2014年高考数学(江苏卷) 解析版 Word版含解析

2014年江苏省高考数学试卷标准答案（仅供参考）一、填空题（每题5分，满分70分） 1. 已知集合A=｛-2，-1,，3，4｝，B=｛-1，2,3｝，则A ∩B=【答案】{1,3}- 【解析】由题意得{1,3}AB =-．2.已知复数z=（5+2i ）2 （i 为虚数单位），则z 的实部为 【答案】21【解析】由题意22(52)25252(2)2120z i i i i =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． 3.右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是（图略） 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解．220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n =4.从1,，2，3,6这4个数字中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘机为6的概率是 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==． 5.已知函数y=cosx 与y=sin(2x+φ)(0≤φ<л),他们的图象有一个横坐标为л/3的交点，则φ的值是 【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．6.莫种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有（）株树木的底部周长小于100cm【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．7.在各项均值为正数的等比数列｛a n ｝中，若a 2=1，8642a a a =+，则624a a q ==的值是 【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．8设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1V1.若它的侧面积比为21122294S r S r ππ==21122294S r S r ππ==，则 222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==的值为 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222rh r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则9.在平面直角坐标系中xOy 中，直线x+2y-3=0被圆22(2)(1)4x y -++=截得弦长为【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为d ==，所求弦长为l ==． 10已知函数()f x a -==x 2+mx-1,若对于任意x ∈[m,m+1],都有()f x a -=<0成立，则实数m 的取值范围是【答案】(2-【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得02m -<<． 11.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x=+（a,b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b 的值是 【答案】2-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2by ax x=-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,1,a b =-⎧⎨=-⎩所以b=-2，a+b=-3． 12如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，AD=5，44BP BC CP BC CD AD AB=+=+=-，()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2，则2AD AB ⋅=的值是【答案】2213.已知()f x a -=是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈若函数y=()0f x a -=在区间[3,4]x ∈-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．14.若三角形ABC 的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =，2222222cos 22a b a b cC abab+-+-==2232884a b ab ab +--=≥=，当且仅当2232a b =即a b =时等号成立，所以cos C二、解答题 （本大题共6小题，共90分.）15.（本小题满分14分）已知25cos 5α252510sin()()452510παα+==-+⨯=-210)sin cos cos )44210ππαα=++=- (1)求2252510sin()sin cos cos sin ()444252510πππααα+=+=⨯-+⨯=-的值； (2)求5553314334cos(2)cos cos2sin sin 2()666252510πππααα+-=+=-⨯+⨯-=-的值。

南通数学网 初高中课件、教案、习题应有尽有 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版数学Ⅰ江苏苏州 何睦 江苏扬州 孟伟业 江苏南京 王刚 整理提供一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I ▲ . 【答案】{1,3}-【解析】由题意得{1,3}A B =-I 【考点】交集、并集、补集 (B).2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ . 【答案】21【解析】由题意2(52i)=25+20i 42120i z =+-=+，其实部为21. 【考点】复数的概念 (B).3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ . 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解，220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n =. 【考点】流程图 (A).4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 【答案】13【解析】从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概念为2163P ==. 【考点】古典概型 (B).5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ▲ . 【答案】6π 【解析】由题意cos sin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=， 所以2236k ππϕπ+=+或252()36k k ππϕπ+=+∈Z ，即22k πϕπ=-或2()6k k πϕπ=+∈Z . 又0ϕπ≤<，所以6πϕ=.【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 (B)，三角函数的概念(B). （三角函数图象的交点与已开始 0←n 1+←n n 202>n输出n 结束 （第3题）NY知三角函数值求角）6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015+0.025)⨯10⨯60=24. 【考点】总体分布的估计 (A). （频率分布直方图）7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ▲ .【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q q =+，4220q q --=， 解得22q =或21q =-（舍），所以4624a a q ==. 【考点】等比数列 (C). （等比数列的通项公式）8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ . 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为1r 、1h ，2r 、2h ，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =， 又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==. 【考点】柱、锥、台、球的表面积与体积 (A).9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 ▲ . 255【解析】圆4)1()2(22=++-y x 的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-【考点】直线与圆、圆与圆的位置关系 (B). （直线与圆相交的弦长问题）10. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .组距频率100 80 90 110 0.0100.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm（第6题）【答案】2,0⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【解析】画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数()f x在[],m n上恒小于0的充要条件为()0,()0.f mf n<⎧⎨<⎩开口向下的二次函数()f x在[],m n上恒大于0的充要条件为()0,()0.f mf n>⎧⎨>⎩22()0,2(1)0.230.2mf mmf mm⎧<<⎪⎛⎫<⎧⎪⇒⇒∈ ⎪⎨⎨ ⎪+<⎩⎝⎭⎪-<<⎪⎩. （江苏苏州何睦）【考点】一元二次不等式(C). （一元二次方程根的分布、二次函数的性质）【变式】变式1已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意()1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,22（江苏苏州何睦）变式 2 已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意[)1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ .