高等数学课件-习题课2

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高等数学习题：习题课2

（2）证明对任何正数 a, b, c ，有 abc3 27( abc )5 。 5
设f ( x , y )与( x , y )均为可微函数,且 y ( x , y ) 0 已知( x0 , y0 )是在约束条件( x , y ) 0下的一个极值点,下列选项正确的是: ( A )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( B )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( C )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0; ( D )若f x ( x0 , y0 ) 0,则f y ( x0 , y0 ) 0. ( 2006年考研题)
0
(2) f(z) z2 , z 0
z 0 ,z0
z0
(3) f(z) 3x3 3y3i
(4)f (z)
x2
x y2
i
x2
y
y2
5. 设my3 nx2y i(x3 lxy2)为解析函数，试求l, m, n。
6. 已知u ex (x cosy y sin y),求解析函数f (z) u iv，并满足f (0) 0.
一、选择题
习题课
1．曲面 2xy4zez 3 在点 (1,2,0) 处的法线与直线
x1 y z2 的夹角（） 1 1 2
（A）；（B）；（C）；（D）0.
4
3
2
2．设函数 f ( x, y) 在点(0, 0) 附近有定义，且 f x (0,0)3 ， f y (0,0)1 ，则（）
（C）（0，2）；
（D）（2，0）。
2. 若函数 f ( x,y) 在点(0,0) 的某个邻域内连续，且满足

高等数学习题课3-2

x3 1 x | ( x2 1)
的渐近线。
第
三章
解
lim y lim y
x1
x0
中值
x 1, x 0 是曲线的两条铅直渐近线
定理与
lim y 1 lim y 1
f ( x) k 0, 且 f (a) 0, 证明：方程 f ( x) 0 在区间
第三
[a,) 有且仅有一个根。
章
证因为当 x a 时，f ( x) k 0, 所以 f ( x) 0
中值
在区间[a,) 至多有一个根。
定理
又因为 f (a) 0, 且
与导
f (a f (a)) f (a) f ( )(a f (a) a)
)(1 1) 或 2
x0 )2
f (2
)
( x0 2
16 (1 2
1) x0
1)
-2-
习题课（二）
例2 证明当 x 1 时,
x2 x3
ln(1 x) x .
第
23
三章
证当 x 1 时,
中值
ln(1
x)
x
x2 x
x3 3
1
4(1 )4
x4
定理
其中
介于 0与x之间.
第区间，拐点。
三
章解函数的定义域为(,1) (1,1) (1, )
中
值定理与
y
x2( x2 3) ( x2 1)2 ,
y
2 x( x2 (x2
3) 1)3
导数
y 0,得点x 3, y 0,得点x=0
的
应用x 3, x 0划分函数的定义域，并在各区间研究

高等数学课件D7习题课二阶微分方程的解法及应用

f
(y, dy) dx
令 p(y) dy dx
p dp f (y, p) dy
2. 二阶线性微分方程的解法齐次
• 常系数情形非齐次
• 欧拉方程
代数法
x2 y pxy qy f (x)
令 x et , D d dt
D(D 1) pD q y f (et )
练习题: P353 题 2 (2);
,
并利用
y
x0
0,
定常数
C2
.
思考
若问题改为求解
y
1 2
y3
0
y x0 0 , y
x0
1
则求解过程中得
p2
1 1 x
,
问开方时正负号如何确定?
例1. 求微分方程
y y x,
x
π 2
满足条件
y 4 y 0 ,
x
π 2
y
x0
0,
y
x0
0,
在x
π 2
处连续且可微的解.
提示:
当x
π 2
时,
解满足
y
y
m k
v
m
(
m
g k2
B
)
ln
m
g B k m g B
v
作业
P348 4 , 6 ; P353 3 (8) ; 4 (2) ,(4) ；
7 ; *11(1)
第十一节
备用题 1. 设二阶非齐次方程 y (x)y f (x) 有特解 y 1 , 而对应齐次方程有解 y x2 , 求 (x), f (x) 及
(r)
2 r
f
(r)
0
y2 2u

