1）时，2﹣x∈（1，2），由x2+bx﹣2n﹣1=0得b==（2﹣x）+﹣4≥2﹣4=2﹣4，③当且仅当x=2﹣时取等号，由①③得b的取值范围是（2﹣4，0）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2016-2017学年上学期江苏省南通中学高一年级期中考试测试卷数学（本卷考试时间120分钟，满分100分）一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内直接写出结果．1．若A＝{1，0，3}，B＝{－1，1，2，3}，则A∩B＝▲ ．2．若幂函数y＝f（x）的图像过点（4，2），则f（16）＝▲ ．3．函数的定义域是▲ ．4．已知指数函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是▲．5．函数，则的解析式是▲ ．6．设集合，集合，则A∪B= ▲ ．7．计算：▲ ．8．设a=log0．60．8，b=ln0．8，c=20．8，则a、b、c由小到大的顺序是▲ ．9．求函数的值域为▲ ．10．已知为奇函数，当时，．那么当时，的最大值为▲ ．11．函数在［0，1］上的最大值与最小值之和为a，则a的值为_▲ ．12．设为奇函数，且在内是增函数，，则的解集为▲．13．已知函数，若函数f（x）的值域为R，则实数t的取值范围是▲ ．14．已知函数，函数．若函数有三个零点，则实数的取值范围为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）计算：（1）．（2）．16．（本题满分8分）已知集合A＝{x|3≤x<10}，集合B＝{x|2x－16≥0}．（1）求A∪B；（2）求∁R（A∩B）．17．（本题满分9分）（1）判断并证明函数的奇偶性（2）证明函数在上是增函数，并求在上的值域．18．（本题满分9分）已知函数，其中且，又．（1）求实数a的值；（2）若，求函数的值域．（3）求函数的零点19．（本题满分12分）已知销售“笔记本电脑”和“台式电脑”所得的利润分别是P（单位：万元）和Q （单位：万元），它们与进货资金t（单位：万元）的关系有经验公式P＝161t和Q＝21．某商场决定投入进货资金50万元，全部用来购入这两种电脑，那么该商场应如何分配进货资金，才能使销售电脑获得的利润y（单位：万元）最大？最大利润是多少万元？20．（本题满分12分）已知函数，．（1）若函数是偶函数，求出符合条件的实数的值；（2）若方程有两解，求出实数的取值范围；（3）若，记，试求函数在区间[1，2]上的最大值．2016-2017学年上学期江苏省南通中学高一年级期中考试测试卷数学答案一、填空题：本大题共14小题，每小题3分共42分．1．{1，3} 2．4 3．{x| x≥－1且x≠2} 4．（1,2）5．6．7．2 8．b＜a＜c 9．10．—1 11．12．13．[-7,2] 14．二、解答题：本大题共6小题，共58分．15．解：（1）8………………………4分（2）……………………8分16．解：（1）易得B＝{x|x≥4}．………………………………………………………2分∵A＝{x|3≤x<10}，∴A∪B＝{x|x≥3}；……………………………………………4分（2）∵A∩B＝{x|4≤x<10}，∴∁R（A∩B）＝{x| x<4或x≥10}．……………………………8分17．（1）判断：函数f（x）=是奇函数……………………………2分证明：f（x ）的定义域为f（-x）=f（-x）=- f（x）所以f（x）是奇函数……………………………4分（2）证明：⑴、设，由⑴知在[4，8]上是增函数……………………………8分∴∴……………………………9分18．解：（1）由已知得，即，解得或．又且，∴．……………………………2分（2）由（1）得．令，则．……………………………4分因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，从而；．故函数的值域为．……………………………7分（3）令得，所以函数的零点是……………………………9分19．解：设用于台式电脑的进货资金为m万元，则用于笔记本电脑的进货资金为（50－m）万元，…………………………………………2分所以，销售电脑获得的利润为y＝P+Q＝161（50－m）＋21（0≤m≤50）．…………4分令u＝，则u∈[0，5]，（不写u的取值范围，则扣1分）则y＝－161u2＋21u＋825＝－161（u－4）2＋833．………………………………………9分当u ＝4，即m ＝16时，y 取得最大值为833．所以当用于台式机的进货资金为16万元，用于笔记本的进货资金为34万元时，可使销售电脑的利润最大，最大为833万元．…………………………………………12分 20．解：（1）∵函数f （x ）=|x ﹣a|为偶函数， ∴对任意的实数x ，f （﹣x ）=f （x ）成立 即|﹣x ﹣a|=|x ﹣a|，∴x+a=x ﹣a 恒成立，或x+a=a ﹣x 恒成立 ∵x+a=a ﹣x 不能恒成立∴x+a=x ﹣a 恒成立，得a=0．……………………………2分 （2）当a ＞0时，|x ﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x ﹣a ）2﹣a 2x 2=0在（0，+∞）上有两解，即（a 2﹣1）x 2+2ax ﹣a 2=0在（0，+∞）上有两解，……………………………4分 令h （x ）=（a 2﹣1）x 2+2ax ﹣a 2，因为h （0）=﹣a 2＜0，所以，故0＜a ＜1；………………6分同理，当a ＜0时，得到﹣1＜a ＜0；当a=0时，f （x ）=|x|=0=g （x ），显然不合题意，舍去．