⎥⎦⎤⎝⎛-0,22（江苏苏州何睦）变式3 已知函数,1)(2-+=mxxxf若存在]1,[+∈mmx，使得0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,23（江苏苏州何睦）变式 4 已知函数12)(2++=xxxf，若存在实数t，当],1[mx∈时，xtxf≤+)(恒成立，则实数m的最大值是__________ . 4 （江苏苏州陈海锋）变式5 若关于x的不等式012≥-++mmxx恒成立，则实数=m________. 2（江苏苏州陈海锋）变式6 设)(xf是定义在R上的奇函数，且当0≥x时,2)(xxf=,若对任意的]2,[+∈t tx，不等式)(2)(xftxf≥+恒成立，则实数t的取值范围是________.[)+∞,2（江苏苏州陈海锋）11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy+=2(a，b为常数)过点)5,2(-P，且该曲线在点P处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452ba +=-①，又22b y ax x '=-，所以7442b a -=-②，由①、②解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-.【考点】导数的几何意义 (B).12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u r u u u r ，2AP BP ⋅=u u ur u u u r ，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是 ▲ . 【答案】22【解析】解法一：（基底法）考虑将条件中涉及的,AP BP u u u r u u u r向量用基底,AB AD u u u r u u u r表示，而后实施计算.14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，34BP BC CP AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .则2213132()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅==+⋅-=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .因为8,5AB AD ==，则3122564162AB AD =-⨯-⋅u u ur u u u r ，故22AB AD ⋅=u u u r u u u r . （江苏苏州 何睦）解法二：（坐标法）不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设(0,0),(8,0),(.),(2,),(8,)A B D a t P a t C a t ++，则(2,)AP a t =+u u u r ，(6,)BP a t =-u u u r. 由2AP BP ⋅=u u u r u u u r，得22414a t a +-=，由5AD =，得2225a t +=，则411a =，所求822AB AD a ⋅==u u u r u u u r. （江苏苏州 何睦）【考点】平面向量的加法、减法及数乘运算 (B)，平面向量的数量积 (C).13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，21()22f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可知1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =的图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象有4个交点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. A B DP（第12题）（江苏扬州 孟伟业）【考点】函数与方程 (A)，函数的基本性质 (B). （函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ▲ . 62-【解析】由正弦定理得22a b c =，由余弦定理结合基本不等式有： 2222222222231231(2242242cos 2222a b a b a b a b a b cC abab ab ab ++-+++-====2231226242a b -≥=，当且仅当6a =时等号成立. （江苏苏州 何睦） 【考点】正弦定理、余弦定理及其应用 (B)，基本不等式 (C). 变式1 △ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________.21（江苏无锡 张芙华） 变式2 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A CB B AC C B A cos sin sin cos sin sin cos sin sin +=，若2ab c的最大值为_______. 23（江苏无锡 张芙华） 变式3 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b cc b+的取值范围是________． []5,2 （江苏苏州 陈海锋）变式4 已知三角形ABC ∆的三边长c b a ,,成等差数列，且84222=++c b a ，则实数b 的取值范围是_________. (]72,62（江苏南通 丁勇）拓展 在△ABC 中，已知(),0,1m n ∈，且sin sin sin m A n B C +=，求cos C 的最小值. 解：由正弦定理得ma nb c +=，由余弦定理结合基本不等式有：222222222(1)(1)21cos [(1)(1)]222a b c m a n b mnab a bC m n mnab ab b a+--+--===-+--22(1)(1)m n mn --.（当且仅当2222(1)(1)m a n b -=-时等号成立）.（江苏常州 封中华）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知),2(ππα∈，55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.【解析】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.满分14分.(1) 因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α5，所以cos α＝2251sin α-.故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α2252510⎛+= ⎝⎭. (2) 由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝525425⎛=- ⎝⎭， cos2α＝1－2sin 2α＝1－25325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝3314433525⎛+⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【考点】同角三角函数的基本关系式 (B)，两角和（差）的正弦、余弦及正切 (C)，二倍角的正弦、余弦及正切 (B)，运算求解能力.16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =.求证：(1) 直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 满分14分.(1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA .又因为PA ⊄ 平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .(2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点， PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，（第16题）PDCEFBA所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .【考点】直线与平面平行、垂直的判定及性质 (B)，两平面平行、垂直的判定及性质 (B)，空间想象能力和推理论证能力.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1) 若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；(2) 若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分.设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c .(1) 因为()0,B b ，所以222BF b c a =+=，又22BF =故2a =因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =.故所求椭圆的方程为2212x y +=.(2) 解法一（官方解答）：（垂直关系的最后表征）因为()0,B b ，2(,0)F c 在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为1x yc b+=. 