浅谈实变函数论中关于集合论的教学

大学数学-实变函数教案讲义第一章集合一、学习内容1.集合的概念，集合的表示方法、集合的运算（并、交、差、补）以及集合列的上极限与下极限和极限的运算。

2．集合对等的概念与伯恩斯坦定理。

3.集合基数的概念，并理解可数基数和连续基数。

二、学习要求1.必须准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式上有许多类似的公式，但也有许多本质不同的公式。

学习时千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。

2.可数集是所有无限集中基数最小的无限集，这一点很关键。

所以从一无限集中去掉一个可数子集后，若剩下的仍为无限集，则剩下的无限集的基数与原无限集的基数相等。

类似的，无限集并上一个可数集后，其基数也不变。

3.学习本书中的概念既要从肯定方面又要从否定方面加以考虑，并能在此基础上总结出论证某些问题的基本思路与方法。

4.一列集合的上极限、下极限及极限是用集合运算来解决分析中许多问题的基础，应该很好的掌握。

5.证明集合A与B对等的基本方法有三种：（1）根据对等的定义，直接构造两集间的1-1对应；（2）利用对等的传递性，及欲证A~C ，此时已知A~B ，于是只需证明B~C 即可；（3）利用伯恩斯坦定理，即欲证A~B ，只要证A 与B 各与对方一子集对等即可。

6.证明一集合A 的基数为c 时常常用到区间、、的基数为c ，也常常设法把A 与p 进位无穷小对等。

三、例题解析例1证明证法一先证明左式右式，设,则或， 若，则对一切，有，所以;若，则由，可得对任何，有,所以。

因此，因而左式右式。

再证右式左式，设，则对任何，都有，因此或。

若，则；若，则对任何成立，所以，即右式左式。

综上得结论成立。

证法二由德摩根公式得n R ∞E II B A B A ∈∈=αααα)()(⊂)(ααB A x I ∈∈A x ∈ I B x ∈∈ααA x ∈I ∈ααB A x ∈ IB A x ∈∈αα)(A x ∉ IB x ∈∈ααI ∈ααB x ∈αB A x ∈ IB A x ∈∈αα)(⊂⊂ IB A x ∈∈αα)(I ∈ααB A x ∈A x ∈αB x ∈A x ∈)(ααB A x I ∈∈A x ∉αB x ∈I ∈α I B x ∈∈αα)(ααB A I∈⊂⊂所以设有集合A,B 和C ，试证明：若（A\B ）~（B\A ），则A~B ；若A B 且A~(A )，则B~(B )证明（1）因,，，所以（2）因，所以，另一方面，，并且，， 再由及条件，有，又因,所以B~(B )证毕。

实变函数课程主要内容提要《实变函数》---- 课程主要内容提要学完一门课程，读者应该自己学会把握课程的重点。

学习永远是自己的大事，任何人无法代替。

但作为一种引导，现将本课程主要内容简要列出，供学习参考，互相交流！内容重要程度:*** > ** > * * 第一章集合论* 1. 集合族之交、并、补、差的运算；*** 2. 集合的分解；集合列的极限运算；特征函数；** 3. 集合的基数与可数、不可数集；* 4. 极限点(聚点)、孤立点、导集的性质；** 5. 闭集、闭包、开集、内点的概念以及闭集、开集的性质；** 6.Gδ集、Fσ集、σ-代数、Borel集、稠密集；*** 7. Cantor三分集的概念及其性质；* 8. 点集间距离的概念。

** 第二章 Lebesgue可测集与Lebesgue测度*** 1. Lebesgue外测度的概念及其性质:单调性、次可加性、距离外测度性质、可测分离可加性；** 2. Lebesgue可测集的概念及其性质：交、并、补、差的运算性质；*** 3. Lebesgue测度的基本性质：可数可加性；测度与极限运算的交换性；** 4. Lebesgue可测集与Borel集的关系；等测包与等测核的存在性；* 5. 不可测集的存在性。

*** 第三章可测函数*** 1. 可测函数的基本概念及其运算性质；** 2. 简单函数的概念；简单函数逼近定理；*** 3. 可测函数列处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、近一致收敛和依测度收敛的概念及其相互关系：Egoroff定理；Lebesgue定理；Riesz定理；* 4. 依测度Cauchy列的概念；*** 5. 可测函数与连续函数的关系：卢津(Lusin)定理及其推论；*** 第四章 Lebesgue积分* 1. 非负简单可测函数的Lebesgue积分：基本概念；积分与极限的交换性；** 2. 非负可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；*** 3. 三大基本定理：Levi定理、Lebesgue基本定理和Fatou引理；对积分域的可数可加性；Chebyshev(契比雪夫)不等式；** 4. 一般可测函数的Lebesgue积分：基本概念与简单性质；积分的绝对连续性；*** 5. 控制收敛定理: Lebesgue控制收敛定理, 有界收敛定理，依测度型控制收敛定理；L1-收敛；** 6. 可积函数与连续函数的关系；积分的平均连续性；*** 7. Lebesgue积分与Riemann积分的关系；** 8. Fubini定理以及Lebesgue积分的几何意义；卷积与分布函数的概念。

实变函数【1】集合实变函数是我本科阶段仅次于多元统计的⼜⼀⼤噩梦，学的时候就回避了很多重要的定理，考试也是背ppt⽔过的，现在看其实损失很⼤。

之所以在回顾笔记中说这些，也是在提醒阅读本篇的读者，这不是⼀篇⾯向初学者的回顾，仅作为本⼈回顾时的随笔。

基本集合运算与表⽰集合：在⼀定范围内个体事物的全体，当将他们看作⼀个整体时，称之为由⼀个个元素组成的集合。

集合内的元素彼此互异⽽且明确。

表⽰⽅法：列举法：A={a,b,c,…};条件法：A={x:x satisfied p};⽤集合语⾔来描述性质是⼗遍函数中的常⽤⽅法：1. f((x0−δ,x0+δ))⊂(f(x0)−ε,f(x0)+ε),函数收敛于x0点；2. [a,b]⊂{x:f(x)≤M}，函数有界。

