二次求导

二次函数的导数二次函数的导数：1. 什么是二次函数：二次函数是指一类关系表达式构成的特定函数，式子为y = ax^2 + bx + c（a≠0），其中a、b、c是实数，而x的幂次为2。

它是n次多项式函数中最基本的函数，有特定的凸性和拐点，往往与它的单调性强相关。

2. 二次函数的导数：二次函数的导数是一类函数，以y=f(x)表示，它是指由x/y反求出来的一类函数，比如二次函数f(x) = ax^2 +bx +c的导数为f'(x) = 2ax + b，也就是求导的结果。

数学上，求导的过程是求函数的变化率，可以用符号来表示，即dy/dx=f'(x)。

3. 导数的性质：（1）线性函数的导数： f(x)=mx+b 的导数为f'(x)=m，即为常数，其结论就是线性函数的斜率是常数。

（2）函数复合性质：f(g(x))的导数为f'(g(x)) · g'(x)，若函数f(x)与g(x)符合函数复合性质，则求得f'(x) = f'(g(x)) · g'(x)（3）函数的乘法性质：f(x) · g(x)的导数为f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)，若分别求出f(x) 和 g(x)的导数，即可求得函数f(x) · g(x)的导数。

4. 如何用微积分法计算二次函数的导数：（1）将给出的二次函数化简，求出极值、最低点和极点，横坐标为x，纵坐标为y；（2）求定积分，把x变成y，y变成x，表达式变为 y = f'(x)；（3）将求出的积分带入到求导标准模式，令f'(x) = 0，算出f'(x)的回归参数。

这样就可以得出二次函数f(x)的导数f'(x)。

5. 二次函数导数的应用：（1）用来解决函数的极值问题，例如投资问题，了解函数的极大值和极小值，以此来判断投资效益的大小；（2）用来求函数的拐点，例如抛物线的顶点等；（3）在数值计算时也相当有用，用于确定函数变化速率的大小，从而划分出容易处理的步长，从而进行求解；（4）以及在统计学中用来拟合函数，来预测函数的表现。

初中数学如何求二次函数的导函数求二次函数的导函数是初中数学中的一个重要概念。

在这篇文章中，我将详细介绍如何求二次函数的导函数，并提供一些实例和性质来帮助你更好地理解二次函数的导函数。

希望这篇文章能够帮助你更好地理解二次函数的概念。

导函数是指函数在某一点的斜率或变化率。

对于二次函数，求导函数可以通过以下步骤进行：Step 1: 确定二次函数的一般形式二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。

确保你的二次函数写成这种形式。

Step 2: 使用导数的定义导数的定义是函数在某一点的变化率，可以使用极限的概念来表示。

对于一个二次函数，我们可以使用导数的定义来求导函数。

导数的定义是：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / hStep 3: 求导数的极限根据导数的定义，我们可以计算导数的极限。

对于二次函数，我们需要使用极限的性质和二次函数的一般形式来计算导数的极限。

Step 4: 简化导数的极限表达式通过计算导数的极限，我们可以得到导数的表达式。

对于二次函数，导数的表达式可以简化为一个具体的数值或含有x的表达式。

例如，考虑函数y = 2x^2 + 3x + 1。

我们可以使用导数的定义来求导函数。

根据导数的定义，我们可以计算导数的极限。

计算的过程如下：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h= lim(h->0) [2(x+h)^2 + 3(x+h) + 1 - (2x^2 + 3x + 1)] / h= lim(h->0) [2(x^2 + 2hx + h^2) + 3x + 3h + 1 - 2x^2 - 3x - 1] / h= lim(h->0) [2x^2 + 4hx + 2h^2 + 3x + 3h + 1 - 2x^2 - 3x - 1] / h= lim(h->0) [4hx + 2h^2 + 3h] / h= lim(h->0) (4hx + 2h^2 + 3h) / h= lim(h->0) 4x + 2h + 3= 4x + 3所以，函数y = 2x^2 + 3x + 1的导函数是f'(x) = 4x + 3。

二次函数的导数与曲率计算二次函数是高中数学中的一个重要概念，它的导数与曲率计算是掌握二次函数性质的关键。

本文将介绍如何计算二次函数的导数和曲率，并给出相关的计算示例。

1. 二次函数的表达式与图像二次函数的一般表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向取决于a的符号。

