变量间的相互关系

两个连续变量之间的相关关系两个连续变量之间的相关关系，即指两个随机变量之间的相关性。

它是衡量两个连续变量之间相互依赖程度的重要指标。

在数据分析、统计学以及机器学习等领域，相关性分析是一项基础而重要的任务。

一、计算相关性系数在统计学中，通常通过相关系数来衡量两个连续变量之间的相关关系。

相关系数通常是在-1到1之间取值，其中-1表示完全的负相关关系，即两个变量之间有完全相反的关系；1则表示完全的正相关关系，即两个变量之间具有完全相同的变化趋势；而0则表示两个变量之间没有线性关系。

计算相关系数的方法有多种，其中比较常用的是皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。

皮尔逊相关系数适用于连续型变量，并且假设变量服从正态分布。

斯皮尔曼等级相关系数则适用于序数型数据以及不满足正态分布的变量。

在这里以皮尔逊相关系数为例进行说明。

二、使用Python计算相关性系数在Python中，统计分析库numpy和pandas都提供了计算相关性系数的函数。

numpy提供的pearsonr函数可以计算两个变量之间的皮尔逊相关系数以及相关性显著性；而pandas提供的corr函数可以计算两个DataFrame对象中所有列的相关系数矩阵。

下面通过一个例子来说明如何使用Python计算相关系数。

```pythonimport numpy as npimport pandas as pd# 构造样本数据x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])# 计算皮尔逊相关系数correlation, p_value = np.corrcoef(x, y)[0][1],scipy.stats.pearsonr(x, y)[0]print(f"皮尔逊相关系数: {correlation:.4f} (p-value:{p_value:.4f})")# 构造DataFrame对象df = pd.DataFrame({'x': [1, 2, 3, 4, 5], 'y': [2, 4, 6, 8, 10]})# 计算相关系数矩阵corr_matrix = df.corr()print(f"相关系数矩阵: \n{corr_matrix}")```以上代码首先构造了两个变量x和y，分别表示1到5的整数和2到10的偶数。

变量之间的关系有哪三种
变量之间的关系可用表格，函数关系式，图象法三种方法表示。

变量之间的关系是相关关系。

相关关系是客观现象存在的一种非确定的相互依存关系，即自变量的每一个取值，因变量由于受随机因素影响，与其所对应的数值是非确定性的。

相关分析中的自变量和因变量没有严格的区别，可以互换。

变量相关关系:当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定的范围内变化。

变量间的这种相互关系，称为具有不确定性的相关关系。

当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，我们称这种关系为确定性的函数关系。

马赫的要素一元论把科学和认识所及的世界归结为要素的复合，又把要素解释为感觉，认为这个世界以人的感觉为转移。

他指出，人的感觉是相同的，对于同一对象，不同的人乃至同一个人在不同的情况下会有不同的感觉，因此，世界上事物的存在只是相对的。

第三章变量之间的关系1.能发现实际情境中的变量及其相互关系,并确定其中的自变量与因变量.2.从表格、图象中分析出某些变量之间的关系,并能用自己的语言表达,培养有条理的思考和表达的能力.3.根据具体问题,选取用表格或关系式来表示某些变量之间的关系,并结合对变量之间关系的分析,尝试对变化趋势进行初步的预测.4.能从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言进行描述.1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,进一步培养符号感和抽象思维.2.经历从图象中分析变量之间关系的过程,体会变量之间的关系,结合具体情境,理解图象上的点表示的意义.1.能从运动变化的角度解释生活中的数学现象,体验成就感,获得学习的乐趣,发展对数学更高层次的认识.2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的乐趣.3.体验从运动变化的角度认识数学对象的过程,培养对数学的认识.本章对于学生来说是一章全新的知识,主要是从数学的角度研究变量和变量之间的关系,将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来.同时,研究现实世界中的变化规律,也使学生从常量的世界进入了变量的世界,开始接触一种新的思维方式.我们知道,函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容.本套教材对函数的学习不是一蹴而就的,而是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计.在七年级上册中,教材已经在代数式求值、探索规律等地方渗透了变化的思想,而本章则是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系.本章通过大量学生感兴趣的日常生活或其他学科中的问题(如骆驼的体温、潮汐的涨落),使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系,感受数学的应用价值.本章还通过分析用表格、关系式和图象所表示的变量间关系的活动,使学生初步理解并尝试用数学的方法描述变量之间的关系.学生通过本章中对变量间关系的学习,将为以后顺利过渡到函数学习打下基础.为了发展学生对函数思想的理解,必须使他们对变量间关系的多种表示——表格表示、关系式表示、图象表示有相当丰富的经历.因此教材在第1节中通过探讨小车下滑时间的活动,使学生初步体会变量之间的相依关系,并用表格来表示变量之间的关系.使学生学习如何从表格中获取信息,发展他们通过数据分析进行预测和解决问题的能力.在学生已经学会计算一些图形的面积和体积的基础上,教材在第2节讨论由底边长(或半径、高)的变化引起的面积(或体积)的变化,并由此引出运用关系式表示变量之间的关系.