设有⼀簇集合{Aα:α∈Λ},其中α是固定指标集Λ中变化的指标，则有：⋃α∈ΛAα={x:∃α∈Λ→x∈Aα}⋂α∈ΛAα={x:∀α∈Λ→x∈Aα}注意到与“存在”相对应的是并集运算，与“任意”对应的是交集运算(De Morgan公式) 若{Aα:α∈Λ}是⼀簇集合，则：(⋃α∈ΛAα)c=⋂α∈ΛA cα(⋂α∈ΛAα)c=⋃α∈ΛA cα;证明：我们设x∈(⋃α∈ΛAα)c,则x∉⋃α∈ΛAα,则对任意的α∈Λ,(x∉Aα)=x∈A cα；反之若设x∈⋂α∈ΛA cα,则对任意α∈Λ,x∈A cα,即x∉Aα,也就是说x∉⋃α∈ΛAα,从⽽x∈(⋃α∈ΛAα)c,综上：(⋃α∈ΛAα)c=⋂α∈ΛA cα。

证毕。

⼀些多重交并表⽰法⽰例：{x:{f n(x)}有界}=⋃M∈R+⋂∞n=1{x:|f n(x)|≤M}{x:{f n(x)}⽆界}=⋂M∈R+⋃∞n=1{x:|f n(x)|>M}{x:lim;集合列的上极限与下极限设A_1,A_2,\dots,A_n,\dots是任意⼀列集，由属于上述集列中⽆限多个集合的那种元素的全体所组成的集合称为这⼀集列的上极限或上限集，记作:\overline{\lim_{n\to\infty}}A_n=\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{m=n}^\infty A_n存在⽆穷多个A_n使得x\in A_n；出有限个下标外，属于激烈中每个集合的元素全体所组成的集合称为这⼀集列的下限集或下极限，记作：{\underline{\lim}_{n\to\infty}}A_n=\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{m=n}^\infty A_n当n充分⼤了之后都有x\in A_n。

实变函数-集合与点集集合递减集合列递增集合列上极限集下极限集集合语⾔的相互转化任意: 交集存在：并集映射单射：⼀对⼀满射：每个元素都有对应的像对等：若存在⼀个A->B的映射，可以把A，B中所有的元素⼀⼀联系起来，则称为A~B（A,B对等）证明集合对等:若X与Y的某个真⼦集对等，Y与X的某个真⼦集对等则X～Y基数：若A~B则A和B基数相等，⾃然数集的基数为N0，(0,1]的基数为N1记为c=2N0⼀些常见的对偶集:N~{y:y=2n} y = 2*xN*N~N f(i,j) = 2i-1(2*j - 1)N~Z可列集：⾃然数集的基数为N0，与⾃然数集对等的集合称作可列集在众多的⽆限集中，最⼩的基数是N0可数集：可列集和有限集统称可数集集合在映射下的分解：对于集合X，YX = x1∪x2Y = y1∪y2若存在单射f X->Y, g Y->X则有f(x1) = y1 g(y2) = x2点集的直径:diam(E) = sup(|x-y|),若diam(E) <正⽆穷，则称为有界集，极限点：对于集合E，若存在E中的互异点列{x k}若lim k->∞ |x k - x| = 0,x是E中的极限点，极限点集⼀般写为E'孤⽴点：若x属于E，且x不是E中的极限点，则x为E的孤⽴点R n中任意有界⽆限集⾄少有⼀个孤⽴点闭集：设E⊂R n且E包含E中的所有极限点，则称为闭集有限个闭集的并任是闭集闭集族的交集为闭集闭集套定理若集列F为飞空有界，单调递减的闭集列那么他的下极限不为空集。

第二章 点 集在第一章里，我们介绍了一般的集合的基本知识，给出了一些重要概念和基本性质. 而实变函数课程研究的函数是定义在n 维欧几里得空间n R 的子集上的实值函数，因此，有必要对nR 中的点集作进一步的讨论. 本章在第一章的基础上，着重讨论n R 中的点集所特有的一些性质. 需要指出的是，因为n R 中点集也是集合，因而，在第一章关于一般的集合的所有结果对n R 中的点集都适用，但n R 中的点集所具有的许多特殊性质，对于一般的集合就不一定成立了.§1 度量空间，n 维欧氏空间教学目的：使学生了解n R 中点集的直径，区间概念，掌握邻域的概念及性质。