综上可知实数a 的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．……………………………8分 （3）令F （x ）=f （x ）•g （x ）①当0＜a ≤1时，则F （x ）=a （x 2﹣ax ），对称轴，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F （x ）的最大值为4a ﹣2a 2．②当1＜a ≤2时，，对称轴，所以函数y=F （x ）在（1，a]上是减函数，在[a ，2]上是增函数，F （1）=a 2﹣a ，F （2）=4a ﹣2a 2，1）若F （1）＜F （2），即，此时函数y=F （x ）的最大值为4a ﹣2a 2；2）若F （1）≥F （2），即，此时函数y=F （x ）的最大值为a 2﹣a ．③当2＜a ≤4时，F （x ）=﹣a （x 2﹣ax ）对称轴，此时，④当a ＞4时，对称轴，此时．综上可知，函数y=F （x ）在区间[1，2]上的最大值……………………………12分。

2014-2015学年江苏省南通市海安县实验中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．（5分）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N=．2．（5分）若，则=．3．（5分）下列对应中，表示函数的有．①x→，x∈N；②x→，x∈R；③x→y，其中y=x2+1，x∈N，y∈N；④x→y，其中y=﹣2x+1，x∈{﹣1，0，1}，y∈{0，1，2，3}．4．（5分）设函数f（x）=则f（f（2））=．5．（5分）函数y=﹣的单调增区间是和．6．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=．7．（5分）设a＞0且a≠1，则函数f（x）=a1﹣x+4的图象恒过点．8．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）=1+2x，则当x＞0时，f（x）=．9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为．10．（5分）已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a x+b的图象必定不经过第象限．11．（5分）关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是．12．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么解析式为y=x2，值域是{1，4}的“同族函数”有个．13．（5分）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．14．（5分）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C （C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=﹣|x﹣m2|+m2，且f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是．二、解答题：（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15．（14分）已知集合A={x||x|≤3}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}，m∈R．（1）若m=3，求（C U A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．16．（14分）（1）计算：；（2）已知x+x=2，求的值．17．（15分）（1）求函数y=2x﹣3+的值域（2）已知奇函数y=f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x ﹣3）+f（x2﹣3）＜0，求实数x的取值范围．18．（15分）某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．20．（16分）已知函数y=x+有如下性质：如果a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）若函数y=x+（x＞0）的值域是[6，+∞），求实数m的值；（2）若把函数f（x）=x2+（a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a）．（ⅰ）求g（a）的表达式；（ⅱ）若g（a）≥t2﹣mt﹣1对所有的a＞0，m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．2014-2015学年江苏省南通市海安县实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．（5分）已知集合M={0，x}，N={1，2}，若M∩N={1}，则M∪N={0，1，2} ．