平面直角坐标系中的距离公式(经典)

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平面直角坐标系中的距离公式和中点公式.

分别求它关于 x 轴的对称点 P，关于 y 轴的对称点 P 的坐标．
y P
P(a，b)
M
O
x
P
（称（吗1，？3））P怎如P你么与果能求点x求的轴出P？垂与P直P的吗关纵？于坐P标x 的轴横对
坐标是多少 ?
（4）由以上分析，点P 的坐（标2是）多PP少与？x 轴的交点 M 是线段 PP 的中点吗？点 M 的纵坐标（是5多）少你？能求出P 的坐标吗？
直线
圆
圆
直线
8.1.2平面直角坐标系中的
距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x=
x1 x2 ． 2
如图所示．设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ．
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2．xΒιβλιοθήκη 求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即 dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
S3
计算 d＝
必做题：P 70 练习 A 第 1 题，第 2 题；选做题：P 70 练习 B 第 3 题．

x2 35 1
2
2
y2 02 1
2
2
解得
x 0 y 4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，求顶点 D 的坐标．

2.1.5平面直角坐标系中的距离公式

2 2
x1 x2 5 x1 x2 3
2
| AB | 1 k | x1 x2 | 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
1 2 5 4 3 65
2 2
抽象概括
1. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
§1.5 平面直角坐标系中的
距离公式
（一）
分析理解
1. x轴上，点P1(x1，Fra bibliotek)和P2(x2，0)的距离为：
|P1P2|=|x1-x2|
y轴上，点P1(0，y1)和P2(0，y2)的距离为：
|P1P2|=|y1-y2|
2. 平面上，点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的距离为：
| PP 1 2 | ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
| x2 x1 | ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
例题分析
例6 设直线2 x y 1 0与抛物线y x 3x 4
2
相交于点A、B，求 | AB | 的值.
2x y 1 0 2 解：由 x 5x 3 0 2 y x 3x 4
解：设P( x, y), 则
| PA |2 | PB |2 10 y2 18 y 10
9 9 19 当P为( , )时，最小值为 . 5 10 10
几何意义：AB的中点M 与P的连线MP l.
例题分析
变式：已知等边三角形ABC的边长为a，P为ABC 平面内一点，求 | PA | | PB | | PC | 的最小值.
（ 2）点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : y y1 的距离是 d y0 y1 。

2.5 平面直角坐标系中的距离公式

如图，到直线l的距离，就是指从点P到直线l 如图，P到直线l的距离，就是指从点P到直线l 垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. PQ的长度的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. y
P
l
Q
o x
已知点P 和直线l:Ax+By+C=0, 思考：已知点P0(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0, 怎样求点到直线l的距离呢样求点P到直线l的距离呢?
| PP |= x2 −x | 1 2 | 1 | PP |= y2 − y | 1 2 | 1
2011-3-24
2
两点间的距离 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
已知平面上两点P 已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)，如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢? 的距离| y P1(x1,y1) Q (x ,y )
2011-3-24
17
例8 两平行直线l1 , l2分别过A(1, 0)
与B (0,5).若l1与l2的距离为5，求这两直线方程。
2011-3-24
18
练习
1、点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值. A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4 到直线x+y+1=0的距离为的值.
2011-3-24
x
d=
C1 - C2 A +B
2 2
16
练习3 练习3
14 53 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是 53 平行线2x 的距离是______; 1.平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离是______;
2 13 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是 13 两平行线3x 的距离是____. 2.两平行线3x-2y-1=0和6x-4y+2=0的距离是____.

