初中数学：解含绝对值的方程

含绝对值的方程组知识定位绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程，本讲主要介绍解含有绝对值的方程四种方法：定义法、平方法、零点分区法、数轴、取这几个方程的公共解。

知识梳理从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离．但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值．即一个数与它相反数的绝对值是一样的。

由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点。

一个实数a的绝对值记作｜a｜，指的是由a所唯一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：（2）｜a｜-｜b｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜；（3）｜a｜-｜b｜≤｜a-b｜≤｜a｜+｜b｜．注意：由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．例题精讲【试题来源】【题目】设|﹣|≥0，||≥0，求x+y【答案】1【解析】解：分析从绝对值的意义知≥0，≥0，两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零，可得：，解得x=﹣y，把③代入①得﹣﹣=0，解之得y=﹣3，所以x=4，故有x+y=4﹣3=1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组【答案】，，或．【解析】解：由①得x﹣y=1或x﹣y=﹣1，即x=y+1或x=y﹣1．与②结合有下面两个方程组，（1），把x=y+1代入|x|+2|y|=3得，|y+1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y+1可求出方程组（1）的解为：或，（2），把x=y﹣1代入|x|+2|y|=3得，|y﹣1|+2|y|=3．去绝对值符号，可得y=﹣或y=﹣，再将其代入x=y﹣1可求出方程组（1）的解为：或．故原方程组的解为：，，或．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】解方程组：【答案】、【解析】解：原方程，把②代入①得：4y﹣4+|y﹣1|=5③，当y﹣1≥0时，③式=4y﹣4+y﹣1=5，解得y=2；把y=2代入②得：x=3或﹣5；当y﹣1≤0时，③式=4y﹣4﹣y+1=5，解得无解．综上得原方程组的解为：、．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】、、、【解析】解：1.当x＞0，y＞0时，原方程组为，方程组无解；2.当x＞0，y＜0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；3.当x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得；4.当x＜0，y＜0时，原方程组为，方程组无解；5.当x＜0，y＞0，且|x|＞|y|，原方程组为，解得；6.当x＜0，y＞0，且|x|＜|y|，原方程组为，解得．综上得原方程组的解为：、、、【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】要使关于x的方程||x﹣3|﹣2|=a有三个整数解，则a的值是多少？【答案】2【解析】解：∵||x﹣3|﹣2|=a，∴a≥0．∴|x﹣3|﹣2=a或|x﹣3|﹣2=﹣a．当|x﹣3|﹣2=a时，|x﹣3|=2+a，∴x﹣3=2+a或x﹣3=﹣2﹣a．∴x1=5+a，x2=1﹣a，当|x﹣3|﹣2=﹣a时，|x﹣3|=2﹣a，a≤2，∴x﹣3=2﹣a或x﹣3=﹣2+a，∴x3=5﹣a，x4=1+a，若方程有3个不同的整数解，则x1，x2，x3，x4中必有2个相同．当x1，x2=2时，a=﹣2，与a≥0矛盾；当x1=x3时，a=0，此时原方程有2个解；当x1=x4时，a无解；当x2=x3时，a无解；当x2=x4时，a=0，此方程有2个解；当x3=x4时，a=2．综上有：当a=2时，原方程有3个不同的解【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】5【试题来源】【题目】解方程｜x-2｜+｜2x+1｜=7【答案】x=8/3或x=-2【解析】解：(1) 当x≥2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7，-(x-2)+(2x+1)=7．应舍去．-(x-2)-(2x+1)=7．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】4【试题来源】【题目】若|m|=m+1，则（4m+1）2011=【答案】-1【解析】解：根据题意，可得m的取值有三种，分别是：当m＞0时，则|m|=m+1可转换为m=m+1，此种情况不成立．当m=0时，则|m|=m+1可转换为0=0+1，此种情况不成立．当m＜0时，则|m|=m+1可转换为﹣m=m+1，解得，m=﹣．将m的值代入，则可得（4m+1）2011=[4×（﹣）+1]2011=﹣1．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知|x+1|=4，（y+2）2=0，则x﹣y的值【答案】5或-3【解析】解∵（y+2）2=0，∴|y+2|=0，∴y=﹣2；又∵|x+1|=4，∴x+1=±4，即x=3或﹣5．1.当x=3，y=﹣2时，x﹣y=5；2.当x=﹣5，y=﹣2时，x﹣y=﹣3；所以，x﹣y的值为5或﹣3；【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】当堂练习题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】解：由①得，x+y=|x﹣y|+2．∵|x﹣y|≥0，∴x+y＞0，∴|x+y|=x+y．③把③代入②，有x+y=x+2，∴y=2．将y=2代入①，有|x﹣2|=x，∴x﹣2=x ④x﹣2=﹣x ⑤．方程④无解，解方程⑤，得x=1．故原方程组的解为．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】使方程|x﹣1|﹣|x﹣2|+2|x﹣3|=c恰好有两个解的所有实数c范围【答案】c＞3或1＜c＜3【解析】解：（1）当x＜1时，原方程可化为：﹣x+1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：x=，由＜1，得：c＞3；（2）当1≤x＜2时，原方程可化为：x﹣1+x﹣2﹣2x+6=c，解得：c=3，有无数多解；（3）当2≤x＜3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2﹣2x+6=c，解得：x=，由2≤＜3，得：1＜c≤3；（4）当x≥3时，原方程可化为：x﹣1﹣x+2+2x﹣6=c，解得：x=，由≥3，得：c≥1．故当c＞3时，原方程恰有两解：，；当1＜c＜3时，原方程恰有两解：，【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】方程丨x+3丨+丨3﹣x丨=丨x丨+5的解【答案】x1=，x2=﹣【解析】解：①当x＞3的时，原方程可化为：x+3+x﹣3=4.5 x+5整理得：2x=4.5x+5解出来显然x＜0，（矛盾）②当0＜x＜3时，原方程可化为：x+3+3﹣x=4.5x+5解得：x=（满足条件）；③当﹣3＜x＜0时原方程可化为：x+3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=﹣（满足条件）；④当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣x﹣3+3﹣x=﹣4.5x+5解得：x=2（不满足条件）；∴x有两个解，为x1=，x2=﹣．【知识点】含绝对值的方程组【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4。

