2017-2018学年湖北省部分重点中学高二(下)期中数学试卷(文科)(J)

2018-2018学年湖北省部分重点中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设复数z满足=（）A．0 B．1 C．D．22．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）A．①③B．①④C．②③D．①②3．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．114．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为05．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料6．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨7．函数f（x）=x3﹣ax在R上增函数的一个充分不必要条件是（）A．a≤0 B．a＜0 C．a≥0 D．a＞08．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为（）A．B．﹣2 C．﹣2或D．不存在9．已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，其导函数为f′（x）．①f（x）的单调减区间是；②f（x）的极小值是﹣15；③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）；④函数f（x）有且只有一个零点．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．已知函数f（x）=，若方程f（x）=m存在两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为（）A．（0，）B．（0，e） C．（﹣∞，） D．（0，]11．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）12．点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y+2=0的最短距离为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是．14．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．15．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为．16．已知函数，若对任意的x∈[1，+∞）及m∈[1，2]，不等式f （x）≥m2﹣2tm+2恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知函数f（x）=x2+alnx（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值．18．某校高一年级甲、已两班准备联合举行晚会，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．甲班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时甲班代表获胜，否则乙班代表获胜．（Ⅰ）根据这个游戏方案，转到的两数之和会出现哪些可能的情况？ （Ⅱ）游戏方案对双方是否公平？请说明理由．19．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2018年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．（，其中n=a +b +c +d ）20．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱． （1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？21．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．22．已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．2018-2018学年湖北省部分重点中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设复数z满足=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模．【分析】化简复数方程，求出复数z为a+bi（a、b∈R）的形式，然后再求复数|1+z|的模．【解答】解：由于，所以1﹣z=i+zi所以z=═则|1+z|=故选C．2．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）A．①③B．①④C．②③D．①②【考点】变量间的相关关系．【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是①和④．【解答】解：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．故选B．3．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．4．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选A．5．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断（）A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料【考点】进行简单的合情推理．【分析】若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾，从而得解．【解答】解：把已知条件列表如下：若甲不在打印资料，则丙不在查资料，则甲在改作业，丙只能写教案，乙不管是写教案还是改作业都与甲或丙在做一样的事，与题设矛盾．所以甲一定在打印资料，此时丁在改作业，乙在写教案，丙在查资料．故选：A．6．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．【解答】解：=（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C7．函数f（x）=x3﹣ax在R上增函数的一个充分不必要条件是（）A．a≤0 B．a＜0 C．a≥0 D．a＞0【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据导数法确定函数单调性的方法和步骤，我们易求出函数f（x）=x3﹣ax在R上增函数时a的取值范围，然后根据“谁小谁充分，谁大认谁必要”的原则，结合题目中的四个答案，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax的导函数为f'（x）=3x2﹣a，当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）=x3﹣ax在R上增函数但函数f（x）=x3﹣ax在R上增函数时，f'（x）≥0恒成立，故a≤0故选A．8．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为（）A．B．﹣2 C．﹣2或D．不存在【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b ﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；∴=﹣=﹣．故选A．9．已知函数f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，其导函数为f′（x）．①f（x）的单调减区间是；②f（x）的极小值是﹣15；③当a＞2时，对任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a）；④函数f（x）有且只有一个零点．其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，知f′（x）=3x2﹣4x﹣4，令f′（x）=3x2﹣4x﹣4=0，得x=，x2=2，分别求出函数的极大值和极小值，知①错误，②④正确；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）﹣f（a）﹣f′（a）（x﹣a）＞0，故③正确；【解答】解：f（x）=x3﹣2x2﹣4x﹣7，其导函数为f′（x）=3x2﹣4x﹣4．令f′（x）=0，解得x=﹣，x=2，当f′（x）＞0时，即x＜﹣，或x＞2时，函数单调递增，当f′（x）＜0时，即﹣＜x＜2时，函数单调递减；故当x=2时，函数有极小值，极小值为f（2）=﹣15，当x=﹣时，函数有极大值，极大值为f（）＜0，故函数只有一个零点，①错误，②④正确；∵a＞2，x＞2且x≠a，∴f（x）﹣f（a）﹣f′（a）（x﹣a）=x3﹣2x2﹣4x﹣a3+2a2+4a﹣（3a2﹣4a﹣4）（x﹣a）=x3+2a3﹣2x2﹣2a2﹣3a2x+4ax＞0，∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x﹣a），故③正确；所以中真命题的个数为3个，故选：C10．