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lorenz混沌吸引子轨道原理
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种描述混沌现象的数学模型，它是由美国数学家Edward Lorenz在20世纪60年代提出的。
这个模型可以用来解释许多自然现象，如气象学中的天气预报、流体力学中的湍流现象等。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的核心是混沌吸引子。
混沌吸引子是一种奇异的吸引子，它具有无限细节和复杂性。
在Lorenz混沌吸引子轨道原理中，混沌吸引子是一种吸引轨道，它可以吸引周围的轨道，使它们最终趋向于混沌吸引子。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的基本方程是Lorenz方程。
这个方程描述了一个三维空间中的动力学系统，它包含了三个变量：x、y和z。
这个方程的形式非常简单，但是它却可以产生出极其复杂的轨迹。
Lorenz混沌吸引子轨道原理的一个重要应用是天气预报。
天气系统是一个非常复杂的动力学系统，它包含了许多变量和参数。
使用Lorenz混沌吸引子轨道原理，可以对天气系统进行建模，并预测未来的天气情况。
除了天气预报，Lorenz混沌吸引子轨道原理还可以应用于其他领域，如金融市场、生物学、化学等。
在金融市场中，Lorenz混沌吸引子轨道原理可以用来预测股票价格的波动。
在生物学中，它可以用来研究生物体内的混沌现象。
在化学中，它可以用来研究化学反
应的动力学过程。
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种非常重要的数学模型，它可以用来解释许多自然现象和社会现象。
它的应用范围非常广泛，可以帮助我们更好地理解和预测世界的变化。
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是物理学、数学、工程学和许多其他领域研究的热点问题。
混沌现象表现为系统对初始条件的敏感依赖性，以及在非线性系统中出现的复杂、不可预测的行为。
本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的有关问题。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）第一个混沌系统：Lorenz系统Lorenz系统是一个经典的混沌系统，其动力学行为表现为对初始条件的极度敏感性。
该系统由三个非线性微分方程组成，描述了大气中温度的复杂变化过程。
我们将通过数值模拟和相图分析等方法，深入探讨Lorenz系统的动力学特性。
（二）第二个混沌系统：Chua's电路Chua's电路是一个电子电路混沌系统的典型代表，其电路中的非线性元件导致了复杂的混沌行为。
我们将对Chua's电路的电路方程进行推导，并通过时域分析和频域分析等方法，揭示其混沌特性和动力学行为。
三、系统控制与同步研究（一）Lorenz系统的控制与同步针对Lorenz系统的混沌特性，我们将探讨如何通过外部控制信号或系统参数调整等方法，实现对该系统的有效控制。
同时，我们将研究Lorenz系统的同步问题，探讨不同Lorenz系统之间的同步方法及其在通信、计算等领域的应用。
（二）Chua's电路的控制与同步对于Chua's电路的混沌行为，我们将尝试利用反馈控制、自适应控制等手段，实现对系统的稳定控制和参数调整。
此外，我们还将研究Chua's电路的同步问题，包括电路间的同步方法和其在信号处理、电子设备同步等方面的应用。
四、实验与结果分析（一）实验设计我们将设计一系列实验来验证上述理论分析的正确性。
对于Lorenz系统和Chua's电路，我们将分别进行数值模拟实验和实际电路实验，以观察系统的混沌行为和验证控制与同步方法的可行性。
（二）结果分析通过实验数据的分析和处理，我们将验证所提出的控制与同步方法的可行性和有效性。
《两个混沌系统的动力学分析及其系统控制与同步研究》篇一一、引言混沌系统是一种复杂的非线性动态系统，其状态变化具有不可预测性、敏感依赖初始条件和长期行为的不规则性等特点。
近年来，随着非线性科学的发展，混沌系统的研究逐渐成为了一个重要的研究方向。
本文将针对两个典型的混沌系统进行动力学分析，并探讨其系统控制与同步的方法。
二、两个混沌系统的动力学分析（一）Lorenz混沌系统Lorenz混沌系统是一种典型的流体动力学系统，具有三维非线性微分方程描述。