然后运用形象的“机器输入输出图”,渗透自变量和因变量值的对应思想,为以后理解函数的概念做铺垫.“排碳计算公式”内容的设计是为了将生活中变量之间关系的表达转化为数学上的关系式表达.在第3节第1课时中,通过学生所熟悉的气温变化图,引入变量之间关系的第三种表示方法——图象.图象表示因其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用,它是将关系式和数据转化为图形形式,是“看见”相应的变化规律的途径之一.因此,本章在第3节第2课时中特别又对图象所表示的变量之间的关系进行了讨论,让学生用语言描述图象所表示的变化过程,加强他们对图象表示的理解,发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力.概括起来说,第1节是本章的起始课,除给出变量、常量的概念,还给出变量之间关系的第一种表示方式——表格表示法.第2节给出变量之间关系的第二种表示方式——关系式表示法.第3节给出变量之间关系的第三种表示方式——图象表示法,并力图与表格表示法、关系式表示法进行联系,但不要求学生画图象.【重点】能根据表格中的数据、关系式中的变量、图象上的点来获取信息,明确自变量、因变量所表示的实际意义.【难点】三种表示变量之间关系的方法之间的联系,能从具体问题中获取变量之间的关系.1.本章主要讨论的是现实世界中大量存在的变量,讨论如何用数学的方法去理解、表示变量之间的关系,并解决一些问题和进行预测.因此在教学中,教师要创设丰富的现实情境使学生体会变量以及变量之间相互依赖的关系,而不是形式地讨论变量的有关概念.教师可以充分利用教科书中提供的问题,也可以创设新的情境,或鼓励学生自己从生活中寻找有关素材供课堂讨论.2.运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画现实世界中的变化规律,是本章学习的主要目标之一.而实现这一目标的重要途径是使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程,在探索活动中理解变量之间的相依关系,并尝试用语言和符号去刻画.例如,在探索小车下滑过程中下滑时间与支撑物高度的关系时,教师应鼓励学生充分地从表格中获取信息,运用自己的语言进行描述,并与同伴进行交流.有条件的地方,教师可以让学生亲自实践这个实习或实践其他可操作性的实习,使他们获得变量之间关系的直观体验,并体会收集数据、整理数据、由数据进行推断的思考方式.3.注重使学生从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息,并运用语言进行表达.前面已经提到,为了发展学生对变量之间关系的理解,必须使他们对变量之间关系的多种表示——表格表示、关系式表示、图象表示有相当丰富的经历.因此,教科书安排了大量由表格、关系式、图象所表达的变量之间关系的实例.在学生讨论这些例子时,教师要留给他们充分思考的时间,鼓励他们从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息,并运用自己的语言进行表述.当学生运用语言进行表述时,教师不要苛求语言的统一性以及对关系的精确描述,只要学生能大致描述出变量之间的关系即可.4.在现实情境中评价学生对变量之间关系的理解.在考查学生对变量之间关系的理解时,应关注学生是否能够感受周围世界中的变量,是否能够发现变量之间互相依赖的关系;关注学生是否能从表格和图象中获取信息,并由此进行预测;关注学生能否运用语言、表格、关系式描述一些变量之间的关系等.评价时应提供具体的问题情境,从大量实际问题或学生感兴趣的问题出发.避免形式化地对两个变量之间关系的三种表达形式进行讨论.5.在本章的学习中,好多信息都是由学生花费了较多的时间从具体问题中抽象出变化规律、理解符号所代表的变化规律等活动中获得的,这些活动对于学生发展符号感具有重要的价值.因此,对上述活动过程教师应给予学生大量支持与鼓励,而不是直接将结论告诉学生.教学时教师应从以下几方面对学生加以关注:从事活动的投入程度;从表格、关系式、图象中获取信息的准确性和广泛性;对具体情境中变量之间关系的敏感性;运用语言描述变量之间关系的合理性等.1用表格表示的变量间关系1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,获得探索变量之间关系的体验,进一步发展符号感.2.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量,并能举出反映变量之间关系的例子.3.能从表格中获得变量之间关系的信息,能用表格表示变量之间的关系,并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测.经历实习、操作、观察、猜想、交流等获取信息的过程,体会我们生活在一个变化的世界中,进一步理解变量之间的关系,从表格中获取两个变量之间关系的有关信息.激发学生学习数学的兴趣,认识到现实生活中蕴含着大量两个变量之间关系的有关问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学方法予以解决.【重点】通过具体情境理解变量、自变量和因变量的概念,能从表格中发现变量之间的变化关系,并能用自己的语言描述出来.【难点】对表格中的数据作出分析和预测,用变量之间变化的思想描述我们所生活的世界中的变化.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P62~63.导入一:前一段时间大萌子和萌爸的三十年照片被晒在网上,这30张照片是一个北京姑娘1岁到30岁和爸爸的合影,从小到大,她的每一步都有爸爸陪伴,每张照片都有那一年的故事,触动心灵!孩子茁壮成长,父母日渐老去.[处理方式]通过上面的例子,我们感到:我们生活在一个变化的世界中.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来,这也是我们第三章将要学习的变量之间的关系.[设计意图]通过具体生活的实例激发学生的学习兴趣,在学生熟悉的情境中自然地引入本章的内容,学生感到亲切、贴近生活,乐意去学习探究,又通过具体的情境,让学生对本章学习研究的内容有个大致的了解,目的性较强,直接指向本节课所要学习的内容.导入二:猜猜看:他是谁?[处理方式]让学生观察交流,感受身边的日常变化.