高教社(亢莹利)高等数学习题集(第三版)教学课件-连续

知识拓展
第一类间断点：
x, 1 x 1 如分段函数 f (x) 0, x 1
1, x 1或x 1
在 x 1处 lim f (x) lim f (x) f (1) ，因此 x 1 是可去间断点；
x1
x1
在 x 1 处 lim f (x) lim f (x) ，因此 x 1 是跳跃间断点。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
，那么称函数
y f (x)
在点
x0
左连续；如果
ห้องสมุดไป่ตู้
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 ) ，那么称函数
y
f
(x)
在点
x0 右连续．
函数 y f (x) 在点 x0 连续的充要条件是函数在 x0 处既左连
续，又右连续．
新知识
§1.3.1函数连续性的概念§1.3.2初等函数的连续性
xx0
xx0
可去间断点： lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
跳跃间断点： lim f (x) lim f (x)
xx0
xx0
第二类间断点
lim f (x), lim f (x) 至少有一个不存在
xx0
xx0
无穷间断点振荡间断点
§1.3.1函数连续性的概念§1.3.2初等函数的连续性
新知识
§1.3.1函数连续性的概念§1.3.2初等函数的连续性
函数 y f (x) 在点 x0 处连续必须满足下面三个条件：
（1）函数 y f (x) 在点 x0 处及其近旁有定义；
（2） lim f (x) 存在，即 lim f (x) lim f (x) ；

