河南省九师联盟2020-2021学年高三上学期1月联考理科数学试题(无答案)

2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（ ）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（ ）A.22a b ab > B.2211ab a b> C.33a b < D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（ ）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（ ）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（ ）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（ ）B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（ ）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（ ）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x的值域为⎡⎢⎣D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0e k t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan 2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D 由题意可得()(1)e xx f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1x f x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A，故min ||AB ==.9.ABD 当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD 由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD 因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得t <<()0g t '<，得1t -≤<1t <≤，则()g t在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递减，在⎛ ⎝上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，g ⎛= ⎝，g =()g t ⎡∈⎢⎣，即()f x的值域是⎡⎢⎣，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 2t x ⎤=∈⎥⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在⎤⎥⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4 由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以sin C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7 由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln 32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15 由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin 17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos 117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以sin C =（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，sin C =，cos C =，则34sin sin()sin cos cos sin 55B A C A C A C =+=+==由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==，sin sin a C c A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x xa a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x x x a af x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x xf x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n nc -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n n T -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212n n n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=-- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992n n n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n nn n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式(1)2n n T m ->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。

2021年河南省九师联盟高考数学联考试卷（理科）一、选接题（共12小题）.1．已知a，b∈R，复数z1＝a+i，z2＝2﹣bi（i为虚数单位），若，则a+b＝（）A．1B．2C．3D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤3〉，B＝{x|x2﹣6x+5≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3]B．（3，5]C．[3，5）D．[1，3）3．若双曲线的虚轴长为，则其渐近线的方程是（）A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x4．下列说法正确的是（）A．“”的否定为“”B．“A＞B”是“sin A＞sin B”的必要条件C．若x＜1，则x2＜1的逆命题为真命题D．若“x＞a”是“log2x＞2”的充分条件，则a≤45．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1．若f（x0）＞﹣1，则x0的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）6．为了计算S＝3+33+333+3333+33333，设计了如图所示的程序框图，则①和②处的框内可以分别填入（）A．S＝S+3×10i﹣1和i＝i+2B．S＝S+（10i﹣1）÷3和i＝i+1C．S＝S+3×10i和i＝i+3D．S＝S+（10i﹣1﹣1）÷3和i＝i+17．“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，这首二十四节气歌，记录了中国古代劳动人民在田间耕作长期经验的积累和智慧．“二四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周牌算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则晷长为七尺五寸时，对应的节气为（）A．春分、秋分B．雨水、处暑C．立春、立秋D．立冬、立夏8．函数f（x）＝ln|x+1|﹣x2﹣2x的图象大致为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，，AC＝3，BC＝4，点D，G分别在边AC，BC上，点E，F在AB上，且四边形DEFG为矩形（如图所示），当矩形DEFG的面积最大时，在△ABC 内任取一点，该点取自矩形DEFG内的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，给出下列结论：①A＝2，ω＝1，b＝﹣1；②A＝ω＝2，b＝﹣1；③点（，﹣1）为f（x）图象的一个对称中心；④f（x）在[﹣，﹣]上单调递减．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②④11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于点A，B，与l交于点D，若，|AF|＝4，则p＝（）A．2B．3C．4D．612．《九章算术》卷五《商功》中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”．现有阳马P﹣ABCD（如图），PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝3，点E，F分别在AB，BC上，当空间四边形PEFD的周长最小时，直线PA与平面PFD所成角的正切值为（）A．B．C．D．2二、填空题（共4小题）.13．已知向量，满足||＝1，||＝2，当|2﹣|＝2时，向量，的夹角为．14．已知（1+x）（2﹣x）9＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+…+a9＝．15．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，则圆锥PO的侧面展开图的圆心角为；△PEF面积的最大值为．16．已知数列{a n}是公差为d的等差数列，设，若存在常数m，使得数列{c n+m}为等比数列，则m的值为．三.解答题，共70分。