平面直角坐标系中的距离公式

1 3 BC 1 2 2
2 2
y
1 3 C( ， ) 2 2
O
B( 1， 0)
x
1 3 1, 4
AB 2，
3 3 AC 2 2
2
2
3,
2
所以 AC BC AB . 即ABC是直角三角形 .
34 . 5
l1 : 5x 12y 9 0的距离 . 例18 (1)求原点到直线
(2)求P(1 ， 2)到直线l2 : 2 x y 10 0的距离.
解 (1)原点到直线的距离为
d 5 0 12 0 9
9 . . 2 13 52 （ 12）
(2)点P到直线l2的距离为
d 2 (1) 2 10 2 1
2 2
2 5.
Ax0 By0 C 1.求下列点到直线的距离 . d . 2 2 （ 1 ）（0,0）， 3x 2 y 4 0; A B 解 (1)点(0,0)到直线的距离为
d 3 0 (2) 0 4
2 32 （ 2）
用上述方法可以得到
d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
即点P到直线Ax By C 0的距离公式 .
点P(3,5)到直线l： 3x 4 y 5 0的距离 .
3 （ 3）（ 4） 5 （ 5） d . 2 2 （ 3）（ 4）
9 20 5 9 16 .
P78练习
4 4 13 . 13 13
（3）（2,3），x y; 解 (3)点(2,3)到直线的距离为
d 1 2 (1) (3) 0 1 （ 1 ）

平面直角坐标系中的距离公式一两点间的距离公式

平面直角坐标系中的距离公式一两点间的距离公式在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

这个公式是根据勾股定理推导出来的，即在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。

假设平面直角坐标系中有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以利用这两个点的坐标来计算它们之间的距离。

根据勾股定理，点A和点B之间的距离d可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，x2 - x1表示两点在x轴上的距离，y2 - y1表示两点在y轴上的距离。

将这两个距离的平方相加，再开根号即可得到两点之间的距离。

举个例子来说明这个公式的使用。

假设有两个点A(1, 2)和B(4, 6)，我们可以使用距离公式来计算它们之间的距离：d = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点A和点B之间的距离为5个单位。

这个距离公式的推导过程并不复杂，但它在实际应用中非常重要。

在几何学和物理学中，我们经常需要计算两点之间的距离。

例如，在建筑设计中，我们需要计算建筑物的尺寸和距离；在导航系统中，我们需要计算车辆之间的距离；在物理学中，我们需要计算物体之间的距离和位移等。

此外，这个距离公式还可以推广到三维空间中。

在三维空间中，我们可以使用类似的方法来计算两点之间的距离。

只需要将平面直角坐标系中的距离公式扩展到三个坐标轴上即可。

总之，在平面直角坐标系中，两点之间的距离可以使用距离公式来计算。

这个公式是根据勾股定理推导出来的，可以帮助我们计算任意两个点之间的距离。

无论是在几何学、物理学还是其他领域，这个公式都具有广泛的应用价值。

平面直角坐标系中距离的计算

平面直角坐标系中距离的计算在平面直角坐标系中，我们可以用两个坐标值来表示一个点的位置。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)。

要计算点A和点B之间的距离，我们可以使用勾股定理。

勾股定理是一个三角形中的定理，它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。

在平面直角坐标系中，我们可以将两点之间的距离看作是一个直角三角形的斜边长度。

根据勾股定理，我们可以得到以下公式：距离AB = √((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2)其中，^2表示取平方根，√表示开平方。

现在，我们来看一个具体的例子，假设点A的坐标为(2, 3)，点B 的坐标为(5, 7)。

我们可以使用上述公式来计算它们之间的距离。

距离AB = √((5 - 2)^2 + (7 - 3)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5所以，点A和点B之间的距离为5个单位长度。

除了直接使用勾股定理计算两点之间的距离，我们还可以使用其他方法来得到相同的结果。

例如，我们可以利用向量的性质来计算两点之间的距离。

向量是具有大小和方向的量，可以表示平面上的位移。

在平面直角坐标系中，我们可以使用向量来表示从一个点到另一个点的位移。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，我们可以定义一个向量AB，它的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。

根据向量的性质，我们知道两个向量的长度相等当且仅当它们的坐标差的长度相等。

所以，我们可以使用向量的长度来计算两点之间的距离。

向量的长度计算公式如下：向量的长度= √((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2)与勾股定理的计算公式相同。