[设计意图]通过具体情境激发学生的学习兴趣,让学生观察图片作为课堂教学的引入,通过举例,希望学生体会身边的事物无时无刻不在发生变化,培养学生善于观察的能力,让学生感受事物的变化,进而引向本节课所要学习的内容.探究活动1小车下滑实习思路一【活动内容1】直观感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.下面我们来观察一个小车下滑实习:(课件出示)王波学习小组利用同一块木板,测量小车从不同高度下滑的时间.【问题】支撑物的高度不同,小车下滑的时间有怎样的变化?(如上图)[处理方式]课件演示小车从不同高度下滑的实习.讨论得出:图(1)小车下滑的时间较长,图(4)小车下滑的时间较短.从图(1)到图(4),随着支撑物的增高,小车下滑的时间逐渐变短.由于木板的长度不变,因此支撑物的高度越高,木板就越陡,小车下滑的时间就越短.【活动内容2】数据感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.(1)支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间是多少?(2)如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么?(3)h每增加10 cm,t的变化情况相同吗?(4)估计当h=110 cm时,t的值是多少?你是怎样估计的?(5)随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化?哪些量始终不发生变化?[处理方式]先小组讨论后,汇报交流,师引导学生根据表格中数据进行适当的运算,通过观察分析这些计算结果,得出相应的结论,让学生了解这是利用表格分析变化关系、预测变化趋势的一种常用的方法.得出答案:(1)支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间是1.59 s.从表格中直接可以查出.(2)t随着h的增大而减少.支撑物的高度越高,下滑的时间就越短.(3)h每增加10 cm,t的变化情况不相同.通过计算,可得到h每增加10 cm,t的变化量依次减少1.23 s,0.55 s,0.32 s,0.24 s,0.18 s,0.12 s,0.09 s,0.09 s,0.06 s.因此h每增加10 cm,t的变化情况不相同,但是随着h(4)t的变化量的变化趋势可以发现t的减少量要小于0.06 s或等于0.06 s,故可估计t的减少量为0.05 s,因此t的值大约为1.35- 0.05=1.30(s).(5)随着支撑物高度h的变化,下滑的时间t会发生变化,小车下滑的路程没有发生变化.探究小车下滑的时间随高度变化的情况.[处理方式]请两名同学到前面来进行实习.其他每组同学记录实习数据.(拿出实习器材:小车、木板、秒表、调节高度的装置,找两名学生到前面来进行实习,说明实习的目的及步骤)根据实习数据师生共同讨论,得出问题答案.猜想:随着小车的下滑高度的增加,小车下滑的时间逐渐减小.师:那么事实是不是这样呢?我们就来验证一下,让小车从不同的高度滑下,用秒表记录下每次小车下滑的时间,看看有何规律.师生:支撑物高度为70 cm时,小车下滑时间为1.59 s.师:如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么?生:随着h逐渐变大,t逐渐变小.师:h每增加10 cm,t的变化情况相同吗?为什么?生:不相同.因为我是通过计算得到的,h每增加10 cm,t的变化量依次减少1.23 s,0.55 s,0.32 s,0.24 s,0.18 s,0.12 s,0.09 s,0.09 s,0.06 s.(如下表:教师此时展示差值表,便于学生分析回答问题)因此h每增加10 cm师生:当h=110 cm时,t的值可能是1.30 s,从表格中可以看出当小车的高度从90 cm上升到100 cm 时,时间减少了0.06 s,而且随着高度的增加,时间减少的越来越少,所以当小车的高度从100 cm上升到110 cm时,时间最多减少0.06 s,所以我认为减少0.05 s比较合适,所以我认为h=110 cm时,t的值可能是1.30 s.师:这位同学回答得很好.我们推测估计时,要根据表中的数据进行分析整理,然后作出合理的回答.(教师可说明答案是1.29 s至1.35 s中的任意一个值)师:随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化?哪些量始终不发生变化?生:随着支撑物高度h的变化,小车下滑的时间t会发生变化,小车下滑的路程没有发生变化.[设计意图]通过小车下滑的实习,让学生参与到收集数据的实习过程中,借助于数据感受具体的变化及其中蕴含的规律;亲身感受随着支撑物高度的增加,小车下滑所用的时间越来越少.体会这一过程中变化的量,为变量、自变量、因变量、常量这些概念的引入打下基础.同时鼓励学生充分进行交流,培养他们从表格中获取信息的能力.程中,若有两个变量x和y,其中y随着x的变化而发生变化,我们就把x叫自变量,y叫因变量.始终不变的量叫做常量.②利用在变化过程中,两个变量的因果关系,确定自变量和因变量.③借助表格,可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.④在利用表格表示变量之间的关系时,通常自变量在表格的第一行,而因变量则在第二行.[设计意图]为更好地感受变量之间的关系;通过小车下滑实习进一步积累感性认识,进一步体会在具体的情境中,变量之间的依存关系和变化关系,既能激起学生学习的兴趣,又为知识的直接概括积累了材料,在此基础上通过学生看书自学,明确各自意义,再通过回顾前置实习巩固概念,符合学生的认知规律,最后点题,明确表格是表示变量之间关系的一种常用方法.先独立完成下列问题,然后小组内交流.1.我国从1949年到(1)上表反映了和两个变量之间的关系,是自变量,是因变量.(2)如果用x表示时间,y表示我国人口数量,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么?(3)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口是怎样变化的?[处理方式]引导学生观察表格中的数据变化,发现变量的整体变化趋势;利用变量之间的因果关系,区分出自变量和因变量.通过计算人口数量随年份的增加量,根据增加量的变化,得出人口数量随时间的变化关系.解:(1)时间人口数量时间人口数量(2)随着x的增加,y也增加.