高三数学试卷（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数()212i z =-，则1z -=（ ）A ．20B ．C ．32D ．2．已知集合{}6A x x =<，()(){}350B x x x =+-<，则A B ⋂=（ ） A ．{}36x x -<< B ．{}56x x << C ．{}35x x -<< D ．{}356x x x <-<<或 3．某校高—年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下：则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（ ）A ．在[]90,100内B ．在(]100,110内C ．在(]110,120内D ．在(]120,130内 4．等差数列{}32n -的前4项和等于该数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项 5．已知双曲线22:4640C x y -+=的两个焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，若P 为C 上异干顶点的任意一点，则1POF △与2POF △的周长之差为（ ）A ．8B ．16C ．8-或8D ．16-或166．已知a ，b 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若αβ⊥，//a α，//b β，则a b ⊥B ．若//αβ，则b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥C ．若a α⊥，//αβ，//b β，则//a bD ．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则a 与b 异面7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+图象的两个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ω的值可能是（ ） A ．6- B ．2 C ．4 D ．58．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四．主责本粟．问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x =（ ）A ．123B ．133C ．143D ．1539．函数()f x =的定义域为（ ）A ．10,9⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．(]0,9 D ．[)9,+∞10．正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则λ=（ ）A ．42-B ．2C ．22 D11．已知函数()()2cos 2144f x x ax ax =+++只有一个零点，则a =（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．412．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，以A 为球心的球A 与线段11A C 交于点E ，设BE 与底面ABCD 所成角为θ，且球A 的表面积为24π，则cos 2θ=（ ）A ．13- B ．35- C ．23- D ．45- 二、填空题：本大题共4小题．把答案填在答题卡的相应位置．13．函数()()321f x x x =+的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为______．14．9名志愿者到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排3名志愿者，则不同的安排方法共有______种．15．已知等比数列{}n a 的前3项和为3，且34a =，则{}n a 的前n 项和n S =______．16．已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点()(),00P m m >且交C 于A ，B 两点．过点A 和C 的顶点O 的直线交C 的准线于点D ，若BD 与C 的对称轴平行，则m =______．三、解答题：本大题共6小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin sin 8A B +=，2b a =． （1）求cos A ．（2）若D 是AB 边上一点，且ACD △2，证明：AD CD =． 18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=． （1）求C 的方程．（2）直线l 与y 轴平行，且与C 交于P ，Q 两点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．直线AP 与BQ 交于点G ，证明：点P 与点G 的横坐标的乘积为定值．19．如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为侧棱PD ，PB 的中点，且24PA AD AB ===．（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ．（2）若PC 是平面α的一个法向量，求α与平面AEF 所成锐二面角的余弦值．20．现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为()01p p <<．若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 取得最大值．（1）求0p ；（2）设0p p =，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励．经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为X 万元，求X 的分布列及其数学期望．21．已知函数()()e ln 0x f x a x a =≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0,1x ∀∈，()2ln f x x x a <+，求a 的取值范围． （二）选考题：请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．【选修44-：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123cos ρθ=+． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于M ，N 两点，()1,0P ，求11PM PN+的值． 23．【选修45-：不等式选讲】已知函数()211f x x x =-++．（1）求()f x 的值域；（2）若()f x 的最小值为m ，且22a b m +=，求221221a b ++的最小值． 高三数学试卷参考答案（理科）1．【答案】D【解析】本题考查复数的模，考查运算求解能力．【解答】解：因为34i z =--，所以144i z -=+，则1z -== 故选D ．2．【答案】D【解析】本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力．【解答】解：因为()(){}{}35035B x x x x x x =+->=<->或， 所以{}356A B x x x ⋂=<-<<或．故选D ．3．【答案】B【解析】本题考查统计中对中位数的估计，考查解读表格信息的能力与数据处理能力．【解答】解：由表可知，及格的考生共有401512105284+++++=人，在[]90,100内有40人，在(]100,110内有15人，故及格的所有考生成绩的中位数在(]100,110内．故选B ．4．【答案】C【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力．【解答】解：等差数列{}32n -的前4项和为1471022+++=，由3222n -=，得8n =．故选C ．5．【答案】D【解析】本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想．【解答】解：C 的方程可化为2216416y x -=，所以8a =， 易知1POF △与2POF △周长差的绝对值为216a =，故1POF △与2POF △的周长之差为16-或16．故选D ．6．【答案】B【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力与推理论证能力．【解答】解：对于选项A ，当a ，b 都平行于α与β的交线时，//a b ，所以A 为假命题．对于选项B ，b α∃⊂，a β⊂，a b ⊥，所以B 为真命题．若a α⊥，//αβ，则a β⊥，由//b β，可得a b ⊥，所以C 为假命题．若//a α，a β⊂，b αβ⋂=，则//a b ，所以D 为假命题．故选B ．7．【答案】A【解析】本题考查三角函数的图象及其对称性，考查推理论证能力．【解答】解：设()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为T ， 则()262kT k ππ-=∈Z ，2T πω=，则()3k k ω=∈Z ． 故选A ．8．【答案】C【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养．【解答】解：∵2y x =，2z y =，∵247s x x x x =++=， 由算法的功能可知，输出的10011437x ==． 故选C ．9．【答案】B 【解析】本题考查函数的定义域与对数运算，考查运算求解能力．【解答】解：由()243log 12log log 120x +⋅≥， 得24212243log 121log log 12log 3log 3log log 129x ≥-=-⋅=-=，则19x ≥． 故选B ．10．【答案】D【解析】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查数形结合的数学思想与直观想象、推理论证的核心素养．【解答】解：连接63A A ，14A A ，72A A 且6314A A A A B ⋂=，在14A A 上取一点C ，使得176AC A A =，则716A A A C =． 设3BA m =，则(63722A A A A m m m ==+=， 由图可知，)6471646672722222mA A A A A A A C AB A A A A ++=+===⋅故λ=D ．11．【答案】B【解析】本题考查函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想．