解方程组22221,1,x y c b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得()2122221222,a c x a c b c a y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 220,.x y b =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标为22222222(),a c b c a a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222(),a c b a c a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为直线1F C 的斜率为()()()22222222322023b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB 的斜率为b c-，且1F C AB ⊥， 所以()222313b a c b a c c c -⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭，又222b a c =-，整理得225a c =. F 1 F 2Oxy BCA故215e =，因此5e =.解法二：（垂直关系的先行表征）设000012(,),(.),(,0),(,0)C x y A x y F c F c --， 由1,FC AB ⊥得001y b x c c ⋅=-+-，由A 在2BF 上，则001x y c b-+=； 联立20000,.cx by c bx cy bc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩解得：20222022,2.ca x b c bc y b c ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩又00(,)C x y 在椭圆上，代入椭圆方程整理得2242224(2)c a c a c +=-，即225a c =， 所以椭圆的离心率为5e =【考点】中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 (B)，直线的平行关系与垂直关系 (B)，直线方程 (C)，运算求解能力. （椭圆的标准方程、椭圆的离心率）18. (本小题满分16分)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分16分.解法一（官方解法一）：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系xOy . 由条件知()()0,60,170,0A C ， 直线BC 的斜率4tan 3BCk BCO =-∠=-.170 m60 m 东北OA BM C170 m60 m xyOA BM C（第18题）又因为AB BC ⊥，所以直线AB 的斜率34AB k =. 设点B 的坐标为(),a b ，则041703BC b k a -==--，60304AB b k a -==-解得80,120a b ==.所以22(17080)(0120)150BC -+-. 因此新桥BC 的长为150m.(2) 设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM d = m (060)d ≤≤. 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=.由于圆M 与直线BC 相切，故点()0,M d 到直线BC 的距离是r ，即2236806803543d dr --==+. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ， 所以80(60)80r d r d -≥⎧⎨--≥⎩，，即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩，解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.解法二（官方解法二）：(1) 如图，延长OA ，CB 于点F . 因为4tan 3FOC ∠=，所以4sin 5FOC ∠=，3cos 5FOC ∠=.因为OA = 60，OC = 170，所以680tan 3OF OC FOC =∠=，850cos 3OC CF FOC ==∠. 从而5003AF OF OA =-=.因为OA OC ⊥，所以4cos sin 5AFB FCO ∠=∠=.又因为AB BC ⊥，所以400cos 3BF AF AFB =∠=.从而150BC CF BF =-=.因此新桥BC 的长为150 m.(2) 设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD BC ⊥，且MD 是圆M 的半径，并设MD r = m ，OM d = m (060)d ≤≤. 因为OA OC ⊥，所以sin cos CFO FCO ∠=∠. 故由(1)知3sin 68053MD MD r CFO MF OF OM d ∠====--，所以68035dr -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，170 m60 m xyOA BM C（第18题）F D所以80(60)80,r d r d -≥⎧⎨--≥⎩, 即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩,解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大.(1)的解法三：连结AC ，由题意知6tan 17ACO ∠=，则由两角差的正切公式可得： 2tan tan()3ACB BCO ACO ∠=∠-∠=，故cos 150BC ACB AC =∠⋅= m. 所以新桥BC 的长度为150m. （江苏苏州 何睦）(2)的解法三：设BC 与圆切于点N ，连接MN ，过点A 作//AH BC 交MN 于点H . 设OM a =，则60AM a =-，由古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ， 那么80(60)80r a r a -≥⎧⎨--≥⎩，解得1035a ≤≤. 由4tan tan 3AMH OCN ∠=∠=，可得3(60)5MH a =-，由(1)的解法二可得100AB =，所以33100(60)13655MN x x =+-=-+，故MN 即圆的半径的最大值为130，当且仅当10a =时取得半径的最大值.综上可知，当10OM = m 时，圆形保护区的面积最大. （江苏兴化 顾卫）【考点】直线方程 (C)，直线与圆、圆与圆的位置关系 (B)，解三角形 (B)，建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.19. (本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. (1) 证明：)(x f 是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.(1) 因为对任意x ∈R ，都有()()()e e e e xx x x f x f x -----=+=+=，所以()f x 是R 上的偶函数.(2) 解法一（官方解答）：由条件知()()e e 1e 10,x x x m --+-≤-+∞在上恒成立. 令e (0)x t x =>，则1t >，所以21111111t m t t t t -≤-=--+-++-对于任意1t >成立.因为()()1111211311t t t t -++≥-⋅=--，所以1113111t t -≥--++-， 当且仅当2t =，即ln2x =时等号成立.因此实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.解法二：考虑不等式两边同乘x e ，则不等式转化为2[(e )1]1(1)e x x m m +≤+-在(0,)+∞上恒成立. 令e (1)x t t =>，则问题可简化为：2(1)10mt m t m +-+-≤在()1,t ∈+∞上恒成立. 构造函数2()(1)1g t mt m t m =+-+-，由图象易得当0m ≥时不符合题意. 当0m <时，11,2(1)0.m m g -⎧≤⎪⎨⎪<⎩或11,21()0.2m m m g m-⎧≥⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得13m ≤-.综上可知，实数m 的取值范围为1(,]3-∞-. （江苏苏州 陈海锋）(3) 令函数()()31e 3e x x g x a x x =+--+，则()()21e 31e x x g x a x '=-+-.当1x ≥时，1e 0ex x ->，210x -≥，又0a >，故()0g x '>，所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞上的最小值是()11e e 2g a -=+-.由于存在[)01,x ∈+∞，使0030e e (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值()10g <， 故1e e 20a -+-<，即1e e 2a -+>.令函数()(e 1)ln 1h x x x =---，则()e 11h x x-'=-，令()0h x '=，得e 1x =-. 当()0,e 1x ∈-时，()0h x '<，故()h x 是()0,e 1-上的单调减函数. 当()e 1,x ∈-+∞时，()0h x '>，故()h x 是()e 1,-+∞上的单调增函数. 所以()h x 在()0,+∞上的最小值时()e 1h -.注意到()()1e 0h h ==，所以当()()1,e 10,e 1x ∈-⊆-时，()()()e 110h h x h -≤<=. 当()()e 1,e e 1,x ∈-⊆-+∞时，()()e 0h x h <=，所以()0h x <对任意的()1,e x ∈成立. ①当()1e e ,e 1,e 2a -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时，()0h a <，即()1e 1ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当e a =时，1e 1e a a --=；③当()e,(e 1,)a ∈+∞⊆-+∞时，()()e 0h a h >=，即()1e 1ln a a ->-，故1e 1e a a -->.