本节重点：距离空间、距离概念，n R 的几种常见距离规定方法，邻域的定义方式及性质。

在解析几何和数学分析中，我们已经对一维欧几里得空间1R （即R ，实直线），二维欧几里得空间2R （即实平面）和三维欧几里得空间3R （即现实的三维立体空间）有了比较深入的了解. 现在，我们讨论n 维欧几里得空间.定义 设n 是正整数，由n 个实数构成的有序数组12(,,,)n x x x x = 的全体组成的集合，称为n 维点集，记作n R ，即n R =12{(,,,):,1,2,,}n i x x x x x R i n =∈= .为了深入研究n 维点集n R 中邻域、有界集、点列收敛等概念，需要对n R 中的点之间定义距离. 为了使问题讨论适用于更广泛的情形，我们对一般的集合给出距离的概念.定义 设X 是一个非空集合，如果对于X 中任何两个元素x ，y ，都有一个确定的实数，记为(,)x y ρ，与之对应，且满足下面三个条件：（i ）非负性：(,)0x y ρ≥，而且(,)0x y ρ=当且仅当x y =；（ii ）对称性：(,)(,)x y y x ρρ=；（iii ）三角不等式：(,)x y ρ(,)(,)x z z y ρρ≤+，这里z 也是X 中任意一个元素. 则称ρ是X 上的一个距离，称(,)x y ρ是x ，y 之间的距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间（或度量空间）. 记为(,)X ρ.对于n R 中任意两点12(,,,)n x x x x = ，12(,,,)n y y y y = ，定义实函数1221(,)()ni i i x y x y ρ=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑，则(,)x y ρ满足距离的三个条件（i ），（ii ），（iii ）. 称ρ为n R 上的欧几里得距离，称(,)n R ρ为n 维欧几里得空间.定义1 设0n P R ∈是一固定点，0δ>为一实数，则集合0{:(,)}P P P ρδ<称为以0P 为中心的δ邻域，记作0(,)U P δ.0P 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，某邻域当不需要指出半径时，可以简单地说是0P 的某邻域，记作0()U P ，显然，在23,,R R R 中的邻域0(,)U P δ，就分别是以0P 为中心以δ为半径的开区间，开圆和开球.容易证明邻域具有如下基本性质： （1）()P U P ∈；（2）对于1()U P 和2()U P ，存在312()()()U P U P U P ⊂ ； （3）对于()Q U P ∈，存在()()U Q U P ⊂；（4）对于P Q ≠，存在()U P 和()U Q ，使()()U P U Q φ= .定义 2 设{}k P 是n R 中一个点列，0nP R ∈，如果当k →∞时，有0(,)0k P P ρ→，则称点列{}k P 收敛于0P ，记为0lim k k P P →∞=或0()k P P k →→∞.用邻域的语言来说，就是：0lim k k P P →∞=⇔对0P 的任意邻域0()U P ，存在K N +∈，使当k K >时，0()k P U P ∈ 用“N ε-”语言来说，就是：0lim k k P P →∞=⇔对任意的0ε>，存在K N +∈，使当k K >时，0(,)k P P ρε<.定义3 设A ，B 是两个非空点集，A 与B 的距离定义为(,)inf (,)P A Q BA B P Q ρρ∈∈=.定义4 设A 是非空点集，A 的直径定义为()sup (,)P A Q AA P Q δρ∈∈=.定义 5 设E 为n R 中一点集，如果()E δ<∞，则称E 为有界点集（空集也作为有界点集）.显然，E 是有界集⇔存在常数M ，使对任意的12(,,,)n x x x x = E ∈，都有||(1,2,,)i x M i n ≤= .E 是有界集⇔存在常数K ，使对任意的12(,,,)n x x x x = E ∈，有(,)x O K ρ≤，其中(0,0,,0)O = 为nR 的原点.定义6 点集12{(,,,):,1,2,,}n i i i x x x a x b i n <<= 称为n R 中的开区间；如果把其中的不等式都改为(1,2,,)i i i a x b i n ≤≤= ，则称为n R 中的闭区间；如果把不等式都改为(1,2,,)i i i a x b i n <≤= 或(1,2,,)i i i a x b i n ≤<= ，则称为n R 中的左开右闭区间或左闭右开区间. 当没有必要区分上述各种区间时，统称为区间，记作I ，(1,2,,)i i b a i n -= 称为I 的第i 个“边长”，区间I 的体积，记为||I ，1||()nii i I ba ==-∏.§2 聚点，内点，界点教学目的：通过对欧式空间中特殊点（聚点，内点和界点）的概念的讨论，为本门课后面的学习打下基础. 本节重点: 聚点、内点、界点的定义及等价命题。

浅谈实变函数论中关于集合论的教学实变函数论是数学分析领域的重要分支，它研究的是实数集上的函数的性质和特性。

在实变函数论的教学中，集合论是一个重要的基础知识，它为学生打下了坚实的数学基础，有助于他们更好地理解和掌握实变函数论的理论和方法。

本文将就实变函数论中关于集合论的教学进行浅谈。

一、集合论在实变函数论中的地位集合论研究的是集合的性质和运算规律，它包括集合的定义、集合的运算、集合的关系、集合的运算律等内容。

在实变函数论中，函数的定义域、值域和函数的性质都离不开集合的概念。

对于实数集上的函数，我们要讨论其极限和连续性，就需要用到开集、闭集、紧集等集合的性质和概念。

所以集合论是实变函数论的基础，它为学生的后续学习打下了坚实的数学基础。

在实变函数论的教学中，集合论的教学应该注重以下几个方面：1. 理论教学与实际应用相结合集合论的教学应该既注重理论的讲解，又要结合实际应用来讲解，让学生能够更好地理解集合论的概念和运算规律。