(3)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口增加1.5亿左右.但最后10年的增加量大约只有0.76亿.(答案合理即可)2.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间有如下的关系(其中0≤x≤30(1)(2)当提出概念所用时间是10分钟时,学生的接受能力是多少?(3)根据表格中的数据,你认为提出概念所用的时间是多少时,学生的接受能力最强?[处理方式]引导学生观察表格中的数据变化,发现变量间的变化关系和变化趋势.解:(1)提出概念所用的时间和学生的接受能力之间的关系.提出概念所用的时间是自变量,学生的接受能力是因变量.(2)59.(3)13分钟.[设计意图]利用不同的问题情境,使学生感受到变量之间的依赖关系和变化关系,理解变量、自变量、因变量的概念,能根据表格中的数据,对变量进行分析和预测,达到掌握知识的目的;新颖的问题情境,能够吸引学生积极地参与学习;简单口述,既能训练学生的思维能力和语言表达能力,又可以节省时间,起到提高学习效率的作用.[知识拓展]1.在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量.2.一般地,在一个变化过程中,主动变化的量是自变量,受其他量影响而发生变化的量是因变量.3.自变量和因变量是相对的,一个量在某一变化过程中是自变量,而在另一变化过程中可能是因变量.4.常量和变量是相对的,在不同的研究过程中,二者可以相互转化.5.因变量的数值与自变量的数值必须一一对应.1.变量、常量、自变量、因变量的定义.2.借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.1.(1)上表反映了与之间的变化关系其中是自变量,是因变量;(2)如果用x表示时间,y表示电话费,那么随着x的增加,y的变化趋势是;(3)丽丽打了5分钟电话,应该付元的电话费;(4)你能帮助丽丽预测一下,如果打10分钟电话,那么需付元电话费;(5)你能知道每打1分钟电话,需要付多少元电话费吗?电话费与打电话的时间有怎样的关系?解:(1)时间电话费时间电话费(2)不断增加(3)3.0(4)6.0(5)每分钟0.6元,电话费=0.6×时间.2.(1)上述哪些量在变化?(2)第5排、第6排各有多少个座位?(3)第n排有多少个座位?请说明你的理由.解:(1)排数和座位数在变化,排数是自变量,座位数是因变量.(2)第5排有76个座位,第6排有80个座位.(3)第n排有60+4(n- 1)=(4n+56)个座位,每一排比前一排多4个座位.1用表格表示的变量间关系探究活动1小车下滑实习探究活动2变量、自变量、因变量、常量等概念一、教材作业【必做题】教材第63页习题3.1知识技能第1,2题.【选做题】教材第64页习题3.1问题解决第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里水的温度随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是()A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器的容积2.据世界人口组织公布,地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势,即随时间的变化,地球上的人口数量在逐渐增加,如果用t表示时间,y表示人口数量,那么是自变量,是因变量.3.某条河受暴雨袭击,(1)上表反映了与之间的关系其中是自变量,是因变量;(2)12时的水位是;(3)这个时段水位上升最快.【能力提升】4.某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示,用户5月份交水费45元,则所用水为方.5.苹果熟了,:(1)上表反映了和两个变量之间的关系,是自变量,是因变量;(2)根据表格中的数据,售价y是随销售数量x的变化而的;(3)估计当x=15时,y的值是.【拓展探究】6.下表是某冰箱厂2015(1)根据表格中的数据,(2)根据表格你知道哪几个月的月产量相同?哪个月的月产量最高?(3)求2015年前半年的平均月产量是多少.【答案与解析】1.B(解析:由题意可知,水的温度随着所晒时间的变化而变化,所晒时间是自变量,水的温度是因变量.故选B.)2.时间(或t)人口数量(或y)3.(1)时间水位时间水位(2)4米(3)20至24时4.20(解析:由题意得5月份用水量超过18方,设超过的部分为x方,由题意列方程为12×2+6×2.5+3x=45,解得x=2,所以5月份用水量为20方.)5.(1)销售数量售价销售数量售价(2)变化(3)31.56.解:(1)随着月份x的增大,月产量y正在逐渐增加.(2)1月、2月两个月的月产量相同,6月份月产量最高.(3)(10000+10000+12000+13000+14000+18000)÷6≈12833(台).故2015年前半年的平均月产量约为12833台.用学生比较熟悉而又感兴趣的具体问题情境和实例展开知识的学习和探究,学生能积极、主动地参与知识的学习过程;学生充分地交流讨论,较好地训练了学生的语言表达能力和对知识的理解能力;学生主动参与实习,亲身感受变量之间的变化关系,印象深刻,理解到位;通过口答叙述,小组讨论达成共识,再进行交流展示,既节省了时间,又达到了目标.整体来看,学生积极参与,踊跃发言,对变量、自变量、因变量的理解较好,对表格表示的变量间的关系,有一个比较清楚的了解,对数据的分析和预测比较客观、合理.由于本节知识点较少,也较为简单,在设计教学过程的时候,比较松散,学生训练的题目较少,特别对表格中的数据变化有一定规律的题目训练不够,对数据变化的情况学生叙述不够准确、客观,教师的引导不够到位,学生使用数学语言的能力还要进一步加强.加强对数学语言训练的力度,结合具体的问题情境训练学生语言表达的准确性和简洁性;设计灵活多样而新颖的题目,加强对学生理解知识能力的训练,同时结合具体题目做好渗透,为下一节的学习做好铺垫;增大课堂容量,采取更加灵活的方式,加大训练的强度,增加训练的效果.随堂练习(教材第63页)1.解:如气温随时间的变化,脉搏随运动强度的变化,作物的高度随种植时间的变化等.(答案不唯一)2.解:(1)氮肥的施用量和土豆产量之间的关系;氮肥的施用量是自变量,土豆产量是因变量.(2)32.29t,15.18 t.