2. 二次函数的导数计算导数反映了函数在某一点的变化率，对于二次函数而言，其导数可以通过求导来计算。

对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其导数f'(x) = 2ax + b。

例如，对于二次函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，其导数f'(x) = 4x + 3。

3. 二次函数的曲率计算曲率反映了函数图像在某一点的弯曲程度，对于二次函数而言，其曲率可以通过计算二阶导数来得到。

对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其二阶导数f''(x) = 2a。

例如，对于二次函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，其二阶导数f''(x) = 2。

4. 二次函数导数与曲率的计算示例例如，考虑二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3。

首先，计算导数：f'(x) = 2x - 4。

然后，计算二阶导数：f''(x) = 2。

接下来，我们可以根据导数和二阶导数的值，来分析二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3的性质：(1) 当导数f'(x) = 0时，函数的斜率为零，即函数图像的切线水平。

解方程2x - 4 = 0，可以得到x = 2。

所以在x = 2处，函数图像的切线水平。

(2) 当二阶导数f''(x) = 0时，函数的曲率为零，即函数图像的凹凸性发生变化。

由于f''(x) = 2始终不等于零，说明该二次函数图像一直是凹的。

北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育二次求导问题导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容．近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现．利用二次求导求函数的单调性[典例]若函数f(x)＝sinx，0<x 1<x 2<π.设a ＝f(x 1)，b ＝f(x 2)，试比较a ，b 的大小．x[思路点拨]此题可联想到研究函数f(x)＝sinx在(0，π)的单调性．函数图象虽然可以直观地反映出两个变量x之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大．导数的建立拓展了应用图象解题的空间．导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法，具有很强的可操作性．当f ′(x)>0时，函数f(x)单调递增；当f ′(x)<0时，函数f(x)单调递减．[方法演示]解：由f(x)＝sinx，得f ′(x)＝xcosx －sinx，x 2x设 g(x)＝xcosx －sinx ，则g ′(x)＝－xsinx ＋cosx －cosx ＝－xsinx.∵ 0<x<π，∴g ′(x)<0，即函数g(x)在(0，π)上是减函数．∴g(x)<g(0)＝0，因此f ′(x)<0，故函数 f(x)在(0，π)是减函数，∴当0<x 1<x 2<π，有f(x 1)>f(x 2)，即a>b.[解题师说]xcosx －sinx从本题解答来看，为了得到f(x)的单调性，须判断f ′(x)的符号，而 f ′(x)＝x 2的分母为正，只需判断分子xcosx －sinx 的符号，但很难直接判断，故可通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题．[应用体验]1．已知函数f(x)满足f(x)＝f ′(1)ex －112－f(0)x ＋x ，求f(x)的解析式及单调区间．2解：因为f(x)＝f ′(1)ex －1－f(0)x ＋1x 2，所以f ′(x)＝f ′(1)e x －1－f(0)＋x.2令x ＝1，得f(0)＝1.所以f(x)＝f ′(1)ex －112，所以f(0) ＝f ′(1)e－1，解得f ′(1) ＝e.－x ＋x ＝12所以f(x)＝e x－x ＋1x 2.2北京华罗庚学校 为全国学生提供优质教育设 g(x)＝f ′(x)＝e x －1＋x ，则g ′(x)＝e x ＋1>0，所以y ＝g(x)在R 上单调递增．因为f ′(0)＝0，所以f ′(x)>0＝f ′(0)?x>0，f ′(x)<0＝f ′(0)?x<0.所以f(x)的解析式为f(x)＝e x－x ＋1x 2，且单调递增区间为 (0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0).2利用二次求导求函数的极值或参数的范围[典例](理)已知函数f(x)＝ln(ax ＋1)＋x 3－x 2－ax.(1) 2为y ＝f(x)的极值点，求实数a 的值；若x ＝3(2) 若y ＝f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； (3) 若a ＝－1时，方程f(1－x)－(1－x)3＝b有实根，求实数b 的取值范围．x[方法演示]解：(1)f ′(x)＝a ＋3x 2－2x －a. ax ＋12a4 4由题意，知f ′3＝0，所以2 ＋ 3－3－a ＝0，解得a ＝0.3a ＋1当 a ＝0时，f ′(x)＝x(3x －2)，从而x ＝23为y ＝f(x)的极值点．(2)因为f(x)在[1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x)＝a ＋3x 2－2x －a ＝x[3ax 2＋3－2ax －a 2＋2]≥0在[1，＋∞)上恒成立．