可以通过实例来引导学生理解集合的基本概念，比如何判断一个集合是有限集还是无限集，怎样判断两个集合是否相等，怎样求两个集合的并、交、差等。

通过实例的讲解，可以让学生更好地理解集合论的概念和运算规律。

2. 让学生用集合论的知识解决实际问题在教学中，可以设计一些与实际生活相关的问题，让学生用集合论的知识来解决这些问题。

可以设计一些与排列组合有关的问题，让学生运用集合论的知识来解决这些问题。

通过这样的教学方法，可以激发学生学习的兴趣，让他们更加主动地去学习集合论的知识。

3. 培养学生抽象思维能力集合论是一个非常抽象的数学分支，它要求学生具备一定的抽象思维能力。

在教学中，可以通过一些具体的例子来引导学生理解集合论的概念，然后再逐渐引入抽象的概念，让学生逐渐培养抽象思维能力。

可以通过具体的实数集和函数的例子来引导学生理解集合的概念，然后再逐渐引入更为抽象的集合概念，如拓扑空间、测度空间等。

通过这样的教学方法，可以帮助学生更好地理解集合论的概念和运算规律。

第1章集合与点集实变函数论作为现代分析数学的基础,其知识结构是建立在集合论之上的.集合论产生于19世纪70年代,由德国数学家康托尔（Cantor）创立,它是整个现代数学的开端及逻辑基础.作为本科教材,本章只介绍必需的集合论知识,而不涉及有关集合论公理的讨论.1.1 集合及相关概念大家在中学就认识了集合这个概念.所谓集合,是指具有某种特定性质的对象的全体.集合中的对象称为该集合的元素.集合通常用大写英文字母A,B,C,…表示；元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示.今后用一些特殊的记号表示特殊的集合：R表示全体实数形成的集合；C表示全体复数形成的集合；N,Z,Q分别表示自然数集、整数集和有理数集.另外,不含任何元素的集合称为空集,用记号表示.集合的具体表示方法一般有两种：一种是枚举法,如集合{1,2,3,4,5};一种是描述法,例如,大于20的自然数组成的集合,可写为{x|x>20,且x为自然数}.一般地,若A是具有某种性质P的元素组成的集合,通常记为A={x|x具有性质P}.对于给定的某集合A及某对象a,若a是A中的元素,就说a属于集合A,记为a∈A;否则,就说a不属于集合A,记为给定两个集合A和B,若A中的元素都属于B,则称A是B的子集,记为或进而,若同时有和，则A=B.对于任意的非空集合A,空集和A当然是A的子集,这两个子集称为平凡子集.除此之外的子集称为真子集.例1.1.1 写出{1,2,3}的所有子集,由此计算{1,2,…,n}的子集的个数,其中n∈N.{1,2,3}的所有子集是：,{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},第1章集合与点集1.1集合及相关概念共个.一般地,{1,2,…,n}的子集的个数是：C0n+C1n+…+C n n=2n,其中C k n=n!k!(n-k)! (k∈{0,1,…,n})为组合数公式.任给集合A,它的所有子集构成的集合称为它的幂集,记为1.1.1 集合的运算我们知道,数可以进行运算,并由此生成新的数.类似地,集合之间也可以进行运算,并由此生成新的集合.其中,最常用的运算有“并”、“交”、“差”三种.定义1.1.1任意给定集合A和B,集合{x|x∈A或x∈B}称为A与B的并集,并集也称为和集,记为A∪B,或A+B;集合{x|x∈A且x∈B}称为它们的交集,交集也称为积集,记为A∩B,或AB;推而广之,给定集合族∈Γ,其中Γ是指标集,则此集合族的并集与交集分别为∪α∈∈Γ,x∈Aα};(1.1)∩α∈∈Γ,x∈Aα}.(1.2)集合{x|x∈A且称为A与B的差集,又称补集，记为A\\B,或A-B.注意：一般来说(A-B)∪B未必等于A.如果已知则A-B称为B相对于A的余集,记为AB,特别地,如果我们在某一问题中所考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集时,集合B相对于S的余集就简称为B的余集, SB简记为而集合(A-B)∪(B-A)称为A与B的对称差,记为A△B.例1.1.2 设-1+1i≤x≤1--1k<x<1k,k=1,2,…,则∪mi=1B i=x-1+1m≤x≤1-1m, -1p<x<1p. 其中n,m,p∈N.由此知∪-1<x<1},集合的并、交、差（补）运算满足下面的运算律：定理1.1.1 (1) 交换律A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;特别地A∩A=A,A∪A=A, A∪=A,(2) 结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.(3) 分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);一般地A∩∪α∈∪α∈(4) 大小关系∪B).(5) 若∈Γ,则∪α∈∪α∈∩α∈∈特别地,若或∈Γ,则∪α∈∈证明下面仅证A∩∪α∈∪α∈任取x∈A∩∪α∈则x∈A且α0∈Γ,使得x∈Bα0,于是x∈∪α∈由x 的任意性得A∩∪α∈∪α∈反过来,任取x∈∪α∈α),则α0∈Γ,使得x∈即x∈A且x∈Bα0,从而x∈A且x∈∪α∈故x∈A∩∪α∈由x的任意性得∪α∈∪α∈综合起来,等式成立.□以下给出关于余集计算的部分性质. 定理1.1.2 (1) A-(2) 若则SA SB,B\\A=B∩A c;(3) 对偶律（德摩根（De）律）若则(A∪B)c=A c∩B c,∪B c.一般地∩α∈∪α∈∪α∈∈证明下面仅证对偶律：若则(A∪B)c=A c∩B c,其余结合相关定义类似可得.