论文初稿1(陈慧利2014.4.21)

期望值模糊规划模型及其应用的研究第一章研究背景1.1 模糊数学的发展概况类似于其他学科，模糊数学也是伴随着实践的需要而产生的，在日常生活中，人们总是希望用最少的人力物力解决更多的问题，比如下料问题和运输问题，1939年前苏联的康托洛维奇（Kantorovich ）出版了著作《生产组织与计划中的数学方法》一书用来解决上述等问题，这标志着线性规划的诞生。

但是由于现实社会中问题的复杂性、不确定性以及人们思维的模糊性,人们对客观事物的评价总是很难用精确的语言来表达，许多规划问题用线性规划的方法已经解决不了。

1965 年美国加利福尼亚大学控制论专家扎德(Zadeh)教授在《Information and Control 》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets ”，这标志着模糊数学的诞生。

模糊现象无处不在，人们不能准确的区分他们，例如对于美与丑，高与低,好与差，大与小，轻与重的划分，所以只能用模糊的语言来形容，也就有了所谓的模糊概念，当然按照人们习惯我们需要对模糊概念定量化，数学化，因此必然促进人们寻找一种用于处理模糊概念的数学方法。

模糊数学并不是简单的把数学的东西模糊化，它具有数学的共性：条理清晰和一丝不苟。

即使是模糊现象也会描述的很清楚，模糊数学只是把数学的应用范围从精确现象扩大到模糊现象的范围。

模糊数学从诞生至今，已经有 30 多年的历史了．早在 1978 年，国际上第一本以模糊数学为主题的学术刊物《Fuzzy sets and Sysyerms 》在荷兰创办了。

模糊数学自 1976 年传入我国后，便得到了迅速的发展。

1.2.1 模糊线性规划的研究现状线性规划已经广泛地应用于现代物流运输，资源优化配置，组合投资分析，区域经济等众多的经济领域，由于线性规划的约束条件都是精确的，所以求解起来比较方便，所以解决它的理论和方法日趋成熟，目前已经基本上有了完整的体系。

但是在实际问题规划问题中，由于约束条件和目标函数往往含有许多不确定的现象出现，所以求解起来比较麻烦，这也就促使了学者对其进行研究，即产生了模糊线性Zimmermann[12](齐默曼，德国运筹学专家，模糊数学家)首先提出了如下模糊线性模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥≤=0..)(max ~~x b Ax t s cx x f (1-1) 的求解方法，它的基本思想是引入参数λ 使模糊规划转变成含参数的线性规划，然后运用单纯型方法进行求Hamacher 将灵敏度分析引入线性模糊规划问题的求解过程中，提高了求解的速度。

Chanas 提出了差积序法使得多目标模糊线性规划问题得以解决。

国内学者主要运用隶属度、置信水平以及约束函数是否为等式约束的限定来解决模糊规划问题，方达成和汪定伟比较系统地对全系数模糊线性规划进行了研究，宋业新将模糊线性规划转化为区间线性规划模型，通过确定区间模型的最佳目标函数、最大（小）可行域及最劣目标函数求出目标函数的模糊最优区间值等。

1.2.2 模糊非线性规划的研究现状在现实生活中，许多优化决策问题的变量之间并不是完全的线性关系，有很多情况是目标函数和约束条件中包含着一些非线性因素。

既是优化问题的可行域是由一组非线性不等式或者等式来描述。

标准的非线性规划的形式如下：()()⎪⎩⎪⎨⎧=≤., (1)0..min n i x g t s x f i (1-2)即在一组约束下，极小化或者极大化一个函数。

如果在非线性规划中没有约束，我们把它叫做无约束非线性规划。

如果所有的约束()x g i 都是凸函数，我们把它叫做凸划。

如果()x f 可以表示成()()()(),...21x f x f x f x f n +++=则非线性规划称为可分离规划。

如果函数()x f 是二次的，并且所有的约束都是线性的，则上述非线性规划称为二次规划。

通过数学理论分析问题的结构，对于一些结构特殊的非线性规划模型，已经建立大量的经典方法，Kuhn-Tucker 条件在这些方法中有着举足轻重的地位。

目前求解无约束非线性规划有直接法[13]（Rosenbrock 法、Poweel 法、Brent 法、Stewart 法）、梯度法和 Hessian 法(牛顿法，Raphson 法和变尺度法)。

对于有约束的非线性规划，一般的使用方法有可行方向法，梯度投影法，罚函数法和线性近似求解法。

模糊非线性规划的产生取决于现实问题，是将非线性规划中的约束，目标分别模糊或者二者全部模糊得到的规划。

国外学者 Orlovsk （1984）首先运用扩张原理对具有模糊参数的非线性多目标规划给出了有效解和可行性的概念，Sakawa 和 Yano(1987)又在λ-截集的基础上定义了关于可能性多目标非线性规划的λ可行性和γ最优性的概念，并在此基础上提出了满意解的交互决策方法并与1983 年对这两个概念做出了进一步的研究和推广。