(3)如可以回答氮肥的施用量为336 kg/hm2时比较适宜,因为此时土豆的产量最高;还可以回答氮肥的施用量为259 kg/hm2时比较适宜,因为此时土豆的产量与施用量为336 kg/hm2时差不多,而又可以节约肥料.合理即可.(4)这里主要关注的是对变化过程的大致刻画,答案只要合理即可.习题3.1(教材第63页)知识技能1.解:2.解:(1)(3).问题解决4.解:(1)老花镜的度数越大,镜片与光斑的距离越小.(2)140度~150度(估计的度数接近即可).5.解:(1)反映了海拔高度与空气含氧量之间的关系.海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量.(2)299.3g/m3,182.08 g/m3.(3)大约为150.66 g/m3(合理即可).奥运会的年份与届数如下表所示,表中n的值等于()年份1896 1900 1904 (2012)A.28B.29C.30〔解析〕年份是自变量,届数是因变量,根据数据可得二者的变化规律:第1届相应的举办年份=1896+4×(1- 1)=1892+4×1=1896;第2届相应的举办年份=1896+4×(2- 1)=1892+4×2=1900;第3届相应的举办年份=1896+4×(3- 1)=1892+4×3=1904;…;第n届相应的举办年份=1896+4×(n-1)=1892+4n.根据规律代入相应的年份即可算出届数.令1892+4n=2012,解得n=30.故选C.[解题策略]此题主要考查了数字的变化,解题关键是弄清题意,根据题目中给出的规律列出代数式.本题每届举办年份比上一届举办年份多4.2用关系式表示的变量间关系1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感.2.能根据具体情境,用关系式表示某些变量之间的关系.3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.1.如何将生活中的实际问题转化为数学问题.2.如何用数学方法解决实际生活中的问题.培养学生动手的能力,探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力.通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法.【重点】通过用关系式表示变量之间的关系,体会变量之间的数值对应关系.【难点】将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P66~67.导入一:【活动内容】复习用表格表示两个变量之间的关系.【问题】随着手机的普及,现代人们的通信越来越便捷.打电话要交话费,下表是某同学家长调取的。

变量间的相互关系是指两个或两个以上变量之间相联系的性质,主要有两种类型。

(1)因果关系:是指在两个有关系的变量中,因为一个变量的变化而引起另一个变量的变化。

应注意三点:第一,在两个变量中,只能一个是因,另一个是果,而不能互为因果。

第二,原因变量一定出现在结果变量之前。

第三,两者之间的变化关系是必然的,否则就不是因果关系。

社会现象的因果关系十分复杂,有一因一果、一果多因、一因多果以及多因多果等。

在社会调查研究中,调查者应注意区别事物之间因果关系的类型,对一果多因、一因多果以及多因多果等复杂的因果关系要仔细分析,逐一明确,这样才能清楚地认识社会现象和事物发展变化的规律。

(2)相关关系:是指变量的变化之间存在着非因果关系的一定联系和一定关系。

社会调查研究运用相关这一概念,其目的是了解社会现象和事物之间关系的密切程度,从中探寻其规律性。

变量之间的相关关系从变化的方向来看,可以分为正相关与负相关;从变化的表现形式来看,可以分为直线相关和曲线相关。

当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生同方向的变化,这种相关关系是正相关,也叫直接相关。

当一个变量的数值发生变化时,另一个变量的数值也随之发生反方向的变化,这种相关关系是负相关,也叫逆相关。

在社会调查研究中,掌握变量关系的正相关与负相关的概念,有利于了解社会现象和事物的发展方向和趋势。

当一个变量的数值发生变动(增加或减少),另一个变量的数值随着发生大致均等的变动时,这种关系称为直线相关;当一个变量的数值发生变动,另一个变量的数值随之发生不均等的变动时,这种关系称为曲线相关。

第六章 - 变量之间的关系教案教案：第三章变量之间的关系一、教学目标1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，进一步发展符号感和抽象思维．2．能发现实际情境中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量或因变量．3．能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达，发展有条理地进行思考和表达的能力．4．能根据具体问题，选取用表格或关系式来表示某些变量之间的关系，并结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测．5．体验从运动变化的角度认识数学对象的过程，发展对数学的认识．二、课时安排建议1小车下滑的时间～～～～～～～～～～～～～1课时 2变化中的三角形～～～～～～～～～～～～～1课时 3温度的变化～～～～～～～～～～～～～～～1课时 4速度的变化～～～～～～～～～～～～～～～1课时回顾与思考～～～～～～～～～～～～～～～～1课时三、教学建议1．创设丰富的现实情境，使学生在对变化规律的丰富经历中理解变量之间的相依关系．本章主要讨论的是现实世界中大量存在的变量，讨论如何用数学的方法去理解、表示变量之间的关系，并解决一些问题和进行预测．因此在教学中，教师要创设丰富的现实情境使学生体会变量以及变量之间相互依赖的关系，而不是形式地讨论函数的有关概念．教师可以充分利用教科书中提供的问题，也可以根据学生实际创设新的情境，或鼓励学生自己从生活中寻找有关素材供课堂讨论． 2．注重使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程．运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画现实世界中的变化规律，是本章学习的主要目标之一．