综上所述，当1e e ,e 2a -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<，当e a =时，1e 1e a a --=，当()e,a ∈+∞时，1e 1e a a -->. (3)的民间思路：难题分解1：如何根据条件求出参数a 的取值范围？ 分解路径1：直接求函数的最值.解：令30000()()(3)g x f x a x x =--+，只要在0[1,)x ∈+∞上，0min ()0g x <即可. 002200()1'()3(1)x x e g x a x e-=+-. 当01x =时，0'()0g x =.； 当01x >时，2010x ->，02()10x e ->，则0'()0g x >.故在区间[1,)+∞上，0'()0g x ≥，即函数0()g x 为[1,)+∞的增函数，则1min 0()(1)20g x g e e a -==+-<，解得12e e a -+>.（江苏苏州 何睦）分解路径2：参数分离可以吗？解：欲使条件满足，则)03x ⎡∈⎣，此时3030x x -+>，则0300()3f x a x x >-+， 构造函数00300()()3f x g x x x =-+，即求此函数在03x ⎡∈⎣上的最小值. 0003200003200()(3)()(33)()(3)o x x x x e e x x e e x g x x x ----+-+-+'=-+. 因为03x ⎡∈⎣，000032000,30,0,330x x x x e e x x e e x --->-+>+>-+<， 则000032000()(3)()(33)0x x x x e e x x e e x ----+-+-+>. 则0()0g x '>在03x ⎡∈⎣上恒成立，故10min()(1)2e e g x g -+==， 故12e e a -+>（江苏苏州 何睦）难题分解2：如何根据求得的参数a 的取值范围比较1e -a 与1e -a 的大小？ 分解路径1：（取对数）1-a e 与1-e a 均为正数，同取自然底数的对数， 即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，即比较ln 1e e -与ln 1aa -的大小. 构造函数ln ()(1)1xh x x x =>-，则211ln ()(1)x x h x x --'=-， 再设1()1ln m x x x =--，21()xm x x-'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xh x x =-在(1,)+∞上单调递减.当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当a e >时，11e a a e --<.（江苏苏州 何睦） 分解路径2：（变同底，构造函数比大小） 要比较1ea -与e 1a-的大小，由于e 1(1)ln e aae--=，那么1[(1)ln (1)]1e e a a a a e e-----=，故只要比较1a -与(1)ln e a -的大小.令()(1)ln (1)h x e x x =---，那么1'()1e h x x-=-. 当1x e >-时，'()0h x <；当01x e <<-时，'()0h x >.所以在区间(0,1)e -上，()h x 为增函数；在区间(1,)e -+∞上，()h x 为减函数.又()0h e =，(1)0h =，则(1)0h e ->，1()02e e h -+>；那么当12e e a e -+<<时，()0h a >，()1h a e >，11e a a e -->；a e >当a e ≥时，()0h a ≤，()01h a e <≤，11e a a e --≤.综上所述，当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当时，11e a a e --<. （江苏苏州 王耀）【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.20. (本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”；(2) 设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d . 若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.【解析】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力. 满分16分.(1) 证明：由已知，当1n ≥时，111222n n n n n n a S S +++=-=-=，于是对任意的正整数n ，总存在正整数1m n =+，使得2n n m S a ==，所以{}n a 是“H 数列”.(2) 解法一（官方解答）：由已知，得2122S a d d =+=+，因为{}n a 是“H 数列”，所以存在正整 数m ，使得2m S a =，即()211d m d +=+-，于是()21m d -=.因为0d <，所以20m -<，故1m =，从而1d =-. 当1d =-时，2n a n =-，()32n n n S -=是小于2的整数，*n ∈Ν.于是对任意的正整数n ，总存在正整数()3222n n n m S -=-=-，使得2n m S m a =-=，所以{}n a 是“H 数列”，因此d 的值为1-.解法二：由{}n a 是首项为1的等差数列，则1(1)m a m d =+-，22n n n S n d -=+，又数列是“H 数列”，不妨取2n =时，存在满足条件的正整数m ，使得1(1)2m d d +-=+，即(2)1m d -=，（i ）当3m ≥时，此时0d >，不符合题意，应舍去； （ii ）当2m =时，不存在满足条件的d ；（iii ）当1m =时，1d =-. 此时数列{}n a 的通项公式为2n a n =-， 下面我们一起来验证{}n a 为“H 数列”:2n a n =-；232n n n S -=，此时2432n n m -+=，容易验证m 为正整数. （江苏苏州 何睦） 解法三：由题意设1(1)m a m d =+-；又等差数列{}n a 的前n 项和22n n nS n d -=+；由题意知对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，21(1)2n nm d n d -+-=+（*）；那么m 随着n 的变化而变化，可设满足函数关系式()m f n =.又0d <，那么要使（*）对任意自然数n 恒成立，则21()2m f n n Bn C ==++；代入得：221(1)(1)222d n n d Bnd d Cd n d ++-+=-+，即有1210d Bd d Cd ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩； 又当1n =时，1m n ==，即112B C ++=，由此可以解得3,22B C =-=,1d =-. 此时2n a n =-. （江苏苏州 王耀）解法四：,n m n N S a ∀∈=，所以1(2)n m S a n '-=≥，由题意得1n n S S -≤，所以m m a a '≤，即m m '≥. 对于任意的n ，存在,m m '使得n m m a a a '=-， 即1(1)1(1)[1(1)]n d m d m d '+-=+-=+-， 化简可得11n m m d'=--+.（*） 当1d <-时，此时1d不是整数，此时（*）式不满足； 当10d -<<时，此时11d ->，而0m m '-≥，所以113n m m d'=--+≥恒成立，不对n N ∀∈恒成立，所以1d =-. （江苏兴化 顾卫）解法五：由}{n a 是首项为1的等差数列，且数列}{n a 是“H 数列”，则2221S a a =+>，又0d <，所以22111S a a =+==，则20a =，从而211d a a =-=-，此时2n a n =-，21322n S n n =-+，由n m S a =得，2342n n m -+=为正整数，从而数列}{n a 是“H 数列”.（江苏常州 封中华） (3) 解法一（官方解答）：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()()()*11111()n a a n d na n d a n =+-=+--∈Ν. 令()()11,1n n b na c n d a ==--，则*()n n n a b c n =+∈Ν. 下证{}n b 是“H 数列”.设{}n b 的前n 项和为n T ，则()()*112n n n T a n +=∈Ν， 于是对任意的正整数n ，总存在正整数()12n n m +=，使得n m T b =，所以{}n b 是“H 数列”. 同理可证{}n c 也是“H 数列”.所以，对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得*()n n n a b c n =+∈Ν成立.解法二：由(2)的解答过程可知：等差数列{}n b 中若111b d =-时, {}n b 是“H 数列”， 则1111(1)2n b b n d b b n =+-=-. 同理等差数列{}n c 中若121c d =时，{}n c 是“H 数列”，121(1)n c c n d c n =+-=. 任意的等差数列{}n a ，则可表示为n a An B =+. 令11b c A -+=，12b B =，此时12B b =，12B c A =+.所以对任意的等差数列{}n a ，总存在两个等差“H 数列”{}n b 和{}n c ， 使得*()n n n a b c n N =+∈成立.【考点】数列的概念 (A)、等差数列 (C)，探究能力及推理论证能力.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠ OCB ＝∠ D ．【解析】本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力. 本小题满分10分.证明：因为,B C 是圆O 上的两点，所以OB OC =. 故OCB B ∠=∠.又因为,C D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故,B D ∠∠为同弧所对的两个圆心角， 所以B D ∠=∠. 因此OCB D ∠=∠.B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x ，y 为实数．