数学中的代数几何与代数数论

第２８卷第２期　西南民族学院学报。　慧　学版１　。ＭａｙＪｏｕｍａ　ｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｂ，ｆｏｒＮａｔｉｏｎａ　ｔｉｅｓ　Ｎａｔｕｒａ　Ｓｅ　Ｅｄ　２ｏｏ２１　１ｉ・　１　Ｌｅｎｃｅ　ｉ　０ｎ　…‘　

文章编号：１００３－２８４３ｆ２００２）０２－０１５６－０３　

代数数论中若干定理的简化证明　

杨军　（四川走擘数学学院－成都６１００６４；涪陵师范学院数学系　重庆４ｏ８ｏｏ３）　

摘要：范和迹是代徽数域扩张中度量其元素的两把基本“足子　．范和迹的传递心式是处理“域塔”的两个常用工具．　但并非一定得用．有时采用别的途径可能曼为简洁通常利用范的传递公式建立尸　次单位根的分圄域的判别式：利用　理想的范证明整理想的加群结构定理下面不用范的传递公式而直接建立关于分圆域的判别式：不取范而直接给出关　于整理想加群结构定理的证明．从而简化了代数数论中这两个重要定理的证明．　关键词：范；整基：判别式：分圄域；整理想　中图分类号：Ｏ１　５６．２　１，０１　５６　２　３　文献标识码：Ａ　

１定义、记号及性质　

设Ｌ／Ｑ为数域扩张，［Ｌ：Ｋｌ＝　．　：Ｌ　Ｃ（１　ｉ　）是￡￣ｎ４＂Ｋ－嵌入．对于ａ∈Ｌ定义　

Ⅳ　）＝ＦＩ　（口）　

｜＝【　称为口ＥＬ对于扩张　Ｋ的范，其中　）叫作口的共轭元．熟知，Ｍ　：Ｌ　Ｋ　是乘法群同态，这里　

Ｌ　＝Ｌ一｛０｝，Ｋ　＝Ｋ～｛０｝．计算范的基本公式为　

引理ｌ设Ｌ／Ｋ为数域扩张，　］＝　，　∈Ｌ，，（　＝　一ｃ】　＿。＋．．＋（一１）　是＆在　上的极小多项式　

ｍ＝［　曲：嗣，则ⅣＬ，　（口）：　，特别地，对于　ＥＫ，有　

Ｍ，　）：　口　

范具有传递公式：设Ｌ／Ｍ，Ｍ／Ｋ均是数域扩张，　∈Ｌ，则．ⅣＬ，　（口）＝．ⅣＭ，　（Ｎｚ，Ｍ（口））　

对于￡中的任意”个元素ｑ．．　定义其判别式　．　（　…，　）：ｄｅｔ　ｆ　．，）７．　

特别地，吐，　）：　（１，口，…　。。）称为￡中元素耐于扩张￡　的判别式．计算元素的判别式的基本公式为　

第３２卷第１期　

Ｖ０１．３２　Ｎｏ．１　西南师范大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｃｈｉｎａ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　２００７年２月　

Ｆｅｂ．　２００７　

文章编号：１，ｏｏｏ一５４７１（２００７）０１—０１５４—０４　

中学数学问题的代数表征与几何表征①　

姚元锦　，　张　辅。，　孟世才。　

１．西南大学数学与统计学院，重庆４００７１５｝２．华东师范大学数学系，上海２０００６２；　３．重庆教育学院数学系，重庆４０００６７　

摘要：从数学学科属性的角度对问题表征形式进行研究，界定了中学数学问题的代数表征和几何表征，并结合具　体的教材和教学探讨了代数表征与几何表征相结合在中学数学问题解决中的意义和作用．认为代数表征与几何表　征相结合的教学有助于增强学生认识问题的全息性，促进学生形成对数学的整体认识，形成良序知识结构，有利于　学生解决问题的策略多样化和能力的提高．　关键词：数学问题解决；代数表征；几何表征；问题表征　中田分类号：Ｇ６３２；Ｃ＿，ａ３３．６　文献标识码：Ａ　