【解答】解：令21x t +=，则()f x 有且只有一个零点等价于()()2cos 1g t t a t =+-只有一个零点，因为()g t 是偶函数，所以()g t 的图象必过坐标原点，所以()010g a =-=，故1a =．故选B ．12．【答案】A【解析】本题考查立体几何中的线面角问题、球体的表面积以及三角恒等变换，考查运算求解能力与空间想象能力．【解答】解：设球O 的半径为r ，则2424r ππ=，解得r =因为1AA ⊥平面1111A B C D ，所以11AA A E ⊥， 因为6AE =，所以21622A E =-=，所以E 为11A C 的中点，则1BEB θ=∠，且cos3θ==，故21cos 22cos 13θθ=-=-．故选A ．13．【答案】81【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．【解答】解：因为()()()32213212f x x x x '=+++⨯， 所以()1275481f '=+=．故答案为：81．14．【答案】1680【解析】本题考查计数原理的应用，考查运算求解能力与应用意识．【解答】解：依题意可得，不同的安排方法种数为3396C C 1680=． 故答案为：1680．15．【答案】()123n-- 【解析】本题考查等比数列的性质与前n 项和，考查运算求解能力． 【解答】解：设{}n a 的公比为q ，则324443S q q =++=，解得2q =-， 则11a =，()123n n S --=．故答案为：()123n--．16．【答案】2【解析】本题考查直线与抛物线，考查抽象概括能力与运算求解能力．【解答】解：设()2000,08y A y y ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则直线OA 的方程为08y x y =， 由02,8,x y x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩得016D y y =-．又直线AP 的方程为()02088y y x m y m=--， 由()02028,88,y y x m y m y x ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩得08B m y y =-，因为BD 与C 的对称轴平行，所以B D y y =，故2m =． 故答案为：2．17．【答案】（1）解：∵2b a =，∵sin 2sin B A =，又sin sin A B +=，∵sin A = ∵2b a =，∴a b <，A B <，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故7cos 8A ==． （2）证明：∵21sin 21628ACD S b AD A AD =⋅=⋅=△，∵47AD b =． 由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅222447427787b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵47CD b =，故AD CD =． 【评分细则】【1】第（1）问中，没有推理得到0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而直接得到7cos 8A =±，扣2分．若只得到A B <，而未写0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不扣分． 【2】第（2）问中，未写2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅，直接得到2222447427787CD b b b b b ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不扣分．18．【答案】（1）解：因为以C 的长轴为直径的圆的方程为224x y +=，所以24a =．因为12c e a ==，所以21c =，2223b a c =-=， 故C 的方程为22143x y +=． （2）证明：设直线l 的方程为()0x m m =≠，(),P m n ， 则(),Q m n -，22m -<<，且0m ≠，直线AP 的方程为()22ny x m =++， 直线BQ 的方程为()22ny x m =---，()()2,22,2n y x m n y x m ⎧=+⎪⎪+⎨⎪=--⎪-⎩将两式相除得22122m x m x -+-⋅=+-， 解得4x m =，即4G x m =，故44P G x x m m⋅=⨯=为定值． 【评分细则】【1】第（1）问中，根据圆的方程得到2a =同样给2分． 【2】第（2）问中，未写22m -<<，且0m ≠，扣1分． 19．【答案】（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥． 在矩形ABCD 中，CD AD ⊥，因为AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD AE ⊥． 因为PA AD =，E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥， 又CD PD D ⋂=，所以AE ⊥平面PCD ．因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PCD ．（2）解：以A 为坐标原点，AP 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()4,0,0P ，()2,0,2E ，()2,1,0F ，()0,2,4C ．()2,0,2AE =，()2,1,0AF =，()4,2,4PC =-．设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0n AE n AF ⋅=⋅=，即220,20,x z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，得()1,2,1n =--．所以cos ,PC n ==，故a 与平面AEF 【评分细则】【1】第（1）问解析第二行未写AD PA A ⋂=，但写了AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，不扣分．第五行未写CD PD D ⋂=，要扣1分．【2】第（2）问解析中得到平面AEF 的一个法向量只要与()1,2,1n =--共线即可得分． 20．【答案】解：（1）()()()222224C 161f p p p p p =-=-，()()2222116624f p p p p ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为01p <<，所以当12p =时，()f p 取得最大值，则012p =． （2）因为012p p ==，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍， 所以每场球赛甲队输的概率为13，两队平局的概率为16． 当甲连赢两场时，10X =，且()11110224P X ==⨯=， 当甲赢一场平一场时，5X =，且()11152266P X ==⨯⨯=， 当甲赢一场输一场或两队连平两场时，0X =，且()11111302236636P X ==⨯⨯+⨯=，当甲输一场平一场时，5X =-，且()11152369P X =-=⨯⨯=， 当甲连输两场时，10X =-，且()11110339P X =-=⨯=． 所以X 的分布列为故10551046993EX =⨯+⨯-⨯-⨯=． 【评分细则】【1】第（1）问还可以借助导数的方法求0p ，其步骤如下：()()()()()226212112112f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=--⎣⎦，当102p <<时，()0f p '>，当112p <<时，()0f p '<． 故当12p =时，()f p 取得最大值，则012p =． 第（1）问还可以借助基本不等式求0p ，其步骤如下：因为()()421361628p p f p p p +-⎛⎫=-≤=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 当且仅当1p p =-，即12p =时，等号成立，所以012p =． 【2】第（2）问，严格按照步骤给分．21．【答案】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1e ln xf x a x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭． 设函数()1ln g x x x =+，则()21x g x x-'=．当01x <<时，()0g x '<； 当1x >时，()0g x '>． 故()()11g x g ≥=，从而1ln 0x x+>． 当0a >时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减． （2）由题意可知0a >．由2ln e ln xx x a a x +>，得ln ln e x x a xa x+>，即ln e ln ln e x x a x a x +>， 即()ln eln e xxa x x a <对()0,1x ∈恒成立．令()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=， 当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，当()0,1x ∈时，()()10h x h <=．由()ln eln e xxa x x a <，得()()e xh x ha <，所以e xx a <，所以e xxa >对()0,1x ∈恒成立． 设()e x x m x =，()0,1x ∈，则()10exxm x -'=>， 所以()m x 在()0,1上单调递增，所以1e a ≥，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【评分细则】【1】第（1）问中，未写定义域，直接得到()1e ln xf x a x x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭不扣分． 【2】第（2）问中，写到1e a ≥，但未写a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，不扣分． 