已知函数f（x）=，若方程f（x）=m存在两个不同的实数解，则实数m 的取值范围为（）A．（0，）B．（0，e） C．（﹣∞，） D．（0，]【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】对函数f（x）求导数f′（x），利用导数判断函数f（x）的单调性，求出f（x）的定义域和最大值，即可求出方程f（x）=m存在两个不同的实数解时m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=，x＞0；∴f′（x）==，令f′（x）=0，得1﹣lnx=0，解得x=e；当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；当x=e时，f（x）取得最大值是f（e）=，且f（x）＞0；当方程f（x）=m存在两个不同的实数解时，实数m的取值范围是0＜x＜．故选：A．11．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f（x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．12．点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y+2=0的最短距离为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x+2的距离即为所求．【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小．直线y=x+2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx的导数y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x+2平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y=x+2的距离等于=，故点P到直线y=x+2的最小距离为，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案为：（2，+∞）．14．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为．【考点】几何概型．【分析】分别求出铜钱圆的面积和中间正方形的面积，利用面积比求油滴正好落入孔中的概率．【解答】解：铜钱圆的面积为π（cm2），中间正方形的面积为（cm2）．∴油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为=．故答案为：．15．观察下列等式：（1+1）=2×1（2+1）（2+2）=22×1×3（3+1）（3+2）（3+3）=23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…•（2n ﹣1）．【考点】归纳推理．【分析】通过观察给出的前三个等式的项数，开始值和结束值，即可归纳得到第n个等式．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n 个等式的左边含有n项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n•1•3•5…（2n﹣1）．16．已知函数，若对任意的x∈[1，+∞）及m∈[1，2]，不等式f（x）≥m2﹣2tm+2恒成立，则实数t的取值范围是[，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】将问题转化为m2﹣2tm+1≤0对∀m∈[1，2]恒成立，得不等式组，解出即可．【解答】解：f′（x）=﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）的极小值即最小值是f（1）=1；（2）由（1）可知f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以m2﹣2tm+2≤f（x）min=f（1）=1即m2﹣2tm+1≤0对∀m∈[1，2]恒成立，所以，解得t≥，故答案为：[，+∞）．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知函数f（x）=x2+alnx（1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）代入a值，求出导函数，利用导函数求出极值；（2）代入a值，求出导函数，判断函数在区间上的单调性，利用单调性求出函数的最值．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f（x）=x2﹣lnx，f'（x）=当x∈（0，1）时f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，f（x）递增；∴f（x）的极小值是f（1）=，无极大值．（2）f（x）=x2+lnx，f'（x）=x＞0，∴f（x）在[1，e]上递增，∴函数的最大值f（e）=e2+1，最小值f（1）=．18．某校高一年级甲、已两班准备联合举行晚会，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．甲班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时甲班代表获胜，否则乙班代表获胜．（Ⅰ）根据这个游戏方案，转到的两数之和会出现哪些可能的情况？（Ⅱ）游戏方案对双方是否公平？请说明理由．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）列出两数和的各种情况表格，比较清晰得出结论；（Ⅱ）由两数和的各种情况表格，得出该游戏方案是公平的，计算甲、乙两班代表获胜的概率是相等的．【解答】解：（Ⅰ）两数和的各种情况如下表所示：（Ⅱ）该游戏方案是公平的；因为由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以甲班代表获胜的概率P1==，乙班代表获胜的概率P2==，即P1=P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．19．近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2018年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币．与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为，对服务的好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．（，其中n=a +b +c +d ）【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k 2的值，对应数表得答案；（2）采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，利用枚举法得到从5次交易中，取出2次的所有取法，查出其中只有一次好评的情况数，然后利用古典概型概率计算公式求得只有一次好评的概率．【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：得，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关． （2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为A ，B ，C ，不满意的交易为a ，b ，从5次交易中，取出2次的所有取法为（A ，B ）、（A ，C ）、（A，a）、（A，b）、（B，C）、（B，a）、（B，b）、（C，a）、（C，b）、（a，b），共计10种情况，其中只有一次好评的情况是（A，a）、（A，b）、（B，a）、（B，b）、（C，a）、（C，b），共计6种，因此，只有一次好评的概率为．20．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？【考点】随机事件；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法．（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为2个黄球1个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率．（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果．