通过对该系统的动力学分析，我们可以发现其状态变化具有对初始条件的敏感性、具有分岔和混沌等现象。
具体地，我们可以通过分析该系统的相图、功率谱等特征，进一步了解其动力学特性。
（二）Chua's电路混沌系统Chua's电路混沌系统是一种电子电路系统，其电路元件包括电阻、电感和非线性电容等。
该系统的动力学行为表现为复杂的混沌振荡，具有一定的应用价值。
通过对该系统的动力学分析，我们可以了解到混沌系统在不同参数条件下的动态变化情况。
三、系统控制与同步研究（一）系统控制对于混沌系统的控制，主要是通过调整系统参数或者引入外部控制信号等方式，使得系统的状态达到预期的稳定状态。
针对Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统，我们可以采用不同的控制策略，如参数微调法、反馈控制法等，以实现对系统状态的稳定控制。
（二）系统同步混沌系统的同步是指两个或多个混沌系统在一定的条件下，其状态变化达到某种程度的协调和一致性。
针对两个混沌系统的同步问题，我们可以采用不同的同步方法，如完全同步法、延迟同步法等。
这些方法可以通过调整系统参数或者引入适当的控制器来实现两个混沌系统的同步。
四、实验结果与分析（一）实验设计为了验证上述理论分析的正确性，我们设计了相应的实验方案。
具体地，我们采用了数值模拟和实际电路实验两种方式来验证Lorenz混沌系统和Chua's电路混沌系统的动力学特性和控制与同步效果。
收稿日期!#$$=!$J !#!#修改稿收到日期!#$$=!$=!#%作者简介!杨志民!%=!=$"%男%甘肃天水人%教授%硕士研究生导师A 主要研究方向为电路理论与应用A B !6/8(&:/.QU 6".3.,)4D ,)<.基于!"*)A J 系统的混沌调制保密通信的电路实现杨志民%!熊!丽%!张新国#!张!洁%!任文娟%!%A 西北师范大学物理与电子工程学院%甘肃兰州!?@$$?$##A 兰州大学信息科学与工程学院%甘肃兰州!?@$$$$"摘!要!对基本的E ’-4.U 混沌系统进行标度变换和优化设计!用优化设计的E ’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路!并用模拟电子电路实现了保密通信A 理论分析和实验结果证明了该通信方案的有效性A 关键词!标度变换"混沌调制"保密通信"E ’-4.U 系统中图分类号!a *=%%)@!!!!文献标识码!I !!!!文章编号!%$$%G =J J #!#$%$"$#G $$!$G $!S 8-<,8186L(464.1/18’.’0<2/’56’D ,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C /54D’.E ’-4.U <2/’18<5:5146_I *V^28G 68.%%]M H *VE 8%%^O I *V ]8.G Q ,’#%^O I *V+84%%‘B *b 4.G R,/.%!%AS ’((4Q 4’0K 2:58<5/.DB (4<1-’.8<5B .Q 8.44-8.Q %*’-123451*’-6/(7.894-581:%E /.U 2’,?@$$?$%V /.5,%S 28./##AS ’((4Q 4’0M .0’-6/18’./.DB .Q 8.44-8.Q %E /.U 2’,7.894-581:%E /.U 2’,?@$$$$%V /.5,%S 28./"+,-#*%.#&I E ’-4.U<2/’18<5:514685(/C 4(8.Q 6,14D %’L 186,6D 458Q .4D %586,(/14D %/.D86L (464.14D 38122/-D 3/-4Aa 244X L 4-864.1-45,(15/-48.Q ’’D/Q -4464.13812<’6L ,14-586,(/18’.-45,(151’94-80:8154004<1894.455A M 1</.C 4,54D 8.54<-41<’66,.8</18’.5:51465A /)01"*2-&(/C 4(8.Q 6,1/18’.#<2/’56’D ,(/18’.#54<,-4<’66,.8</18’.#E ’-4.U 5:5146!!