【解答】解：∵M={0，x}，N={1，2}，且M∩N={1}，∴x=1，即M={0，1}，则M∪N={0，1，2}，故答案为：{0，1，2}2．（5分）若，则=．【解答】解：∵，∴，解得=．则=．故答案为：．3．（5分）下列对应中，表示函数的有①③．①x→，x∈N；②x→，x∈R；③x→y，其中y=x2+1，x∈N，y∈N；④x→y，其中y=﹣2x+1，x∈{﹣1，0，1}，y∈{0，1，2，3}．【解答】解：①x→，x∈N；满足函数的定义，①正确；②x→，x∈R；当x=﹣1时，没有意义，不满足函数的定义，②不正确；③x→y，其中y=x2+1，x∈N，y∈N；满足函数的定义，③正确；④x→y，其中y=﹣2x+1，x∈{﹣1，0，1}，y∈{0，1，2，3}．函数的值域与实际相矛盾，④不正确．故答案为：①③．4．（5分）设函数f（x）=则f（f（2））=﹣3．【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=4+2﹣6=0．f（f（2））=f（0）=﹣3．故答案为：﹣3．5．（5分）函数y=﹣的单调增区间是（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．【解答】解：向左平移1个单位，可得函数y=﹣的图象，而函数y=﹣的单调增区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），可知函数y=﹣的单调增区间是（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．6．（5分）已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=﹣26．【解答】解：由f（x）=x5+ax3+bx﹣8，可令g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx，可知：g（﹣x）=f（﹣x）+8=﹣g（x），∴f（﹣2）+8=﹣[f（2）+8]，∴f（2）=﹣16﹣10=﹣26．故答案为﹣26．7．（5分）设a＞0且a≠1，则函数f（x）=a1﹣x+4的图象恒过点（1，5）．【解答】解：因为指数函数恒过（0，1），所以在函数f（x）=4+a1﹣x（a＞0且a≠1）中，当x=1时，f（1）=4+a0=5．∴函数f（x）=4+a1﹣x（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（1，5）．故答案为：（1，5）．8．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）=1+2x，则当x＞0时，f（x）=1﹣2x．【解答】解：由题意，设x＞0，则﹣x＜0，代入已知式子可得f（﹣x）=1﹣2x，又因为y=f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）=f（﹣x）=1﹣2x，故当x＞0时，f（x）=1﹣2x．故答案为：1﹣2x9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0∴f（﹣1）=0则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）10．（5分）已知0＜a＜1，b＜﹣1，则函数y=a x+b的图象必定不经过第一象限．【解答】解：当0＜a＜1，b＜﹣1时，函数y=a x+b的图象如下图所示：由图可得函数的图象必定不经过第一象限，故答案为：一11．（5分）关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解，则实数a的值是1．【解答】解：构造函数y1=|x2﹣1|，y2=a，画出函数的图形，如图所示则可得关于x的方程|x2﹣1|=a有三个不等的实数解时，a=1故答案为：112．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但是定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么解析式为y=x2，值域是{1，4}的“同族函数”有9个．【解答】解：由题意，与解析式为y=x2，值域是{1，4}的“同族函数”的定义域可以为：{1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，2}，{﹣1，﹣2}，{1，﹣1，2}，{1，﹣1，﹣2}，{1，﹣2，2}，{﹣1，﹣2，2}，{﹣1，1，2，﹣2}共9个．故答案为：9．13．（5分）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是．【解答】解：依题意，有a＞1且2﹣a＞0，解得1＜a＜2，又当x＜1时，（2﹣a）x+1＜3﹣a，当x≥1时a x≥a，因为f（x）在R上单调递增，所以3﹣a≤a，解得a≥综上：≤a＜2故答案为：．14．（5分）设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C （C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=﹣|x﹣m2|+m2，且f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是．