人教A版高中数学必修五第二课时数列求和习题课.docx

C . 410D . 430第二课时数列求和(习题课)课前白上学习*基稳才隧楼高1.判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)如果数列｛a n ｝为等比数列，且公比不等于 1,则其前n 项和S n = a1 - an +1 ()1 — q1(2)当n >2时，孑—=2^-n ++l ()(3) 求S n = a + 2a 2+ 3a 3+-+ na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得()f____ 1 (4) 数列 2(5)若数列a 1, a 2 — a 1,…，a n — a n -1是首项为 通项公式是a n =琴\)nn 项和S n =半一■=誉也1 — q 1 — q⑵正确.化简即得.⑶错误.a 的值不能确定.则用分组转化法求和,11F+…+ 2^ + (2+ 4+…+ 2n )- n1L -4?1 2n 2+ 2n n1 +2 - n 1-2 =1-屛n +『-n = 1 -升”,宀1 — 3n 3n — 1(5)正确.由题意 a n = a 1 + a 2- a 1+…+ an - 1- an- 2+ a n- an -1 == 夕 1 — 3 2答案：⑴“(2)V (3) X (4) X (5)V12.已知｛a n ｝为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1 = ?, S 2= a 3,则S 40 =( )(4)数列手+ 2n - 1的前n 项和为n 2 + *( 1,公比为3的解析：(1)正确•公比不等于的等比数列的前 (4)错误•设数列的通项公式为丄a n = 2“+ 2n - 1,S n =A. 290B. 390C. 410D. 4301 1解析：选 C 设数列｛a *｝的公差为 d.T S 2= a 3, - 2a j + d = a j + 2d,二 d = ?, •'• S 4°= 40x?n +1课堂讲练设计，卒一能迎艾藕1 1-1+ 咛9 x 卜 410. 2 2 3.设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知a 1 = 2,且a *+ 2a *+1 + a * + 2= 0(n € N )，则 S 2 018 = _____________________ ， 解析：设等比数列｛a n ｝的公比为 q ,则 a n + 2a “+1 + a + 2= a n (1 + 2q + q 2) = 0,v a n * 0, q 2+ 2q + 1 = 0. 解得 q =— 1，二 S 2 018= 0. 答案：0 解析：a n =叨=1 —1,S — K 1-S n = n —2n 1 3211厂=n —1+F =321=5+64， 1—2n = 6. 答案：6［典例］已知数列｛C n ｝ : 1^, 24, 38，…，试求 ©｝的前n 项和. ［解］令｛C n ｝的前n 项和为S n , =(1 + 2+ 3+ - + n) +2+1+1+…+18=n 宁 + 1 —即数列｛C n ｝的前n 项和为S n =中 + 1 -n2 — 1 3214.已知数列｛a n ｝的通项公式a n = 2“ ,其前n 项和S n =看,则项数n 等于则盼 12+24 +4 +1 n n + 1 , 22［題型一*分组转化法求和若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减.［活学活用］1数列｛(—1)n n｝的前n项和为S n,则S2 018等于()A. 1 009B.—1 009C. 2 018D. —2 018解析：选 A S2 018= (—1 + 2) + (—3+ 4) + …+ (—2 017+ 2 018) = 1 009.2.已知数列｛a n｝的首项a1 = 3,通项a“= 2n p+ nq(n € N , p, q为常数)，且a1, a4, a5 成等差数列.(1) 求p, q的值；(2) 求数列｛a n｝前n项和S n的公式.解：(1)由a1= 3,得2p+ q= 3，又因为a4= 24p+ 4q,a5= 2 p+ 5q,且a1+ a5= 2a4，得3 + 2 p+ 5q= 2 p+ 8q,解得p= 1, q= 1.(2)由(1),知a n= 2n+ n,所以S n= (2 + 22+ …+ 2n)+ (1 + 2+ …+ n) = 2^1—2+ n罗1 .［典例］已知等比数列｛a n｝的各项均为正数，且2a1 + 3a2= 1, a^= 9a2a&(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2) 设b n= —log/3a n，求数列ibl^ + i 的勺前n项和T n.［解］(1)设数列｛a n｝的公比为q,由a2= 9a2a6得a3 = 9a4,- q2=f.1由条件可知q>0，故q=亍.1由2a1 + 3a2= 1 得2a* + 3ay = 1 ,「. a1 = 3.故数列｛a n｝的通项公式为a n=点(2) •/ a n= £,••• b n = —log gn = 2n,2 2a［典例］已知数列｛a n ｝的首项 a 1= 3，a n + 1= a +； , n = 1,2,3,⑴把数列的通项拆成两项之差， 在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.(2)裂项求和的几种常见类型: 1 _ n(n + k ) ②「n + k +一n =k ( n+ - n )； ③ 2n - 112n + 1 =1 — 1 \2 2n — 1 2n + 1 ； ④若｛an ｝是公差为d 的等差数列，则= —丄. a n a n +1 d&n a n + 1)［活学活用］(2017全国卷川)设数列｛a n ｝满足"+ 3a 2+・・・+ (2n — 1)a n = 2n. (1)求｛a n ｝的通项公式； ⑵求数列电n ； q 的前n 项和.解：⑴因为 a 1 + 3a 2+ - + (2n — 1)a n = 2n ,故当 n 》2 时，a 1 + 3a 2 + …+ (2n — 3)a n -1=2(n — 1). 2两式相减得(2n — 1)a n = 2,所以a n = ~ (n > 2). 2n — 1又由题设可得a 1 = 2,满足上式， 2从而｛a n ｝的通项公式为 a n = 2n — 1. ⑵记。