若=A αB α，求x ＋y 的值． 【解析】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解：由已知，得1222212y x y xy --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦A α，1122214y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦B α. 因为=A αB α，所以22224y y xy y -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，故222,24,y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩ 解得1,24.x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以72x y +=.(第21—A 题)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程21,2)(2;x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，直线l 与抛物线24y x=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【解析】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解法一（官方解答）：将直线l 的参数方程21,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线方程24y x =， 得222(2)4(1)22+=-. 解得120,2t t ==-所以1282AB t t =-=解法二：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4x y y x +=⎧⎨=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，或97.x y =⎧⎨=-⎩，即交点,A B 分别为()1,2和()9,6-，所以22(19)(26)8 2.AB =-++= （江苏镇江 陈桂明） 解法三：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4,x y y x +=⎧⎨=⎩ 消去y 有21090x x -+=，则121210,9x x x x +==.所以2212121()411100368 2.AB k x x x x =++-+-=（江苏镇江 陈桂明）D ．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x ＞0，y ＞0，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【解析】本小题主要考查算术－几何平均不等式,考查推理论证能力.本小题满分10分.证明：因为0,0x y >>，所以223130x y xy ++≥， 故222233(1)(1)339x y x y xy x y xy ++++≥.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3， 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．【解析】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力. 满分10分.解：(1) 取出的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以222432296315.3618C C C P C ++++=== (2) 随机变量X 的所有可能的取值为2,3,4.{}4X =表示的随机事件是取到的4个球是4个红球，故44491(4)126C P X C ===；{}3X =表示的随机事件是取到的4个球是3个红球和1个其它颜色的球，或3个黄球和1个其它颜色的球，故313145364913(3)63C C C C P X C +===；于是13111(2)1(3)(4)1.6312614P X P X P X ==-=-==--= 所以随机变量X 的概率分布如下表：X 2 3 4 P111413631126因此随机变量X 的数学期望120()234.14631269E X =⨯+⨯+⨯=23. (本小题满分10分)已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ2()()444n n nf f -+=都成立．【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及应用数学归纳法的推理论证能力.(1) 解：由已知102sin cos sin ()()()x x x f x f x x x x''===-， 故21223cos sin sin 2cos 2sin ()()()x x x x x f x f x x x x x x '⎛⎫''==-=--+ ⎪⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，即122f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2122f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2) 证明一（官方解法）：由已知得：0()sin xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得：122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. (ⅰ) 当1n =时，由上可知等式成立；(ⅱ) 假设当n k =时等式成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x kf x k f x xf x --+'''+=++=++， (1)sin()cos()()sin 2222k k k k x x x x ππππ'+⎡⎤⎡⎤'+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以1(1)(1)()()sin 2k k k k f x xf x x π++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦.因此当1n k =+时，等式成立.综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. 令4x π=，可得1()()sin()()44442n n n nf f x n πππππ*-+=+∈Ν.所以12)444n n nf f n πππ*-⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ν. 解法二：令=)(x g n *1),()(N n x xf x nf n n ∈+-所以x x xf x f x g cos )()()(101=+=，又)()()()1()()()()(111x g x xf x f n x f x x f x f n x g n n n n n n n++-=++='++'=' 故ΛΛ,sin )(,cos )(,sin )()(4312x x g x x g x x g x g -=-=-='= 所以)()(4x g x g n n =+，即22)4(=πn g ，命题得证.（江苏南通陆王华）。

2014年江苏高考数学试题及详细答案(含附加题)D（1）求()sin 4απ+的值； （2）求()cos 26α5π-的值． 【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能 力. 满分14分. （1）∵()5sin 2ααπ∈π=，，， ∴225cos 1sin αα=-()210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=；（2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=， ∴()()3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+⨯-=． 16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =． （1）求证：直线PA ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥PA ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴PA ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ． 17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为()4133，，且22BF =求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运 算求解能力. 满分14分.（1）∵()4133C ，，∴22161999a b +=∵22222BFb c a =+=，∴22(2)2a==，∴21b =∴椭圆方程为2212x y +=（2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，， ∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x+=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即2xc by c -+=②①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩∴()2222222a c bc C b cb c --，∵C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b --+=，化简得225ca =，∴5c a = 5 18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？ 