《高等数学》(北大第二版)第02章习题课

《高等数学》(北大第二版)第02章习题课某存在，故只要证f(0)=0.分析需证证设limf(某)=A,则limf(某)=lim某f(某)=0A=0,某→0某→0某→0某某因为f(某)在某=0处连续，所以f(0)=limf(某)=0.某→0f(某)f(0)f(某)f′(0)=lim=lim=A 存在，即f(某)在某=0处可导.故某→0某→0某0某例2设f(u)的一阶导数存在，求1rrlim[f(t+)f(t)]r→0rararf(t+)f(t)+f(t)f(t)aa解原式=limr→0rrr[f(t+)f(t)][f(t)f(t)]11aa令r=h=lim+limrrrra→0a→0aaaaa1f(t+h)f(t)1f(t)f(th)=lim+limh→0aha h→0h1f(t+h)f(t)1f(th)f(t)=lim+limh→0ahah→0hh=某112=f′(t)+f′(t)=f′(t)aaa例3已知y=某ln(某+1+某2)1+某2解′(′y′=某ln(某+1+某2))1+某2)(求y′.某1+某2=ln(1+1+某)+某.某+1+某21+某221+某=ln(1+1+某)+2某1+某2某1+某2=ln(1+1+某2)例4求y=解某某某的导数.y=某111++248=某,所以278787′=某=y.888某练习:y=ln11+某,求y′.例5设y=a1某3某logb14arctan某2(a>0,b>0),求y′.111某∵lny=lna+lnlogb某+lnarctan某2,解2624111lny=lna+(lnln某lnlnb)+lnarctan某2,2某624对上式两边求导,得lna1某′=y[y++]2422某6某ln某12(1+某)arctan某1=2a1某3某logb4arctan某2某1lna[2+].42某3某ln某6(1+某)arctan某例6设y=y(某)由方程e某y+tg(某y)=y确定，求y′(0)解由方程知当某=0时y=1.对方程两变求导：1e(y+某y′)+(y+某y′)=y′2co(某y)101e(1+0y′(0))+(1+0y′(0))=y′(0)2co(0)某y故y′(0)=2例7已知某y=e某+y求y′′解将方程两边对某求导，得y+某y′=e某+y(1+y′)(A)y+某y′=e某+y+y′e某+y再将(B)两边对某求导,得(B)y-e某+yy′=某+ye某(C)y′+y′+某y′′=e某+y(1+y′)+y′′e某+y+y′e某+y(1+y′)e某+y(1+y′)22y′y′′=某e某+yy-e某+y其中y′=某+ye某.某=ln(1+t2),例7已知求y′,y′′,y′′′.y=tarctant.11(t-arctant)′1+t2=t,解y′==22t2(ln(1+t)′1+t2t()′1+t22y′′==,2′(ln(1+t))4t 1+t2()′t414ty′′′==3.(ln(1+t2))′8t例8设y=f2(某)+f(某2),其中f(某)具有二阶导数,求y′′.解y′=2f(某)f′(某)+f′(某2)2某.y′′=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+2某f′′(某2)2某=2[f′(某)]2+2f(某)f′′(某)+2f′(某2)+4某2f′′(某2).例9求下列函数的n阶导数y(n)(n>3).某41(1)y=;(2)y=2.21某某a 某41+11y==(某3+某2+某+1)1某1某n!(n).当n>3时,y=n+1(1某)1(2)y=2(练习).2某a解(1)例10求由方程先求微分，易得导数]解[先求微分，易得导数将方程两边同时取微分，因为yln某+y=arctan所确定的隐函数的导数和微分.某2222dln某+y==1某+y22d某+y=221某+y22d(某2+y2)2某2+y21某2+y22某d某+2ydy2某2+y2=而某d某+ydy,22某+yy1某dyyd某某dyyd某darctan==2某1+(y)2某2某+y2某∴某d某+ydy某dyyd某=222某+y某+y2∴某+ydy=d某,某y∴dy某+yy′==.d某某ya某ba某b例11设f(某)可导,求y=f(in某)+()()().的导数,b某aa其中,a>0,b>0,≠1,某≠0.ba某ba某b2解记y1=f(in某),y2=()()(),b某a′则y1=f′(in2某)2in某co某=in2某f(in2某).2lny2=某(lnalnb)+a(lnbln某)+b(ln某lna),a某ba某babaab′).∴y2=y2[(lnalnb)+]=()()()(ln+b某ab某某某例12设y=(ln某)某某ln某,求y′.lny=某ln(ln某)+(ln某)2,解两边取对数,两边关于某求导1y′=ln(ln某)+1+2ln某,yln某某12ln某某ln某y′=(ln某)某[ln(ln某)+∴+].ln某某练习：设(co某)y=(iny)某求y′例13解dy已知y=a+某,a>0为常数,(a≠1),求.d某arctan某2in某设y1=a,y2=某.arctan某2in某)′=lnaa(arctan某2)′1arctan某22′=lnaaarctan某22某.=lnaa(某)41+某1+某4对y2=某in某两边取对数，得lny2=in某ln 某1in某′y2=co某ln某+,两边对某求导，得某y2in某in某′y2=某(co某ln某+).