【解答】解：把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个（1）事件E={摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123：P（E）==0.18（2）事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F包含的基本事件有9个，P（F）==0.45（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P（G）=（4）=0.1，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次．则一天可赚90×1﹣10×5=40，每月可赚1200元21．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，则f'（1）=2+1=3．故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；（Ⅱ）．①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2…由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣．22．已知函数f（x）=x3++ax+b，g（x）=x3++lnx+b，（a，b为常数）．（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求b的值；（Ⅱ）求出方程f（x）﹣x=xf′（x）的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；（Ⅲ）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系进行求解即可，【解答】解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx﹣5，因为，所以k=11，故切线方程为y=11x﹣5．当x=1时，y=6，将（1，6）代入，得．…（Ⅱ）f'（x）=3x2+5x+a，由题意得方程有唯一解，即方程有唯一解．令，则h'（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），所以h（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数．又，故实数b的取值范围是．…（Ⅲ）F（x）=ax﹣x2﹣lnx，所以．因为F（x）存在极值，所以在（0，+∞）上有根，即方程2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a2﹣8≥0．显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；所以方程必有两个不等正根．记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，则=＞，解得a2＞16，满足△＞0．又，即a＞0，故所求a的取值范围是（4，+∞）．…2018年1月15日。

2017-2018学年高二下学期期中试卷（文科数学）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜13．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设f （x ）=x a ﹣ax （0＜a ＜1），则f （x ）在[0，+∞）内的极大值点x 0等于（ ）A ．0B ．aC ．1D ．1﹣a5．函数f （x ）=x 2﹣2lnx 的单调减区间是（ ）A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]及（0，1]D ．[﹣1，0）及（0，1]6．已知函数f （x ）=x 2+2xf′（1），则f （﹣1）与f （1）的大小关系是（ ）A ．f （﹣1）=f （1）B ．f （﹣1）＞f （1）C ．f （﹣1）＜f （1）D ．不能确定7．已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．98．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣29．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．1611．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=112．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．16．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1．若命题“p 或q”为真，“非p”为真，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假【考点】复合命题的真假．【分析】根据“非p”为真，得到p 假，根据命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，从而得到答案．【解答】解：若命题“p 或q”为真，则p 真或q 真，若“非p”为真，则p 为假，∴p 假q 真，故选：B ．2．已知命题p ：存在x 0＞0，使2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1C ．存在x 0＞0，使2≥1D ．存在x 0≤0，使2＜1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得．【解答】解：∵命题p ：存在x 0＞0，使2＜1为特称命题，∴￢p 为全称命题，即对任意x ＞0，都有2x ≥1．故选：A3．如果函数y=f （x ）的图象如图，那么导函数y=f′（x ）的图象可能是（ ）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，故选A．等于（）4．设f（x）=x a﹣ax（0＜a＜1），则f（x）在[0，+∞）内的极大值点xA．0 B．a C．1 D．1﹣a【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，推出极值点即可．【解答】解：令f′（x）=ax a﹣1﹣a=0（0＜a＜1），得x a﹣1=1，所以x=1．=1是函数f（x）在[0，+∞）内的极大值点．经验证，x故选：C．5．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A．（0，1] B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]及（0，1] D．[﹣1，0）及（0，1]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数，再解不等式f′=（x）＜0，可得出函数的单调减区间．【解答】解：求出函数f（x）=x2﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（﹣1，1）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，1]故选A6．已知函数f（x）=x2+2xf′（1），则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不能确定【考点】导数的运算．【分析】由f（x）的解析式，利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出f′（1）的值，从而确定出f（x）的解析式，然后分别把x等于1和﹣1代入即可求出f（1）和f（﹣1）的值，即可比较出大小．【解答】解：由f（x）=x2+2xf′（1），求导得f′（x）=2x+2f′（1），把x=1代入得：f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，∴f（x）=x2﹣4x，∴f（﹣1）=（﹣1）2﹣4×（﹣1）=5，f（1）=12﹣4×1=﹣3，则f（﹣1）＞f（1）．故选B（﹣4，0），则m=（）7．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．9【考点】椭圆的简单性质．（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．8．抛物线y=x2的准线方程是（）A．y=﹣1 B．y=﹣2 C．x=﹣1 D．x=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4，∴=1，∴准线方程 y=﹣=﹣1．故选：A．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【分析】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解答】解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D10．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．10 B．20 C．8 D．16【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长【解答】解：由椭圆+=1，可知焦点在x轴，a=5，b=4，c=3，由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=20，故选：B．