22．【答案】解：（1）l 的普通方程为10x y +-=．由22123cos ρθ=+，得2223cos 12ρρθ+=，则()222312x y x ++=， 即C 的直角坐标方程为22134x y +=． （2）由题意，l的参数方程为1,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 参数），· 代入22134x y +=，得27160t --=． 设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，则127t t +=，12167t t =-， 则121212122711371627t t t t PM PN t t t t +-+=====．【评分细则】【1】第（1）问中，得到C 的直角坐标方程为224312x y +=，不扣分．【2】第（2）问得到27160t --=后，可以直接求出1t ，2t ，其步骤如下：设M ，N 对应的参数分别为1t ，()212t t t <，则1t =，2t =则12111172431122PM PN t t ⨯+=+===． 23．【答案】解：（1）当1x ≤-时，()33f x x =-≥；当112x -<≤时，()32,32f x x ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭； 当12x >时，()332f x x =>． 综上，()32f x ≥． 故()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由（1）知，32m =，2232a b +=，则22122a b ++=， 所以222222221211111111212222a b a b a a b b ⎛⎫⎪⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎪++⎝⎭ ()2222111222221222b a a b ⎛⎫+ ⎪=++≥+= ⎪ ⎪+⎝⎭， 当且仅当22221212b a ab +=+，即21a =，212b =时，等号成立， 故221221a b ++的最小值为2．【评分细则】【1】第（1）问中，未写“综上，()32f x ≥”，直接得出“()f x 的值域为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭”，不扣分．【2】第（2）问未写取等条件，直接得出“221221a b ++的最小值为2”扣1分．。

河南省（天一）大联考2020-2021学年高三上学期期末考试理科数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 若，则（）A．1B．C．D．2(★★) 3. 已知的展开式中有常数项，则的值可能是（）A．5B．6C．7D．8(★★) 4. 如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知，则下列不等式① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④(★★) 6. 从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知函数，点是曲线相邻的两个对称中心，点是的一个最值点，若的面积为1，则（）A．1B．C．2D．(★★★) 8. 已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．(★★) 9. 在中，内角，，的对边，，依次成等差数列，的周长为15，且，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知点，，在半径为5的球面上，且，，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．(★★) 11. 已知点在直线上运动，点在直线上运动，以线段为直径的圆与轴相切，则圆面积的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 已知，且满足，，则（）A．1B．或1C．或1D．1或-1二、填空题(★★) 13. 平面向量，若，则 _____________ ．(★★★) 14. 若实数，满足约束条件，则的取值范围是______.(★★★) 15. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________．(★★) 16. 设为双曲线上的一个动点，点到的两条渐近线的距离分别为和，则的最小值为______.三、解答题(★★★) 17. 已知数列的前项和为，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．(★★★)18. 如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，，，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.(★★) 19. 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量只能是1，2，3，，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的.（1）当输入和时，求输出的值；（2）求输出的值的分布列；（3）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由.(★★★) 20. 已知椭圆的离心率为，一个焦点坐标为，曲线上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆和曲线的标准方程；（Ⅱ）点为和的一个交点，过作直线交于点，交于点，且互不重合，若，求直线与轴的交点坐标．(★★★) 21. 已知函数，，.（1）若，曲线在点处的切线也是曲线的切线，证明：；（2）若，求的取值范围.(★★) 22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）设与的夹角为，求；（2）设与轴的交点为，与轴的交点为，以为圆心，为半径作圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程．(★★★) 23. 已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．。

专题一 压轴选择题第一关 以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题【名师综述】1.求解曲线的离心率：求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a 的值；在双曲线中由于221()b e a=+，故双曲线的渐近线与离心率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a ，b ，c 的不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到关于a ，c 的不等式，由这个不等式确定a ，c 的关系．2.求解特定字母取值范围问题的常用方法：（1）构造不等式法：根据题设条件以及曲线的几何性质(如：曲线的范围、对称性、位置关系等)，建立关于特定字母的不等式(或不等式组)，然后解不等式(或不等式组)，求得特定字母的取值范围．（2）构造函数法：根据题设条件，用其他的变量或参数表示欲求范围的特定字母，即建立关于特定字母的目标函数，然后研究该函数的值域或最值情况，从而得到特定字母的取值范围．（3）数形结合法：研究特定字母所对应的几何意义，然后根据相关曲线的定义、几何性质，利用数形结合的方法求解.3.圆锥曲线中的最值问题：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．常见的几何方法有：（1）直线外一定点P 到直线上各点距离的最小值为该点P 到直线的垂线段的长度；（2）圆C 外一定点P 到圆上各点距离的最大值为||PC R +，最小值为||PC R -(R 为圆C 半径)；（3）过圆C 内一定点P 的圆的最长的弦即为经过P 点的直径，最短的弦为过P 点且与经过P 点直径垂直的弦；（4）圆锥曲线上本身存在最值问题，如①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)；②双曲线上两点间最小距离为2a (实轴长)；③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[,]a c a c -+，a c -与a c +分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．常用的代数方法有：（1）利用二次函数求最值；（2）通过三角换元，利用正、余弦函数的有界性求最值；（3）利用基本不等式求最值；（4）利用导数法求最值；（5）利用函数单调性求最值.【典例剖析】类型一 求圆锥曲线的离心率问题典例1．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦典例2．3．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，点()0,P x a 为双曲线上的一点，若12PF F △的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为（ ） A 32B 33C 2D 3【来源】江西省上饶市六校2022届高三第一次联考数学试题【举一反三】1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，B 是椭圆的上顶点，过点1F 作2BF 的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，若1137PF FQ =，则椭圆的离心率是（ ） A 36B 255C 2127 D ．59214【来源】浙江省温州市普通高中2022届高三下学期返校统一测试数学试题类型二 与圆锥曲线有关的最值问题典例3．已知点F 为拋物线2:4C y x =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则9AB DE +的最小值为（ ） A ．32B ．48C ．64D ．72【来源】江西省五市九校（分宜中学、高安中学、临川一中、南城一中、彭泽一中、泰和中学、玉山一中、樟树中学、南康中学）协作体2022届高三第一次联考数学（理）试题【举一反三】坐标原点O 且斜率为()0k k <的直线l 与椭圆2214x y +=交于M 、N 两点.