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11.2 幂的乘方思考一个正方体的边长是10²cm ，则它的体积是多少？这个列式非常简单：（10²）³＝100×100×100＝1 000 000.如果让你写下100个410的乘积，有没有简单的写法呢？根据乘方的意义，100个410相乘，可以写成4100(10).你会计算吗？（1）3233336(2)2222+=⨯==； （2）3[(3)]-＝_________＝___________＝____________；（3）343333()a a a a a =＝___________＝____________.问题根据上述的计算，完成下面的填空：()m n a a=（ ），()()n m m n m mm m m m mn n a a a a a a +++===个个，有()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.值得注意的是：1.这里的底数、指数可以是数，也可以是字母，也可以是单项式和多项式.2.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于，一个是“指数_______”，一个是“指数_______”.例1 计算下列各式，结果用含幂的形式表示：（1）45()x ；（2）76[()]x -；（3）2332()()a a --；（4）8236()()()p p p ---；（5）2332[(2)][(2)]a b b a --分析 运算顺序应遵循先乘方后乘法.解 （1）原式＝45()x ＝20x .（2）原式＝674242()()x x x ⨯-=-=（3）原式＝23326612()()a a a a a -=-=-.（4）原式＝1423142320()()()p p p p p --=-=-.（5）原式＝6612(2)(2)(2)a b b a a b --=-.例2 计算：（1）38462332264()7()2()()()x x x x x ++ ；（2）4224223322)()()()()()x x x x x x x x +-----（.解：（1）原式＝2424661224242424472472x x x x x x x x x -+=-+=-.（2）原式＝58433488880x x x x x x x x x x x x +--=+--=.例3 如果2228162n n =，求n 的值.解：34347128162(2)(2)2222n n n n n n n +===，那么7n ＋1＝22,7n ＝21，n ＝3，即n 的值为3. 例4 已知10a ＝5，10b ＝6，求（1）231010a b +的值；（2）2310a b +的值.解：（1）231010a b +＝23(10)(10)a b +＝5²＋6³＝25＋216＝241.（2）2310a b +＝23231010(10)(10)a b a b =＝5²×6³＝25×216＝5400.例5 比较5553，4444，3335的大小.解 5553＝5111111(3)243=，44441111114(4)256==，33331111115(5)125==，而111111111256243125>>，因此444555333435>>.练习11.21.计算：32[()]y -＝_______；1333()()()x x x ---＝___________.2.若n a ＝3，则3n a ＝_____________.3.计算243332()()a a a a -.4.计算322323[()][()]2()(()[()]a b a b a b a b a b +-+-+--+.5.计算：342324525()()2[()]()p p p p -+--.6.若n 是正整数，a ＝－1时，221()n n a +--为（ ）A.1B.－1C.0D.1或－17.等式()n n a a -=-（a ≠0）成立的条件是（ ）A.n 是奇数B.n 是偶数C.n 是正整数D.n 是整数8.下列计算中，正确的有（ ）（1）x ³·x ³＝2x ³ （2）33336x x x x ++==（3）33336()x x x +== （4）23239[()]()()x x x -=-=-A.0个B.1个C.2个D.4个9.已知2a m =，2b n =，求222a b +的值.10.比较753与1002的大小.练习11.2答案1. 6y ，22x -2. 273. 04. 82()a b +5. 183p -6. A7. A8. A9. m ²n ²10. 7510032>11.2《幂的乘方》练习练习11.21.（1）123(2()32()()(()a a a ==== ) ) . （2）2()393m = .（3）33m y =，9m y ＝__________.（4）21()m a +＝________.（5）32()[()]()a b b a -=- .（6）若948162m m =，则m ＝________.（7）若1216x +=，则x ＝_________.2.计算.（1）522(1)[(3)]--（2）223()()()a a a --.（3）2332[()()]x x -.（4）2332()[()]x x +-.（5）32342224()()4()x x x x x x -+-+.（6）2322(32)(23)[(23)]a b b a b a --+-.3.