数学物理方法习题
一、 复变函数
1、 填空题
（1）函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。
（2）ln1=_________. (3)=ix e _________。
（4）求积分 dz z
z
z ⎰=1
2sin =______ . (5) 求积分=⎰=1
cos z dz z
z
_________。 (6) 设级数为∑∞
=1n n
n
z ,求级数的收敛半径_______________。
(7).设级数为)21
1
n
n n n z
z +
∑∞
=（ ,求级数的收敛区域 _________。 (8) 求积分 ⎰=1z z dz
=___________.
(9) 求积分
⎰
=1
z z
dz
=____________. （10）设f (z)=
9
cos z z
, 求Resf (0)= _________。 2、计算题
（1）导出极坐标下的C- R 条件：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ϕρρ
ϕρρu v v
u 11
(2) 己知解析函数的实部u(虚部v)，求此解析函数：
a 、,cos x e u y
-= b 、22y x y
v +-=
c 、
()y y y x e v x
sin cos +=-
（3）设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f (z) 的模 ∣f (z)∣为常数，证明 f (z) 在D 内为常数。
(4) 设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f *(z)也是区域D 内的解析函数，则f (z)必常数。 (5) 求函数 f (z)=
)
1(1
2-+z z z 在下列区域 ⅰ) 0<∣z ∣< 1； ⅱ) 1<
∣z ∣<∞ 的Laurent 展开。
(6)求出下列函数的奇点,并确定它们的类别
a 、z
z cos sin 1
+ b 、z
z e 1
-
c 、
n
n
z z +12 n 为正整数.
(7) 求下列积分
a 、 ,)1(sin 0
2dx x x x
⎰∞
+
b 、
⎰
=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-2
2
2sin z dz
z z
π
c 、b 且a b a dx x bx
ax ≠≥≥-⎰∞
,0,0,cos cos 0
2
d 、
⎰
∞
++0
2
2sin cos dx a x x
x x a ω
(二) 积分变换
1、填空题
（1）函数f (t) 的Fourier 变换的像函数为()()0ωωδω-=F ， 求f (t)=____________。
（2）函数f (t) 的Fourier 变换的像函数为F （ω），求()
ω
ωd dF 对应的
原函数为____________。
（3）设Laplace 变换L[f(t)]=F(p),求L[-tf(t)]=_________.
(4) 求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡at a t L sin 2=____________。 2、计算题
(1) 求函数 x
e
x f β-=)( (β>0 )的 Fourier 变换, 证明
x
e d x ββπωωβω-∞
=+⎰2c o s 022
(2) 设
()()()[]
x f 求F x H x x f ,cos 0⋅=ω.
(3) 己知某函数的傅氏变换为F(ω)=sin ω/ω,求该函数f(x). (4) 求下列函数的拉氏变换式：
()()()t
e t
f t e t f at t t f t t 3.3,sin .2,cos .1=
==-
(5) 求下列函数的拉氏逆变换式：
()()()
()11
ln 3,112,1112
2-+=+=+=p p p 、F p p 、F p p 、F
(6) 利用拉氏变换求解下列微分方程：
()()()⎰-+=t
d f t at t 、f 0
sin 1τ
ττ
()()⎩⎨
⎧===+-21,000
22'''y y y y y 、
（7）利用拉氏变换求下列积分 ⎰∞
---0
21dt t e e 、t
t ，
⎰
∞
-0
c o s 12dt e t t 、t
(三) 数学物理方程
练习题 1、填空题
（1）长为L 的均匀细杆,一端绝热, 另一端保持恒度u 0 ,试写出此热传导问题
的边界条件 _________ ，_________。
（2）长为L 的均匀杆作纵振动时，一端固定 ，另一端受拉力F 0 而伸长，试写出杆在撒去力F 0后振动时的边界条件_________ ，_________
（3）长为L 的均匀细杆, 一端有恒定热流q 0 流入, 另一端保持恒温T 0 , 试写出此热传导问题满足的边界条件____________, _________ 。
（4）. 长为L 的均匀杆, 一端固定, 另一端受拉力F 而伸长, 放手后让其自由振动, 试写出杆振动满足的初始条件 =____________ ，_________ 。