通过向量的长度计算方法，我们可以得到与前面相同的结果，即点A和点B之间的距离为5个单位长度。

在实际应用中，计算平面上两点之间的距离是非常常见的。

无论是在几何学、物理学还是计算机图形学中，都需要用到这个概念。

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

过 A，B，M 分别向 y 轴作垂线 AA2，BB2， MM2，垂足分别为A2， B2 ，M2 ．
如图所示．设 M(x，y) 是 A(-1，1)，B(2，3) 的中点
．
y
（1）你能说出垂足A1，A2，B1，B2，
B2
B
M2 M
M1，M2的坐标吗？（2）点M是AB中点，M1是A1，B1
的
A A2
中（点3）吗M？2它是们A2的，坐B2标的有中怎点样吗的？关它系们？的
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1；
S3
计算 d＝
d
2 x
d
2 y
；
S4 给出两点的距离d．
例1 已知 A(2，－4)，B(－2，3) ，求 |AB| ．
解：因为
x1＝2，xБайду номын сангаас＝－2，y1＝－4，y2＝3，
所以
dx＝x2－x1＝－2－2＝－4， dy＝y2－y1＝3－(－4)＝
因7．此
|A| Bdx 2dy 2( 4)2726． 5
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称．
P 71 练习 A 第 1 题，第 2 题；
求两点之间的距离：
强（1）A（6，2），B（－2，5）；
化练
（2）C（2，－4），D（7，2）．
习
如图所示．设 M(x，y) 是 A(-1，1) ，B(2，3) 的中点．
y
B2
B
M2 M
A A2
A1 O M1 B1 x
过 A，B，M 分别向 x 轴作垂线 AA1，BB1， MM1，垂足分别为 A1， B1 ，M1 ；
解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．

高中数学课件-平面直角坐标系中的距离公式

A．1
B．2
1 C.2
D．4
B [∵63＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋
4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
21
3．已知两平行直线，其距离可利用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
.
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
则这两条直线间的距离是________． 5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
8
两点间的距离公式
【例 1】 (1)若 x 轴的正半轴上的点 M 到原点的距离与点(5，－
3)到原点的距离相等，则点 M 的坐标为( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C.32，0
D．( 34，0)
(2)直线 2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为
5
3．两平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
距离d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
6
1．已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则||CACB||的值为( )
1 A.3 C．3
1 B.2 D．2

距离坐标公式

距离坐标公式
距离坐标公式是指计算平面上两个点之间距离的公式，也被称为
欧几里德距离公式或直线距离公式。

它是数学中非常基本的公式之一，广泛应用于各种计算和测量问题中。

在平面直角坐标系中，如果有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，
它们之间的距离可以用距离公式计算得出：d = √[(x2 - x1)² +
(y2 - y1)²]。

这个公式的意义是计算两个点之间所需的最短距离。

在平面直角
坐标系中，我们可以将任意两个点之间的距离看作两个直角三角形的
斜边，距离公式就是根据勾股定理而来的。

在实际应用中，距离坐标公式常用于计算地图上两个地点之间的
距离，设计建筑物时计算两个点之间的距离和角度，以及计算空间中
两个点之间的距离等等。

此外，在计算机科学和统计学中，距离坐标
公式也被广泛应用于计算机视觉和机器学习等领域。

总之，距离坐标公式是一个重要的基本公式，用于计算平面上两
个点之间的距离。

它的简单直观，易于理解和应用，并被广泛应用于
各种实际问题的计算中。

平面直角坐标系中两点之间的距离公式

平面直角坐标系中两点之间的距离公式
在平面直角坐标系中，两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离公式为：S=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]
这个公式描述了平面内两点之间的直线距离，是数学和物理学中常用的基本公式之一。

其中，S表示两点之间的距离，(x2-x1)和(y2-y1)分别表示两点在x轴和y轴上的坐标差，√表示开平方。

这个公式的推导可以通过勾股定理来实现。

假设A和B两点在x轴上的距离差为dx=(x2-x1)，在y轴上的距离差为dy=(y2-y1)，那么线段AB的长度S就可以看作是直角三角形ACB的斜边，其中AC为dx，BC为dy。

根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和，即S²=dx²+dy²，化简后得到S=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

除了平面直角坐标系中的距离公式外，还有三维空间中两点之间的距离公式。

设两点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则它们之间的距离公式为：
S=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]
这个公式与平面直角坐标系中的距离公式类似，只是在x轴、y轴和z轴上分别进行了计算。