若点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则MAN △ 面积的最大值为（ ） A 2B ．22C ．22D ．1【来源】四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题类型三 平面图形与圆锥曲线相结合的问题典例4．（多选）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线的左支上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的离心率为2B ．若12PF PF ⊥，且123PF F S =△，则2a =C ．以线段1PF ，12A A 为直径的两个圆外切D ．若点P 在第二象限，则12212PF A PA F ∠=∠【来源】广东省2022届高三上学期第三次联考数学试题【举一反三】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .点P 在C 上且位于第一象限，圆1O 与线段1F P 的延长线，线段2PF 以及x 轴均相切，12PF F △的内切圆为圆2O .若圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 与圆2O 的面积之比为4，则C 的离心率为（ ） A ．12B ．35C 2D 3【来源】衡水金卷2021-2022学年度高三一轮复习摸底测试卷数学（一）【精选名校模拟】1．点F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，斜率为34的直线l 过点F 且与双曲线C 的右支交于点P ，过切点P 的切线与x 轴交于点M .若FM PM =，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ） A ．207B ．165C ．259D ．143【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题2．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．12y x =±B ．y x =±C ．32y x =±D ．52y x =±【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题3．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，||8AB =，过A ，B 两点分别作抛物线的切线，交于点Q ．下列说法正确的是( ) A ．QA QB ⊥B ．AOB (O 为坐标原点)的面积为2C ．112||||AF BF += D ．若()1,1M ，P 是抛物线上一动点，则||||PM PF +的最小值为52【来源】江西省吉安市2022届高三上学期期末数学（理）试题4．已知点(5A ，(0,5B -，若曲线()222200,0y xa b a b-=>>上存在点P 满足4PA PB -=，则下列正确的是（ ） A ．1b a <+B ．2b a <C ．1b a >+D ．2b a >【来源】浙江省嘉兴市2021-2022学年高三上学期期末数学试题5．已知圆()2222p x y b b ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭与抛物线22(0)y px b p =>>的两个交点是A ，B ．过点A ，B 分别作圆和抛物线的切线1l ，2l ，则（ ）A ．存在两个不同的b 使得两个交点均满足12l l ⊥B ．存在两个不同的b 使得仅一个交点满足12l l ⊥C ．仅存在唯一的b 使得两个交点均满足12l l ⊥D ．仅存在唯一的b 使得仅一个交点满足12l l ⊥【来源】浙江省2022届筑梦九章新高考命题导向研究卷Ⅱ数学试题6．已知双曲线22221x y a b -=，(),0a b >的左右焦点记为1F ，2F ，直线l 过2F 且与该双曲线的一条渐近线平行，记l 与双曲线的交点为P ，若所得12PF F △的内切圆半径恰为3b，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．53C 3D ．112【来源】浙江省绍兴市上虞区2021-2022学年高三上学期期末数学试题7．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左､右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长C 与面积S 满足2aS C =则该双曲线的离心率的平方为（ ） A ．22B ．842+C ．222+D ．23+【来源】江西省上饶市2022届高三一模数学（理）试题8．椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆E 上，12PF F △的重心为G .若12PF F △的内切圆H 的直径等于1212F F ，且12GH F F ∥，则椭圆E 的离心率为（ ） A 6B ．23C 2D ．12【来源】安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试题9．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C 上不与A ，B 重合的任意一点，直线AM 与直线2x =交于点D ，过点B ，D 分别作BP ⊥直线2MF ，DQ ⊥直线2MF ，垂足分别为P ，Q ，则使BP DQ BD +<成立的点M （ ） A ．有一个B ．有两个C ．有无数个D ．不存在【来源】河南省名校联盟2021-2022学年高三上学期期末考试理科数学试题10．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，3FB FA ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A ．22⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．2312⎤⎢⎥⎣⎦C ．)31,1⎡⎣D ．232⎢⎣⎦11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，在其渐近线上存在一点P ，满足122PF PF b -=，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(2B ．)2,2C ．2,3D ．()2,3【来源】重庆市巴蜀中学校2022届高三上学期适应性月考（六）数学试题12．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题13．双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ l ⊥，垂足为Q ．当2PF PQ +的最小值为3时，1F Q 的中点在双曲线C 上，则C 的方程为（ ） A ．221x y -=B ．22122x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=【来源】陕西省商洛市2020-2021学年高三上学期期末数学试题14．过点()3,0P-作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ） A ．0,55⎡+⎣B ．55,5⎡⎤⎣⎦C ．5,55⎡+⎣D ．55,55⎡⎣15．（多选）已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，()()12,0,,0F c F c -分别为椭圆C 的左､右焦点，2PF =21212,6F F PF PF c ⋅=，线段12,PF PF 分别交椭圆于1122,,,M N F M F P F N F P λμ==，设椭圆离心率为e ，则下列说法正确的有( ) A ．若e 越大，则λ越大 B ．若M 为线段1PF 的中点，则31e = C ．若13μ=，则131e -=D ．334eλμ=- 【来源】湖北省部分重点中学2022届高三上学期第二次联考数学试题16．（多选）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，点A 在椭圆上，直线22:0l bx ay a b +--=，则（ ） A ．直线l 与蒙日圆相切B ．C 的蒙日圆的方程为2222x y a +=C ．记点A 到直线l 的距离为d ，则2d AF -的最小值为(323bD ．若矩形MNGH 的四条边均与C 相切，则矩形MNGH 的面积的最大值为28b 【来源】湖南省永州市2021-2022学年高三上学期第二次适应性考试数学试题17．（多选）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F 到准线l 的距离为4，过焦点F 的直线与抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列结论中正确的是（ ） A ．抛物线C 的准线l 的方程为2x =- B ．MN 的最小值为4C ．若()4,2A ，点Q 为抛物线C 上的动点，则QA QF +的最小值为6D ．122x x +的最小值2【来源】山东省滨州市2021-2022学年高三期末数学试题。