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：①f（x）﹣4=0和f′（x）=0有一个相同的实根②f（x）=0和f′（x）=0有一个相同的实根③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根④f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；f（x）+3=0有一实根小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）错误；故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0 ．【考点】四种命题．【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．【解答】解：命题的条件是：a＞0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a≤0，则a2≤0．故答案是若a≤0，则a2≤0．14．若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．【考点】双曲线的定义．【分析】根据双曲线的性质知，（4+k）（1﹣k）＜0，进而求得k的范围．【解答】解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1﹣k）＜0，即（k﹣1）（k+4）＞0，解得k＞1或k＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）15．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故a+b=﹣3，故答案为：﹣316．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥4或m≤﹣4 ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解关于p，q的不等式，求出￢q，￢p的关于x的取值范围，从而求出m的范围．【解答】解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；∴p：﹣1≤x≤4，∴￢p：x＞4或x＜﹣1，∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，∴q：3﹣|m|≤x≤3+|m|，∴￢q：x＞3+|m|或x＜3﹣|m|，若￢q是￢p的充分不必要条件，由m=0，显然不成立．则，解得：m≥4或m≤﹣4，故答案为：m≥4或m≤﹣4．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立；命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，可得△=4a2﹣4×4＜0，﹣2＜a＜2．由命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，且a≠2，可得5﹣2a＞1，a＜2．由p∨q为真，p∧q为假，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．【解答】解：命题p：关于x的不等式 x2+2ax+4＞0对∀x∈R恒成立，∴△=4a2﹣4×4＜0，解得﹣2＜a＜2．命题q：函数f（x）=﹣（5﹣2a）x是减函数，∴5﹣2a＞1，解得a＜2．∵p∨q为真，p∧q为假，∴命题p与q必然一真一假．当p真q假时，，且a≠2，此时a∈∅．当q真p假时，，且a≠2，解得a≤﹣2．综上可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．18．求函数f（x）=x3﹣x2﹣8x+1（﹣6≤x≤6）的单调区间、极值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：∵f（x）=x3﹣x2﹣8x+1，∴f′（x）=x2﹣2x﹣8，令f′（x）=0，得x=﹣2或x=4．当x∈（﹣6，﹣2）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2，4）时，f′（x）＜0；当x∈（4，6）时，f′（x）＞0．∴f（x）的递增区间为[﹣6，﹣2），（4，6]，递减区间为[﹣2，4]．当x=﹣2时，f（x）取得极大值f（﹣2）=；当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=﹣．19．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．【考点】抛物线的标准方程．【分析】依题意，设抛物线方程为y2=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=﹣x+p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程；同理可求抛物线方程为y2=﹣2px时的结果．【解答】解：如图所示，依题意，设抛物线方程为y2=2px，则直线方程为y=﹣x+p．设直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+，即x1++x2+=8．①又A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线和直线的交点，由消去y，得x2﹣3px+=0，∵△=9p2﹣4×=8p2＞0．∴x1+x2=3p．将其代入①得p=2，∴所求抛物线方程为y2=4x．当抛物线方程设为y2=﹣2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2=﹣4x．故所求抛物线方程为y2=4x或y2=﹣4x．20．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．21．已知椭圆M：，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）把点A代入椭圆方程，结合a=2解出b，则椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）写出直线的点斜式方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0解出m的范围，求出相应的两个根，由点到直线的距离公式求出A到BC边的距离，写出面积后利用基本不等式求面积的最大值，验证得到的m值符合判别式大于0．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，解得．故所求椭圆方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为，则m≠0．设B（x1，y1），C（x2，y2），代入椭圆方程并化简得，由△=2m2﹣4（m2﹣2）=2（4﹣m2）＞0，可得0＜m2＜4①．由①，得，故．又点A到BC的距离为，故=，当且仅当m2=4﹣m2，即m=时取等号，满足①式．所以△ABC面积的最大值为．22．已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，（a∈R）（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；（Ⅱ）先求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，从而得到函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，x （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）极小∴f（x）在x=1处取得极小值1；（Ⅱ）h（x）=x+﹣alnx，h′（x）=1﹣﹣=，①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上，h′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1+a）递减，在（1+a，+∞）递增；②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上递增．。