“解含绝对值的方程”例题解析绝对值概念在初中代数，乃至初等数学中，均占有相当重要的地位。

解含绝对值的方程在初中数学竞赛中经常出现，同学们往往感到困惑，难于解答。

下面举例说明解这类方程的几种常用方法。

一. 运用基本公式：若，则解方程例1. 解方程解：去掉第一重绝对值符号，得移项，得或所以所以原方程的解为：例2. 解方程所以即或解方程（1），得解方程（2），得又因为，所以所以原方程的解为二. 运用绝对值的代数意义解方程例3. 方程的解的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4或4以上解：方程可化为所以所以方程的解有无数个，故选（D）。

三. 运用绝对值的非负性解方程例4. 方程的图像是（）A. 三条直线：B. 两条直线：C. 一点和一条直线：（0，0），D. 两个点：（0，1），（-1，0）而所以所以原方程的图象为两个点（0，1），（-1，0）故选（D）。

四. 运用绝对值的几何意义解方程例5. 解方程解：设，由绝对值的几何意义知所以又因为所以从数轴上看，点落在点与点的内部（包括点与点在内），即原方程的解为。

五. 运用方程的图象研究方程的解例6. 若关于x的方程有三个整数解，则a的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3解：作的图象，如图1所示，由于方程解的个数就是直线与的图象的交点个数，把直线平行于x轴上、下移动，通过观察得仅当时方程有三个整数解。

故选（B）。

图1同时，我们还可以得到以下几个结论：（1）当时，方程没有解；（2）当或时，方程有两个解；（3）当时，方程有4个解。

去绝对值常用“六招”（初一）去绝对值常用“六招” （初一）绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。

解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。

下面就教同学们去绝对值的常用几招。

一、根据定义去绝对值例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

代值后即可去掉绝对值。

解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值例2、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。

解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b三、由非负数性质去绝对值例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。

分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。

解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10四、用分类讨论法去绝对值例4、若abc≠0，求+ + 的值。

分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。

解绝对值方程的方法绝对值方程是初中数学中常见的一种方程类型，解绝对值方程的方法有多种，本文将介绍其中的两种常用方法：分情况讨论法和代数法。

一、分情况讨论法分情况讨论法是解绝对值方程的常用方法之一，它的基本思想是将绝对值的取值范围分成几个情况，然后分别讨论每种情况下的方程解。

举个例子来说明分情况讨论法的具体步骤。

假设我们要解方程|2x-1|=3。

首先，我们将绝对值的取值范围分为两种情况：当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。

对于第一种情况，即2x-1≥0，我们可以得到2x-1=3，解得x=2。

对于第二种情况，即2x-1<0，我们可以得到-(2x-1)=3，解得x=-1。

因此，原方程的解为x=2和x=-1。

使用分情况讨论法解绝对值方程时，我们需要根据绝对值的取值范围进行合理的分情况讨论，并对每种情况下的方程进行求解。

这种方法的优点是思路清晰，能够将问题分解为若干个简单的子问题，但对于复杂的绝对值方程，可能需要分的情况较多，计算量较大。

二、代数法代数法是解绝对值方程的另一种常用方法，它的基本思想是利用绝对值的定义进行代数变形，从而得到方程的解。

举个例子来说明代数法的具体步骤。

假设我们要解方程|2x-1|=3。

根据绝对值的定义，当2x-1≥0时，|2x-1|=2x-1；当2x-1<0时，|2x-1|=-(2x-1)。

对于第一种情况，即2x-1≥0，我们可以得到2x-1=3，解得x=2。

对于第二种情况，即2x-1<0，我们可以得到-(2x-1)=3，解得x=-1。

通过代数变形，我们得到了与分情况讨论法相同的结果。

使用代数法解绝对值方程时，我们需要根据绝对值的定义进行代数变形，并将方程转化为一元一次方程进行求解。

这种方法的优点是计算量相对较小，适用于简单的绝对值方程。

综上所述，解绝对值方程的方法有分情况讨论法和代数法两种常用方法。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。