（1）如果28(9)3n =，则n 的值是（ ）.A.4B.2C.3D.无法确定 （2）若436482n ⨯=，则n 的值是（ ）A.11B.18C.30D.334.若22m m x x =（m 为正整数），求9m x 的值.5.（1）若2228162n n =，求正整数n 的值.（2）若1216(9)3m +=，求正整数m 的值.6.已知33m a =，32n b =（m 、n 为正整数），求233242()()m n m n m n ab a b a b +-的值.7.比较1002与753的大小.8.已知1103m -=，1102n +=（m 、n 为正整数），求23110m n ++的值.答案 练习11.21. （1）4,6,9，4a ，6a （2）2＋2m （3）27 （4）22m a + （5）6 （6）1 （7）x ＝32. （1）43- （2）9a - （3）18x （4）62x （5）84x （6）(23)(231)b a b a --+3. （1）B （2）D4. 98m x =5. （1）n ＝3；（2）m ＝36. －77. 1007523<8. 72。
2.6分数与小数的互化问题1：将35，58，920，47100，5480按从小到大的顺序排列• 我们学习了分数与除法的关系，可以将以上各分数通分，也可以将分数化为小数．35＝0.6，58＝0.625，920＝0.45，47100＝0.47，5480＝0.675， 920＜47100＜35＜58＜5480． 你能发现这些分数化成有限小数的规律吗？一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数．问题2：将914，711，813按从小到大的顺序排列． 我们也可以将他们化为小数进行比较．914＝0.6 ．42 8571 ．，711＝0.6 ．3 ．，813＝0.6 ．15 384 ．， 即813＜711＜914．我们能发现这些分数不能化成有限小数，但小数部分却又有一定的规律．即一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数． 一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节．例1：在分数721，150，340，732，215中，能化为有限小数的分数的有 个． 解：150，340，732共3个．例2：将下列分数化为有限小数，若不能化为有限小数，则化为循环小数． (1)78；(2)1512；(3)16；(4)5399． 解：(1)78＝0.875；(2)1512 ＝54＝1.25；(3)16 ＝0.16 ．；(4)5399＝0.53．．． 对于一个分数总可以化成有限小数或循环小数，那么如何将有限小数或循环小数化为分数呢？例3：将0.6， 0.16， 0.166分别化成分数．分析 有限小数化为分数，原来有几位小数，就在1后面添几个零作分母，原来的小数去掉小数点作分子，若有整数部分作为带分数的整数部分，分数一定要化为最简分数．解：0.6＝610＝35，0.16 ＝16100＝425，2.166＝21661000＝283500．例4：将0.6 ．、0.36 ．化成分数．解：(1)方法一：0.6 ．×10＝6.6 ．， 0.6 ．×10－0.6 ．＝6， 9×0.6 ．＝6， 0.6 ．＝69，即：0.6 ．＝23．方法二：设x ＝0.6 ．，那么 10x ＝6.6 ．，6.6 ．＝6＋0.6 ．，所以 10x ＝6＋x ，x ＝69，x ＝23． (2)方法一：0.36 ．×10＝ 3.6 ．，0.36 ．×100 ＝36.6 ．，0.36 ．×100－3.6 ．＝33，99×0.36 ．＝33， 0.36 ．＝3399＝1130． 方法二：由于0.06 ．＝0.6 ．×110＝23×110＝230， 0.36 ．＝0.3＋230＝1130．练习2．61．将分数14化为小数是 ，分数78化为小数是 ． 2．比较下列两组数的大小：120 0.05，3383.376． 3．将小数0.12化为最简分数是 ． 4．将379化为循环小数是 ． 5．比较大小：0.571 ． 0.572．6．将下列分数化为有限小数或循环小数． (1)125；(2)59；(3)413． 7．将下列小数化为最简分数． (1) 2.14； (2)3.235；(3)3.9 ．； (4) 0．78 ．．8．计算：0.1 ．＋0.125＋0. 3 ．＋0.16 ．，结果写成分数形式．9．真分数7a 化为循环小数是什么？请你找出其中的规律，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少？练习2．6 答案 1．0.25；0.875． 2．＝；＜． 3．325． 4．4.111…． 5．＜． 6．(1)0.04．(2)0.5 ．．(3)0. 3 ．07692 ．．7．(1)10750．(2)647200．(3)4．(4)7190． 8．5372． 9．a ＝1时，0.1 ．42857 ．；a ＝2时，0.2 ．85714 ．；a ＝3时，0.4 ．28571 ．；a ＝4时，0.5 ．71 428 ．；a＝5时，0.7 ．14 285 ．；a ＝6时，0.8 ．57 142 ．．循环节都由1、2、4、5、7、8这6个数字组成．a ＝6．2.6《分数与小数的互化》练习1．比较大小120 0.05， 3383.376． 2．将小数0.12化为最简分数 ，把1.05化成假分数 ．3．—个最简分数能化为有限小数的条件是分母中只含 有 ．4．