河南省2018届高三数学4月普通高中毕业班适应性考试试题理
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河南省2018届高三数学4月普通高中毕业班适应性考试试题 理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|3213}A x x =-≤-≤，集合{|10}B x x =->，则A B =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2] 2.已知i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i=+∈-，则b a =（ ）A ．1BC ．2D ．2 3.下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“0x R ∃∈，2000x x ->”的否定是“x R ∀∈，20x x -≤”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件4.已知函数()xf x e =在点(0,(0))f 处的切线为l ，动点(,)a b 在直线l 上，则22a b -+的最小值是（ ）A ．4B ．2C ． 5.()5111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 6.执行如图所示的程序框图，则输出n 的值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．117.三国时期我国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中直角三角形中较小的锐角α满足7sin cos 5αα+=，现在向该正方形区域内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（ ）A ．125 B ．15C ．925 D ．358.已知函数()20.5log (sin cos 1)f x x x =+-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．(,2]-∞- C ．[2,)+∞ D ．[2,)-+∞9.设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±= 10.已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积是（ ）A ．20πB ．1015πC ．25πD ．22π 11.已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，*()n T n N ∈，若211n n S n T n -=+，则实数126a b =（ ） A ．154B ．158 C ．237D ．3 12.定义域为[,]a b 的函数()y f x =的图象的两个端点分别为(,())A a f a ，(,())B b f b ，(,)M x y 是()f x 图象上任意一点，其中(1)x a b λλ=+-(01)λ<<，向量BN BA λ=.若不等式MN k ≤恒成立，则称函数()f x 在[,]a b 上为“k 函数”.已知函数326115y x x x =-+-在[0,3]上为“k 函数”，则实数k 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为．14.如图，已知点(0,1)A ，点000(,)(0)P x y x >在曲线2y x =上移动，过P 点作PB 垂直x 轴于B ，若图中阴影部分的面积是四边形AOBP 面积的13，则P 点的坐标为．15.已知抛物线24x y =，斜率为12-的直线交抛物线于A ，B 两点.若以线段AB 为直径的圆与抛物线的准线切于点P ，则点P 到直线AB 的距离为．16.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且31n n a S n +=-，则数列{}n a 的通项公式n a =． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2224a S b c +=+. （1）求角A ；（2）若a =b =C .18.某公司要根据天气预报来决定五一假期期间5月1日、2日两天的宣传活动，宣传既可以在室内举行，也可以在广场举行.统计资料表明，在室内宣传，每天可产生经济效益8万元.在广场宣传，如果不遇到有雨天气，每天可产生经济效益20万元；如果遇到有雨天气，每天会带来经济损失10万元.若气象台预报5月1日、2日两天当地的降水概率均为40%. （1）求这两天中恰有1天下雨的概率；（2）若你是公司的决策者，你会选择哪种方式进行宣传（从“2天都在室内宣传”“2天都在广场宣传”这两种方案中选择）？请从数学期望及风险决策等方面说明理由.19.如图，在边长为ABCD 中，60DAB ∠=.点E ，F 分别在边CD ，CB 上，点E 与点C ，D 不重合，EF AC ⊥，EF AC O =.沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED .（1）求证：PO ⊥平面ABD ；（2）当PB 与平面ABD 所成的角为45时，求平面PBF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值.20.已知动点P 与(2,0)A -，(2,0)B 两点连线的斜率之积为14-，点P 的轨迹为曲线C ，过点(1,0)E 的直线交曲线C 于M ，N 两点. （1）求曲线C 的方程；（2）若直线MA ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由. 21.已知函数ln 1()x f x a x+=-. （1）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围； （2）若函数21()ln 22ag x x x ax =-+有两个极值点，试判断函数()g x 的零点个数. （二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知直线l：sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C：1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若3AB ≥，求实数m 的取值范围. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()212f x x x =-++，()1g x x x a a =+--+.（1）解不等式()3f x >；（2）对于12,x x R ∀∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: DCBDC 6-10: BACBB 11、12：AD 二、填空题13. -6 14. (1,1)2132n -⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题 17.