2017-2018学年湖北省鄂西南三校合作体高二（下）期中数学试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.如图所示的韦恩图中，若，，则阴影部分表示的集合为A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】解：，，设全集，则阴影部分为或．故选：C．由韦恩图中阴影部分表示的集合中的元素属于集合，而不属于集合，设，求．本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．2.复数A. 2B.C. 2iD.【答案】A【解析】解：，故选：A．复数i的幂的计算，直接乘积展开可得结果．复数代数形式的运算，注意i的幂的运算，是基础题．3.函数的定义域为A. 或B.C. D. 且【答案】A【解析】解：由，解得且．函数的定义域为或．故选：A．由0指数幂的底数不为0，且分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．4.在中，，，，那么这样的三角形有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】解：在中，，，，由余弦定理，得：，得：，，且两根之和、两根之积都为正数，方程有两个不相等的正实数根，即有两个边a满足题中的条件．由此可得满足条件的有两个解．故选：C．据余弦定理的式子，代入题中数据化简得，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得有两个解．本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，判断三角形解的个数着重考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判断式与韦达定理等知识，属于基础题．5.下列说法中错误的是如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A. B. C. D.【答案】D【解析】解：在中，如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内，故错误；在中，如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故错误；在中，如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故错误；如果一条直线和一个平面垂直，那么由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线，故正确．故选：D．在中，该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内；在中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；在中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.点P为抛物线：上一动点，定点，则与P到y轴的距离之和的最小值为A. 9B. 10C. 8D. 5【答案】C【解析】解：如图所示，焦点．过点P作准线l交y轴于点M，则P到y轴的距离．当A，P，F三点共线时，取得最小值．与P到y轴的距离之和的最小值．故选：C．如图所示，焦点过点P作准线l交y轴于点M，P到y轴的距离当A，P，F三点共线时，取得最小值，利用两点之间的距离公式即可得出．本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、两点之间的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为A. 9B. 18C. 20D. 35【答案】B【解析】解：初始值，，程序运行过程如下表所示：跳出循环，输出v的值为18．故选：B．由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当时，不满足条件，跳出循环，输出v的值为18．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．8.如图，已知、为椭圆的焦点，等边三角形两边的中点M，N在椭圆上，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，是椭圆的两个焦点，为正三角形且中点M恰好在椭圆上，，且，，由椭圆定义知：，即，，．故选：A．由已知条件，推导出，，由椭圆定义知：，由此有求出结果．本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用，属于中档题9.甲、乙两人约定下午两点到三点之间在某地会面，先到的人等另外一个人20分钟方可离开，若他们在限时内到达目的地的时间是随机的，则甲、乙两人能会面的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是，事件对应的集合表示的面积是，满足条件的事件是，，事件对应的集合表示的面积是根据几何概型概率公式得到故选：B．由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是，，做出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是，，，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果．本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件所对应的区域求出，根据集合对应的图形面积，用面积的比值得到结果．10.给出下列四个结论：若命题：，则：，；“”是“”的充分而不必要条件；命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”；若，，，则的最小值为1．其中正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：利用命题的否定可得：若命题：，则：，，正确；由，反之不成立，因此“”是“”的必要非充分条件，故不正确；由逆否命题的意义可得：命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”，因此正确；若，，，则，当且仅当时取等号，因此的最小值为1，因此正确．综上可知：只有正确．故选：C．利用命题的否定即可判断出；由，反之不成立，充分必要条件即可判断出；由逆否命题的意义即可得出；若，，，则化简再利用基本不等式即可得出．本题综合考查了简易逻辑的有关知识、基本不等式的性质，属于基础题．11.已知某几何体的三视图单位：如图所示，则该几何体的体积是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥长方体的一个角．该几何体的体积．故选：B．由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥长方体的一个角据此即可得出体积．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．12.P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】解：双曲线中，如图：，，，，，，，，，所以，．故选：D．由题设通过双曲线的定义推出，利用，，推出，求出最大值．本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.十进制数53转化为二进制数______．【答案】【解析】解：故故答案为：110101 ．利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．14.直线的倾斜角是______．【答案】【解析】解：直线可化为，进而可得，直线的斜率为，设直线的倾斜角为，，由可得故答案为：化直线的方程为斜截式可得直线的斜率，由直线倾斜角和斜率的关系可得．本题考查直线的倾斜角，涉及直线方程的转化和正切函数，属基础题．15.在平面直角坐标系xOy中，设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足如果直线AF的倾斜角为，那么______．【答案】4【解析】解：抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，，准线l的方程为：；设F在l上的射影为，又，依题意，，，，轴，点P的纵坐标为，设点P的横坐标为，则，，．故答案为：4．利用抛物线的定义，，设F在l上的射影为，依题意，可求得，，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.在中，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，若，则______．【答案】1【解析】解：设，由，故答案为1将，看做一组基底，运用向量加法的三角形法则和已知的比例关系，将向量用这组基底表示，即可得唯一的m、n的值，进而作差得结果本题主要考查了平面向量的基本定理及其应用，向量加法的三角形法则等基础知识，数形结合的思想方法，运用向量加法的三角形法则和已知的比例关系，将向量用一组基底表示，是解决本题的关键三、解答题（本大题共6小题，共6.0分）17.设p：函数在上单调递增；q：关于x的不等式恒成立若p或q为真命题，非p或非q也为真命题，求实数a的取值范围．【答案】解：若函数在上单调递增，则，即p：，若关于x的不等式恒成立，则判别式，得，即q：，若p或q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若非p或非q也为真命题，则非p，非q至少一个为真命题，则p，q一个为真命题，一个为假命题，若p真q假，则，此时无解，若p假q真，则，即，即实数a的取值范围是．