姓名，年级：时间：第二课时数列求和习题课1.已知数列{a n｝的通项公式为a n=2n+1,则{a n}的前n项和S n等于（ B ）(A)n2 (B）n2+2n (C）2n2+n (D）n+2解析：a1=2×1+1=3，S n===n2+2n.故选B.2.已知数列｛a n}的前n项和为S n，并满足:a n+2=2a n+1-a n，a5=4—a3，则S7等于（ C ）（A)7 (B）12 （C)14 （D）21解析:由a n+2=2a n+1-a n知数列{a n}为等差数列,由a5=4—a3得a5+a3=4=a1+a7，所以S7==14。

故选C.3。

已知数列｛a n｝的通项公式是a n=2n—3（）n,则其前20项和为（ C ）(A）380-(1—) (B)400-(1-)（C）420—(1-）(D)440—(1-）解析：令数列{a n｝的前n项和为S n,则S20=a1+a2+...+a20=2(1+2+ (20)-3(++…+)=2×—3×=420-（1—)。

故选C.4。

已知数列a n=（n∈N＊）,则数列{a n｝的前10项和为（ C ）（A）（B)(C）（D)解析：a n===（—),所以S10=（—+—+…+—）=.故选C。

5.数列｛a n}满足a n+a n+1=（n∈N＊）,且a1=1，S n是数列{a n｝的前n项和，则S21等于（ B ）（A）(B）6 （C)10 (D）11解析：依题意得a n+a n+1=a n+1+a n+2=，则a n+2=a n,即数列｛a n｝中的奇数项,偶数项分别相等，则a21=a1=1，S21=（a1+a2）+（a3+a4)+…+(a19+a20）+a21=10(a1+a2）+a21=10×+1=6,故选B.6。

数列{n·2n}的前n项和等于（ B ）(A）n·2n-2n+2 (B)n·2n+1-2n+1+2（C)n·2n+1-2n（D）n·2n+1—2n+1解析:设{n·2n}的前n项和为S n,则S n=1×21+2×22+3×23+…+n·2n, ①所以2S n=1×22+2×23+…+(n-1）·2n+n·2n+1，②①—②得-S n=2+22+23+…+2n—n·2n+1=—n·2n+1,所以S n=n·2n+1—2n+1+2,故选B.7。

高中数学第二章数列2.6习题课数列求和备课资料新人教A版必修5教学建议数列求和是高考考查的热点.除了用公式求和外,还有常用的分组求和、拆项求和、裂项相消求和以及错位相减求和,其中裂项相消求和与错位相减求和是高考考查的重点.所以在该节的教学中,要讲清各种求和方法的思路以及所对应题目的特点,并让学生多做练习,以达到熟练应用的目的.教学参考国际象棋起源趣事国际象棋起源于古印度,至今见诸于文献最早的纪录是在萨珊王朝时期用波斯文写的.据说,有位印度宰相见国王自负虚浮,决定给他一个教训.他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏.国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围,百无聊赖,很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情.国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,高兴之余,他便问那位宰相:“你想要得到什么赏赐?”宰相开口说道:“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒,第三个格子上放4粒,第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍,直到最后一个格子第64格放满为止,这样我就十分满足了.”“好吧!”国王哈哈大笑,慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求.这位聪明的宰相到底要的是多少麦粒呢?稍微算一下就可以得出:1+2+22+…+263=264-1,直接写出数字来就是1,2,4,8,…,263粒,这位宰相所要求的,竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和!如果造一个宽四米,高四米的粮仓来储存这些粮食,那么这个粮仓就要长三亿千米,可以绕地球赤道7500圈,或在日地之间打个来回.国王哪有这么多的麦子呢?他的一句慷慨之言,成了他欠宰相的一笔永远也无法还清的债.正当国王一筹莫展之际,王太子的数学教师知道了这件事,他笑着对国王说:“陛下,这个问题很简单啊,就像1+1=2一样容易,您怎么会被它难倒?”国王大怒:“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他?”年轻的教师说:“没有必要啊,陛下.其实,您只要让宰相大人到粮仓去,自己数出那些麦子就可以了.假如宰相大人一秒钟数一粒,数完1,2,4,8,…,263粒麦子所需要的时间,大约是5800亿年.(大家可以自己用计算器算一下!)就算宰相大人日夜不停地数,数到他自己魂归极乐,也只是数出了那些麦粒中极小的一部分.这样的话,就不是陛下无法支付赏赐,而是宰相大人自己没有能力取走赏赐.”国王恍然大悟,当下就召来宰相,将教师的方法告知了他.宰相沉思片刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超过了我,那些赏赐……我不要了!”当然,最后宰相还是获得了很多其他赏赐.。