混沌保密通信方式主要有@种%即混沌遮掩4混沌调制和混沌开关A 混沌调制是一种常用的通信方式%其基本思路是将欲传送的信号和混沌振荡信号同时加入调制电路%由此产生混沌调制信号%将该调制信号通过发射机发射%再通过接收机接收并进行解调%从而得到欲传送的信号A 混沌调制方式比起混沌开关和混沌遮掩有以下优点&首先%由于混沌信号谱的整个范围都用来隐藏信息%因此具有宽频谱的特性#其次%对参数变化具有更高的敏感性%从而增强了保密性’%G J(A%==@年%S ,’6’和H L L4.2486实现了E ’-4.U 系统的混沌遮掩保密通信方案’%(%但该方案在保真度和安全度方面均存在一些不足A%=="年%T 8(/.’98<&和^/Q2(’,(T B 提出了混沌遮掩的改进方案’#(%但只对所提出的方案进行了理论分析和计算机仿真%未能用硬件进行实现A 文献’@(根据文献’#(提出的混沌遮掩改进方案%用电子电路实现了保密通信%但缺乏对电路的优化A 笔者首先对基本的E ’-4.U 混沌系统进行了标度变换%使其转换为电路易于实现的E ’-4.U 混沌系统%然后对E ’-4.U 混沌电路进行优化设计%用优化设计的E ’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路%使电路的综合性能达到最佳%并用模拟电子电路实现了保密通信A 实验结果证明了所设计方案的有效性A%!基本E ’-4.U 方程的标度变换基本E ’-4.U 方程组为!#$%$!*’)#S 8-<,8186L (464.1/18’.’0<2/’56’D ,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C /54D’.E ’-4.U <2/’18<5:5146a "$:!R &""%a R $/"&R &"]%a ]$"R &%]-./+!%"当取参数:Y %$%/Y #J %%Y J /@时%系统!%"是混沌的A!!在实际的电子线路中%无源元件的数值及有源电子器件的工作电压均有一定的范围%例如运算放大器的电源电压一般为Z %>$[%>&%很好的线性工作范围为Z%$$[%$&A 在一般的混沌电路中%方程!%"的变量都是某个运算放大器的输出电压%故其变化范围不应超出电源电压值A 而基本E ’-4.U 方程数值解中变量的变化范围可能很大%因而不便于使用通常电路元件实现A 故在实际应用中%利用标度变换的方法%即对原方程引入新变量:$"%$%U $R %$%S $]@$%!#"将基本方程中变量的变化范围进行适当调整%使其能够用普通的电路实现A 例如对于方程!%"中的变量"%如果其数值范围是Z #>$#>%那么就不能够直接作为电路中以伏特数为单位的电压变量或电压动态范围+现在如果取:Y "/%$作为新的电路变量%其变化范围就是Z#)>$#)>&%从而完全符合电路设计的要求A采用!#"式的变换%则E ’-4.U 方程!%"变为a :$:!U &:"%a U $/:&U &@$:S %a S $@)@:U &%S -./+!@"即得a "$:!R &""%a R $/"&R &@$"]%a ]$@)@"R &%]-./+!!"代入具体参数值:Y %$%/Y #J %%Y J/@%得a "$&%$"#%$R %a R $#J "&R &@$"]%a ]$@)@"R &!J /@"]-./+!>"!!用T/1(/C 对!>"式进行仿真得到的相图如图%所示A 由图可见%各个参数的数值范围都在Z %$$[%$&A 即经过标度变换后的E ’-4.U 混沌系统在实际应用中完全符合电路设计的要求A根据!>"式设计的电路如图#所示A 图%!!>"式的仿真结果P 8Q %a 24586,(/18’.-45,(15’04W,/18’.!>"图#!!>"式的实现电路P 8Q #a 24<8-<,81’04W,/18’.!>"#!混沌保密通信电路的实现%)$!电路的优化设计图#所示的电路虽然能够实现!>"式的功能%但为了得到最优电路%还需进行优化设计A 优化设计的基本思路是&在不改变电路功能的条件下%将电路尽量简化和合并%降低电路的复杂程度与总误差%以及电路总电阻的热噪声%同时降低电路成本A 优化设计电路的Bb N 仿真结果如图@所示A 优化以后的E ’-4.U 电路如图!所示A 由图!可见%电路的运算放大器由%#个减少成为"个%其它无源元件也有相应的减少A 优化以后得到的电路简单%调试容易%适用于规模化生产A%)%!混沌调制保密通信电路优化以后的E ’-4.U 混沌电路可以实现混沌保密通信%其系统框图如图>所示A 图中虚线的左边为发送系统%右边为接收系统A 在发射端%送往\4G 的信号是混沌信号,!6"与欲传送信号’!6"相加后的合成信号%即经过信道后送到接收端\4G 的信号T !6"A 这样%接收系统就更容易与发送系%!统保持良好同步%因而本电路的鲁棒性好A图@!