三角形的五心

三角形的五心
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心,或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.
三角形的五心
一定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
垂心定理：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.该点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.。

三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

第五讲 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .A BCPP MN'A B C QK P O O O ....S123二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b a c -+， AD =2222221ac b -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a23，BE =b 23，AD =c23.∴CF :BE :AD =a23:b 23:c23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2.AA 'FF 'G E E 'D 'C'P C B D据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2 ⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4； 由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. (1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2∥=∥=.OA A A A 1234H H12H H HMA B BA ABC CC F12111222D E=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A =r 2+bcac b 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r .∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴QK =AQQN MQ ⋅=αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .A B C D O O O 234O1AααMBC KN ER OQ Fr P∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2] =21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p . 而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知K r r r r O O O 213AOECBabcOD =OA ′·2'sinA=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sinB A B A +⋅，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cosB A B A +.∴2'2''B tgA tg EO OD =.亦即有11q r ·22q r =2222B tgCNB tgCMA tgA tg∠∠=22B tgA tg=qr .六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF . I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明A ...'B'C'O O 'EDE rdos..I P ABCD E FQSOE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC -∠BAO ) =30°+21(∠BAC -60°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ①AB CDE FOKG O A BC DEFIK30°B CO IA O G H O G H G O G H 123112233∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ② ∴BCHBH sin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练 习 题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.(1982，澳大利 亚数学奥林匹克)2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克) 7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.[编辑本段]1、重心三角形三条中线的交点叫做三角形重心。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。

外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。

垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。

内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。

旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。

三角形的五心定理一、三角形五心定义 内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心． 重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 .三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、P 为ABC ∆所在平面上任意一点，点O 是ABC ∆内心的充要条件是：向量重心: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等. 即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.2、若O 是ABC ∆的外心，则A BOC ∠=∠2（A ∠为锐角或直角）或A BOC ∠-=∠23600（A ∠为钝角）.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：1d ，2d ，3d 分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且2:1:=GH OG .（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三、三角形五心性质证明 垂心：已知：ΔABC 中，AD 、BE 是两条高，AD 、BE 交于点O ，连接CO 并延长交AB 于点F ，求证：CF ⊥AB .证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A 、B 、D 、E 四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO ∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD ∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF ⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC 中D 为BC 中点，E 为AC 中点，F 为AB 中点，G 为△ABC 重心做BG 中点H ，GC 中点I∴HI 为△GBC 的中位线∴HI//BC,且 2HI=BC同理：FE 是△ABC 中位线∴FE//BC,且 2FE=BC∴FE//HI,且 FE=HI∴四边形FHIE 是平行四边形∴HG=GE又H 为BG 的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重要，认真掌握莫记混．重 心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。

初中几何三角形五心及定理性质.初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证实，特别简单。

〔重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因此得名〕重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为〔〔X1+X2+X3〕/3，〔Y1+Y2+Y3〕/3〕。

5.以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A〔∠A为锐角或直角〕或∠BOC=360°-2∠A〔∠A为钝角〕。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1图2三角形的三条高〔所在直线〕交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点能够得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

〔此直线称为三角形的欧拉线〔Eulerline〕〕3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

推论：1.若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2。

三角形的五心定理重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

该点叫做三角形的重心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

垂心定理：三角形的三条高交于一点。

该点叫做三角形的垂心。

内心定理：三角形的三条内角平分线交于一点。

该点叫做三角形的内心。

旁心定理：三角形的一条内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。

该点叫做三角形的旁心。

三角形有三个旁心。

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。

它们都是三角形的重要相关点。

三角形的重心重心三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍.△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF 交于P ，则.2===PFCP PE BP PD AP三角形的内心内心和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙O 是△ABC 的内切圆，△ABC 是⊙O 的一个外切三角形，点O 叫做△ABC 的内心.三角形的三条内角平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三边的距离相等，就是三角形的内心.三角形有且只有一个内切圆.三角形的外心外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.例：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的一个内接三角形，点O叫做△ABC的外心.三角形三边的垂直平分线有一个且只有一个交点，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，就是三角形的外心.三角形有且只有一个外接圆.三角形的垂心垂心三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内（图1）；直角三角形的垂心在直角的顶点（图2）；钝角三角形的垂心在三角形外（图3）.三角形的旁心旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.补充：三角形的中心当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

一、三角形重心定理（中线的交点）重心原是物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

（证明）2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

（证明）3、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理（垂直平分线的交点）三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

外心到三顶点的距离相等2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

三、三角形垂心定理（高的交点）三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

（证明，有何作用）2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

1三角形五心目录1、重心2、外心3、内心4、垂心1、重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

定理：设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。

重心坐标为三顶点坐标平均值。

2、外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形的外心。

外心到三顶点距离相等。

过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

三角形有且只有一个外接圆。

外心公式：3、内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形有且只有一个内切圆。

内心坐标公式：4、垂心三角形三边上的三条高线交于一点，称为垂心。

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。

垂心坐标公式：5、旁心与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。

旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

三角形有三个旁切圆，三个旁心。

这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。

五心的性质:三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．(9)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质:1:垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。