事实上,由补集定义, (A∪B)c={x|x∈X且∪B}={x|x∈X,x A且={x|x∈X,x∈A c且x∈B c}=A c∩B c.□德摩根律使我们通过余集的运算把并集变为交集,把交集变为并集.这种转化在集合的运算及论证中是很有用的.1.2 集合列的上极限和下极限众所周知,数列可以讨论极限.类似地,集合列也可以讨论极限.以下我们给出集合列及其极限的定义.定义1.1.2 一列集合(n=1,2,…）称为集合列,也可记为属于上述集合列中无限多个集的元素的全体所形成的集称为该集合列的上极限,或称为上限集,记为lim n→∞或lim n→∞sup A n;对于上述集合列,那些除了有限个下标外,属于该集合列中每个集合的元素的全体形成的集称为这个集合列的下极限,或称为下限集,记为lim n→∞A n或lim n→∞inf等价地,lim n→∞sup A n={x|对于任意的自然数n,存在k≥n,使得x∈A k}, lim n→∞inf存在∈N,当时,x∈A n}. 由此知,lim n→∞inf n→∞sup A n.进而,对于给定集合列若其上、下极限相等,则称集合列收敛,其极限即为它的上（或下）极限,记为lim n→∞A n.集合列的上（下）极限可以用“并”与“交”运算来表达. 定理1.1.3 给定集合列n},则lim n→∞∪lim n→∞inf∪证明利用lim n→∞∈N,k≥n,使得x∈A k}(1.3)来证明关于上极限的等式,关于下极限的情况可类似证得.记∪事实上,设x∈A,则对任意取定的n,存在m>n,使得x∈A m,即对任意n,总有x∈∪故x∈B,继而反之,设x∈B,则对任意的n>0,总有x∈∪即总存在m(m≥n),使得x∈A m,故x∈A,继而从而A=B,另一等式可同样证明.□若集合列满足：∈N,则称是单调增加集合列；若∈N,则称之为单调减少集合列.统称为单调集合列.由定理1.1.3易知,单调集合列是收敛的.具体地,若为单调增加集合列,则lim n→∞A n=∪若为单调减少集合列,则lim n→∞A n=∩∞n=1A n.例1.1.3 设是如下一列点集：A2m+1=0,2-12m+1〗,m=0,1,2,…, 〗, 我们来确定的上、下极限.因为闭区间\中的点属于每个而对于开区间(1,2)中的每个点x,必存在自然数N(x),使得当n>N(x)时,有1+12n<x≤2-12n+1,即当n>N(x)时但x∈A2n+1.换言之,对于开区间(1,2)中的x,具有充分大的奇数指标的集合都含有x,即中有无限多个集合含有x,而充分大的偶数指标的集合都不含有x,即中不含有x的集合不会是有限个.又区间\n→∞sup\n→∞inf\例1.1.4 设为：当n=2k时,k∈N;当n=2k+1时,k∈N. 则lim n→∞sup∪{(0,y)|y≥0};lim n→∞inf定义1.1.3设A,B是两个集合,称一切有序“元素对”(x,y)(其中x∈A,y∈B)形成的集合为A与B的直积集或笛卡儿（Descartes）积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},其中(x,y) =(x′,y′)是指x=x′,y=y′,X×X也记为例1.1.5 设A={1,2,3},B={4,5}，则A×B={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}.例1.1.6 \×\为平面上单位闭正方形.例1.1.7 Q×Q=Q Q2为平面上有理点集.习题习题1.3 试证：(1) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);(2) (A\\B)∪B=(A∩B)\\B的充要条件是(3) A-(B-C)=(A-B)∪(A∩C).1.4 证明：(1) A△B=B△A;(2) (A△B)△C=A△(B△C);(3) A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C);(4) 对任意的A,B,存在C使得A△C=B.1.5 设是一集合列，作-∪n-1k=1A k,n=2,3,…,试证互不相交,且∪ni=1A i=∪nj=1B j,n=1,2,…,∞.1.6 设f(x),g(x)是点集E上定义的两个函数,a,k为任意实数,但k≠0.则(1) {x: f(x)≥a}=∩∞n=1x:f(x)>a-1n;(2) {x: |f(x)|>k}∪x: |g(x)|>ak.1.7 试证：(1) ∪∞i=1(A\\(2) ∩∞i=1(A\\∪i.1.8 设-求出集合列的上限集和下限集.1.9 设A n=E,n=2k-1,F,n=2k, 求集合列的上限集和下限集.1.10 设m为整数,n=1,2,…,试证lim n→∞sup n→∞inf1.11 设是\上的一列函数,且存在\使得lim n→∞f n(x)=1,x∈\\\E, 0, x∈E.令∈\: 求集合lim n→∞E n.1.12设以及f(x)是定义在R上的实值函数,则使不收敛于f(x)的一切点x所形成的集合为∪∞k=1∩∞N=1∪∞n=Nx:-11. 设(k=1,2,…)随着k→∞单调下降趋于(n=1,2,…）定义在E上∈E),试证：对任意的a有(1) E\=∪\;(2) E\\;(3) E\=∪\.注：E\={x∈E|f(x)>a}.1.1.2 映射、基数与可数集1.2 映射、基数与可数集我们都知道,实数是可以比较大小的,那么自然地联想一下,集合有没有大小的差别呢？直观地想,如果是有限集合,可能集合元素的个数多集合就大,那么对于含有无限个元素的集合,集合的大小该怎么比较呢？全体实数构成的集合就一定比全体正实数构成的集合大吗？在对集合的定义和基础运算有了一定的了解之后,我们接下来就介绍一下用以刻画集合大小的概念：基数.在此之前,我们要引入映射的概念,本节的最后,我们还将向大家介绍一种最常见的集合：可数集.1.2.1 映射大家都熟悉函数概念,下面要讲到的映射是函数概念的抽象化.