解：（1）∵1sin 2S bc A =，∴由余弦定理，得2224a S b c +=+222cos 2sin bc A bc A b c -+=+，∴整理，得tan 1A =.又∵(0,)A π∈，∴4A π=.（2）在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin a bA B=，即sin sin b A B a ==.∵b a >，0B π<<，∴3B π=或23B π=，∴512C π=或12C π=. 18.解：（1）设事件A 为“这两天中恰有1天下雨”，则()0.40.60.60.40.48P A =⨯+⨯=. 所以这两天中恰有1天下雨的概率为0.48.（2）2天都在室内宣传，产生的经济效益为16万元. 设某一天在广场宣传产生的经济效益为X 万元，则所以()(10)0.4200.68E X =-⨯+⨯=（万元）.所以两天都在广场宣传产生的经济效益的数学期望为16万元.因为两种方案产生经济效益的数学期望相同，但在室内活动收益确定，无风险，故选择“2天都在室内宣传”.（在广场宣传虽然冒着亏本的风险，但有产生更大收益的可能，故选择“2天都在广场宣传”）19.解：（1）∵EF AC ⊥，∴PO EF ⊥. ∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，∴PO ⊥平面ABD .（2）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 连接BO ，∵PO ⊥平面ABD ，∴PBO ∠为PB 与平面ABD 所成的角，即45PBO ∠=， ∴PO BO =. 设AOBD H =，∵60DAB ∠=，∴BDC ∆为等边三角形，∴BD =HB =，3HC =.设PO x =，则3OH x =-，由222PO OH HB =+，得2x =，即2PO =，1OH =.∴(0,0,2)P ，(4,0,0)A，B，(1,D，0,3F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PAD 、平面PBF 的法向量分别为(,,)m a b c =，(,,)n x y z =，由42020m PA a c m PD a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1a =，得(1,2)m =.同理，得(1,3,1)n =-， ∴10cos ,m n m n m n⋅<>==-⋅， 所以平面PBF 与平面PAD20.解：（1）设点(,)(2)P x y x ≠±， 由题知，1224y y x x ⋅=-+-，整理，得曲线C ：221(2)4x y x +=≠±，即为所求. （2）由题意，知直线MN 的斜率不为0，故可设MN ：1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 设直线MB 的斜率为3k ，由题知，(2,0)A -，(2,0)B ，由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得22(4)230m y my ++-=，所以1221222434m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以122312(2)(2)y y k k x x ⋅=--1221212()1y y m y y m y y =-++34=-.又因为点M 在椭圆上，所以211321144y k k x ⋅==--，所以1213k k =，为定值.21.解：（1）令ln 1()x x xφ+=，由题意知()y x φ=的图象与y a =的图象有两个交点. 2ln '()xx x φ-=. 当01x <<时，'()0x φ>，∴()x φ在(0,1)上单调递增； 当1x >时，'()0x φ<，∴()x φ在(1,)+∞上单调递减. ∴max ()(1)1x φφ==.又∵0x →时，()x φ→-∞，∴(0,1)x ∈时，()(,1)x φ∈-∞. 又∵1x >时，()(0,1)x φ∈.综上可知，当且仅当(0,1)a ∈时，y a =与()y x φ=的图象有两个交点，即函数()f x 有两个零点.（2）因为函数()g x 有两个极值点， 由'()ln 10g x x ax =+-=，得ln 10x a x+-=有两个不同的根1x ，2x （设12x x <）. 由（1）知，1201x x <<<，01a <<，且ln 1(1,2)i ix a i x +==， 且函数()g x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，则21()ln 22i i i i a g x x x ax =-+ln 111ln (1,2)222i i i i ix x x x i x +=-+=. 令11ln 1()ln 222t h t t t t t+=-+， 则2ln 11ln '()222t t h t t+-=-+22(1)ln 02t tt -=≥， 所以函数()h t 在(0,)+∞上单调递增，故()()110g x g <=，()()210g x g >=.又0x →，()02ag x →>；x →+∞，()g x →-∞，所以函数()g x 恰有三个零点.22.解：（1）直线l：sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，展开可得1sin 2ρθθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0y +=，曲线C：1x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩可化为22(1)3x y -+=.（2）∵曲线C 是以(1,0)为圆心的圆，圆心到直线l的距离d m =-，∴3AB =≥，∴234d ≤， 解得02m ≤≤.∴实数m 的取值范围为[0,2].23.解：（1）由2313x x ≤-⎧⎨-->⎩或12233x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>⎩或12313x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩，解得0x <或23x >， ∴()3f x >的解集为2(,0),3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. （2）当12x =时，min 5()2f x =；max ()1g x a a =++. 由题意，得min max ()()f x g x ≥，即512a a ++≤，即512a a +≤-，∴225025(1)2a a a ⎧-≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪+≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得34a ≤. ∴a 的取值范围是3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。