解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=-- k AB =603,04b a -=- 解得a =80，b=120. 所以BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60).由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即|3680|680355d d r --==.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m, 所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035d r -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803. CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD rMF OF OM d ===--所以68035d r -=.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035d r -=最大，即圆面积最大.所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.19．(本小题满分16分)已知函数()e e xxf x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()e 1xmf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得30()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想 方法分析与解决问题的能力.满分16分.（1）x ∀∈R ，()e e ()x xf x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数 （2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x xm --+--≤∵(0)x ∈+∞，，∴e e10xx-+->，即e 1e e 1xxx m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)xt t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴13m -≤（3）'()e e xxf x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =-- ∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减∵存在0[1)x ∈+∞，，使得30()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2ea >+ ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1ea a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2e a m a a aa ---=-=>+， 当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增； 当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．20．(本小题满分16分)设数列{}na 的前n 项和为nS ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得nmS a =，则称{}na 是“H 数列”． （1）若数列{}na 的前n 项和2()nnS n *=∈N ，证明：{}na 是“H 数列”；（2）设{}na 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}na 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}na ，总存在两个“H 数列”{}nb 和{}nc ，使得()nnna b c n *=+∈N 成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分. （1）当2n ≥时，111222nn n nnn a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}na 是“H 数列”（2）1(1)(1)22nn n n n Sna d n d --=+=+对n *∀∈N ，m *∃∈N 使nmSa =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-取2n =得1(1)d m d +=-，12m d =+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}na 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n nb c ，为等差数列{}n b 的前n 项和11(1)()2nn n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}nb 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2nn n R a d -=+，令1(1)()n mc m ad R =-+=，则(1)12n n m -=+∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得nmR c =成立，即{}nc 为“H 数列”因此命题得证.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点证明:∠OCB =∠D .本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分.证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24yx=交于A B ，两点，求线段AB 的长．【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y ≥0>，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P == （2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-== ∴X 的概率分布列为故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯= 23．(本小题满分10分)已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n fx -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值； （2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n nnff -πππ+成立． 23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以12234216(),(),22f f πππππ=-=-+ 故122()() 1.222f f πππ+=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得0()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nfx xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.(i)当n =1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kfx xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()kk k f x fx +++(1)sin[]2k x π+=+.所以当n=k +1时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).所以1()()444n n nf f πππ-+(n ∈*N ).。

2021年普通高等学校招生全国统一测试(江苏卷) 数学I考前须知考生在做题前请认真阅读本考前须知及各题做题要求1 .本试卷共4页,包含填空题(第 1题一第14题)、解做题(第15题 第20题).本卷总分值160分, 测试时间为120分钟.测试结束后,请将做题卡交回. 2 .做题前,请您务必将自己白姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及做题卡的规定位置.3 .请在做题卡上根据顺序在对应的做题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4 .如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.5 .请保持做题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 参考公式：圆柱的体积公式：V 圆柱sh ,其中s 为圆柱的外表积,h 为高.6(6)【2021年江苏,6, 5分】为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中cm),所得数据均在区间［80 ,130］上,其频率分布直方图如下图, 那么在抽测的60株树木中,有树木的底部周长小于 100 cm. 【答案】24【分析】由题意在抽测的 60株树木中,底部周长小于100cm 的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 .圆柱的侧面积公式： 一、填空题：本大题共 (1)【2021年江苏,【答案】{ 1,3}%柱=& ,其中c 是圆柱底面的周长,l 为母线长. 14小题,每题 1, 5分】集合5分,共计70分.请把答案填写在做题卡相应位置上 {2, 1 ,3, 4}, B { 1,2, 3},那么 AI B【分析】由题意得 AI B { 1,3}. (2)【2021年江苏, 【答案】21【分析】由题意z(3)【2021年江苏, 【答案】52, (5 3, 5分】复数2i)2 25 2 5 2i (5 2i)2(i 为虚数单位),那么z 的实部为(2i) 2 21 20i ,其实部为 21 . 