循环小数3.262 062 062 0…用简便方法写作 ． 5．比较大小：0.571 ． 0.572．6．—个分数总可以化成有限小数或 ．7．循环小数2.120 342 034 203 4…用简便方法写作 ．8．下列说法中正确的是( )．A ．小数0．121 221 222…是循环小数B ．分数总可以化为循环小数C ． 0．223 232 3…的循环节是“223”D ．循环小数不一定小于19．下列说法中正确的是( )．A ．任何分数都能化为有限小数B ．任何有限小数都能化为最简分数C ．分数114能化为有限小数 D ．将小数2.12化为分数是325 10．在分数721、1785、340、732、215、624中能化为有限小数的分数个数是()． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．将下列分数化为有限小数或循环小数． (1)132；(2)413；(3)215．12．将下列小数化为最简分数(1) 3.235； (2) 0.78 ．； (3) 0.27．．．13．计算0.16 ．＋0.1 ．＋0.125＋17(结果写成分数形式)．14．小马虎计算5.37 ．乘以某数时，把5.37 ．误看成5.37，结果相差2.1，问某数是多少？练习2.6 答案1．＝，＜． 2．325，2120． 3．因数2或5． 4．3.26 ．20 ．． 5．＜． 6．循环小数． 7．2.12 ．034 ． 8．D9．B 10．D11．(1)0.03125；(2)0.3 ．07692 ．；(3)0.13 ．．12．(1)647200；(2)7190；(3)311． 13．275504．提示：原式＝16190-＋19＋18＋17＝16＋17＋18＋19＝275504． 14．270．提示：设某数为x ，373590x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝537100•x ＋2.1，x ＝270．。
14.4 n次方根如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，那么这个数叫做a的n次方根.当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根(类似立方根)；当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根(类似平方根).求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数.试一试(1)－1024的5次方根是什么?(2) 1024的10次方根是什么?奇次方根与偶次方根的区别实数a a是任意一个实数，n是大于1的奇数；正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n n次方根用“n a”表示.其中被开方数a>O，根指数n为大于0的偶数（当n=2时，“n a”中的n省略不写).负数的偶次方根不存在；零的n=0.例1计算：256243;(4)8.解： 6.3.5243 3.26864 2.例2已知a>0，n为正整数，求a的n次方根.解：若n为正偶数,则a的n次方根为n a；若n为正奇数，则a的n例3用“>”连接下列各数：n3432,16,27, 1.n5313227.例4当x为何值时，下列各式有意义?625x x x2;(2);(3) 1.解：(1)当2x时，原式有意义.(2)当x为一切实数时，原式有意义.(3) 当x为一切实数时，原式有意义.练习14.41.判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由.(1)一个数的偶次方根总有两个.(2) 1的奇次方根是1.7.(4) 2是16的四次方根.(5) a 的n 次方根的个数只与a 的正负有关.2.求值： 3663331;(5)4;(6)2.23.计算： 23653354181164;(2);(3)232;(4)0.008.1627324.370x y ，求2x y 的四次方根.5.已知224410260x y x y ,求12x y 的5次方根.练习14.4答案1.(1)不正确.正数的偶次方根总有两个，零的偶次方根只有一个，是零，负数没有偶次方根(2)不正确.1的奇次方根是1(3)不正确7(4)正确(5)不正确.a 的n 次方根的个数不仅与a 的正负有关，还与n 的奇偶性有关 2.11(1)3(2)1(3)(4)(5)2(6)422 3. 1(1)1(2)(3)4(4)0.764.2.提示：3,7x y5.1.提示：2222144110250,2150,,52x x y y x y x y14.4 n 次方根练习14.4n 为偶数)有意义，则a 的取值范围是 ；n 为奇数)有意义，则a 的取值范围是 .的四次方根是 _.3.3,0.125.4.5246512,,8,0.0256.325.计算：5411.16326.计算：22313125.7.计算：234102.3278.10.81249.若24240x y ，求x y 的平方根.10.当0x 时，求63632x x x 的值.练习14.4答案 1.0a ；a 取一切实数 2.2 3.2;0.53 4.12;;2;0.425.06.37.838.39.410.0。