【解答】解：若f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，则当x∈[0，+∞）时，f（x+10）≤f（x），即﹣|x+10﹣m2|+m2≤﹣|x﹣m2|+m2即|x+10﹣m2|≥|x﹣m2|，则m2≤5，解得m∈[﹣，]．故答案为：[﹣，]．二、解答题：（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15．（14分）已知集合A={x||x|≤3}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}，m∈R．（1）若m=3，求（C U A）∩B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）解出集合A中的绝对值不等式得到﹣3≤x≤3，所以c U A={x|x ＞3或x＜﹣3}当m=3时，集合B={x|2＜x＜7}，所以（C U A）∩B={x|3＜x＜7}；（2）由A∪B=A得到A⊇B，当B=∅，即m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；当B≠∅，即有m＞﹣2，且m﹣1≥﹣3且2m+1≤3，解得m＞﹣2且m≤1，所以实数m的取值范围为m≤1．16．（14分）（1）计算：；（2）已知x+x=2，求的值．【解答】解：（1）原式=；（2）∵，∴两边平方：，∴x+x﹣1=2，两边平方得：x2+x﹣2=2，两边平方得：x4+x﹣4=2，∴原式=．17．（15分）（1）求函数y=2x﹣3+的值域（2）已知奇函数y=f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x ﹣3）+f（x2﹣3）＜0，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）设，则，…2分原函数可化为，所以y≤4…5分所以原函数的值域为（﹣∞，4]…7分（2）由题意得得…9分又因为f（x）是奇函数，所以f（x﹣3）＜﹣f（x2﹣3）=f（3﹣x2）…11分又f（x）在（﹣3，3）上是减函数所以x﹣3＞3﹣x2，即x2+x﹣6＞0解得x＞2或x＜﹣3…13分综上得…15分．18．（15分）某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元，每桶水进价为5元，销售单价与日销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：设每桶水在原来的基础上上涨x元，利润为y元，由表格中的数据可以得到，价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x元后，日销售的桶数为480﹣40（x﹣1）=520﹣40x＞0，所以0＜x＜13，则利润y=（520﹣40x）x﹣200=﹣40x2+520x﹣200=﹣40（x﹣6.5）2+1490，其中0＜x＜13，所以当x=6.5时，利润最大，即当每桶水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．19．（16分）已知函数（1）用定义证明f（x）在R上单调递增；（2）若f（x）是R上的奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D⊆[﹣3，1]，求m的取值范围．【解答】（1）解：设x1＜x2且x1，x2∈R，则，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上单调递增；（2）∵f（x）是R上的奇函数，∴，即，解得m=1；（3）由，∴D=（m﹣2，m），∵D⊆[﹣3，1]，∴，∴m的取值范围是[﹣1，1]．20．（16分）已知函数y=x+有如下性质：如果a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）若函数y=x+（x＞0）的值域是[6，+∞），求实数m的值；（2）若把函数f（x）=x2+（a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a）．（ⅰ）求g（a）的表达式；（ⅱ）若g（a）≥t2﹣mt﹣1对所有的a＞0，m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由已知，函数在上是减函数，在上是增函数，∴，∴，3m=9，∴m=2．（2）（ⅰ）令x2=t，∵x∈[1，2]，∴t∈[1，4]．则．于是原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．①当，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数，此时；②当，即1≤a≤16时，；③当，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，此时g（a）=f（1）=1+a．综上，；（ⅱ）由①得当a＞0时，g（a）＞1，∴要使g（a）≥t2﹣mt﹣1对所有的a＞0，m∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣mt ﹣1≤1，即t2﹣mt﹣2≤0对所有的m∈[﹣1，1]恒成立．令h（m）=t2﹣mt﹣2，则，即，解得﹣1≤t≤1．∴实数t的取值范围是[﹣1，1]．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。