5分】右图是一个算法流程图,那么输出的 n 的值是【分析】此题实质上就是求不等式 2n 20的最小整数解.2n 20整数解为n 5,因此输出的n(4)【2021年江苏,4, 5分】从1,2,3, 6这4个数中一次随机地取 2个数,那么所取2个数的乘积为6的 概率是. 【答案】13【分析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有C 2 6种取法,其中乘积为 概率为P 2 1.6 36的有1,6和2,3两种取法,因此所求(5)【2021年江苏,5, 5分】函数 y cosx 和ysin(2x )(0 <), 它们的图象有一个横坐标为交点,那么 的值是【分析】由题意 cos —3 2sin(2 一 ),即 sin(—)331)k 一,(k Z),由于 0 660株树木的底部周长(单位:(7)【2021年江苏,7, 5分】在各项均为正数的等比数列 {&}中,假设 a21 , & a6 2a4 ,那么3的值是 【答案】4 【分析】设公比为q ,由于a2 1,那么由a 8 a 6 2a 4得q 6 42q 2aq 2 2 0,解得 q 22,所以 a 6a 2q 4 4 .(8)【2021年江苏,8, 5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 等,且19,那么'的值是. S 2 4 V 2 【答案】2 S,S ,体积分别为V M ,假设它们的侧面积相【分析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 h 1 h 2-12「1 3 V 1以一一,贝u — 「2 2 V 2 2 2 「1 hi 「1 hi 2「1 「2 「1 3F 一 — ~ 「2 J 「2 2 (9)【2021年江苏,9, 长为. 【答案】2_55 5【分析】圆(x 2) 2(y 2 ( 1)5分】在平面直角坐标系xOy 中,直线 x 2y 3 0 被圆(x 2)2(y 1)24截得的弦1)2 34的圆心为C(2, 1),半径为r 2 ,点C 到直线x 2y 3 0的距离为 2 5 假设对任意 (10)【2021年江苏,10, 5分】函数 数m 的取值范围是. 【答案】 J 2 , 0 f(x) x [m , m 1],都有f (x) 0成立,那么实 【分析】据题意f(m) f (m m 2 1 0 1) (m 1)2m(m 1) 1 (11)【2021年江苏,11, 5分】在平面直角坐标系 xOy 中,假设曲线y ax 2 b( a , b 为常数)过点P(2 , 5),且x 、 该曲线在点 【答案】 3 P 处的切线和直线7x 2y 3 0平行,那么a b 的值是 【分析】曲线y 2 ax b , —过点 P(2, 5),那么 4a b 5①,又y' 2ax 与,所以 2 x b 4a 一 4 工②,由①②解得 2uuu uur uuu uuu CP 3PD , AP BP 2 , uur uuir … 那么AB AD 的值是 ________ . 【答案】22uu 「 uu 「 UJU uuir 1 uuu uuu uuir uuu uur 3 ujur 11「 DP AD -AB , BP BC CP BC -CD AD 4 4【分析】由题息,AP AD uuu um uur 1 UUU 山1「 3 UUI, ULU' 2 1 山1! UUU 3所以 AP BP (AD 1 UJIT ULUl 即 2 25 & AD AB -AB) (AD -AB) AD -AD AB ——AB , 4 4 2 16 3ULU' UU 「 —64 ,解得 AD AB 22 .16 (13)【2021年江苏,13,5分】f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x所以a b (12)【2021年江苏, 3,4]上有10个零点(互不相同),那么实数a 的取值范围是 x 2. 12, 3 uuu 一 AB , 4 5分】如图,在平行四边形 ABCD 中,,AB 假设函数y f (x) a 在区间[ 【答案】0,2 【分析】作出函数f(x) 2 x 2x 1 」 1,x [0,3)的图象,可见f (0) 一,当x 1时,f (x)极大一 22[0,3)时, f(x)2xi-f(3) 7,方程f(x) a 0在x ［ 3,4］上有10个零点,即函数y f(x)和图象和直线 2 y a 在［3,4］上有10个交点,由于函数 f(x)的周期为3,因此直线y a 和函数r / 、 2 c 1 f (x) x 2x - 2(14)【2021年江苏,【答案】 6 2 4 【分析】由sin A 3a 2 2b 2 8ab 的最小值为 二、解做题：本大题共过程或演算步骤. (15)【2021年江苏, (1)求 sin 4 1 ,x ［0,3)的应该是4个交点,那么有 a (0,).214, 5分】假设 ABC 的内角满足sin A 72sin B J2sin B 2sinC 及正弦定理可得 a >/2b 2c, 2 2ab 2,6ab 2 2ab 6 2 8ab,当且仅当 2sin C ,那么cosC 的最小值是 2 .2 a b cosC ------------ 2ab2 2 a 2b 2a b ( 2 )2ab 23a 2b 2,即日 噌时等号成立,所以cosC b 3 爬行 4 6小题,共计90分. 请在做题卡指定区域内 作答, 解答时应写出必要的文字说明、证实15, 14分】 的值; 解：(1) — 2, ,sin 西,/. cos51 sin 225 5,sin —sin —cos 4 4(2) sin 2 2sin cos cos —sin4 4一,cos 2 52, —(cos sin2 ・2 cos sin )亚.110 3 5,cos — 2 cos —cos2 sin —sin2 — 3 1 4 3 3 4 6 6 6 2 5 2 5 10(16)【2021年江苏, PA AC , PA 16, 14分】如图,在三棱锥 P ABC 6, BC 8, DF 5. 中,D,E,F 分别为棱PC 2 的值.,AC , AB (2)求 cos -y (1)求证：直线FA//平面DEF;(2)平面BDEL 平面 ABC.解：(1) D , E 为 PC , AC 中点DE// (2) D , E 为 PC , AC 中点,DE PA / PA 1 ：1 PA 2 平面 DEF , DE 平面 DEFPA // 平面 DEF.1 3 .・ E , F 为 AC , AB 中点,,EF - BC 4,的中点.•l• DE 2EF 2 DF 2 , DEF 90°, DEXEF,「DE//PA,PA AC ,「• DE••• AC I EF E ,,DE ,平面 ABC, 「DE 平面 BDE, (17)【2021年江苏,17, 14分】如图,在平面直角坐标系 xOy 中, ・•・平面 BDEL 平面ABC. 2 2F,F 2分别是椭圆与弓 a b 1(a 0)的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0 , b),连结BF 2并延长交椭圆于点 连结FC . (1)假设点C 的坐标为 4,1 ,且BF 2 J 2,求椭圆的方程; 3 3 (2)假设 FC AB,求椭圆离心率 e 的值. 16 解：(1)C b 2 2 2 2 2 2 9 , •, BF 2 b c a , a A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,(T 2)2 2 , • . b 2 1 ,3,椭圆方程为222. y 21.(2)设焦点 F i( c,0),F 2(c,0),C(x,y), .• A , C 关于 x 轴对称,,A(x ,1 ,即 xc by c2 0 ②16分】如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥 BC 和河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心 M 在线段OA 上并和BC 相切的圆,且古桥两端(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM=dm,(0qw60)d=10时,r680 3d最大,即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大.5解法二:(1)如图,延长OA,CB 交于点 F.由于 = 3 .所以tan/BCO sin/FCO=9 , cos/ FCO = 9从而 AF OF OA 500 ,由于 OA^OC,所以 cos/ AFB=sin Z FCO =-,又由于 35ABXBC,所以 BF=AF••• Bf ,A 三点共线,,b 一y ,即 bx cy bc 0 ① x①②联立方程组, 解得C 在椭圆上,,2a cb 2c 2 a 22ca b 2 c 2 2bc 2 b 2 c 22bc 2b 2c 2—b^~.Ca 2c 2bc 2, , C 2-22 )~r-22b c b cc 乂5,故离心率为乂5 a 5 5(18)【2021年江苏,18,.和A 到该圆上任意一点的距离均不少于 正东方向170m 处(OC 为河岸),tan BCO80m.经测量,点A 位于点 3-.正北方向 60m 处,点C 位于点O(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？.解：解法一：(1)如图,以O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A(0, 60), C(170, 0),直线 BC 的斜率 k BC—tan BCO又由于ABXBC, 所以直线 AB 的斜率k AB 9.设点B 的坐标为(a,b),4 贝U k BC =-b —0-a 170 J k AB = 3 3 a 0所以 BC= (170 80) (0 120)3,解得 a=80, b=120. 4150.因此新桥 BC 的长是150 m.由条件知,直线BC 的方程为y4 r 一一(x 170),即 4x 3y 680 0 , 3由于圆M 和直线 BC 相切,故点 M(0, d)到直线 BC 的距离是r,即r13d 680 |5 680 3d 5由于 .和A 到圆所以r d >80 r (60 d)>80M 上任意一点的距离均不少于680 3d ,、℃----------- d > 80 ,即 5680 3d5,解得 10< d < 35.