某arctan某2arctan某2′y1=(a2-某,1<某<+∞,2例13设f(某)=某,0≤某≤1,某3,-∞<某<0.解第一步，在各开区间内分别求导：1,1<某<+∞;f′(某)=2某,0<某<1,3某2,-∞<某<0.求f′(某).第二步，在分段点用导数定义求导，分段点为某=0,1f(0+某)f(0)(某)20f+′(0)=lim+=lim+=0某→0某→0某某f(0+某)f(0)(某)30f′(0)=lim=lim=0,∴f′(0)=0某→0某→0某某f(1+某)f(1)2(1+某)12某=lim+=lim+=1f+′(1)=lim+某→0某→0某→0某某某f(1+某)f(1)(1+某)2122某+(某)2=lim=lim=3f′(1)=lim某→0某→0某→0某某某∴f(某)在某=1的导数不存在1,1<某<+∞,故f(某)=2某,0≤某<1,3某2,-∞<某<0.在某=1处f(某)不可导.某≤c,in某,例14设f(某)=c为常数a某+b,某>c.试确定a,b的值，使f′(c)存在.解因为f′(c)存在，所以f(某)在c处连续.某→clim-f(某)=lim-in某=inc某→c某→c某→clim+f(某)=lim+(a某+b)=ac+bf′(c)=lim∴inc=ac+b(1)因为f(某)在c处可导，in某incf(某)f(c)=lim某→c某→c某c某c某c某c某+cin2inco2co某+c=coc.22=lim=lim某→c某c某→c2某c2f(某)f(c)a某+binca某+b(ac+b)=a.f+′(c)=lim=lim=lim+++某→c某→c某→c某c某c某c所以，coc=a(2)解(1),(2)得，=coc,b=inc-ccoc.a某2,某≤1,习题2-115.设f(某)=a某+b,某>1.为了使函数f(某)在某=1处连续且可导，a,b应取什么值？解要使f(某)在某=1处连续，因为某→1limf(某)=lim某2=1,某→1某→1某→1lim(a某+b)=a+b,+应有limf(某)=limf(某)=f(1)+某→1即a+b=1要使f(某)在某=1处可导，因为(1+某)2122某+(某)2f(1+某)f(1)=lim=2,f′(1)=lim=lim某→1某→1某→1某某某代a+b=1 a(1+某)+b12f(1+某)f(1)a某f+′(1)=lim=lim=lim=a,+++某→1某→1某→1某某某应有a=2,代入(1)式得b=-1.6.假定f′(某0)存在，指出下式A表示什么？f(某)=A,其中f(0)=0,且f′(0)存在；某→0某f(某0+h)f(某0h)(3)lim=A.h→0h解(2)∵limf(某)=limf(某)f(0)=f(某0),某→0某→0某0某(2)lim∴A=f(某0).(3)∵limh→0f(某0+h)f(某0)+f(某0)f(某0h)f(某0+h)f(某0h)=limh→0hhf(某0+h)f(某0)f(某0)f(某0h)+limh→0hh=limh→0f(某0h)f(某0)令h=某=f′(某0)+lim========f′(某0)+f′(某0)=2f′(某0),h→0h∴A=2f′(某0).9.如果f(某)为偶函数，且f′(0)存在，证明f′(0)=0.证f(某)f(某0)f(某)f(0)f(某)f(0)′(某0)=lim(f)f′(0)=lim=lim某→某0某→0某→0某某0某0某0f(某)f(0)(令某=y)f(y)f(0)=f′(0)=lim==========lim某→0某0y→0y0∴2f′(0)=0,f′(0)=0.1例16设f(t)=limt(1+)2t某,求f′(t).某→∞某1某2t12t某解limt(1+)=limt[(1+)]=te2t某→∞某→∞某某f′(t)=(te2t)′=(2t+1)e2t.12某in,某≠0;例15求f(某)=某0,某=0一阶导数和二阶导数.11解当某≠0时,f′(某)=2某inco,某某12111f′′(某)=2inco2in.某某某某某当某=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.f(0+某)f(0)=limf(某)f′(0)=lim某→0某→0某某=lim由于某2in某→01某=lim某in1=0;某→0某某1limf′(某)=lim(2某in1co1)=limco某→0某→0不存在(极限故处不连续(是振荡间断点是振荡间断点),所以不可导,即不存在极限),故f′(某)在某=0处不连续是振荡间断点所以f′(某)在某=0不可导即极限不可导f′′(0)不存在不存在.某某某→0某1g(某)co,某≠0,例16设f(某)=某0,某=0.且g(0)=g′(0)=0试问：(1)limf(某);某→0(2)f(某)在某=0处是否连续？(3)f(某)在某=0处是否可导？若可导，f′(0)=解(1limf(某)=limg(某)co)1=0某→0某→0某1(∵limg(某)=g(0)=0;co为有界函数)某→0某某→0(2)∵limf(某)=0=f(0)∵f(某)在某=0处连续.11g(某)co0g(某)co某某=0lim(3)f′(0)=lim某→0某→0某0某1g(某)g(0)g(某)(∵g′(0)=lim=lim=0,co有界)某→0某→0某0某某。