而实现这一目标的重要途径是使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程，在探索活动中理解变量之间的相依关系，并尝试用语言和符号去刻画．例如，在探索小车下滑过程中下滑时间与支撑物高度的关系时，教师应鼓励学生充分地从表格中获取信息，运用自己的语言进行描述，并与同伴进行交流．有条件的地方，教师可以让学生亲自实践这个实验或实践其他可操作性的实验，使他们获得变量之间关系的直观体验，并体会收集数据、整理数据、由数据进行推断的思考方式．3．注重使学生从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，并运用语言进行表达．前面已经提到，为了发展学生对函数思想的理解，必须使他们对函数的多种表示――数值表示、解析表示、图象表示有相当丰富的经历．因此，教科书安排了大量由表格、关系式、图象所表达的变量之间关系的实例．在学生讨论这些例子时，教师要留给他们充分思考的时间，鼓励他们从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，并运用自己的语言进行表达．当学生运用语言进行表达时，教师不要苛求语言的统一性以及对关系的精确描述，只要学生能大致描述出变量之间的关系即可．四、评价建议1．关注对学生探索现实世界变化规律的过程的评价．在本章的学习中，学生花费了较多的时间经历从具体问题中抽象出变化规律、理解符号所代表的变化规律等活动，这些活动对于学生发展符号感具有重要的价值．因此，对上述活动过程的考查应当成为评价的首要方面．对这一方面评价的重点显然不是记忆概念的准确性和使用技能、法则的熟练程度，而是对以下诸方面的考查：从事活动的投入程度，从表格、关系式、图象中获取信息的准确性和广泛性，对具体情境中变量之间关系的敏感性，运用语言等描述变量之间关系的合理性等．例如，在对学生探索小车下滑时间与支撑物高度关系的过程进行评价时，可以关注以下几个方面：学生是否积极地进行活动，并在活动中进行独立思考；能否从实际操作或表格中意识到下滑时间与支撑物高度之间存在着相依关系；能否从表格中获取尽可能多的信息；能否运用自己的语言描述下滑时间与支撑物高度之间的关系等．2．在现实情境中评价学生对变量之间关系的理解．在考查学生对变量之间关系的理解时，应关注学生是否能够感受周围世界中的变量，是否能够发现变量之间互相依赖的关系；关注学生是否能从表格和图象中获取信息，并由此进行预测；关注学生能否运用语言、表格、关系式描述一些变量之间的关系等．评价时应提供具体的问题情境，从大量实际问题或学生感兴趣的问题出发．避免形式化地对函数性质本身(如单值对应、三种表达形式)进行讨论．§3.1 小车下滑的时间一、[教学目标]1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。

变量之间的相互关系一、引言在研究数据科学、统计学、经济学以及其他众多领域时，变量间的相互关系是不可或缺的议题。

这种关系描述了不同变量如何互相影响，从而帮助我们理解和预测现象。

本文将深入探讨变量间相互关系的概念、类型和测量方法。

二、变量间的关系类型1.因果关系：如果一个变量（原因）的变化导致了另一个变量（结果）的变化，则存在因果关系。

这种关系是有方向的，原因必定在前，结果只能在后。

2.相关关系：当两个或多个变量同时发生变化，但不表示因果方向时，我们称之为相关关系。

相关关系可以是正相关（一个变量增加时，另一个也增加）或负相关（一个变量增加时，另一个减少）。

3.函数关系：当一个变量（自变量）完全确定另一个变量（因变量）的值时，我们称之为函数关系。

这种情况下，因变量的变化完全依赖于自变量的变化。

三、测量变量间关系强度的方法1.皮尔逊相关系数：衡量两个连续变量的线性相关程度，取值范围在-1到1之间。

接近1表示强正相关，接近-1表示强负相关，接近0表示无相关。

2.斯皮尔曼秩相关系数：与皮尔逊相关系数类似，但适用于非参数数据。

它衡量的是两个连续变量之间的秩次相关性。

3.偏相关系数：当存在多个变量影响因变量时，偏相关系数可以用来衡量特定自变量与因变量之间的线性关系。

四、应用场景理解并测量变量间的相互关系在众多实际场景中都有应用价值。

例如，在市场营销中，通过分析消费者行为、购买历史等变量与购买决策之间的相互关系，可以更有效地制定营销策略。

在医学研究中，了解疾病症状、患者生理指标等变量之间的关系，有助于疾病的诊断和治疗。

五、结论理解并测量变量间的相互关系是数据科学和统计学中的重要概念。

通过明确关系的类型和测量方法，我们可以更好地理解和预测现象，从而在各个领域中做出更有效的决策。

随着技术的发展和数据的丰富，变量间相互关系的研究将继续深化和拓展，为我们提供更多的洞见和可能。

两个变量间相关关系的举例相关关系是指两个变量之间的变化是否存在某种联系或者依赖。

在统计学中，我们可以通过计算相关系数来度量两个变量之间的相关程度。

下面，我将为你举例说明两个变量间的相关关系。

举例一：首先，我们来看身高和体重之间的相关关系。

身高和体重是人体的两个重要指标，一般来说，身高越高，体重也会相应增加。

我们可以通过一个调查统计来验证这种关系。

在调查中，我们随机选择了1000名男性被试，记录了他们的身高和体重。

通过运用统计学方法，我们计算得到了身高和体重之间的相关系数为0.8，这说明身高和体重之间存在着强正相关关系。

也就是说，身高增加会促使体重的增加。

举例二：其次，让我们来考察学习时间和考试成绩之间的相关关系。

有一种常见的观点是，学习时间越多，考试成绩也会越好。

我们可以通过一个实验证明这种关系。

我们在一所学校中随机选取了500名学生，将他们分为两组：一组进行了加强学习时间的训练，每天学习4个小时；另一组保持正常学习时间，每天学习2个小时。

在经过一段时间的训练后，我们进行了一次考试，记录了两组学生的考试成绩。

通过对比两组学生的考试成绩，我们发现加强学习时间组的平均分高于正常学习时间组，这说明学习时间和考试成绩之间存在着正相关关系。

举例三：再次，让我们来研究睡眠时间和工作效率之间的相关关系。

一般来说，充足的睡眠对于提高工作效率很重要。

为了验证这个假设，我们进行了一项睡眠实验。

我们让20名被试者进行七天的实验，在前三天，他们每晚只睡4个小时；在后四天，他们每晚睡眠时间恢复到正常的8个小时。

在每天的工作结束后，我们记录了被试者当天的工作成绩。