(60 d 户 803 5 由于 OA=60,OC=170,所以 OF = OC tanZ FCO= 680 . CF=—OC — 850, 3 cos FCO 3 故当 5cos/ AFB== 400,从而BC=CF-BF=150.因此新桥BC 的长是150 m.3(2)设保护区的边界圆M和BC的切点为D,连接MD,那么MD^BC,且MD是圆M的半径,并设MD=r m, OM=d m(04W60.)由于OA^OC,所以sin/CFO =cosZ FCO ,故由由于MD MD r 3(1)知,SinZ CFO = ------------ ---------------- ................ —所以rMF OF OM 680 d 5可.和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,680 3d5所以r d >80r (60 d)>80680 3d,即5680 3d5,解得10< d < 35,(60 d 户80故当d=10时,,晒5 (19)【2021年江苏,19, 16分】函数3d最大,即圆面积最大.f (x) e x e所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.其中e是自然对数的底数.(1)(2)(3) 证实：f(x)是R上的偶函数；假设关于x的不等式mf (x) < e x)上恒成立,求实数m的取值范围;解：(1) 正数a满足：存在你的结论.),使得f(x) a( x： 3x)成立.试比拟e a1和a 的大小,并证实f( x)(2)由题意,m(ef(x)是R上的偶函数.即m(e x e x1)< e x1, 「x (0, ), •1- e x 1 0, 对x (0 ,)恒成立.令t e x(t1),那么m w 121tti对任意t (1, t 12 1) 1(3) f'(x) a ,当x 1时0 ,x 1, h'(x) f'(x)0,即1t 1占10 f (x)在(1, h(x)在x (1,1 ,当且仅当t 2时等号成立,3)上单调增,令h(x) a()上单调减,3-3x) , h'(x) 3ax(x 1),:存在x.［1, ),使得f (x o) a( x)33x o), ・•. f(1) e 1 2a ,即ee-1•' lnao-rea P减,因此In a lne a(e 1)ln a a 1 ,设m(a) (e 1)ln a a 1 , m'(a)1 .ee 1a2e 1时,m'(a) 0, m(a)单调增；当a 1时,m'(a) 0 , m(a)单调m(a)至多有两个零点,而m(1) m(e) 0 , • .当a e 时,m(a) 0 , a e当1 e 1 a e 时,m(a) 0, 2 ee a 1 ;当a e 时,m(a) 0 ,(20)12021年江苏,20,16分】设数列｛a｝的前n项和为S .假设对任意的正整数那么称｛3｝是H数列〞.(1)假设数列｛a｝的前n项和S n 2n(n N),证实：｛a｝是H数列〞；n,总存在正整数m,使得S a m ,(2)设｛a n｝是等差数列,其首项a(3)证实：对任意的等差数列｛&｝,1 ,公差d ..假设｛aj是H数列〞,求d的值;总存在两个H数列〞的｝和｛Q｝,使得a b n G(n N )成立.解：(1)当n >2时,a n S(2) S n1时,S a,n(n 1)na d22得1 d (mS 1 2n2n当n> 2时, nnn^d2n1,当n 1 时,Sn &1, . .｛&｝是a S 2,H数列〞.N 使S n a mn(n 1)L 1 (m 1)d ,(3)设｛a｝的公差为d,令b n对n N , C n1 C n a ｛b n｝的前n项和T n na1ad ,n(n2(nd,1)a (2那么b nC na1Z &),令工b n a , G (n 1)(a d),(n 1)d a ,且｛bn｝ ,｛&｝为等差数歹U.(2 m)a ,那么m , 3) 2 .当n 1时m 1;当n 2时m 1 ;当n > 3时,由于n 和n 3奇偶性不同,即n(n 3)非负偶数,m N 因此对 n ,都可找到 m N ,使T nb m成立,即｛b n｝为H 数列〞.｛C n｝的前 n 项和 R n(n 2 1)(aid),令 c n(m 1)(a 1 d)R m,那么 mn(n21)1;对 n N , n(n 1)是非负偶数,二. mN,即对 n N ,都可找到m N ,使得R c m成立, 即｛c n｝为H 数列〞,因此命题得证.数学n考前须知考生在做题前请认真阅读本考前须知及各题做题要求1 .本试卷只有解做题,供理工方向考生使用.本试, 21题有A 、B 、C 、D 4个小题供选做,每位考生 在4个选做题中选答 2题.假设考生选做了 3题或4题,那么按选做题中的前 2题计分.第22、23题为必 做题.每题10分,共40分.测试时间30分钟.测试结束后,请将做题卡交回. 2 .做题前,请您务必将自己白姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及做题卡的规定位置.3 .请在做题卡上根据顺序在对应的做题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.4 .如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.【选做】此题包括 A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的做题区域内作答,假设多做,那么按作答 的前两题评分.解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤.(21-A)【2021年江苏,21-A, 10分】(选修4-1 :几何证实选讲)如图, AB 是圆.的直径, 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证实：/ OCB=/D. 解：由于B, C 是圆O 上的两点,所以 OB=OC.故/ OCB=/B.又由于C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点,故/ B, / D 为同弧所对的两个圆周角,所以/ x,y 为实数,假设Aa=Ba,求x,y 的值.・••取出的2个球颜色相同的概率 P 10 -5-.36 18B=Z D,因此/ OCB = Z D. (21-B)【2021年江苏,21-B, 10分】(选修4-2:矩阵和变换)矩阵A1 1 …2 1,向重解：A (21-C) 2y 2 ,B a 2 xy【2021年江苏,： 2 y ,『2y 2 ,由A a = B a 信 4 y 2 xy2:解得x21-C, 10分】(选修4-4:坐标系和参数方程)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 解：直线 的参数方程为乌,2_ .为参数),直线l 和抛物线y 2 4x 交于A , B 两点,求线段AB 的长.l: x y 3代入抛物线方程y 2 4x 并整理得x 2 10x 9 (21-D)【2021年江苏,21-D,10分】(选彳4-5:不等式选讲)x 解：由于 x>0, y>0,所以 1 + *+丫2内也『0 , 1+x 2+y 可3/x 、0 ,0, 交点 A(1,2) , B(9, 6),故 |AB| 872 . 0 , y 0,证实：1 x y 2 1 x 2 y 9xy . 所以(1 + x+y 2)( 1 + x 2+y)书i'^y 2 31x 2y =9xy.【必做】第22、23题,每题10分,计20分.请把答案写在做题卡的指定区域内 (22)【2021年江苏,22, 10分】盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和 全相同.(1)从盒中一次随机取出 2个球,求取出的2个球颜色相同的概率 P;(2)从盒中一次随机取出 4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 治,埼 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X ).2个绿球,这些球除颜色外完,X 3,随机变量 X 表示x , X 2, X3解：(1) 一次取2个球共有C 936种可能情况,2个球颜色相同共有C 2C3C210种可能情况,C 、 D(2) X 的所有可能取值为4,3, 2,那么P(X 4) C 4126; P(X 3)3 1 3 1C 4c 5C 3c613 63'9 . _ _ _ _ _ 11P(X 2) 1 P(X 3) P(X 4) 号. ・•. X 的概率分布列为故£ 463 (23)【2021年江苏, 23, 10分】函数 f o (x) 126 乎x 0),设 f n (x)为 f n1(x)的导数,n N . (1)求 2f 1 - -f 22 2 2的值;(2)证实：对任意的 等式 nf£成立.解：(1)由,得 f i (x) f o (x) sin xcosxsin x x是 f 2(x) f 1 (x)cosx xsin xxsin x x2cos x2- x2sin x 3- x4f1(3)— , f 2(2)16故 2f 1(-) (2)由,得—f 2 (一) 1 •2 2xf o(x) sinx,等式两边分别对x 求导,得f o (x)xf o(x) cosx,即 f o(x) xf(x) cosx sin(x -),类似可得 2f1x) 3f z(x) xf s(x) cosx sin(x 32-), 4f s(x) xf 4(x)xf 2 (x)sin x sin(x ),sinx sin(x 2 ).卜面用数学归纳法证实等式 nf n 1(x) (i)当n=1时,由上可知等式成立. xf n(x) sin(x n2)对所有的n N *都成立.(ii)假设当n=k 时等式成立,即kfk由于[kf 「(x) k [sin(x 2-)]所以当n=k+1xf k(x)] kf k 1(x) / k cos(x -) (x 时,等式也成立.(x) xf k(x) sin(x k2-).f k(x) xf k (x)(k 1)f k (x)f 「(x),k2)sin[x 为；],所以(k 1)f k(x)f 「(x)sin[x综合(i),(ii)可知等式 nf n 1(x)xf n(x)sin(x n2~)对所有的n N 都成立.令 x 4,可得nf n1(N 4f n(-)sin(7)(n N ).所以 nf,n1q)7f n(4)£(n N )•。