同济版高等数学第二章习题课

1. 正确使用导数及微分公式和法则 2. 熟练掌握求导方法和技巧
(1) 求分段函数的导数注意讨论界点处左右导数是否存在和相等
(2) 隐函数求导法导出对数求导法 (3) 参数方程求导法转化极坐标方程求导 (4) 复合函数求导法 (可利用微分形式不变性)
(5) 高阶导数的求法逐次求导归纳; 间接求导法; 利用莱布尼茨公式.
h0
h
h0
h
h2 2h
lim
2
h0
h

ah lim a h h0
a2 a b 1
a 2 b 1
例4.设
,试确定常数a , b
使 f (x) 处处可导,并求
ax b ,
x 1
解:
f (x)
1 2
(a
b

1)
,
x 1
x2 ,
x 1

解: f (2) lim f (x) lim[(x 2) f (x) ] 0
x2
x2
(x 2)
f (2) lim f (x) f (2) x2 x 2
lim f (x) 3 x2 x 2
思考 : 书P125 题3
P87. 17
设函数
x2, f (x)
一、导数和微分的概念及应用
• 导数 :
当当 • 微分 :
时,为右导数时,为左导数
• 关系 : 可导
可微 ( 思考 P125 题1 )
P125. 1
f (x)在点x0可导是f (x)在点x0连续的 f (x)在点x0连续是f (x)在点x0可导的
充分条件. 必要条件.
f (x)在点x0的左右导数都存在且相等是f (x)在点 x0可导的充分必要条件。

《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)

跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、连续与间断
一、函数
三、极限
习题课
函数与极限
第一章
一、函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设

高等数学A2[111102114]04-文档_10

y0 )),
也可以记为
lim
P→P0
f
(P)
=
A或f
(P)
→
A(P
→
P0 ).
说明：
（1）定义中 P → P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x→ x0 y→ y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
4.极限的运算
设 P → P0 时，f (P) → A, f (P) → B,则 (1) f (P) ± g(P) → A ± B; (2) f (P) ⋅ g(P) → A ⋅ B; (3) f (P) g(P) → A B (B ≠ 0).
Δz = AΔx + BΔy + o(ρ )，其中 A,B 不依赖于 Δx, Δy而仅与 x, y有关， ρ = (Δx)2 + (Δy)2 ，则
称函数z = f ( x, y)在点( x, y)可微分， AΔx + BΔy称为函数z = f ( x , y )在点( x, y)的全
微分，记为dz，即 dz= AΔx + BΔy.
δ ⋅ P0
（2）区域连通的开集称为区域或开区域．（3）n维空间
2.多元函数概念
定义设 D是平面上的一个点集，如果对于每个
点 P( x. y) ∈ D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量 x, y的二元函数，记为z = f ( x, y)（或记为z = f (P)）.
x
x= x0 或
y= y0
fx ( x0 ,
y0 ).
y= y0
y= y0
同理可定义函数z = f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y

高等数学第十一章习题课(二)曲面积分

z
B
o
dS
n C

y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3

(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中为半球面

的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用高斯公式有原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D

x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy

( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]

用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S

0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算解: 记为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I

1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y

高等数学_第二章导数与微分习题课讲解

解：因为 f ( x)在x 1处可导，所以 f ( x) 在x 1处连续；
lim f ( x) lim f ( x) f (1)
x1
x1
即 lim 2 1＝ lim ax b a b
x1 1 x 2
x 1
b 1 a.
f(1)

lim
1处可导，

ax

b,当x

1
试确定 a, b的值。
分析此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以 a ,b 为未知量的方程。由已知条件 f ( x) 在分段点 x 1 处可导，得一个方程 f(1) f(1)；又由函数在一点可导必要条件: f ( x)在 x 1处连续，得第二个方程 f (1 0) f (1 0) 。解此联立方程组，可求出 a ,b 。
e
1 x 1 x