通过实验数据的分析，我们发现在睡眠时间缺乏的前三天，被试者的工作效率明显降低；而在恢复充足睡眠的后四天，工作效率也得到了明显的提高。

这表明睡眠时间和工作效率之间存在着正相关关系。

以上三个例子表明，两个变量之间的相关关系可以通过实验证明或者调查统计来证实。

将变量之间的相关关系研究清楚，对我们了解事物的本质以及提高效率具有重要意义。

第三章变量之间的关系知识点梳理及典型例题知识回顾——复习路程、速度、时间之间的关系：，，；知识点一常量与变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为.数值始终不变的量为；在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，当其中一个变量x在一定范围内取一个数值时，另一个变量y也有唯一一个数值与其对应，那么，通常把前一个变量x叫做，后一个变量y叫做自变量的；注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度60千米/时是，时间t和里程s为变量.t 是，s是。

知识点二用表格表示变量之间的关系表示两个变量之间的关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量；借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

注意：用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.知识点三用关系式表示两个变量之间的关系例如，正方形的边长为x，面积为y，则y=x2这个关系式就是表示两个变量之间的对应关系，其中x是，y是；一般地，含有两个未知数（变量）的等式就是表示这两个变量的关系式；【温馨提示】（1）写关系式的关键是写出一个含有自变量和因变量的等式，将表示因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表示因变量的代数式.（2）自变量的取值必须使式子有意义，实际问题还要有实际意义.（3）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表示出来.【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.知识点四用图象表示两个变量间的关系图象法就是用图象来表示两个变量之间的关系的方法；在用图象法表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在位置；【温馨提示】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象确定的数值往往是近似的.【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.知识点五变量之间的关系的表示方法比较表示变量之间的关系，可以用、和；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简单明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系，但是求对应值时，要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其不足是由图象法往往难以得到准确的对应值；专题一能从表格中获取两个变量之间关系的信息专题二根据表格确定自变量、因变量及变化规律4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经测量如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？（3）当t每增加1 s时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v的增加量最大？（4）若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限?专题三用关系式表示两个变量之间的关系5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：专题四用关系式求值7．一棵树苗，栽种时高度约为80厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：（1）此变化过程中是自变量，是因变量；（2）树苗高度h与栽种的年数n之间的关系式为；（3）栽种后后，树苗能长到280厘米．8．某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：（1）现已知小伟家四月份用水18吨，则应缴纳水费多少元？（2）写出每月每户的水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系式．（3）若已知小伟家五月份的水费为17元，则他家五月份用水多少吨？专题五曲线型图象9．温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：（1）上午10时的温度是度，14时的温度是度；（2）这一天最高温度是度，是在时达到的；最低温度是度，是在时达到的；（3）这一天从最低温度到最高温度经过了小时；（4）温度上升的时间范围为，温度下降的时间范围为；（5）你预测次日凌晨1时的温度是．10．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中.（1）请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的变化关系的图象，用直线段连接起来；（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置．专题六折线型图象11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．（1）A、B两点分别表示汽车是什么状态？（2）请你分段描写汽车在第0分钟到第19分钟的行驶状况．（3）司机休息5分钟后继续上路，加速1分钟后开始以60 km/h的速度匀速行驶，5分钟后减速，用了2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．栽种以后的年数n/年高度h/厘米1 1052 1303 1554 180……每月每户用水量每吨价（元）不超过10吨部分0.50超过10吨而不超过20吨部分0.75超过20吨部分 1.50第三章 变量之间的关系复习题1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x 表示弹性限度内物体的质量，用y 表示弹簧的长度，那么随着x 的变化，y 的变化趋势如何？(3)如果此时弹簧最大挂重量为15千克，你能预测当挂重为10千克时，弹簧的长度是多少？2．如图：将边长为20cm 的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。