定义1.2.1给定两个非空集合X,Y,若对于X中每个元素x在Y中都存在唯一的元素y与之对应,则称这个对应为映射.若用φ表示这种对应,则记为φ:并称φ是从X到Y的一个映射.此时,x∈X在Y中对应元y称为x在映射φ下的像, x称为y的一个原像,记为y=φ(x).进而,y的原像集为{x|y=φ(x),x∈X},记为-1(∈X}Y称为映射φ:X→Y的值域,而X为定义域.特别地,若φ(X)=Y，则称映射φ是满射,也称为到上的映射(X到Y上的映射)；若对于每个y∈φ(X)其原像集-1(y)是单点集,等价地,若x1,x2∈X,当时必有则称该映射是单射,也称为一一映射.注1.2.1 一一映射存在逆映射,即-1:-1(y)=x,当φ(x)=y时.进而,到上的一一映射称为双射,也称为一一对应.给定映射φ:X→Y,及则A的像集为∈A},B的原像集为-1(B)={x|φ(x)∈B}.综上易得下面关于映射与集合的并和交运算的关系式：φ∪α∈∪α∈φ∩α∈∈φ-1∪α∈∪α∈--1∩α∈∈-例1.2.1给定非空集合X,定义其非空子集A上的特征函数为χA(x)=1,x∈A,于是是从X的幂集到{0,1}上的映射.而且可以利用特征函数来反馈集合本身的特征：1.2.2 基数给定一个集合,若它只含有限个元素则称为有限集；否则,就称为无限集.对于有限集来说,若不考虑元素的具体特性,则所含元素的个数是一个基本而重要的量,因与元素个数有关的问题一般会涉及元素个数的比较.两个有限集是否含有相同数量的元素可用能否建立一一对应来衡量.受此启发,尽管对于无限集来说谈论个数没有实际意义,但比较两个无限集所含元素的多少，仍然可以用能否建立一一对应来度量.定义1.2.2 给定集合A,B,若存在从A到B的一一对应,则称集合A与B对等,记为A～B.对等关系有下述性质. 定理1.2.1 任给集合A,B,C,有(1) （自反性）A～A;(2) （对称性）若A～B,则B～A;(3) （传递性）若A～B,且B～C,则A～C.符合上述三条的关系称为等价关系.因此,集合之间的对等是一种等价关系.下面,我们描述性地给出集合基数的概念.定义1.2.3设A,B为给定两个集合,如果A～B,那么就称集合A与集合B的基数或者势相同.记为=.因此,对等的集合具有相同的基数（势）.特别地,当A是非空有限集时,则存在某自然数使得A与一一对应,而由唯一确定,于是可以认为=n 0.由此知,基数（势）的概念是通常元素个数的推广.以下给出一些常见的集合的例子.例1.2.2 (0,1)～R.事实上,令φ:-π2,则易知φ建立了(0,1)与R之间的一一对应.例1.2.3任意两个圆周上的点集具有相同的基数.事实上,不妨令任给的两个圆同圆心,于是让从圆心出发的同一条射线与两个圆的交点相互对应,则该对应是一一对应.有了集合大小的概念--基数,接下来,我们给出基数大小比较的法则.定义1.2.4给定两个集合A和B,若存在B的子集使得A～则称A的基数不大于B的基数, 记为≤;若≤,并且≠,此时称A的基数小于B的基数,记为<.自然数可以比较大小,类似地,基数也可以比较大小.即,对于任意给定的两个基数α,β,关系式α<β,α=β,α>β,这三者中有且仅有一式成立.证明要涉及集合论的公理系统,超出本教材范围,故略.对于自然数a,b,若a≤b且b≤a则a=b.对于基数也有类似的结论,也就是说集合的大小在某种意义下也是可以比较的. 定理1.2.2（伯恩斯坦（Bernstein）定理）给定集合A,B,若≤且≥,则=.证明由题设,存在双射φ:及双射ψ:下面用迭代法寻找及使得φ(A′)=B\\B′,同时ψ(B′)=A\\A′.为此,考虑下面的方程组：φ(A′)=B\\B′,ψ(B′)=A\\等价地A′=A\\ψ(B′),B′=B\\φ(A′).(1.4) 为了求解方程组(1.4),运用迭代法,逐次作A1=A\\ψ(B), \\\\\\\\-1),\\由上述构造知注意到ψ是一一映射,于是有再结合德摩根律,有∪∪∞i=1(A\\-1))=A∩∞-- 此处记类似地,可得\\∪从而,式(1.4)有解A′=∪定义映射Φ(x)=φ(x),x∈-1(x),x∈A\\A′. 由上述构造知,φ(A′)=B\\-1(A\\A′)=B′,于是Φ是满射.至于Φ的单射性由φ及ψ的单射性即得.因此,Φ是从A到B上的一一对应.从而,A～B.□推论1.2.1 设～C,则A～B,B～C.证明以A～B为例,设φ是A和C之间的一个一一对应,令x∈A,φ(x)∈B},则～B,取则自然有～A.于是由伯恩斯坦定理有A～B.1.13 可数集本小节我们给出最常见的一种无穷集合--可数集的定义,并研究其相关性质.定义1.2.5与自然数集对等的集合称为可数集,或称为可列集.于是任意的可数集A均可写成A={反之,这种形式的集合均为可数集.可数集的基数记为0.下面的定理表明,可数集的基数在无限集中是最小的. 定理1.2.3任意无限集均包含可数子集.证明设A是任意给定的无限集,任意取定∈A,因A\\仍然是无限集,再任意取定2∈A\\{a1},依次类推,在A\\中取出在A\\中取出照此继续,即得A的可数子集进一步,我们有下述定理.□定理1.2.4若X是一个无限集,Y是有限集或可数集,则X∪Y=.证明因X∪Y=X∪(Y\\X),故不妨设若Y是可数集,记由于X是无限集,由定理1.2.3知,X有可数子集于是有分解∪(X\\X1) .令φ:X∪Y→X,使得-1,n=1,2,…;φ(x)=x,x∈X\\X 1.由此构造知φ是X与X∪Y之间的一一对应;若Y为有限集,则对应的取为与Y有相同个数的X中的有限集,然后类似于上面的证明即得.□众所周知,有限集不可能和它的任意真子集建立一一对应关系.无限集与有限集的本质区别就在于此,即下面的定理. 定理1.2.5集合X是无限集的充要条件是,存在X的真子集Y有Y～X.