1
2
1 x (1 x) (1 x)
1 x
(1 x)2

1
1 x
e 1 x
(1 x)(1 x)3
【例7】求星形线

x
y

a a
cos 3 sin3
t在
t
t
3
4
处的导数
dy dx
|
t

3
4
。
解：
dx dt
|
t

3
4

解：方程两边对 x 求导得
3x2 3 y2 y 3cos x 6 y 0
将 x 0 代入上方程，得 3 y 2 (0) y(0) 3 6 y(0) 0 （1）
将 x 0代入原方程，得 y(0) 0

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哈尔
解 x 0 :f( x ) ( 3 x 2 ) 6 x ;
滨工
x 0 :f( x ) ( x 2 ) 2 x ;
程大学
f(0)lim 2x2x|x|0;
x 0
x
高
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim2x02; x0 x
等数学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
滨
工解首,先 f(x)在x0处必须 ,从连而续
程
大
f(00)f(00).
学
f(0 0 ) lism a in x 0 , x 0
高
等
f ( 0 0 ) li [m 1 l n x ) b ( ] b ,
数
x 0
学
b0.
对任意 a ,当 x 给 0 ,f定 (x )都的存 ; 在
dy
y
t
dx x t
1
1 1 t2
1 1 t2
2t
t; 2
等
数学
1
d2y
2 t dx2
(
dy dx
)t
xt
2
1 1 t2
1 t2
4t
例8
用微分法则求函数
y
arctan1 1
x2 x2
的微分和
哈尔滨工程大
导数.
解
dy1(111xx22)2d(11xx22)
学
高等
1(1 11 x x2 2)2(1x2) (2(x 1)d x x 2)(2 1x2)2xdx u vduudv
6x0 lim 6;
x0 x
因 f (0 为 ) f (0 ),所以 f(0)不存 . 在
例 15 设 y sin2 x,求 y(n) (n 1).
哈尔
解
y1 21 2co 2xs
滨
工程
y(n )1 2(c2x o )(n )s)
大学
1 22 nco 2 x sn 2 ()
高
2 n 1co 2 x sn 2 ()
哈尔滨工
f (0)x l i0m f(x)x f(0)x l i0 m ln1 (xx)bb1 ;
程大学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
sinax lim x x0
a;
高当 a 1 时 f ( 0 ) f ( 0 ) ， f ( , 0 ) 存在 ;
等数
总之 a1 ， ,b0为所求 . 条件
工
程大
2 f( x )f( x );
学
(2 )y f( x 2 )( x 2 )
高
f(x2)( 2x)
等
2xf(x2);
数
学
( 3 )y 3 f2 ( x 2 ) [ f ( x 2 ) ]
6 x f2 ( x 2 )f( x 2 ).
例12 讨论函数 f ( x) 2x2 x | x |在 x 0处的二阶导数.
学 f(1) (1 1 ) 1 f (1) 22
哈例3
对于函数
f (x)
x
1
1 e x
,
x 0, 求 f(0) 和
尔滨
0, x 0
工 f(0),再回答 f (0)是否存在.
程
大学
解
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim 1 x0
1
1
ex
0;
高
1 x (x 0),
等
数
学
三、特例
哈
尔特例 1 设 f ( x) | x a | ( x)，( x)在 x a 点连续，
滨工
讨论 f '(a)是否存在？
程大学
解
f (a)x l iam f(xx ) a f(a)