物理中正比和反比的区别-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在物理学中，我们经常会遇到正比和反比的概念。

正比和反比代表了一种数学关系，用来描述两个变量之间的关系。

正比是指两个变量之间的比例是常数，而反比则是指两个变量之间的比例是一个倒数。

正比关系可以表示为y = kx，其中k是一个常数，表示两个变量之间的比例关系。

当x增加时，y也会以同样的比例增加。

例如，在匀速直线运动中，速度和时间的关系就是正比关系，速度等于位移除以时间。

反比关系则可以表示为y = k/x，其中k是一个常数。

当x增加时，y 会以倒数的方式递减。

例如，在牛顿第二定律中，力和质量的关系就是反比关系，力等于质量乘以加速度的倒数。

正比和反比之间的区别在于变量之间的关系方式。

在正比关系中，两个变量的变化方向是一致的；而在反比关系中，两个变量的变化方向是相反的。

理解正比和反比的区别对于物理学的学习和应用非常重要。

它可以帮助我们了解变量之间的关系，并在问题解决过程中提供指导。

掌握正比和反比的概念，可以帮助我们更好地理解和分析各种物理现象，并将其应用于实际问题的解决中。

在接下来的文章中，我们将更详细地介绍正比和反比的定义和特点，探讨它们之间的区别，并思考它们在物理学中的应用。

最后，我们还将展望未来可能的研究方向，以期对物理学的发展做出一定的贡献。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：在本文中，我们将探讨物理中正比和反比的区别。

文章将分为三个主要部分：引言、正文和结论。

在引言部分，我们将对本文进行概述。

我们将介绍正比和反比的定义，并说明它们在物理学中的重要性。

此外，我们还将介绍本文的结构，包括各个部分的内容和目的。

在正文部分，我们将详细讨论正比和反比的定义和特点。

我们将分别解释正比和反比的含义，并举例说明它们在物理学中的应用。

我们将探讨正比和反比之间的关系，以及它们在实际问题中的差异。

此外，我们还将探讨正比和反比的图像特征，比较它们在图表中的表现形式。

变量之间的关系知识点
以下是 6 条关于变量之间关系知识点：
1. 相关关系可是很重要的哦！就像你和你的好朋友，有时候你成绩好，他成绩也不错，这就是一种正相关呀！比如说温度升高时，冰淇淋的销量往往也会增加，这不是很神奇吗？
2. 因果关系得搞清楚呀！不是所有相关的都是因果哦，就好比你今天穿了红色衣服，然后下雨了，这可不能说你穿红色导致了下雨呀！举个例子，努力学习可能会导致成绩提高，这就是真正的因果关系嘞！
3. 变量之间还可能有复杂关系呢！哎呀，就像人际关系一样，有时候很难一下子明白。

比如汽车的速度、重量和油耗之间的关系，可不是那么简单直接就能搞懂的哟！
4. 线性关系不陌生吧？这就好像走在一条直直的路上一样。

像是身高和体重，在一定范围内可能就有比较明显的线性关系呢。

5. 非线性关系也很有意思呀！不是所有事情都那么规规矩矩的，有时候会出人意料呢。

比如说股票价格的波动和各种因素的关系，那可复杂啦！
6. 多种变量相互影响可常见啦！就像一场精彩的戏剧，每个人物都相互作用。

比如一个城市的经济、人口、环境等变量，它们之间相互交织，影响着城市的发展呢，你说神奇不神奇？
我的观点结论是：掌握变量之间的关系对理解很多事情都非常重要，能让我们更好地分析和解决问题呢！。

2.3.1变量之间的相关关系教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

教学过程：案例分析:一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。

为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表。

关系吗？（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。

（3）如果一个学生的身高是188cm ，你能估计他的一拃大概有多长吗？ 解：根据上表中的数据，制成的散点图如下。

它们之间是线性相关的。

那么，怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点，例如（153，16），（191，23）二点确定一条直线。

同学2：在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同。

同学3：多取几组点对，确定几条直线方程。

再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距。

同学4：我从左端点开始，取两条直线，如下图。

再取这两条直线的“中间位置”作一条直线。

同学5：我先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多。

1015202530150155160165170175180185190195同学6：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm 以下的，一部分是身高在170 cm 以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长，即（164，19），（177，21）；最后，将这两点连接成一条直线。

同学7：我先将所有的点按从小到大的顺序进行排列，尽可能地平均分成三等份；每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”，最小的点为（161.3，18.2），中间的点为（170.5，20.1），最大的点为（179.2，21.3）。