优化设计电路的B b N 仿真P 8Q @E ’-4.U <8-<,81’0’L 186,6D 458Q.4D 图!!优化以后的E ’-4.U 电路P 8Q !a 24E ’-4.U <8-<,81’0’L 186,6D 458Q.4D 图>!混沌保密通信系统框图P 8Q >a 24D 8/Q -/6’054<-41<’66,.8</18’.5:51465!!用优化设计得到的E’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路如图"所示A 发送系统最上面的运算放大器设计成减法器%是发送系统的调制器A 欲传送信号从该运算放大器的反相输入端输入%其输出信号通过通信信道!有线或无线"发送到接收系统中A 接收系统基本混沌电路与发送系统基本混沌电路相同%最上面的运算放大器是发送端的解调器%#个输入信号都是混沌信号%输出是混沌信号的误差信号%恰好是发送端的传送信号%从而完成了混沌保密通信A图"!混沌保密通信优化电路原理图P 8Q "a 24<8-<,81’054<-41<’66,.8</18’.5:51465@!硬件电路的实现和测试图"所示电路的硬件实现电路如图?所示%测试结果如图J 所示A 对于发送端%增加跳线器组h #%0#1端与0@1端连接即是E ’-4.U 混沌电路%在示波器上可以观察到"%."#%"%."@和"#."@的相图%如图J !/"4!C "4!<"所示A 同样%对于接收端%增加跳线器组h @%0#1端与0@1端连接亦是E ’-4.U 混沌电路A 如上连接%#个E ’-4.U 混沌电路完全独立%不同步A "%.R %%"#.R #和"@.R @不同步相图如图J !D "4!4"4!0"所示A 对于发送端%0#1端与0@1端连接%对于接收端%0#1端与0%1端连接%则接收端E ’-4.U 混沌电路与发送端E ’-4.U 混沌电路同步%"%.R %%"#.R #和"@.R @同步相图如图J !Q "4!2"4!8"所示A 若使#个E ’-4.U 混沌电路实现保密通信%则对于发送端%0#1端与!#$%$!*’)#S8-<,8186L(464.1/18’.’0<2/’56’D,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C/54D’.E’-4.U<2/’18<5:51460%1端连接%E’-4.U混沌电路被调制#对于接收端%0#1端与0%1端连接%E’-4.U混沌电路被同步%当通信过程开始后%有输出信号A另外%增加跳线器组h%%不做通信实验时%无输入信号%0#1端与0%1端连接%避免干扰#做通信实验时%有输入信号%0#1端与0%1端开路%避免短路A 图J!R"是接入收音机后发送端的调制信号!上"与接受端的解调信号!下"A由图可见%接收端基本解调出语音信号%实现了保密接收%但语音通信效果不是很完美%原因是模拟乘法器参数离散%使得同步噪声较大A图=是发送和接收的信息信号波形图%由图可见%二者完全同步%发送的信息信号与接收的信息信号相同A图?!实验电路板照片P8Q?a24L2’1’Q-/L2’04X L4-864.1<8-<,81L(/14!/""%."#相图!!!!!!!!!C""%."@相图!!!!!!!!!<""#."@相图!D""%.R#不同步相图!!!!!!!4""#.R#不同步相图!!!!!!!0""@.R@不同步相图!Q""%.R%同步相图!!!!!!!2""#.R#同步相图!!!!!!!8""@.R@同步相图!R"混沌保密通信发送端输入调制信号与接收端解调输出信号图J!实验结果照片P8Q J a24L2’1’Q-/L2’04X L4-864.1-45,(15#下转第!=页$@!。
• 188•本文研究动力学特性更为复杂的新三维混沌系统。
首先利用数值建模分析了三维混沌系统的基本动力学特性，然后搭建新混沌系统硬件电路，通过Multisim软件进行硬件电路仿真模拟，最后验证了系统的物理可行性，结果表明仿真实验与理论分析结论吻合。
1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)气象学家Loren 发现已确定的三阶微分方程具有不规则的解，提出了“蝴蝶效应”理论，开启了研究混沌现象的序幕。
混沌作为非线性动力学的一个分支，在很多领域具有广泛应用。
复杂混沌系统的产生、分析和控制近年来引起了国内外同行的广泛关注。
经典的混沌系统诸如：Rössler 系统、Chen 系统及Lü系统等被提出，一些新的混沌系统被发现，它们具有更大的Lyapunov 指数和更强的混沌特性。
