2018形考任务4答案
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离散数学作业4
离散数学图论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题
1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ．
2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是 {f,c}．
3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则 G 的结点 度数之和 等于边数的两倍．
4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 所有结点的度数全为偶数 ． 5．设G=<V ，E >是具有n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和大于等于n-1 ，则在G 中存在一条汉密尔顿回路．
6．若图G=<V , E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 S W ≤ ．
7．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当n 为奇数时，K n 中存在欧拉回路．
8．结点数v 与边数e 满足 e= v －1 关系的无向连通图就是树． 9．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树．
10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路．． 答：不正确，图G 是无向图，当且仅当G 是连通，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定图G 是否是连通的。
2．如下图所示的图G 存在一条欧拉回路．
答：错误。
因为图G 为中包含度数为奇数的结点
3．如下图所示的图G 不是欧拉图而是汉密尔顿图．
答：错，既不是欧拉图也不是汉密尔顿图，欧拉图要求所有结点度数均为偶数，这里结点bd 各有三个节点；汉密尔顿图要求每一对结点度数之和大于等于总结点数，这里不满足。
4．设G 是一个有7个结点16条边的连通图，则G 为平面图． 答：错误。
若G 是连通平面图，那么若63,3-≤≥v e v 就有， 而16>3×7－6，所以不满足定理条件，叙述错误。
5．设G 是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G 有7个面．
答：正确。
因为连通平面图满足欧拉公式。
即：2=+-r e v 。
由此题条件知6-11+7=2成立。
三、计算题
1．设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试
(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．
答：（1） 1v °
2v
° °3v
G
4v ° °5v
（2） ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0110010110110110110000100)(D A
（3） =)deg(1v 1、=)deg(2v 2、=)deg(3v 4、=)deg(4v 3、=)deg(5v 2
（4） °1v
2v ° °3v
4v ° °5v
2．图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (c , d ), (d , e ) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试
（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵； （3）求出G 权最小的生成树及其权值． b c
解：（1） 。
。
2 1 a 。
6 4 2 1
3 。
。
e 5 d
（2） ⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=01111
1011011001
1100110110)(D A
（3） b c 。
。
2 1 a 。
1 3。
。
e d 其权值为：7 3．已知带权图G 如右图所示．
(1) 求图G 的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．
答：(1)
1 2
7
5 3
(2) 权值为18。
4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．
解： 65
17 48
5 12
17 31
2 3 5 7
权值为65。
四、证明题
1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．
证明：设a 为G 中任意一个奇数度顶点，由定义，a 仍为顶点，为区分起见，记为a ’, 则deg(a)+deg(a ’)=n-1, 而n 为奇数，则a ’必为奇数度顶点。
由a 的任意性，容易得知结论成立。
2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2
k
条边才能使其成为欧拉图．
证明：由定理推论知：在任何图中，度数为奇数的结点必是偶数个，则k 是
偶数。
又由欧拉图的充要条件是图G中不含奇数度结点。
因此，只要在每对奇数度结点间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图。
故最少要加条边才能使其成为欧拉图。
