第九章 欧氏空间
一、判断题
1、12,,,n εεε 是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij
n n A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。( )
2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。( )
3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。( )
4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）
5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ）
6、度量矩阵是正定的 （ ）
7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）
8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）
9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )
11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )
12、若矩阵A 为正交矩阵，则1
-='A A .( )
13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )
14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。( )
15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。( )
二、填空题
1、在欧氏空间3
R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________．
2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．
3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2
A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则向量
12323βααα=+-的长度为 。
5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .
6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。
7、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。
8、设()()'='=1,0,0,1,0,0,1,1Y X ,则X 与Y 的夹角=θ .
9、若 A 为正交矩阵，则=-A A 1 ；
10、在n 维欧氏空间V 中,
n 级矩阵A 是V 的某个基的度量矩阵的充要条件是 .
三、选择题
1、若线性变换σ与τ是（ ），则τ的象与核都是σ 的不变子空间。 .A 互逆的 .B 可交换的 .C 不等的 D. 不可换的
2、设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ）
①若()()γβγαβα=⇒=,,； ②若
βαβα=⇒=； ③若()11,=⇒=α
αα； ④若0(,)αβαβ-+=，⇒||||αβ=。 3、欧氏空间3R 中的标准正交基是（ ） ①()0,1,0;21,0,21;21,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②；1111000012222
(,,),(,,),(,,)- ③()0,0,0;31,31,31;31,31,31⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---。
4、设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的充分必要非充分条件是（ ）
①σ保持非零向量的夹角； ②σ保持内积； ③σ保持向量的长度； ④σ把标准正交基映射为标准正交基。
5、A 为n 阶正交方阵，则
A. A.为可逆矩阵
B.秩 ()A 1=
C. 0=A
D.1=A
6、若两个n 阶方阵B A ,是正交矩阵,则AB 是 ( )
A.对称矩阵 .
B.相似矩阵
C.正交矩阵
D. BA AB =
7、下列说法正确的是( ).
A. 实对称矩阵A 的属于不同特征值的特征向量必正交;
B. 实对称矩阵A 的属于相同特征值的特征向量必不正交;
C. 实对称矩阵A 的所有特征向量都正交;
D. 以上都不对.
8、)1(≥n n 维欧氏空间的标准正交基( ).
A.不存在
B.存在不唯一;
C.存在且唯一 ;
D.不一定存在.
9、若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 21
2222111211是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。 (A)T T AA A A E == (B)1=A
(C)12
1212211=+++n a a a (D)021********=+++n n a a a a a a
10、 若A 是实正交阵，则下列说法不正确的是（ ）。
(A)T T AA A A E == (B)1=A
(C)1-='A A (D)A 的列向量组为单位正交向量组. 四、计算题
1、把向量组1(2,1,0)α=-，2(2,0,1)α=扩充成3R 中的一组标准正交基.
2、设123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===是R 3的一个基，用正交化方法求R 3的一组标准正交基。
3、 设123,,εεε为V 的基，且线性变换A 在此基下的矩阵为
111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（1）求A 的特征值与特征向量；
（2）A 是否可以对角化？如果可以，求正交矩阵T 使得1
T AT -为对角形．
4、已知R 3的一组向量α1=(1,0,0),α2=(1,1,0) ,α3=(1,1,1)。
（1）证明α1,α2 ,α3构成R 3的一个基；
（2）对其施行施密特正交化方法求出R 3的一个标准正交基。