证明因若X是有限集时,X不可能与它的任意真子集对等,由此得证充分性；下证必要性：任取X的一个有限子集A,因X是无限集,故X\\A亦是无限集,利用定理1.2.4得,X\\A=(X \\A)∪A=,记Y=X\\A,得证.□下面一系列定理关心的是集合及其子集的可数性问题. 定理1.2.6可数集的子集如果不是有限集,则一定是可数集.证明设A是可数集是A的一个无限子集.首先,因故其次,因是无限集,由定理1.2.3可知于是由伯恩斯坦定理得即是可数集.□定理1.2.7 设A为可数集,B为有限或可数集,则A∪B为可数集.证明设或(1)先设由于可数集总可排成无穷序列,当B有限时,A∪B={b1,b2,…,b n,a；当B可数时,A∪B={a1,b1,a2,b2,…,a n,b n,…},可见A∪B总可以排成无穷序列，从而是可数集.(2) 一般情况下,此时令-A,则A∩B*=,A∪B*=A∪B.由于B至多可数,故作为B的子集,也至多可数（有限集或可数集）,由(1)的证明知,A∪B*可数,故A∪B也可数.□推论1.2.2设是有限集或可数集,则∪ni=1A i也是有限集或可数集,但如果至少有一个是可数集,则∪ni=1A i必为可数集. 定理1.2.8 可列个可数集的并集是可数集.证明设(n=1,2,…）是一列可数集.(1)先设因为都是可数集,于是可记A n={a n1,a n2,…,a nk,…},n,k=1,2,…,从而∪中元素可按下述方式排成一列：∪规则是：排第一位,当i+j>2时排在第j+∑i+j-2k=1k位因此∪是可数集（注：当部分是有限集时仍适用）.(2) 一般情况下,各可能相交,令-∪i-1j=1A j(i≥2),则且∪∪由可数易知都是有限集或可数集,如果只有有限个不为空集,则由推论1.2.2易知∪为可数集（因为至少为可数集）;如果有无限多个（必为可数个）不为空集,则由(1)知∪∪也是可数集,故在任何场合∪都是可数集.□推论1.2.3 (1) 有限集与可数集的并是一可数集;(2) 有限个可数集的并是一可数集;(3) 可数个互不相交的非空有限集的并是一可数集;(4) 可数个可数集的并是一可数集. 例1.2.4 整数集,有理数集均为可数集.事实上,整数集Z=N∪(-N),其中-为负自然数全体的集合. 因映射f:N→-N,f(n)=-n,建立了N与-之间的一一对应,故-N是可数集.于是由定理1.2.7知Z是可数集.对于有理数集,记Q+为正有理数全体的集；Q-为负有理数全体的集,于是Q=Q+∪Q-∪{0}.令A n=1n,2n,3n,…则(n∈N）是一列可数集,而Q+=∪从而由定理1.2.8知Q+亦可数；又Q-与Q+通过映射f(x)=-x (x∈Q+）建立了一一对应,于是Q-也可数.再利用定理1.2.7即得Q是可数集.由例1.2.4易得下面一些今后很有用的结论：有理系数多项式全体所构成的集合是可数集；R中无限个互不相交的开区间所形成的集是可数集.事实上,在每一个开区间中任意取定一个有理数,由题设可知开区间与取定的有理数是一一对应的.因此这些有理数形成Q的一个无限子集,记为Q 1,由定理1.2.6得Q1可数,从而得证.注1.2.2若A中每个元素可由n个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集,即A={a x1,x2,…,x n|x k=x k(1),x k(2),x k(3),…;k=1,2,…,n},则A为可数集.例1.2.5元素是由k个正整数所组成的集合,其全体构成一可数集A={(n 1,n2,…,n k)|n i∈Z+}.例1.2.6 整系数多项式a0x n+a1x n- -的全体是一可数集.记a a0,a1,…,a n=a0x n+a1x n- -则整系数多项式的全体可记为∪，为可数集,其中代数数的全体是一个可数集（所谓代数数,就是整系数多项式的根）.事实上,整系数多项式的全体可数,而每一个整系数多项式只有有限个根,故代数数的全体是一个可数集.例1.2.7 N与R不对等,即N≠R.若不然,存在N与R的一个一一对应,将与N中n对应的元素(n)记为则R上至少有一个单位长度的区间不含不妨设此区间为\,将\分为三等分,则0,13〗,23,1〗中至少有一个不含以表示这个区间,将三等分,其左、右两个区间中至少有一个区间不含记为依此类推,可得一串闭区间},满足：(1) 且的长度趋于0; (2)由闭区间套定理知但对任意的换言之不在R中,这是不可能的.这一矛盾说明与R不可能对等.例1.2.8R上任一单调函数的不连续点全体的集至多可数,即或为空集,或为有限集,或为可数集.不妨设f(x)是单调递增函数.若f(x)在R上连续,则其不连续点集为空集；若存在间断点由柯西（Cauchy）收敛原理可知-0)与均存在,于是f(x1-0)=lim x→x1-表明对应开区间-对于两个不同间断点和由函数f(x)的单调性可得,开区间-与-互不相交.进而,由上面的分析知,f(x)的不连续点集与上述开区间形成的集合之间存在一一对应,于是,或为有限集,或为可数集.1.14 不可数集与连续基数对于一个无限集,若不是可数集,则称之为不可数集. 定理1.2.9开区间(0,1)是不可数集.证明用反证法：假若(0,1)是可数集,则可记而每个(i=1,2,…）均可按下述方式唯一表示成十进制纯小数：a(1)=0.a(1)1a2(1)a3(1)…,(2)…,(3)…,规定,上述各数不能从某位起全为0.令满足：当当由上述构造知∈(0,1),但这与假设矛盾.□由前面的例1.2.2及定理1.2.9得,实数集R是不可数集.今后用c表示实数集R的基数,称之为连续基数（势）.而且由定理1.2.9知例1.2.9 (a,b)=c,其中a,b∈R.事实上,令φ(x)=a+x(b-a),x∈(0,1),则φ建立了(0,1)与(a,b)之间的一一对应,于是(a,b)=(0,1)=c.