【解析】根据函数的性质以及不等式恒成立的性质求出p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．18.已知函数的最大值为1．求函数的单调递增区间；将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程在上有解，求实数m的取值范围．【答案】解：函数的最大值为，．令，求得，可得函数的增区间为，．将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，，，当时，取得最大值为；当时，取得最小值，故．【解析】利用三角恒等变换化简的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数的单调递增区间．利用的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m的范围．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的增区间，的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示．Ⅰ求证：平面ACD；Ⅱ求几何体的体积．【答案】Ⅰ证明：在直角梯形ABCD中，，，，．，，；，取AC的中点O，连结DO，则，又面面ABC，面面，面ACD，从而平面ABC，面ABC，，又，，平面ACD；Ⅱ解：由Ⅰ可知BC为三棱锥的高，，，．【解析】Ⅰ由题中数量关系和勾股定理，得出，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，是等腰，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得平面ABC，即，从而证得平面ACD；Ⅱ由高和底面积，求得三棱锥的体积即是几何体的体积．本题考查了线面垂直的判定定理及勾股定理，注意等体积法的合理运用，是中档题．20.已知数列的前n项和．求数列的通项公式；记，若对于一切的正整数n，总有成立，求实数m的取值范围．【答案】解：由时，．时，，对于上式也成立．．，，即，数列单调递减，若对于一切的正整数n，总有成立，．实数m的取值范围是．【解析】由时，时，．，作差，可得数列单调递减，即可得出．本题考查了数列的提高关系、作差法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量简称血酒含量，单位是毫克毫升，当时，为“酒后驾车”；当时，为“醉酒驾车”某市公安局交通管理部门于2013年11月的某天晚上8点至11点在该市区解放路某处设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图其中的人数计入人数之内．Ⅰ求此次拦查中“醉酒驾车”的人数；Ⅱ从违法驾车的60人中按“酒后驾车”和“醉酒驾车”利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取2人，求2人中其中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”的概率．【答案】解：Ⅰ，，所以此次拦查中“醉酒驾车”的人数为15人；Ⅱ由分层抽样方法可知抽取的8人中“酒后驾车”的有6人，记为2，，，“醉酒驾车”的有2人，记为，所以从8人中任取2人共有种，2人中其中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”有，，，，，共12种，因此2人中其中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”的概率为．【解析】求出时对应的三个矩形的纵坐标和乘以组距求出醉酒驾车的频率；再用频率乘以60求出醉酒驾车的人数．利用分层抽样的特点求出8人中酒后驾车和醉酒驾车的人数；利用古典概型的概率公式即可得到2人中其中1人为“酒后驾车”另1人为“醉酒驾车”的概率．本题考查频率分布直方图中分布在某范围内的频率等于纵坐标乘以组距、考查频率等于频数除以样本容量、考查古典概型及其计算公式．22.已知椭圆C：的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．Ⅰ求椭圆C的方程，并求点M的坐标用m，n表示；Ⅱ设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．【答案】解：Ⅰ由题意得出解得：，，，和点，的方程为：，时，点B与点A关于x轴对称，点点直线PB交x轴于点N，，第11页，共12页存在点Q，使得，，，，即，，，故y轴上存在点Q，使得，或【解析】根据椭圆的几何性质得出求解即可．求解得出，，运用图形得出，，求解即可得出即，，根据m，m的关系整体求解．本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．第12页，共12页。

湖北省武汉市部分重点中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤02．（5分）已知：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列为真的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q3．（5分）设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．B．C．y=﹣1 D．y=﹣25．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．46．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）已知y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（）A．b＜﹣1或b＞2 B．b≤﹣2或b≥2 C．﹣1＜b＜2 D．﹣1≤b≤29．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3B．C．D．10．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A．2个B．1个C．3个D．4个11．（5分）定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）12．（5分）（平）若二次函数y=ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，﹣4）．则点（b，c）所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）“若x≥0，则x2≥0”的否是．14．（5分）函数y=lnx﹣x的递增区间是．15．（5分）已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点．若线段AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为．16．（5分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．17．（10分）直线y=x﹣4与抛物线y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求△ABF的面积．18．（12分）已知p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c 的最小值．20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．21．（12分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长，已知P（4，0），过P的直线与椭圆交于M、N两点（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）求的取值范围．22．（12分）已知函数f （x）=ax﹣e x（a∈R），g（x）=．（I）求函数f （x）的单调区间；（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣e x成立，求a的取值范围．湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）“任意x∈R，都有x2+x+1＞0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2+x+1≤0 B．不存在x∈R，都有x2+x+1≤0C．存在x0∈R，使得x02+x0+1＞0 D．存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0考点：的否定；全称．专题：简易逻辑．分析：根据全称的否定是特此即可得到结论．解答：解：∵为全称，∴的否定是存在x0∈R，使得x02+x0+1≤0，故选：D．点评：本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．2．（5分）已知：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列为真的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：判定p，q的真假，利用复合的真假关系即可得到结论．