ax ＋1ax ＋1当a ＝0时，f ′(x)＝x(3x －2)，此时f(x)在[1，＋∞)上为增函数恒成立，故 a ＝0符合题意；当 a ≠0时，由ax ＋1>0对x>1恒成立，知a>0.所以3ax 2＋(3－2a)x －(a 2＋2)≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立．令 g(x)＝3ax 2＋(3－2a)x －(a 2＋2)，其对称轴为x ＝1－1，因为a>0，所以1－1<1，所以g(x)32a32a3在[1，＋∞)上为增函数，所以只需21＋5g(1)≥0即可，即－a ＋a ＋1≥0，解得0<a ≤2 .综上，实数a 的取值范围为0，1＋5.2(3)由已知得，x>0，∴b ＝x(lnx ＋x －x 2)＝xlnx ＋x 2－x 3. 令 g(x)＝xlnx ＋x 2－x 3，则g ′(x)＝lnx ＋1＋2x －3x 2.令h(x)＝g ′(x)，则h ′(x)＝1＋2－6x ＝－6x2－2x －1x .x当0<x<1＋7时，h ′(x)>0，∴函数h(x)＝g ′(x)在0， 1＋ 7上递增；66当x> 1＋7时，h ′(x)<0，∴函数h(x)＝g ′(x)在1＋7，＋∞上递减．6 6又 g ′(1)＝0，∴存在x 0∈0，1＋7，使得g ′(x 0)＝0.6当 0<x<x 0时，g ′(x)<0，∴函数g(x)在(0，x 0)上递减； 当 x 0<x<1时，g ′(x)>0，∴函数g(x)在(x 0,1)上递增；当 x>1时，g ′(x)<0，∴函数g(x)在(1，＋∞)上递减．又当x →＋∞时，g(x)→－∞.又 g(x)＝xlnx ＋x 2－x 3＝x(lnx ＋x －x 2)≤xlnx ＋14，当x →0时，lnx ＋14<0，则g(x)<0，且g(1)＝0，∴b 的取值范围为(－∞，0]．[解题师说]本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b 的范围问题，实际上是求g(x)＝x(lnx ＋x －x 2)极值问题，问题是g ′(x)＝lnx ＋1＋2x －3x 2＝0 这个方程求解不易，这时我们 可以尝试对h(x)＝g ′(x)再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0 这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．(文)已知函数 f(x)＝ex －xlnx ，g(x)＝e x －tx 2＋x ，t ∈R ，其中e 为自然对数的底数．(1) 求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若g(x)≥f(x)对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，求 t 的取值范围．[方法演示]解：(1)由f(x)＝ex －xlnx ，知f ′(x)＝e －lnx －1，则f ′(1)＝e －1，而f(1)＝e ，则所求切线方程为 y －e ＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋1.(2)∵f(x)＝ex －xlnx ，g(x)＝e x －tx 2＋x ，t ∈R ，∴g(x)≥f(x)对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立等价于e x －tx 2＋x －ex ＋xlnx ≥0 对任意的x ∈(0，＋∞)e x ＋x －ex ＋xlnx对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立．恒成立，即t ≤2x令F(x)＝e x ＋x －ex ＋xlnxxe x ＋ex －2e x －xlnx1x＋e －2e x2，则F ′(x)＝32e x －lnx ，x x＝xx令G(x)＝e x＋e －2e －lnx ，则x＋∞)恒成立．x －e xxx －1 2＋e x－xG ′(x)＝e x －2xe2－ 1＝e 2＞0对任意的x ∈(0，xxxx∴G(x)＝e x ＋e －2e－lnx 在(0，＋∞)上单调递增，且G(1)＝0，x∴当x ∈(0,1)时，G(x)＜0，当x ∈(1，＋∞)时，G(x)＞0，即当x ∈(0,1)时，F ′(x)＜0，当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x)＞0，∴ F(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(1)＝1，∴t ≤1，即t 的取值范围是(－∞，1]．[解题师说]本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数t 的范围问题，实际上是e x ＋x －ex ＋xlnx1x＋e －2e x求F(x)＝2极值问题，问题是 2 －lnx 这个方程求解不易，这时我x F ′(x)＝x e x们可以尝试对G(x)＝F ′(x)再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．[应用体验]2．设k ∈R ，函数f(x)＝e x －(1＋x ＋kx 2)(x>0)．(1) 若k ＝1，求函数f(x)的导函数f ′(x)的极小值；(2) 若对任意的t>0，存在s>0，使得当x ∈(0，s)时，都有f(x)<tx 2，求实数k 的取值范围．解：(1)当k ＝1时，函数f(x)＝e x －(1＋x ＋x 2)，则f(x)的导数f ′(x)＝e x －(1＋2x)，令g(x)＝f ′(x)，则g ′(x)＝e x －2，当0<x<ln2时，g ′(x)<0；当x>ln2时，g ′(x)>0，从而f ′(x)在(0，ln2)上递减，在(ln2，＋∞)上递增．故导数f ′(x)的极小值为f ′(ln2)＝1－2ln2.