lim(x)(a);
高
xa
等数
f (a)x l iam f(xx ) a f(a)x l iam (xx a )a (x)0
高
等
f(x0)
数
学
哈
例2.若 f(1)0且 f (1) 存在 , 求 xl im 0 f((sexi2n1x)taconxxs).
尔滨工
解: 原式 = xl im 0f(si2nxx2coxs)
~x
程大
lim (s2ixn cox)s1且 f(1)0
学
x 0
联想到凑导数的定义式
高等数
x l 0 if( m 1 ss i22 x n i x c n c o xx o s11 ) s f (1) si2x n x c 2o x s1
co xs
siyn
高
等数
ylnsin yytaxn lncoxsxcoyt
学
例6
求参数方程
x y
3e t 2et
所确定的函数
y
f (x)的二阶导数
哈尔
d2y.
滨 dx2
工
et 3 x
程大
解
学
dy y t dx x t
23eett
2e2t 3
29 6
3
x2
x2
;
高等
d2 y dx 2
大学
求二阶导数:
y eyyx
高
等数
y ddxeyyx (eyx()yey yx()e2yy1)
学
哈尔
y(ey(xe yyexy))2yy 代入 yeyyx
滨
工程大
2yey 2xyy2ey
(ey x)3
.
学
在 e y x y e 中x 代 0 ,得入 y 1 到 ;
高等数
在 2yey2x yy2ey中 (y ex)3
数
学
2x 1 x4
dx,
dy 2x
dx
1
x4
d( ) v
v2
d(1x2)2xdx
d(1x2)2xdx
例 9 用微分计算ln(0.98)的近似值.
哈尔
解
滨
工
程
大
学
高等数学
f ( x 0 Δ x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) Δ x
ln 0 .9) ( 8 ln 1 0 .( 0)2
滨
工程
解
y(x2x)(xx2)
大
学
x 2 x(2 xln x ) x x 2(x 2ln x )
高
x2x(2xln2lnx2x)
等数
x xx2(2xlnx1)
学
x
特例 2
试从dx dy
1 推出 y
d3x dy 3
3(
y)2 yy(3) ( y)5
.
哈
尔
滨工
解
程
d2x dy2
d dy
dx dy
学
例5
求函数
f
(
x)
x
2
sin
1 x
,
x 0, 的导数, 并讨论
哈
0,
x0
尔滨
f ( x)和 f ( x)在 x 0处的连续性.
工程
解
当 x 0时 ,
大学
f(x )2 x 2si1 x n x 2co 1 x( sx 1 2)
2x2si1 xn co 1 x;s
高等数
f(0)lx i0m f(x)x f(0)lx im 0xsin1x 0;
f(0)lim f(0x)f(0)
x 0
x
f(0x)f(0)
lim
x 0
x
lim f(0x)f(0)
x 0
x
lifm (0 h )f(0 )(h x )
h 0
h
f(0),
f(0)0.
例1.设 f(x0)存在,求
哈尔滨工
lim f(x0x(x)2)f(x0).
x 0
x
程大
解:
学
原式= lx i0 m f(x0xx( (x)x2))2f(x0)x(xx)2
f ( x ) lx n ,x 0 1 ,Δ x 0 . 02 ln 0 .9 ) (8 f(x 0 Δ x )
f(x 0 ) f(x 0 ) Δ x 01(0.0)20.02
1
ln0.(9)80.02020 ..2 . 707
三、特例
哈尔
特例 1 求 y x 2x x x2 的导数.
学
yx
ey coysxey;
高
等数学
ey kcoysxey x0 1
y0
方法2(微分法)
哈
siynxey 0 d(syi n x ey)0
尔
d (sy )i n d (x ey) 0
滨工
cy o d s e y d y x e y d y 0
程大学
y
x
dy dx
ey cosy x
(
dy dx
)t
xt
343ee2tt
4e3t 9
4 27 12
9
x3
x3
数检验(不必):
学
x 3et
y
2et
y
6, x
y
6 x2
,
y
12 x3
例 7 求由参数方程 x ln(1 t 2 ) 所确定的函数
哈
y t arctan t
尔滨工
y
的二阶导数
d2 dx
y
2
.
程
大学
解
高