解答：解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0成立，即p为真，当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假，则p∧￢q，为真，故选：A．点评：本题主要考查复合的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：条件q：a2+a≥0，解得a≥0，或a≤﹣1，由于条件p：a≥0，所以p是q的充分不必要条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（）A．B．C．y=﹣1 D．y=﹣2考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将抛物线方程化为标准方程，由抛物线x2=2py的准线方程为y=﹣，计算即可得到所求准线方程．解答：解：抛物线y=x2即为x2=4y，由抛物线x2=2py的准线方程为y=﹣，可得x2=4y的准线方程为y=﹣1．故选：C．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程，属于基础题．5．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于（）A．2B．2C．4D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．解答：解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，∴e=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，则c=2a，b=，∵焦点F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为，∴d=，即，解得c=2，则焦距为2c=4，故选：C点评：本题主要考查是双曲线的基本运算，利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．解答：解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）过双曲线C：﹣=1的右顶点做x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，求出A的坐标，利用右焦点F（4，0），|FA|=4，可求a，b，即可得出双曲线的方程．解答：解：由题意，c=4，双曲线的一条渐近线方程为y=，令x=a，则y=b，即A（a，b），∵右焦点F（4，0），|FA|=4，∴（a﹣4）2+b2=16，∵a2+b2=16，∴a=2，b=2，∴双曲线C的方程为﹣=1．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．（5分）已知y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，则b的取值是（）A．b＜﹣1或b＞2 B．b≤﹣2或b≥2 C．﹣1＜b＜2 D．﹣1≤b≤2考点：函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质．分析：三次函数y=x3+bx2+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．解答：解：∵已知y=x3+bx2+（b+2）x+3∴y′=x2+2bx+b+2，∵y=x3+bx2+（b+2）x+3是R上的单调增函数，∴x2+2bx+b+2≥0恒成立，∴△≤0，即b2﹣b﹣2≤0，则b的取值是﹣1≤b≤2．故选D．点评：本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题，属于基础题．9．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PM|≥|MF|，再求出|MF|的值即可．解答：解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F（，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|≥|MF|==．即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为．故选：B．点评：本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．10．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（）A．2个B．1个C．3个D．4个考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值．解答：解：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（x B）=0．∴函数f（x）在点B处取得极小值．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题．11．（5分）定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且f（0）=1，则不等式＜1的解为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据条件构造函数F（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．解答：解：设F（x）=，则F′（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）在定义域上单调递减．∵f（0）=1，∴不等式＜1等价为F（x）＜F（0），解得x＞0，故不等式的解集为（0，+∞）故选：B．点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．12．（5分）（平）若二次函数y=ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，与x轴的交点P、Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于M（0，4）和N（0，﹣4）．则点（b，c）所在曲线为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线考点：轨迹方程；二次函数的性质．专题：综合题．分析：确定以线段PQ为直径的圆的圆心坐标，利用|CM|=|CQ|，及二次函数y=ax2+bx+c （ac≠0）图象的顶点坐标，化简，即可求得点（b，c）所在曲线．解答：解：由题意，以线段PQ为直径的圆的圆心坐标为C，则由|CM|=|CQ|，可得∵二次函数y=ax2+bx+c（ac≠0）图象的顶点坐标为，∴∴b2﹣4ac=1∴b2+64a2=1，a=∴∴c2+4b2=4∴b2+=1∴点（b，c）所在曲线为椭圆故选B．点评：本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，解题的关键是建立等式|CM|=|CQ|，正确化简．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）“若x≥0，则x2≥0”的否是若x＜0，则x2＜0．考点：四种．专题：简易逻辑．分析：利用“否”的定义即可得出．解答：解：“若x≥0，则x2≥0”的否是：“若x＜0，则x2＜0”．故答案为：若x＜0，则x2＜0．点评：本题考查了“否”的定义，属于基础题．14．（5分）函数y=lnx﹣x的递增区间是（0，1]．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：利用导数判断函数的单调性求得单调区间即可．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），y′=﹣1=，由≥0得0＜x≤1，故函数的单调递增区间是（0，1]．填（0，1）也给满分故答案为：（0，1]点评：本题考查利用导数求函数的单调区间知识，属基础题．15．（5分）已知椭圆的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点．若线段AB的中点坐标为（1，﹣1），则椭圆的方程为．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程，两式相减，根据线段AB的中点坐标为（1，﹣1），求出斜率，进而可得a，b的关系，根据右焦点为F（3，0），求出a，b的值，即可得出椭圆的方程．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减可得，，∵线段AB的中点坐标为（1，﹣1），∴=，∵直线的斜率为=，∴=，∵右焦点为F（3，0），∴a2﹣b2=9，∴a2=18，b2=9，∴椭圆方程为：．故答案为：．