１　问题提出　

问题表征是指问题解决者通过审题，认识和了解问题的结构；通过联想，激活头脑中与之相关的知识　

和经验，将外部信息转化为内部信息，形成问题空间，包括明确的给定条件、目标和允许的操作．国内外的　

相关研究都表明，数学问题表征是数学问题解决的核心和关键，对问题做什么样的表征，这种表征是否适　

宜，直接影响到问题解决的难易、快慢和成败ｕ　Ｊ．　文献Ｅｚｌ的研究表明，学生解答数学问题产生错误的原因主要来自对问题结构的错误表征，而不是计　算方面的因素．文献Ｅ３３的研究表明，对问题的不同表征会产生不同的问题解决效果．文献［４］就一道应用　

题对３４名学生进行测试，结果表明：①正确的问题表征是解决问题的必要前提，在错误的或者不完整的　

问题空间中进行搜索不可能得到问题的正确解；②问题表征是对问题信息的提取和理解的过程，问题规则　在问题表征中起重要作用；③在问题表征过程中，导致建构出错误或者不完整的问题空间的因素包括：信　息遗漏、信息误解、隐喻干扰（问题信息中潜在的歧义性使被试困惑或误导被试的解题思路）等．文献Ｅ５３对　

1 数学专业分类介绍以及各自就业前景

数学各大分支情况

代数和数论方向大致分支为：算术几何（整合了数论与代数几何）方向、表示论方向、传统的代数和数论方向。

几何方向为：低维度拓朴与曲率流，镜面对称、辛几何与仿射结构，非紧致及带边界流形，代数几何。

分析方向，约略可分为四大类：古典分析、泛函分析、调和分析、及非线性分析与凸分析。其中古典分析包含：不等式理论、可和性理论、逼近论、特殊函数论、和复变量函数论等。泛函分析比较活跃的方向有：矩阵分析、算子理论、演化方程、及算子和函数代数等。调和分析，侧重欧式空间的傅立叶变换和小波变换。

微分方程（包括常微分和偏微分）则有许多重要活跃的领域及主题：1.几何分析2.抛物型及反应扩散方程3.椭圆偏微分方程4.Ginzburg-Landau方程5.非线性薛丁格方程6.守恒律方程7.Navier-Stokes方程8.动力学及波兹曼方程9.常微分方程10.动态系统11.微分方程的反问题等

离散数学研究方向涵盖：1.图着色相关问题，含点着色、边着色、圆着色、均匀着色、T着色、距离二标号等问题。2.图分解3.代数图论4.组合计数问题5.有限体及其应用。 2 概率方向涵盖：1.马可夫过程、扩散过程的相关研究及应用2.概率论在金融领域的相关研究3.无限维空间的随机分析及应用4.数学物理5.其他

科学计算，大致可分为矩阵计算的理论及其应用，和偏微分方程数值理论及方法。主要是将科学或工程上的问题，经由物理定律或假设，导出适当的数学模型，并透过数学分析及数值计算来解决问题或作为实验之前的预估工作。狭义的计算科学是对某些特定的数学方程式，设计或应用有效的数值方法来解决问题。

数学就业情况

工业领域，主要是大型的IT、能源、物流、影视等等大型公司的研发机构。IT领域做算法，能源领域做数值计算，模拟，物流领域做网络或优化，影视领域做图像动画建模等。高新科技对这一块需求也是非常大的，比如飞机的风洞，导弹、航空航天器的空气动力方面，需要学数学的人做流体等方面的模拟和计算等等。人类对规律的探索必将日益精细，这也为数学家们提供了一个更好的平台——将数学更加广泛地应用于实际。

代数与几何

课程编码：08N1120220

课程中文名称：代数与几何

课程英文名称：Linear Algebra and Analytic Geometry

学时：60

学分：3.5

先修课程：中学数学

课程简介：

本课程系统地介绍线性代数与空间解析几何的基本理论和方法，把线性代数与空间解析几何有机的结合起来。内容包括行列式的定义，计算及其性质；矩阵的代数运算，分块矩阵，求矩阵的秩；向量代数，引入向量坐标，并在其下讨论几何问题，平面与直线的方程及其相互位置关系；n维向量，向量组间的线性相关性与线性无关性；线性方程组解的结构理论；线性变换与矩阵间的联系；特征值特征向量，相似变换，矩阵可对角化的条件和方法；二次型的理论，二次型的化简，二次曲面及其分类。

Course Description:

This course is intended to introduce those methods and concepts in linear algebra and

analytic geometry. This course combines linear algebra with analytic geometry ingeniously. Topics

are usually selected from: definition of determinant, its calculation and properties; the operations

of matrix, block matrix and the rank of matrix; vector algebra, vector coordinate and geometric

questions based on the coordinate, equations of plane and line and relations of them;