2020-2021学年河南省九师联盟高三（上）联考数学试卷（理科）（1月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=1+i3+i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集U=R，集合A={x|−2<x<2}，B={y|y=32x−1}，则A∩(∁U B)=()A. [−1,2)B. (−2,−1]C. (−1,2)D. [−2,1)3.“θ=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanθ=1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是()A. 327B. 937C. 387D. 10875.若单位向量a⃗，b⃗ 满足(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. π2D. π6.摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其(TURKEY)的西南方，建筑的底面是长为40米，宽为30米的长方形，总高45米，其中墩座墙高20米，柱高12米，金字塔高7米，最顶部的马车雕像高6米，建筑物被墩座墙围住，旁边以石像作装饰，顶部的雕像是四匹马拉着一架古代战车，若摩索拉斯陵墓可视为一个长方体与一个正四棱锥的组合体，且长方体的上底面与正四棱锥的底面重合，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为()(参考数据：√674≈25.962)A. 2.77B. 2.43C. 1.73D. 1.357.已知a=log23⋅log35，b=log√294，c=20.99，则()A. a<c<bB. c<a<bC. a<b<cD. c<b<a8.函数f(x)=e x−1e x+1⋅sinx在区间[−π,π]上的图象大致为()A.B.C.D.9. 在面积为S 的△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=3+4StanA ，则a =( )A. 1B. √3C. 2D. 310. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(0<ω<4,|φ|<π2)，f(π12)=f(7π12)=0，则f(x)=( )A. sin(2x −π6)B. sin(3x −π4)C. sin(3x +π4)D. sin(2x +π3)11. 点F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，横坐标为m(m >0)的点P 为抛物线C 上一点，过点P 且与抛物线C 相切的直线l 与y 轴相交于点Q ，则tan∠FPQ =( )A. √m√mC. √m+12√m+112. 已知函数f(x)=xlnx ，若对任意x 1>x 2>0，λ2(x 12−x 22)>f(x 1)−f(x 2)恒成立，则实数λ的取值范围为( )A. [1,e]B. (−∞,1]C. [e,+∞)D. [1,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x +y −1≤05x −y +7≥0，则z =−x −3y 的最小值为______ ．14. 已知(2−x)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则a 1+2a 2+3a 3+⋯+10a 10=______ ． 15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，A 为双曲线C 的右顶点，过点F 作x 轴的垂线，与双曲线C 交于P ，若直线AP 的斜率是双曲线C 的一条渐近线斜率的√3倍，则双曲线C 的离心率为______ ．16. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且∠APB =60°，当△PAB 的面积最大时，四棱锥P −ABCD 的高为______ ，四棱锥P −ABCD 外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=a n．a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=4，求数列{b n}的前n项和S n．4− a n218.如图1中，多边形ABCDE为平面图形，其中AB=AE=√3，BE=BC=2，CD=4，BE//CD，BC⊥CD，将△ABE沿BE边折起，得到如图2所示四棱锥P−BCDE，其中点P与点A重合．(1)当PD=√11时，求证：DE⊥平面PCE；(2)当二面角P−BE−C为135°时，求平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值．19.某校为了调研学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学生，调查分析学生的物理成绩，为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩，分成如下四组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并分别绘制了如图所示的频率分布直方图：规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀．(1)根据这次抽查的数据，填写下列的2×2列联表；优秀不优秀合计男生女生合计(2)根据(1)中的列联表，试问能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关？(3)用样本估计总体，将频率视为概率.在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记“8名男生中恰有n(1<n<8)名物理成绩优秀”的概率为P1，“8名女生中恰有n(1<n<8)名物理成绩优秀”的概率为P2，试比较P1与P2的大小，并说明理由．附：临界值参考表与参考公式P(K2≥K0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d.)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x轴的直线与C 交于M ，N 两点，且M 的坐标为(1,32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 2作与直线MN 不重合的直线l 与C 相交于P ，Q 两点，若直线PM 和直线QN 相交于点T ，求证：点T 在定直线上．21. 已知函数f(x)=x −1x −2alnx(a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若lnx 1−lnx 2=1x 1+1x 2，求证：x 1>x 2+2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−12t,y =√32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)已知A 是曲线C 上一点，B 是直线l 上位于极轴所在直线上方的一点，若|OB|=2，求△AOB 面积的最大值．23.设a，b，c∈R，且a+b+c=1．(1)求证：a2+b2+c2≥1；3(2)用max{a,b，c}表示为a，b，c，的最大值，求max{a+b,b+c,c+a}的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：z=1+i3+i =(1+i)(3−i)(3+i)(3−i)=4+2i10=25+15i，所以复数z在复平面内对应的点(25,15)位于第一象限．故选：A．利用复数的运算法则及几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|−2<x<2}，B={y|y=32x−1}={y|y>−1}，∴∁U B={y|y≤−1}，∴A∩(∁U B)=(−2,−1]．故选：B．求出集合B，从而求出∁U B，进而求出A∩(∁U B)．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由tanθ=1，解得θ=kπ+π4(k∈Z)，∴“θ=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanθ=1”的充分不必要条件．故选：A．由tanθ=1，解得θ=kπ+π4(k∈Z)，即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：依据题意，抽样间隔为25， 又237除以25的余数为12，故所抽取的编号为：12+25k(k =0,1，…，47)， 所以327不符合． 故选：A ．抽样间隔为25，由237除以25的余数为12，得到所抽取的编号为：12+25k(k =0,1，…，47)，由此能求出结果．本题考查抽样编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =0，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =12，所以cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=12，又〈a ⃗ ,b⃗ 〉∈[0,π]，所以〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=π3． 故选：B ．利用向量的垂直关系，推出数量积的值，然后求解向量的夹角即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意可得，金字塔的侧棱长为√72+252=√674， 则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为√674≈1.73， 故选：C ．由正四棱锥的几何结构特征可求出金字塔的侧棱长，从而计算陵墓的高与金字塔的侧棱长之比即可．本题考查了信息题，解题的关键是正确理解题意，从中抽取出立体几何模型进行求解，属于基础题．【解析】解：∵a=log25>2，b=log28116>log28016=log25=a，c<2，∴c<a<b．故选：B．利用对数与指数函数的单调性即可得出大小关系．本题考查了对数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由f(−x)=e −x−1e−x+1⋅sin(−x)=e x−1e x+1⋅sinx=f(x)，可知f(x)为偶函数，排除B，又由当x∈[0,π]时，f(x)=e x−1e x+1⋅sinx≥0.排除CD，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．9.【答案】B【解析】解：因为b2+c2=3+4StanA，由三角形的面积公式可得：b2+c2=3+2bcsinAtanA，即b2+c2=3+2bccosA，由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccosA=3，所以a=√3．故选：B．由三角形的面积公式化简已知等式可得b2+c2=3+2bccosA，进而根据余弦定理可得a的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理及三角形的面积公式是解本题的关键，是基础题．