(2)对任意的 t>0，记函数 F(x)＝f(x)－tx 2＝e x －[1＋x ＋(k ＋t)x 2]，x>0，根据题意，存在s>0，使得当 x ∈(0，s)时，F(x)<0.易得F(x)的导数F ′(x)＝e x －[1＋2(k ＋t)x]，令 h(x)＝F ′(x)，则h ′(x)＝e x －2(k ＋t)．①若h ′(x)≥0，注意到h ′(x)在(0，s)上递增，故当 x ∈(0，s)时，h ′(x)>h ′(0)≥0，于是F ′(x)在(0，s)上递增，则当x ∈(0，s)时，F ′(x)>F ′(0)＝0，从而F(x)在(0，s)上递增．故当 x ∈(0，s)时，F(x)>F(0)＝0，与已知矛盾；②若h ′(x)<0，因为h ′(x)在(0，s)上连续且递增，故存在s>0，使得当 x ∈(0，s)，h ′(x)<0，从而F ′(x)在(0，s)上递减，于是当x ∈(0，s)时，F ′(x)<F ′(0)＝0，因此F(x)在(0，s)上递减．故当 x ∈(0，s)时，F(x)<F(0)＝0，满足已知条件．综上所述，对任意的 t>0，都有h ′(x)<0，所以1－2(k ＋t)<0，即k>12－t ，1故实数k 的取值范围为－t ，＋∞.利用二次求导证明不等式[典例]证明当x>0时，sinx>x －x3.6[方法演示]证明：令f(x)＝sinx －x ＋x32，则f ′(x)＝cosx －1＋x，所以f ″(x)＝－sinx ＋x.62易知当x>0时，sinx<x ，所以在(0，＋∞)上f ″(x)>0，所以f ′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又f ′(0)＝0，所以在(0，＋∞)有f ′(x)>f ′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故当x>0时，f(x)＝sinx －x ＋x3 3>f(0)＝0. 所以sinx>x － x (x>0)． 66[解题师说]本题是应用导数证明不等式．证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的方法判定导数的符号，得到导函数的单调性，再利用单调性证明不等式．[应用体验]3．(2018西·安八校联考 )已知函数 f(x)＝me x －lnx －1.(1) 当m ＝0时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2) 当m ≥1时，证明：f(x)>1.1解：(1)当m ＝0时，f(x)＝－lnx －1，则f ′(x)＝－，所以f(1)＝－1，f ′(1)＝－1.所以曲线 y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y －(－1)＝－(x －1)，即x ＋y ＝0.(2)证明：当 m ≥1时，f(x)＝me x －lnx －1≥e x －lnx －1.xx－lnx －2，则g ′x 1要证f(x)>1，只需证e－lnx －2>0.设g(x)＝e(x)＝e－.xx1 x 1x1设h(x)＝e －x ，则h ′(x)＝e ＋x 2>0.所以函数 h(x)＝g ′(x)＝e－x 在(0，＋∞)上单调递增．因为g ′1＝e 1－2<0，g ′(1)＝e －1>0，所以函数g ′(x)＝e x－1在(0，＋∞)上有唯一零点 x 0，2 2x且x 0∈1，1.因为g ′(x 0)＝0，所以ex 0＝1，即lnx 0＝－x 0.2 x 0当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x)>0，所以当x ＝x 0时，g(x)取得极小值也1是最小值 g(x 0)．故g(x)≥g(x 0)＝ex 0－lnx 0－2＝＋x 0－2>0.综上可知，当 m ≥1时，f(x)>1.1．(理)对任意实数 x ，证明不等式 1＋xln(x ＋ 1＋x 2)≥1＋x 2.证明：设f(x)＝1＋xln(x ＋1＋x 2)－1＋x 2，x 1＋x2∵f ′(x)＝ln(x ＋1＋x 2)＋1＋x －x＝ln(x ＋1＋x 2)，x ＋ 1＋x 21＋x 21＋ x1＋x 21＋x 2＋x1设h(x)＝f ′(x)，则h ′(x)＝2>0，2＝22＝1＋xx ＋1＋x1＋xx ＋ 1＋x所以f ′(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．由f ′(x)＝0，即ln(x ＋1＋x 2)＝0，得x ＝0.所以当x<0时，f ′(x)<0，则f(x)在(－∞，0)上为减函数；当 x>0时，f ′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数．故f(x)在x ＝0处有极小值，所以f(x)≥f(0)＝0，即1＋xln(x ＋1＋x 2)≥1＋x 2.(文)已知函数f(x)＝(x ＋1)lnx －ax ，当x 0∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y ＝1x －e.e(1)求a 的值；(2)求证：函数f(x)在定义域内单调递增． 解：(1)由题意，得f ′(x)＝lnx ＋1＋1－a ，x所以函数f(x)的图象在点(x 0，f(x 0))处的切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，即y －(x 0＋1)lnx 0＋ax 0＝lnx 0＋1＋1－a(x －x 0)，即y ＝lnx 0＋1＋1－ax ＋lnx 0－x 0－1，x 0x 011lnx 0＋x 0＋1－a ＝e ，1 x －1所以令g(x)＝x －lnx ＋1，则g ′(x)＝1－x ＝ x ，x 0－lnx 0＋1＝e.当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)＞0，故当x ∈(1，＋∞)时，g(x)单调递增．