这个公式也是通过勾股定理推导得到的。

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例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法一) 由k1=k2 可得： l1//l2
在直线l1上取点(4, 0)，其到直线l2的距离
d | 6 4 9 0 3 | 7 13
62 (9)2
13
∴直线l1与l2间的距离
d 7 13 13
例2. 已知直线l1：2x－3y－8＝0， l2：6x－9y－3＝0， l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离.
解：(方法二) 由k1=k2 可得： l1//l2
将l2的方程变形为： 2x－3y－1＝0
∴直线l1与l2间的距离：
d | -18 | 7 13
22 (-3)2
想一想：
怎样用坐标的方法求点P(-3, 5)到直线 3x-4y＋5＝0的距离？P y
o
x
点ห้องสมุดไป่ตู้0(x0, y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离呢?
写出直线PQ的方程，
与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 |PQ|
.
y
P
l
Q
o
x
二、点到直线的距离公式：
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
二、点到直线的距离公式
d Ax0 By0 C . A2 B2
三、两条平行直线间的距离公式
d | C1 C2 | A2 B2
课后练：
1. 求过点M(－2, 1)，且与A(－1, 2)， B(3, 0)距离相等的直线方程.
2. 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为2的直线的方程.
北师大版高中数学必修2第二章
§1.5平面直角坐标系中的距离公式
思考：如图，平面直角坐标系中两点A（x1,y1)， B（x2,y2),如何求点A,B之间的距离|AB|？
在直角△ABC中，
y B2
B(x2,y2)
AB 2 AC 2 BC 2
AC A1B1 x2 - x1 BC A2B2 y2 - y1
PB (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
Q PA PB
x2 2x 5 x2 4x 11
解得： x 1 所以所求点为 P(1, 0)
PA (11)2 (0 2)2 2 2
例题分析
例 1:已知点A(1, 2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使得 | PA || PB |,并求 | PA | 的值.
A(x1,y1) A2
A1 O
C
x B1
| AB | (x2 - x1)2 ( y2 - y1)2
一、两点间的距离公式
A(x1, y1)，B(x2 , y2 )两点间的距离公式
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
巩固练习
求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0)
又可求得BC方程: x - 4y + 1=0 ∴点A(1, 3)到直线BC得距离为：
h 1-12 1 10
12 (-4)2
17
三、两条平行直线间的距离
讨论：两条平行直线间的距离怎样求？
平行直线间的距离
y
P l1
l2
Q
点到直线的距离
o
x
例3、求证：两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0 (C1≠ C2)的距离是
作业：
课本P76 练习2
解：设所求点为P（x，0），则
PA (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
Q PA PB
x2 2x 5 x2 4x 11
解得： x 1 所以所求点为 P(1, 0)
PA (11)2 (0 2)2 2 2
d Ax0 By0 C A2 B2
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y-1=0的距离.
2.求原点到直线5x-12y-26=0的距离.
3.求点P0(0, 5)到直线y＝2x的距离.
4. 已知点A(1, 3)，B(3, 1)，C(－1, 0)，求△ABC的面积. 解：由两点间距离公式得
| BC | (3 1)2 (1- 0)2 17
d C1 - C2 A2 B2
y
l1任意两条平行直线都可以写成如下形式：
P O
l2
l1 :Ax+By+C1=0
x
l2 :Ax+By+C2=0
设P(x0 , y0 )在直线L1上
则点P到直线L2的距离
d | Ax0 By0 C2 | A2 B2
又C1 ( Ax0 By0 )
直线的方程应化为A和B一样的一般式！
13
∴直线l1与l2间的距离为
7 13 13
例. 已知点P为直线l：2x－y－4＝0上一动点，求点P与原点O 距离的最小值.
解：当PO垂直 l 时，点P与点O距离最小.
点P与点O距离最小值即为点O到 l 的距离.
| PO |min d
| -4|
4 5
22 (-1)2
5
课堂小结：
一、两点间的距离公式
d Ax0 By0 C A2 B2
注意：使用该公式须将直线方程化为一般式．
当❖A=A=00或或BB==0，0此时公公式式也成成立立吗？
y y=y1
P (x0,y0) Q(x0,y1)
y Q(x1,y0) P(x0,y0)
o
x
PQ = y0 - y1
o x=x1 x
PQ = x0 - x1
练习2
8
(2)、A(0，0),B(5，12)
13
(3)、A(2，3),B(5，-1)
5
例题分析
例 1:已知点A(1, 2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P, 使得 | PA || PB |,并求 | PA | 的值.
解：设所求点为P（x，0），则
PA (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5