11.11分组分解法想一想如何将多项式am＋an＋bm＋bn因式分解？分析：很显然，多项式am＋an＋bm＋bn加中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于am＋an＝a(m＋n)，bm＋bn＝b(m＋n)，而a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．这样就有：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．试一试：把下列各式分解因式：(1)20(x＋y)＋x＋y；(2)p－q＋k(p－q)；(3)5m(a＋b)－a－b；(4)2m－2n－4x(m－n)．例1：分解因式：a2－ab＋ac－bc．分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a－b，这样就可以继续提公因式．a2－ab＋ac－bc解：a2－ab＋ac－bc＝(a2－ab)＋(ac－bc)＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)．例2：分解因式：2ax－10ay＋5by－bx．分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与－b，这时另一个因式正好都是x－5y，这样就可以继续提公因式．解：2ax－10ay＋5by－bx＝(2ax－10ay)＋(5by－bx)＝2a(x－5y)－b(x－5y)＝(x－5y)(2a－b)．思考：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试．如果能，请你看一下结果是否相同？例3：分解因式：(xy－1)2＋(x＋y－2)(x＋y—2xy)．解：原式＝x2y2－2xy＋1＋(x＋y)2－2(x＋y)—2xy(x＋y)＋4xy＝[x2y2－2xy(x＋y)＋(x＋y)2]＋[2xy－2(x＋y]＋1＝(xy－x－y)2＋2(xy－x－y)＋1＝(xy－x－y＋1)2＝(x－1)2(y－1)2．归纳：注意分组时要选择分组方法，要保证分组后各组有公因式．练习11．111．分解因式：x2－y2－x－y．2．分解因式：1－a2＋2ab－b2．3．分解因式：a4－2a3＋a2－9．4．分解因式：x2－x－9y2－3y．5．分解因式：(x＋2)(x－2)－4y(x－y)．6．分解因式：x2(x＋1)－y2(y＋1)．7．分解因式：4a2－4(ab＋4)＋b2．答案：练习11．111．原式＝(x＋y)(x－y)－x－y＝(x＋y)(x－y)－(x＋y)＝(x＋y)(x－y－1) ．2．原式＝1－(a2－2ab＋b2)＝1－(a－b)2＝(1－a－b)(1－a＋b) ．3．原式＝(a2－a－3)(a2－a＋3) ．4．原式＝(x－3y－1)(x＋3y) ．5．原式＝(x－2y－2)(x－2y＋2) ．6．原式＝(x－y)(x2＋xy＋x＋y＋y2) ．7．原式＝(2a－b＋4)(2a－b－4) ．11．11分组分解法练习11．11分解因式1．x3－xyz＋x2y－x2z．2．x2－ax－ay－y2．3．4a2－4－4ab＋b2．4．ax－bx－a2＋2ab－b2．5．4x3－8x2y－xy2＋2y3．6．x2－4xy＋4y2－6x＋12y＋9．7．a3＋b3＋(a＋b)3．8．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3．9．x2n＋x n－19y2＋14．答案：练习11．111．x(x－z)(x＋y)．2．(x＋y) (x－y－a)．3．(2a－b＋2) (2a－b－2)．4．(a－b) (x－a＋b)．5．(2x＋y) (2x－y) (x－2y)．6．(x－2y－3)2．7．(a＋b)(2ª2＋ab＋2b2)．8．3(a＋b)(b＋c)(c＋a)．9．11113232 n nx y x y⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
14.6实数的运算
实数的加、减、乘、除、乘方等运算的意义，与有理数运算的意义一样．
我们学过的有理数运算法则、运算性质、运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用，开方与乘方是同级运算．
设a＞0，b＞0
，则)2b
＝()
22
b＝ab
．
．实数运算的性质：
1|a|＝
()
()
()
,0
0,0
; 0
a a
a
a a
⎧
⎪
⎨
⎪
-⎩
＞
＝
＜
2．2a
=(a≥0)
3
a≥0，b≥0)；
4
(a≥0，b＞0)．
例1不用计算器，计算：
(1
(2
；
(3
)⎛
⎝
；
(
4
)
(
5
(6
(7
))()0
22 3.14
π
+
+-；
(8
)((22
+
；
解：
(1
10．
(2
＝3．
(3)⎛ ⎝＝1322⎛-+ ⎝
(4) ＝＝＝12⨯＝
(5)
(63．
(7) )()022 3.14π+-＝()2221⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
＝(3－4)＋1＝0．
(8) ((22＝(2⎡⎤⎣⎦＝(222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦＝(28－5)2＝232＝529．
例2 化简：
(1(2(3x ．
解：(1＝2，原式＝2|＝2
(2)π＜3.15|ππ；
(33|x －3|＝3－x ＝3
练习14.6(1)
1．2
＝ ；
＝ ；1-＝ ．
2＝ ；(2 ．
3＝ ；＝ ．
4＝ ；＝ ．