又因为g(e)＝e ，所以x 0＝e ，将x 0＝e 代入lnx 0＋1＋1－a ＝1，得a ＝2.x 0e1－1(x>0)．令h(x)＝lnx ＋1，则h ′(x)＝1－12x －1.x 2(2)证明：由a ＝2，得f ′(x)＝lnx ＋xxxx ＝当x ∈(0,1)时，h ′(x)＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)＞0，故当x ∈(0,1)时，h(x)单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h(x)单调递增，故h(x)≥h(1)＝1. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)＝h(x)－1≥0，当且仅当x ＝1 时，f ′(x)＝0.所以f(x)在定义域内单调递增．2．已知函数f(x)＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828⋯⋯为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．解：由f(x)＝e x－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝e x－2ax－b.所以g′(x)＝e x－2a.因此，当x∈[0,1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．当a≤1时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上单调递增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；2当a≥e时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上单调递减，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a 2－b；1e．当<a<时，令g′(x)＝0，得x＝ln2a∈(0,1)22当g′(x)<0时，0≤x<ln2a；当g′(x)>0时，ln2a<x≤1，所以函数g(x)在区间[0，ln2a)上单调递减，在区间(ln2a,1]上单调递增，于是g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln2a)＝2a－2aln2a－b.11e时，g(x)在[0,1]上的最小综上所述，当a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当<a<222e值是g(ln2a)＝2a－2aln2a－b；当a≥2时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.x3．已知函数F(x)＝e＋sinx－ax，当x≥0时，函数y＝F(x)的图象恒在y＝F(－x)的图象上方，求实数a的取值范围．解：设φ(x)＝F(x)－F(－x)＝e x－e－x＋2sinx－2ax.则φ′(x)＝e x＋e－x＋2cosx－2a.设S(x)＝φ″(x)＝e x－e－x－2sinx.x－x∵S′(x)＝e＋e－2cosx≥0在x≥0时恒成立，∴函数S(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴S(x)≥S(0)＝0在x∈[0，＋∞)时恒成立，因此函数φ′(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴φ′(x)≥φ′(0)＝4－2a在x∈[0，＋∞)时恒成立．当a≤2时，φ′(x)≥0，∴φ(x)在[0，＋∞)单调递增，即φ(x)≥φ(0)＝0.故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立．当a>2时，φ′(x)<0，又∵φ′(x)在[0，＋∞)单调递增，∴存在x0∈(0，＋∞)，使得在区间[0，x0)上φ′(x)<0.则φ(x)在[0，x0)上递减，而φ(0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，φ(x)<0，这与F(x)－F(－x)≥0对x∈[0，＋∞)恒成立不符，∴a>2不合题意．综上，实数a的取值范围是(－∞，2]．xa4．(2018·沙模拟长)已知函数f(x)＝e，g(x)＝，a为实常数．(1)设F(x)＝f(x)－g(x)，当a>0时，求函数F(x)的单调区间；(2)当a＝－e时，直线x＝m，x＝n(m>0，n>0)与函数f(x)，g(x)的图象共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证：(m－1)(n－1)<0.解：(1)F(x)＝e x－a，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．而F′(x)＝e x＋a2，x x当a>0时，F′(x)>0，故F(x)的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：因为直线x＝m与x＝n平行，故该四边形为平行四边形等价于f(m)－g(m)＝f(n)－g(n)且m>0，n>0，m≠n.当a＝－e时，F(x)＝f(x)－g(x)＝e x＋e，xx e x e x2e 则F′(x)＝e－x2.设h(x)＝F′(x)＝e－x2(x>0)，则h′(x)＝e＋x3>0，x e故F′(x)＝e－x2在(0，＋∞)上单调递增．又F′(1)＝e－e＝0，故当x∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，而F(m)＝F(n)，故0<m<1<n或0<n<1<m，所以(m－1)(n－1)<0.。