2014年高考全国卷I卷(理数)试题及答案详细解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{}2230,22A x x x B x x =--≥=-≤<，则A B = （ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22．()()3211+-i i = （ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．设函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数4．已知F 为双曲线()22:30C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A B ．3C D ．3m5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A ．18 B ．38 C ．58 D ．786．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π的图像大致为（ ）7．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =（ ） A ．203 B ．72 C ．165 D ．1588．设0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且1sin tan cos βαβ+=,则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=9.不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D,有下面四个命题()()12:,,22,:,,22,p x y D x y p x y D x y ∀∈+≥-∃∈+≥()()34:,,23,:,,21,p x y D x y p x y D x y ∀∈+≤∃∈+≤-其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ． 14,p pD ．13,p p10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则QF =（ ）A ．72 B ．3 C ． 52D ．2 11．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ． (),2-∞-D ．(),1-∞-12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ）A .B .6C .D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+ ，则AB 与AC的夹角为 .16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s . (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.19. (本小题满分12分)如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.(Ⅰ) 证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=BC ，求二面角111A A B C --的余弦值.20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.21. (本小题满分12分)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{}2230,22A x x x B x x =--≥=-≤<，则A B = （ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,2解析：{}()(){}{}223031013A x x x x x x x x x =--≥=-+≥=≤-≥或，{}22B x x =-≤<又，A B = []2,1--，故选A2．()()3211+-i i = （ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --解析：()()()()()()3222111211211++++--i i i i i i i i i ===--- ，故选D3．设函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数解析：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，排除A()f x 是奇函数，()f x 是偶函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是偶函数，排除B ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，C 正确()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x 是奇函数，则()()f x g x 是偶函数，排除D ，故选C4．已知F 为双曲线()22:30C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）AB ．3 CD ．3m解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长bA5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A ．18 B ．38 C ．58 D ．78解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为4422728P -==，故选D 6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π的图像大致为（ ）解析：由已知1,sin ,cos OP PM x OM x ===，又()1122f x OP OM MP ⋅=，所以()1sin cos sin 22f x x x x ==，故选C 7．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =（ ） A ．203 B ．72 C ．165D ．158解析：当2n =时，33,2,22M a b ===； 当3n =时，838,,323M a b ===；当4n =时，15815,,838M a b ===； 此时运算终止，158M =，故选D8．设0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且1sin tan cos βαβ+=,则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=解析: 由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin sin cos cos cos sin cos cos αβαβααβαβ+=∴=+即()sin cos αβα-=,所以()sin sin 2παβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,由已知0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,02222ππππαβα-<-<<-<,sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以,222ππαβααβ-=--=,故选C9.不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D,有下面四个命题()()12:,,22,:,,22,p x y D x y p x y D x y ∀∈+≥-∃∈+≥()()34:,,23,:,,21,p x y D x y p x y D x y ∀∈+≤∃∈+≤-其中的真命题是（ ）A ．23,p pB ．12,p pC ． 14,p pD ．13,p p 解析:令()()()()222x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-,所以122m n m n +=⎧⎨-=⎩,解得4313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以()()4122033x y x y x y +=+--≥,因而可以判断12,p p 为真,故选B10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则QF = （ ）A ．72 B ．3 C ． 52D ．2 解析:由已知2,2P F x x =-=又4FP FQ =,则()442Q x -=-,1Q x ∴=,过Q 作QD 垂直于l ，垂足为D ，所以3QF QD ==，故选B11．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ． (),2-∞-D ．(),1-∞-解析：当0a =时， ()231f x x =-+有两个零点，不满足条件P当0a ≠时，()22'363f x ax x ax x a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()2'030f x ax x a ⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭， 解得20x x a==或，当a <时，()3231f x ax x =-+在()22,0,,0a a ⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和递增，递减，2241=f a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为极小值，()01=f 为极大值，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需22410,a 2=f a a ⎛⎫-+><-⎪⎝⎭即为，当0a >时，()3231f x ax x =-+在()22,0,0,a a ⎛⎫⎛⎫-∞+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和递增，递减，()01=f 为极大值，2241=f a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为极小值，不可能有满足条件的极值，故选C12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A. B .6 C. D .4解析：几何体为如图所示的一个三棱锥P ABC -，底面ABC 为等 腰三角形，,A 4,AB BC C == 顶点B 到AC 的距离为4，面PAC ABC ⊥面，且三角形PAC 为以A 棱PB 最长，长度为6，故选B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。