5＝ ；(23-＝ ．
6＝ ；＝ ；)0
5＝ ．
7()4
51÷．
8．
(26-+．
9⎛- ⎝⎭
．
10．
11
12．()31111525--+．
13．⋅
14．- 15．如果32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭有平方根，且满足|2x －1|＝6，试求32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的平方根．
在生活中的各种场合，我们会遇到许多数字．其中有的数字完全符合实际情况，如市北初级中学2013届五班有41人，这里的41就完全符合实际情况，是准确数．而有的数字则表示大致情况，如国家统计局发布的2011年国民经济运行情况显示，全年国内生产总值471 564亿元，这里的471 564就表示大致情况，是近似数．
一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数．
例3 下列所列数据中，哪些是准确数？哪些是近似数？
(1)初一(4)班有59名同学；
(2)李老师花10元钱买了4千克香蕉；
(3)我校初中教学楼共6层，每层的楼梯都是22阶，经测量每阶台阶的高是15厘米；
(4)小亮用直尺测量一本数学书的厚度是1.05厘米，因此，他认为10本这样的数学书摞起来的高度是10.5厘米．
解：(1)59是准确数．(2)10是准确数，4是近似数．(3)6、22是准确数，15是近似数．(4)1.05是近似数，10是准确数，10.5是近似数．
近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度．
近似数的精确度通常有以下两种表示方式：
(1)精确到哪一位；
(2)保留几个有效数字．
对于近似数，从左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．
例如，0.124 58精确到百分位为0.12，此时是保留2个有效数字；
315000精确到万位为3.1×105，此时是保留2个有效数字；
0.001035保留2个有效数字是0.0010，此时是精确到万分位；
1035000保留2个有效数字是1.0×106，此时精确到十万位．
例4下列近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？
(1)0.0210；(2)5235 (3)703.0万；(4)5.20×104．
(1)0.0210精确到万分位，有三个有效敎争：2，1，0．
(2)523精确到个位，有三个有效数字：5，2，3．
(3)703.0万精确到千位，有四个有效数字：7，0，3，0．
(4)5.20×104精确到百位，有三个有效数字：5，2，0．
例5按括号里的要求对下列各数取近似值．
(1)60290(保留两个有效数字)；
(2)0.03057(保留三个有效数字)；
(3)2345000(精确到万位)；
(4)34.4972(精确到0.01)．
解：(1)60290＝6.0290×1046≈6.0×104．
(2) 0.03057≈0.0306．
(3)2345000≈2.35×106．(也可以写成235万)．
(4)34.4972≈34.50．
练习14.6(2)
1．三峡三期围堰于今年6月6日成功爆破．围堰的混凝土总量约186000立方米．保留两个有效数字，近似数186000用科学记数法可表示为．
2．8.10×10－3有个有效数字．
3．北京市申办2008年奥运会，得到了全国人民的热情支持，据统计某一天北京申奥网站的访问人数为2.02×105人，这个近似数精确到位，有个有效教字．4．0.0630有个有效数字．
5．用料学记数法表示2007(保留两个有效数)：．
6．我国科学考察队测出珠穆朗玛峰的高度约为8844.43米，将这个数保留2个有效数字，则8844.43≈．
7．近似数5.5×104是精确到位．
8．下列语句中措误的是()．
(A)数轴上的每一个点都有一个实数与它对应
(B)0.087用科学记数法可表示为8.7×102
(C)据报道：2007年3月18日起，整存整取的三年期定期存款的年利率为3.96%，其中3.96%这个数是近似数
(D)据统计某校7班有45名学生，其中45这个数是准确数
9．按括号要求对下列各数取近似数．
(1) 60280(保留两个有效数字)；
(2) 0.03068(保留三个有效数字)；
(3)2347 000(精确到万位)；
(4)35.562(精确到0.01)．
10．有关资料表明，一个人在刷牙过程中如果一真打开水龙头，将浪费大约7杯水(每杯水
大约250毫升)，某市约有1600万人口，如果所有的人在刷牙过程中都不关水龙头，则每次浪费多少立方米水？(结果保留3个有效数字)．
答案：
练习14.6(1)
1．2+
2．－0.3，20
3．30，4
4．3
5．3，17－
611
7．17
8．17 2
9．0
10．
11．1 12．1
13．－30
14．
5 1 12
15．2x－1＝±6，x＝7
2
或x＝－
5
2
，
因为
3
2
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
有平方根，所以
3
2
x
-≥0，即：x≤
3
2
，所以：x＝－
5
2
，
当x＝－5
2
时，
3
2
x
-＝4，所以＝±2
练习14.6(2) 1．1.9×105 2．3 3．千，3 4．3 5．2.0×103 6．8.8×103 7．千8．C。