1.3 本文的组织结构和主要工作1.3.1 本文的组织结构本文共分为五章，（1）绪论。

主要介绍了模糊规划产生的背景、模糊线性规划和模糊规划的现状。

（2）模糊数学的基本知识。

主要介绍了模糊集的基本概念和定理、模糊数的基本概念以及几种常见的模糊数以及期望的定义。

（3）模糊线性规划。

主要介绍了经典的单目标线性规划和多目标线性规划的解法、模糊但目标线性规划和模糊多目标线性规划的解法。

并给出了目标带有模糊系数的模糊单目标线性规划的解法。

（4）模糊非线性规划。

主要介绍了经典的无约束非线性规划和约束非线性规划的解法、模糊非线性规划的解法，给出了利用期望值算子，对模糊规划模型实现去模糊。

利用期望值算子，构建、求解带有模糊目标，或模糊约束或同时带有模糊目标和模糊约束的规划模型。

为此，本论文试图利用期望值算子，构建单或多目标模糊规划模型，针对模型中不同的模糊信息表达：一般模糊信息、直觉模糊信息、三角模糊信息等，实现构建的模糊规划模型的去模糊化方法，在定义了所建模型的解定义基础上，研究其算法。

最后利用实际案例论证所建模型的可行性和所给算法的有效性。

（5）全文总结与展望。

在对全文内容进行总结的同时给出了本文的不足和改进 之处。

第二章理论准备2.1 模糊集的基本概念数学上，概念的外延是通过“集合”来表达的，可是在日常生活中所涉及的许多概念常含有内涵的“模糊性”，这就必然导致了外延的“不清晰性”。

比如，对于“中等身材的男胖子”这个概念，如果说 75Kg 是胖子的话，那么 74Kg 是不是不算胖呢，也就是说“中等身材男胖子”这个概念的外延不是很清晰。

但是我们知道“经典集合”是很清晰的，对于一个集合A 和某个对象A a a ∈,或者A a ∉两者只有一个是成立的，这就说明不能用经典集合来刻画模糊概念的外延。

定义 2.1.1设U 是论域，称映射()[]1,0]1,0[:~~∈→∈→x U x U AA μμ使得 则称~A μ确定了论域U 上的一个模糊集合~A ,简称模糊集。

而()x A~μ叫做~A 的隶属度。

对于任意的U x ∈,()x A ~μ越接近于1则x 属于~A 的可能性越大，反之则越小。

当()5.0~=x A μ时，x 属于~A 的模糊可能性越大。

定义 2.1.2仿照经典集合的c ∙,, 运算定义，模糊集合的c ∙,, 的运算定义如下:1.()()U x x x B A B A ∈∀≤⇔⊂,~~~~μμ 2.()()U x x x B A B A ∈∀=⇔=,~~~~μμ 3.()()()x x x B A B A C ~~~ ,C ~~~μμμ⋃=⋃=则若 4.()()()x x x B A B A D ~~~ ,D ~~~μμμ⋂=⋂=则若 5.()()x x A A E c μμ-==1 ,E ~~~则若6.()0 ,~A ~==x A μφ则 7.()1 ,~A ~~==x U A μ则 8.定义 2.1.3模糊集合满足以下运算法则：幂等律：~~~~~~, A A A A A A =⋂=⋃交换律：~~~~~~~~ , A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律：~~~~~~~~~~~~)()( , )( )(C B A C B A C B A C B A ⋃⋂=⋂⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律：)()()( ~~~~~~~C A B A C B A ⋂⋃⋂=⋃⋂)()()( ~~~~~~~C A B A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃还原律：A A c c =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛~ 吸收律：~~~~~~~~ , A B A A A B A A =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⋂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂⋃ 对偶律：~c ~c ~~~c ~c ~~B A B A ,B A B A ⋃=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂⋂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃c c 0－1律：φφφφ=⋂=⋃=⋂=⋃~~~~~~ , , , A U U A A A A A注：这些性质可以推广到多个集合的并交运算。

模糊集合的运算律则不满足互补律，即：φ≠⋂≠⋃~~~~ , c c A A U A A定义 2.1.4 模糊集的表示方法：设论域 U 是有限集合,{} U , ,...,1n x x U =上的任一模糊集 ~A ,其隶属函数为()()n 1,2,...,i ~=⎭⎬⎫⎩⎨⎧i x A 。

(1) Zadeh 表示法：()()()()1-2 ...~22~11~~n n x x A x x A x x A A +++=这里()ii x x A ~不是分式，“+”也不表示求和，只是符号意义，它表示点i x 对模糊集~A 的隶属度是()i x A ~。

(2) 序偶表示法：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x A x x A x x A x A ~12~21~1~,,...,,,, (3) 向量表示法： ()()()()n x A x A x A A ,...,,21~=如果 U 是无限集，此时U 上的模糊集~A 表示为()⎰∈=U x x x A A ~~，这里""⎰不是积分号，()x x A ~也不是分数。