点评：本题考查椭圆的方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（5分）若函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，则实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x﹣•=；从而可得∈（a ﹣1，a+1）；从而求得．解答：解：f（x）=x2﹣lnx+1的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣•=；∵函数f（x）=x2﹣lnx+1在其定义域内的一个子区间（a﹣1，a+1）内存在极值，∴f′（x）=2x﹣•=在区间（a﹣1，a+1）上有零点，而f′（x）=2x﹣•=的零点为；故∈（a﹣1，a+1）；故a﹣1＜＜a+1；解得，＜a＜；又∵a﹣1≥0，∴a≥1；故答案为：．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．17．（10分）直线y=x﹣4与抛物线y2=4x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，求△ABF的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线交x轴于C（4，0），知F（1，0），|FC|=3，则S△ABF=，联立方程组可解得y1，y2，从而得|y2﹣y1|，代入公式即可求得答案．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线交x轴于C（4，0），知F（1，0），|FC|=3，由得y2﹣4y﹣16=0，解得y=，|y2﹣y1|=4，S△ABF==．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式，考查数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．18．（12分）已知p：|4﹣x|≤6，q：x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：先解不等式分别求出¬p和q，再由非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．解答：解：¬p：|4﹣x|＞6，x＞10，或x＜﹣2，A={x|x＞10，或x＜﹣2}q：x2﹣2x+1﹣a2≥0，x≥1+a，或x≤1﹣a，记B={x|x≥1+a，或x≤1﹣a}而¬p⇒q，∴A⊂B，即，∴0＜a≤3．点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断和应用，解题的关键是正确求解不等式．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c 的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意可得，解得即可．（2）利用导数求出此区间上的极大值和极小值，再求出区间端点出的函数值，进而求出该区间的最大值和最小值，则对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|≤c，求出即可．解答：解：（1）∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R），∴f′（x）=3ax2+2bx﹣3．∵函数f（x）=ax3+bx2﹣3x（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，∴切点为（1，﹣2）．∴，即，解得．∴f（x）=x3﹣3x．（2）令f′（x）=0，解得x=±1，列表如下：由表格可知：当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，且f（﹣1）=2；当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=﹣2．又f（﹣2）═﹣2，f（2）=2．∴f（x）=x3﹣3x在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值分别为2，﹣2．∴对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|=|2﹣（﹣2）|=4≤c．即c得最小值为4．点评：熟练掌握利用导数求切线的斜率和函数的单调区间及极值是解题的关键．20．（12分）已知A（﹣2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知，解得即可得出．（II）以BD为直径的圆与直线PF相切．由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．直线AP 的方程与椭圆的方程联立可得7x2+16x+4=0．可得点P的坐标．可得直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0．利用点到直线的距离公式可得点E到直线PF的距离d．只要证明d=r．解答：解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），F（c，0）．由题意知，解得．故椭圆C的方程为．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可知，c=1，F（1，0），直线AP的方程为y=﹣x﹣2．则点D坐标为（2，﹣4），BD中点E的坐标为（2，﹣2），圆的半径r=2．由得7x2+16x+4=0．设点P的坐标为（x0，y0），则．∵点F坐标为（1，0），直线PF的斜率为，直线PF的方程为：4x﹣3y﹣4=0．点E到直线PF的距离d==2．∴d=r．故以BD为直径的圆与直线PF相切．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、直线与圆相切的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知椭圆C：，若椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到直线的距离等于短半轴的长，已知P（4，0），过P的直线与椭圆交于M、N两点（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）求的取值范围．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意知，又a2=b2+c2．联立解出即可．（II）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k（x﹣4）．与椭圆方程联立可得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0．由于△＞0，可得．设点M（x1，y1），N（x2，y2），利用根与系数的关系及其数量积运算可得=x1x2+y1y2=22﹣，即可得出．解答：解：（Ⅰ）由题意知，又a2=b2+c2．解得，故椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=k（x﹣4）．由得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0．，∴．设点M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，y1y2=k2（x1﹣4）（x2﹣4）=k2[x1x2﹣4（x1+x2）+16]=，∴=x1x2+y1y2==22﹣，∵，∴．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）已知函数f （x）=ax﹣e x（a∈R），g（x）=．（I）求函数f （x）的单调区间；（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣e x成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f′（x）=a﹣e x，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；（Ⅱ）由∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e x，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣e x，x∈R．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．（Ⅱ）∵∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e x，则，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．当x在区间（0，+∞）内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：xh′（x）+ 0 ﹣h（x）单调递增极大值单调递减由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．∴．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。