本文基于文献中Lorenz-Like 系统，搭建了新三维混沌系统，发现此系统的混沌特性比原系统复杂，在不同参数值下不仅折叠吸引子的涡卷数增加；并且发现在4.28＜b ＜10.5时，系统产生新的两翼折叠混沌吸引子，其最大Lyapunov 指数高达6.7872，比上述文献中混沌系统的Lyapunov 指数值均大。
1 混沌系统模型及特性分析1.1 混沌系统模型本文基于Lorenz-Like 系统构建了一个新三维自治混沌系统，该系统的数学模型可描述为：（1）式中，x ，y ，z 为状态变量。
当初值为(10，10，60)，参数a =10、b =3、c =50、h =-1时，系统存在一个典型混沌吸引子如图1所示。
图1 系统(1)相图1.2 三维系统参数的影响系统动力学特性随参数的变化而变化，系统的运行状态可以直观的由Lyapunov 指数谱及分岔图反映。
当固定参数a 、c 、h ，参数b 变化。
图2(a)反映在0＜b ≤2.256及b ＞12.39区域Lyapunov 指数谱符号为(-，-，-)或(0，-，-)，系统处于周期运动状态；在2.257＜b ≤12.35区域Lyapunov 指数谱符号为(+，0，-)，系统处于混沌运动状态。
一类Lorenz型系统中的混沌分析
杨文杰;张帆;郑前前
【期刊名称】《许昌学院学报》
【年(卷),期】2022(41)2
【摘要】首先,分析了一类Lorenz型混沌系统平衡点的局部稳定性,得到了超临界Hopf分岔的存在条件.然后,推导了Hopf分支的一些公式,它可以帮助通过Hassards方法找到Hopf分岔的形式和分岔周期解的稳定性.再次,证明了带时滞的此类Lorenz型模型在经历一个超临界Hopf分岔时,会发生混沌,这表明了时滞对此类Lorenz型系统有一定的影响作用.最后,通过模拟仿真分析验证理论研究结论的正确性.
【总页数】4页(P8-11)
【作者】杨文杰;张帆;郑前前
【作者单位】许昌学院数理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O193
【相关文献】
1.一类衍生Lorenz混沌系统的混沌分析
2.一类四维超混沌Lorenz型系统的动力学行为
3.一类具有忆阻器的Lorenz 型混沌系统稳定性及余维一分岔分析
4.一类具有时滞的Lorenz型系统中的混沌现象
5.一类具有忆阻器的Lorenz型混沌系统余维二分岔及无穷远处动力学分析
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基于忆阻器的超混沌系统混沌控制及应用研究基于忆阻器的超混沌系统混沌控制及应用研究摘要：本文主要研究了基于忆阻器的超混沌系统的混沌控制及其应用。
首先，介绍了超混沌系统和忆阻器的基本概念，分析了超混沌系统的混沌特性。
接着，设计了一种基于自适应控制算法的混沌控制方法，并将其应用在超混沌系统中。
实验结果表明，该控制方法能够有效控制超混沌系统的混沌运动，并实现多状态的轨迹追踪。
最后，讨论了超混沌系统混沌控制在通信加密、混沌加密和混沌同步等领域的应用前景。
关键词：超混沌系统；忆阻器；混沌控制；应用1. 引言混沌是一种随机非周期的动力学现象，具有高度的敏感性和复杂性。
近年来，混沌系统及其控制在各个领域得到了广泛的研究和应用。
超混沌系统是一类比混沌系统更加复杂的非线性动力学系统，具有更大的参数空间和更丰富的动力学行为。
忆阻器是一种新型的电子元件，具有非线性的电压-电流特性。
它能够将电流的历史信息储存，具有时滞效应。
近年来，忆阻器在混沌系统中的应用也引起了研究者们的兴趣。
本文将超混沌系统和忆阻器两者结合起来，研究了基于忆阻器的超混沌系统的混沌控制及其应用。
2. 超混沌系统的混沌特性分析超混沌系统与普通混沌系统相比，具有更多的分支、更高的维数和更丰富的复杂性。
在本文中，我们以一种常用的三维超混沌系统为例，分析其混沌特性。
该超混沌系统的动力学方程如下：dx/dt = -σx + σy + zdy/dt = -x + aydz/dt = b(x - cz)其中，x、y、z为系统的状态变量，σ、a、b、c为系统的参数。
通过数值计算和分析，我们可以得到该超混沌系统在不同参数值下的混沌运动轨迹。
实验结果表明，该系统在一定的参数范围内具有混沌吸引子，其轨迹呈现出复杂的分形结构和奇特的运动方式。
3. 基于自适应控制算法的混沌控制方法为了控制超混沌系统的混沌运动，本文设计了一种基于自适应控制算法的混沌控制方法。
首先，将超混沌系统表示为控制系统的形式，引入辅助变量和控制误差。