类似地,可证(-∞,0)=(0,+∞)=\=(a,b\]=\=\=(0,1)=c.下面的定理关心的是连续基数的性质问题. 定理1.2.10设是一列互不相交的集合,它们均有连续基数,则并集∪n也有连续基数.证明注意到\及\故∪～∪∞n=1\即∪n有连续基数.□由定理1.2.10易知,平面R2有连续基数,即R2=c.类似地有R n=R∞=c,此处R∞是指可数个R的笛卡儿积.定理1.2.3告诉我们,可数集在无限集中间基数最小,那么有没有最大的基数呢？答案是否定的,即下面的结论. 定理1.2.11任给一个非空集合是其幂集,即由A的所有子集形成的集合.则证明假若A～则存在一一对应φ:于是对于每个a∈A,都唯一存在A的子集φ(a)与之对应.作A的子集∈A|xφ(x)}.根据假定,应有A中元素与对应.由此,若∈A0，则与的定义矛盾；若，则由的定义知又应该属于矛盾.于是A与不对等.进而,单点集全体形成的真子集,记为A ~,显然A~～A,因此例1.2.10其中记从自然数集N到两点集{0,1}的所有映射形成的集.事实上,对于任意的f∈{0,1}N,令φ:则φ是从到(0,1\]的一一映射,于是有0,1\];另一方面,每个x∈(0,1\]均可唯一表示(规定下面二进制表达式中必须出现无限多个1)为x=∑∞n=1x n2n,∈{0,1}.令∈N,则∈{0,1}N.进而,定义映射φ:∈(0,1\],则φ是从(0,1\]到的一一映射,于是有(0,1\再利用伯恩斯坦定理即得\]=c.注意到N=0,例1.2.10用记号表示,即既然没有最大的基数,那么限定在0与c之间情况又如何呢？集合论的奠基者康托尔于1878年提出下面的猜想：在0与c之间没有基数存在,即不存在集合X,使得0<<c.这个问题又被称为连续统假设问题.20世纪伟大的数学家希尔伯特（Hilbert）在1900年国际数学家大会上提出了23个重大数学问题,其中就包括连续统假设问题.而连续统假设问题直到1963年才由科恩（Korn）和哥德尔（Godel）解决：他们证明了,连续统假设与已有的集合论公理系统是相容的,既不能被证明也不能被否定. 习题习题1.15 设f: X→Y是一个满射,证明下列3个命题等价：(1) f是一一映射;(2) 对任意的有f(A∩B)=f(A)∩f(B);(3) 对任意的若则1.16 设f: X→Y,证明f是满射的充要条件是,对任意的有-1(A))=A.1.17 设映射f: ∈I(I为指标集),试证：(1) f∪α∈IAα=∪α∈If(Aα);(2) f∩α∈IAα∩α∈If(Aα);(3) 若则--∈I,i=1,2; (4) -1∪α∈IBα=∪α∈If-1(Bα);(5) -1∩α∈IBα=∩α∈If-1(Bα);(6) -1(Y--1(Y)--1.18 设E是X的子集,定义在X上的特征函数为χE(x)=1,x∈E, 0,x∈X-E.如果都是X的子集.证明：(1) ∪B(x)-(2) (3) --(4) n→∞sup sup(5) n→∞inf n→∞inf 5.设分别是到到的一一映射,问是否一定存在\\到\\的一一映射?1.1.3 试构造(0,1)与\7.试构造出一个从无理数集Q c到实数集R之间的一一映射.1.2.2 试证：若集合A中每个元素由n个独立的记号决定，各记号跑遍一可数集B,即A={a x∈B,k=1,2,…,n},则A为可数集.1.19平面点集A中任意两点之间的距离都大于某一固定常数d,且d>0,则A至多为可数集.1.20 设A=B∪C,=c,则B与C中至少有一个集合的势为c.1.21 如果A=∪则至少有一个的势为c.1.22 试证：若且A～A∪C,则有B～B∪C.1.23 证明：\上的全体无理数作成的集合其基数是c.1.24 证明：若E是可列集,则E中存在可列个互不相交的真子集. 15.若f(x)是R上的实值函数,则集合A1={x|x∈R,f(x)在x处不连续,但右极限f( x+0)存在是可数集.1.1.4 证明\上的连续函数全体C\的势为c.1.1.5 若对任意有限个x:使得∑ni=1f(x)≤M成立,试证,能使f(x)≠0的x的集合至多为可数集.1.1.6 证明(a,b)上的凸函数在除一个至多可数集的点外都是可微的.1.3R n中的点集1.3 中的点集1.3.1 n维欧氏空间R是实数集,其几何表示即数轴；R2={(x,y)|x,y∈R}是有序实数对全体形成的集合,其几何表示即坐标平面.对于任意的∈R2, 定义两种线性运算：(1) 加法(2)数乘∈R.则R2关于这两种运算构成线性空间,(0,1),(1,0)是R2的一组基,因个数为两个,故R2称为二维线性空间.因平面上的点与从原点出发以该点为终点的向量一一对应,故R2又称为向量空间,其中的元素又称为向量.平面几何（欧几里得（Euclid）几何）及平面解析几何就是建立在R2基础之上的.推而广之,有下面的定义.定义1.3.1 n维欧氏空间为集合{x=(x1,x2,…,x n)|x i∈R,i=1,2,…,n(n∈N)},记为R n,或记为R×R×…×R,共n个R.类似地关于上述加法及数乘运算构成一个线性空间为R n的一组基.沿用二维线性空间的称谓也称为n维向量空间,其中的元素称为点或向量.对于任意的∈R n,定义d(x,y)=∑ni= -则d(x,y)有下述3条性质：(1) 正定性,d(x,y)≥0,且d(x,y)=(2) 对称性,d(x,y)=d(y,x);(3) 三角不等式,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).这3条性质是距离的本质刻画,因此,上面定义的d(·)是R n上的一种距离,于是称为距离空间.性质(1), (2)由定义立得；性质(3)的证明要用到下述柯西-施瓦茨（Cauchy- Schwarz）不等式.引理1.3.1（柯西-施瓦茨不等式)。