【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<4,|φ|<π2)，f(π12)=f(7π12)=0，所以{πω12+φ=k1π,7πω12+φ=k2π(k1,k2∈Z)，两式作差得πω2=(k2−k1)π(k1,k2∈Z)，解得ω=2(k2−k1)(k1,k2∈Z)，又由0<ω<4，可得ω=2，φ=kπ−π6(k∈Z)，又由|φ|<π2，可得φ=−π6，故f(x)=sin(2x−π6)．故选：A．利用特殊点的函数值列出关于ω，φ的方程组，作差后结合ω的范围，求出ω，φ，即可得到f(x)的表达式．本题考查了求解y=Asin(ωx+φ)解析式问题，一般是利用最值求A，利用周期求ω，利用特殊点求解φ，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由抛物线的对称性，不妨设点P位于第一象限，可得点P的坐标为(m,2√m)，设直线l的方程为y=k(x−m)+2√m，联立方程{y2=4xy=k(x−m)+2√m，消去x后整理为ky2−4y+8√m−4km=0，有△=16−4k(8√m−4km)=0，有mk2−2√mk+1=0，解得k=√m，可得直线l的方程为y=√m+√m，令y=0，得x=−m，直线l与x轴的交点D的坐标为(−m,0)，所以|DF|=1+m，又|PF|=m+1，所以|PF|=|DF|，所以∠FPQ=∠FDP，所以tan∠FPQ=tan∠FDP=k=√m，故选：B．设点P的坐标为(m,2√m)，设直线l的方程为y=k(x−m)+2√m，联立直线与抛物线方程，利用判别式为0，求解k=√m，得到直线方程，然后求解tan∠FPQ即可．本题考查直线与抛物线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：由λ2(x 12−x 22)>f(x 1)−f(x 2)，得λ2x 12−x 1lnx 1>λ2x 22−x 2lnx 2．令g(x)=λ2x 2−xlnx ，则问题可以转化为：对任意x 1>x 2>0，g(x 1)>g(x 2)恒成立， 即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增， 因为g′(x)=λx −lnx −1，故问题转化为g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立， 因为x ∈(0,+∞)， 所以λ≥lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，即转化为λ≥[lnx+1x]max ．令ℎ(x)=lnx+1x，则ℎ′(x)=−lnx x 2，所以当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0， 所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(1)=1， 所以λ≥1． 故选：D ．首先将不等式进行变形可得λ2x 12−x 1lnx 1>λ2x 22−x 2lnx 2，构造函数g(x)=λ2x 2−xlnx ，则问题转化为为g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，利用参变量分离法，问题转化为求解λ≥[lnx+1x]max ，构造函数ℎ(x)=lnx+1x，利用导数求解ℎ(x)的最大值即可．本题考查了函数与不等式的综合应用，主要考查了不等式恒成立问题、利用导数求解函数最值问题，要掌握常见的求解不等式恒成立的方法：参变量分离法、最值法、数形结合法等，属于中档题．13.【答案】−5【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y −1=05x −y +7=0，解得A(−1,2)，化目标函数z =−x −3y 为y =−x3−z3，由图可知，当直线y =−x3−z3过点A(−1,2)时，z 取得最小值，z 的最小值为−5． 故答案为：−5．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．14.【答案】−10【解析】解：对(2−x)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，两边分别求导， 可得−10(2−x)9=a 1+2a 2x +⋯+10a 10x 9， 令x =1，得a 1+2a 2+3a 3+⋯+10a 10=−10， 故答案为：−10．对所给的等式求导数，再令x =1，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，二项展开式的通项公式，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：设焦点F 的坐标为(c,0)，双曲线C 的离心率为e ， 不妨设点P 位于第一象限，可求得点P 的坐标为(c,b 2a )，点A 的坐标为(a,0)，直线AP 的斜率为b 2ac−a=c 2−a 2a(c−a)=c+a a=e +1，又由b a=√c2−a 2a 2=√e 2−1，有e +1=√3(e 2−1)，整理为e 2−e −2=0，解得e =2或e =−1(舍)． 故答案为：2．设焦点F 的坐标为(c,0)，双曲线C 的离心率为e ，不妨设点P 位于第一象限，可求得点P 的坐标为(c,b 2a)，点A 的坐标为(a,0)，利用直线的斜率与渐近线的斜率关系，列出方程，求解离心率即可．本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】√3 28π3【解析】解：点P 在以弦AB =2，所对的圆周角为60°的优弧APB 上运动，作PH ⊥AB ，H 为垂足，由侧面PAB ⊥底面ABCD ，得PH ⊥底面ABCD ．当H 为AB 的中点时，△PAB 为等边三角形， 此时△PAB 的面积最大，且PH =√3，即四棱锥P −ABCD 的高为√3．设等边△PAB 的中心为O 1，正方形ABCD 的中心为O 2， 过O 1、O 2分别作平面PAB 、平面ABCD 的垂线，且交于点O ， 则O 为四棱锥P −ABCD 外接球的球心，则球的半径R =√O 2O 2+O 2A 2=√(√33)2+(√2)2=√73，于是四棱锥P −ABCD 外接球的表面积为4π(√73)2=28π3．故答案为：√3；28π3．作PH ⊥AB ，H 为垂足，利用面面垂直的性质定理得到PH ⊥底面ABCD ，确定当H 为AB 的中点时△PAB 的面积最大，求出棱锥的高即可；设等边△PAB 的中心为O 1，正方形ABCD 的中心为O 2，确定四棱锥P −ABCD 外接球的球心，求出球的半径，由球的体积公式求解即可．本题考查了空间几何体的综合应用，涉及了棱锥高的求解、球的体积公式的应用，要熟练掌握空间几何体的结构特征以及它们之间的联系，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a n+1=a na n+1，所以1a n+1−1a n=a n+1a n−1a n=1，又1a1=1，所以数列{1an}是首项为1，公差为1的等差数列．所以1a n =1+(n−1)=n，得a n=1n，即数列{a n}的通项公式为a n=1n(n∈N∗)．(2)由(1)，得b n=44−a n2=44−1n2=4n24n2−1=4n2−1+14n2−1=1+1(2n−1)(2n+1)=1+12(12n−1−12n+1)，则S n=1+12(11−13)+1+12(13−15)+1+12(15−17)+⋯+1+12(12n−1−12n+1)=n+12(11−12n+1)=2n(n+1)2n+1．【解析】(1)将原数列的递推式两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；(2)求得b n，结合数列的分组求和和裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：由BE//CD，BC⊥CD，BE=BC=2，CD=4，易求CE=DE=2√2，所以CE2+DE2=CD2，所以DE⊥CE．因为PE=√3，PD=√11，所以DE2+PE2=11=PD2，所以DE⊥PE．又PE∩CE=E，PE，CE⊂平面PCE，所以DE⊥平面PCE．(2)解：取BE的中点O，过点O在平面BCDE内作BE的垂线交CD于F，以直线OF为x轴，直线OE为y轴，过点O作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角体系，则O(0,0，0)，B(0,−1,0)，E(0,1，0)，C(2,−1,0)，D(2,3，0)．因为PB=PE，O为BE的中点，所以PO⊥BE，又BE ⊥OF ，所以∠POF =135°．在△PBE 中，PE =√3，BE =2，所以PO =√2，所以P(−1,0，1)， 所以OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,1)． 设平面PBE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，有{m ⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{y =0z =x ，令x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,0,1)； 设平面PCD 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,1)， {n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{b =0c =3a ，令a =1，得n ⃗ =(1,0,3)，所以m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4，|m ⃗⃗⃗ |=√2，|n ⃗ |=√10，cos〈m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4√2×√10=2√5，故平面PBE 与平面PCD 所成二面角的正弦值为√1−(2√5)2=√55．【解析】(1)证明DE ⊥CE.DE ⊥PE.然后证明DE ⊥平面PCE ．(2)取BE 的中点O ，过点O 在平面BCDE 内作BE 的垂线交CD 于F ，以直线OF 为x 轴，直线OE 为y 轴，过点O 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角体系，求出平面PBE 的法向量，平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PBE 与平面PCD 所成二面角的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)列出2×2列联表如下：(2)K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40(15×15−5×5)220×20×20×20=10>6.635，所以能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关． (3)根据频率分布直方图，可得男生物理成绩优秀的概率为0.5+0.25=0.75=34， 女生物理成绩优秀的概率为0.2+0.05=0.25=14． 设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量ξ， “8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量η， 根据题意，得ξ～B(8,34)，η～B(8,14)， 则P 1=C 8n (34)n(1−34)8−n=C 8n (34)n (14)8−n=C 8n ⋅3n48，P 2=C 8n (14)n(1−14)8−n =C 8n (14)n (34)8−n=C 8n ⋅38−n48，所以P1P 2=C 8n ⋅3n 48C 3n ⋅38−n 48=32n−8，当n =4时，32n−8=1，于是P 1=P 2； 当1<n <4时，32n−8<1，于是P 1<P 2； 当4<n <8时，32n−8>1，于是P 1>P 2．【解析】(1)根据中给出的信息，列出2×2列联表即可；(2)利用(1)中的2×2列联表，求出观测值，与题中给出的临界值进行比较，即可得到答案；(3)根据题意，求出男生物理成绩优秀的概率和女生物理成绩优秀的概率，设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量ξ，“8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量η，则有ξ～B(8,34)，η～B(8,14)，分别求解P 1，P 2，然后利用作商法比较大小即可． 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了概率的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意，得F 2(1,0)，F 1(−1,0)，且c =1，则2a =|MF 1|+|MF 2|=√(−1−1)2+(32−0)2+32=4，即a =2，所以b =√a 2−c 2=√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)证明：由(1)及C 的对称性，得点N 的坐标为(1,−32)，设直线l 的方程为y =k(x −1)，点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2). 联立方程{x 24+y 23=1,y =k(x −1),消去y 后整理为(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．直线PM 的斜率为y 1−32x 1−1=k(x 1−1)−32x 1−1=k −32x1−2，直线PM 的方程为y −32=(k −32x 1−2)(x −1)，直线QN 的斜率为y 2+32x 2−1=k(x 2−1)+32x 2−1=k +32x 2−2，直线QN 的方程为y +32=(k +32x2−2)(x −1)．将直线PM 和直线QN 方程作差消去y 后整理为(32x 1−2+32x 2−2)(x −1)=3，可得(1x 1−1+1x 2−1)(x −1)=2，而由1x 1−1+1x 2−1=x 1+x 2−2(x 1−1)(x 2−1)=x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=8k 24k 2+3−24k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1=23．可得23(x −1)=2，解得x =4，即直线PM 和QN 的交点T 的横坐标恒为4， 所以点T 在定直线x =4上．【解析】(1)过F 2且垂直于x 轴的直线与C 交于M 的坐标为(1,32)，可得c =1，由椭圆的定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a ，解得a ，由a 2=b 2+c 2，解得b ，进而可得椭圆的方程， (2)由(1)及C 的对称性，得点N 的坐标，设直线l 的方程为y =k(x −1)，点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，进而可得直线直线PM 的方程，直线QN 的方程，联立解方程组，可得答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1+1x 2−2a x=x 2−2ax+1x 2．令g(x)=x 2−2ax +1，方程x 2−2ax +1=0的判别式△=4a 2−4=4(a +1)(a −1)， (ⅰ)当△≤0，即−1≤a ≤1时，g(x)=x 2−2ax +1≥0恒成立， 即对任意x ∈(0,+∞)，f′(x)=g(x)x 2≥0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增． (ⅰ)当△>0，即a <−1或a >1．①当a <−1时，g(x)=x 2−2ax +1≥0恒成立，即对任意x ∈(0,+∞)，f′(x)=g(x)x 2≥0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．②当a >1时，由x 2−2ax +1=0，解得α=a −√a 2−1，β=a +√a 2−1． 所以当0<x <α时，g(x)>0；当α<x <β时，g(x)<0；当x >β时，g(x)>0， 所以在(0,a −√a 2−1)∪(a +√a 2−1,+∞)上，f′(x)>0， 在(a −√a 2−1,a +√a 2−1)上，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,a −√a 2−1)和(a +√a 2−1,+∞)上单调递增； 在(a −√a 2−1,a +√a 2−1)上单调递减． 综上，当a ≤1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >1时，f(x)在(0,a −√a 2−1)和(a +√a 2−1,+∞)上单调递增，在(a −√a 2−1,a +√a 2−1)上单调递减．(2)证明：由lnx 1−lnx 2=1x 1+1x 2，得lnx 1−lnx 2>0，所以x 1>x 2>0，因为lnx 1−lnx 2=1x 1+1x 2，所以lnx 1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=x 1x 2+1x 1，令x 1x 2=t ，则t >1，lnt =t+1x 1，所以x 1=t+1lnt，x 2=t+1tlnt，所以x 1−x 2=t 2−1tlnt，所以要证x 1>x 2+2，只要证t 2−1tlnt>2，即证t −1t >2lnt(t >1)，由(1)可知，当a =1时，所以f(x)=x −1x −2lnx 在(0,+∞)上是增函数， 所以，当t >1时，f(t)>f(1)=0，即t −1t >2lnt(t >1)成立， 所以x 1>x 2+2成立．【解析】(1)先求定义域，再求导函数，讨论导函数所对应方程根的情况，结合导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；(2)令x 1x2=t ，则t >1，lnt =t+1x 1，从而可得x 1=t+1lnt，x 2=t+1tlnt ，则x 1−x 2=t 2−1tlnt，所以要证x 1>x 2+2，只要证t 2−1tlnt>2，即证t −1t >2lnt(t >1)，最后根据函数单调性可得结论．本题主要考查了利用导数研究函数单调性，以及利用导数研究函数的最值，同时考查了换元法和转化法的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)由l 的参数方程得l 的普通方程为y =−√3x ，所以l 的倾斜角为2π3， 所以直线l 的极坐标方程为θ=2π3(ρ∈R)；由曲线C 的参数方程得C 的普通方程为(x −1)2+y 2=1， 根据{x =ρcosθy =ρsinθ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ． (2)由|OB|=2，则B 的极坐标为(2,2π3)．设A(ρ,θ)(−π2≤θ≤π2)，则S △AOB =12|OA|⋅|OB|sin∠AOB =12×2×2cosθsin(2π3−θ)， =2cosθ(√32cosθ+12sinθ)=√3cos 2θ+sinθcosθ， =√3×1+cos2θ2+12sin2θ=sin(2θ+π3)+√32， 当sin(2θ+π3)=1，即θ=π12时，(S △AOB )max =1+√32．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用三角形的面积公式和三角函数关系的变换及正弦型函数的性质的应用求出三角形面积的最大值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)证明：∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立)，b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时等号成立)，c2+a2≥2ac(当且仅当c=a时等号成立)，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+ c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2)，由a+b+c=1，得a2+b2+c2≥13(当且仅当a=b=c=13时等号成立)；(2)解：设M=max{a+b,b+c,c+a}，则M≥a+b，M≥b+c，M≥c+a，从而3M≥2(a+b+c)=2，即M≥23．当且仅当a+b=b+c=c+a，a+b+c=1，即a=b=c=13时，max{a+b,b+c,c+a}的最小值为23．【解析】(1)直接由已知结合基本不等式即可证明；(2)设M=max{a+b,b+c,c+a}，由已知可得M≥a+b，M≥b+c，M≥c+a，由不等式的可加性求得max{a+b,b+c,c+a}的最小值．本题考查基本不等式的应用，考查函数最值的求法，考查化归与转化思想，是中档题．。