第２８卷第２期 西南民族学院学报。 慧 学版１ 。ＭａｙＪｏｕｍａ ｏｆＳｏｕｔｈｗｅｓｔＵｎｉｖｅｒｓｉｂ，ｆｏｒＮａｔｉｏｎａ ｔｉｅｓ Ｎａｔｕｒａ Ｓｅ Ｅｄ ２ｏｏ２１ １ｉ・ １ Ｌｅｎｃｅ ｉ ０ｎ …‘
文章编号：１００３－２８４３ｆ２００２）０２－０１５６－０３
代数数论中若干定理的简化证明
杨军 （四川走擘数学学院－成都６１００６４；涪陵师范学院数学系 重庆４ｏ８ｏｏ３）
摘要：范和迹是代徽数域扩张中度量其元素的两把基本“足子 ．范和迹的传递心式是处理“域塔”的两个常用工具． 但并非一定得用．有时采用别的途径可能曼为简洁通常利用范的传递公式建立尸 次单位根的分圄域的判别式：利用 理想的范证明整理想的加群结构定理下面不用范的传递公式而直接建立关于分圆域的判别式：不取范而直接给出关 于整理想加群结构定理的证明．从而简化了代数数论中这两个重要定理的证明． 关键词：范；整基：判别式：分圄域；整理想 中图分类号：Ｏ１ ５６．２ １，０１ ５６ ２ ３ 文献标识码：Ａ
１定义、记号及性质
设Ｌ／Ｑ为数域扩张，［Ｌ：Ｋｌ＝ ． ：Ｌ Ｃ（１ ｉ ）是￡￣ｎ４＂Ｋ－嵌入．对于ａ∈Ｌ定义
Ⅳ ）＝ＦＩ （口）
｜＝【 称为口ＥＬ对于扩张 Ｋ的范，其中 ）叫作口的共轭元．熟知，Ｍ ：Ｌ Ｋ 是乘法群同态，这里
Ｌ ＝Ｌ一｛０｝，Ｋ ＝Ｋ～｛０｝．计算范的基本公式为
引理ｌ设Ｌ／Ｋ为数域扩张， ］＝ ， ∈Ｌ，，（ ＝ 一ｃ】 ＿。＋．．＋（一１） 是＆在 上的极小多项式
ｍ＝［ 曲：嗣，则ⅣＬ， （口）： ，特别地，对于 ＥＫ，有
Ｍ， ）： 口
范具有传递公式：设Ｌ／Ｍ，Ｍ／Ｋ均是数域扩张， ∈Ｌ，则．ⅣＬ， （口）＝．ⅣＭ， （Ｎｚ，Ｍ（口））
对于￡中的任意”个元素ｑ．． 定义其判别式 ． （ …， ）：ｄｅｔ ｆ ．，）７．
特别地，吐， ）： （１，口，… 。。）称为￡中元素耐于扩张￡ 的判别式．计算元素的判别式的基本公式为
数论作业
习题一1.证明:任意奇数一定可以表为两个平方数之差.
2.证明:对任意的整数n,
1)n3−n能被3整除,2)n5−n能被5整除,3)n7−n能被7整除.
又,n9−n是否一定被9整除?
3.证明:如果p和p+2都是大于3的素数,则6是p+1的因数.
4.证明:√2和√6都不是有理数.
5.证明:对任意正整数k,必存在连续k个正整数都是合数.
6.试确定所有正整数n,使2n−1能被7整除.
7.设n是奇数,求n表为两个整数平方差的表法个数.
8.设a,b,c是正整数,(a,c)=1,且1a+1b=1c.证明:a+b是平方数.
9.证明:形如4n+3形的素数有无穷多个.
10.证明:不存在两个连续的奇数,每一个都是两个非零的平方数之和.
1习题二1.证明:任给5个整数n,必能从中选出3个,使得它们的和能被3整除.
2.证明:任给n个整数,必能从中选出若干个,使得它们的和能被n整除.
3.一个正整数若倒过来写也是同一个数,则被称为回文数,比如3,11,242等等.
证明:每个4位数的回文数都被11整除,试推广之.
4.设x为实数,n为正整数,证明:[x]+[x+1n]+···+[x+n−1n]=[nx].
5.设x为实数,n为正整数,证明:[[x]n]=[xn].
6.n为正整数,证明:(2n)!n!(n+1)!是整数.
7.证明:ϕ(n)或为1,或为偶数.
8.证明:任意连续n个正整数中,与n互素的个数是ϕ(n).
9.证明:对任意正整数n,ϕ(n2)=nϕ(n);求出所有正整数n,使ϕ(n)|n.
10.若(m,n)=1,证明:mϕ(n)+nϕ(m)≡1(modmn)
2习题三1.求最小的n>2,使得2|n,3|n+1,4|n+2,5|n+3,6|n+4.
2.证明:
(1)对任意n个互异的素数p1,···,pn存在n个连续的整数使第k个能被pk整除.
(2)存在n个连续的整数,每个都有平方因子.
3.证明:Fn−1Fn+1−F2n=(−1)n.
1
(★★★) (2007年实验中学考题)
12＋22＋32＋…＋20012＋20022除以7的余数是多少？
(★★★) (2007年实验中学考题)
学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友。余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1∶2∶3，问学前班有多少位小朋友？
(★★★)
一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。
小升初数论重点考查内容
2
(★★★★)
恰有8个约数的两位数有________个
(★★★)
一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【拓展】(★★★)
一个数减去10是一个平方数，减30也是一个平方数，问这个数是多少？
(★★★★★)
一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，16就是一个“智慧数”。在自然数列中从1开始数起，第2009个“智慧数”是_________
数学中的代数学和数论
数学是一门具有深奥精神的科学，在这个领域中，代数学和数论是两个重要的分支。代数学主要研究的是代数结构和其上的运算规律，而数论则关注自然数及其性质、整数论、素数和分数等问题。虽然这两个分支的研究对象不同，但它们却互相交织、相互依存，对于我们深入了解数学的本质和应用都是非常重要的。
一、代数学
代数学是数学中最为重要的分支之一，它研究的主要是代数结构和代数变换。在代数结构中，我们主要考虑的是集合、运算和运算规律，例如加法、乘法等。常见的代数结构有环、群、域等，它们都有各自的运算规律。
在代数变换中，我们主要研究的是变换、变换群等概念，例如线性变换和对称变换等。代数变换也是代数学研究中的重要内容，它能够帮助我们理解物体的形态变化。
代数学是数学中非常基础的一门学科，它被广泛应用于各种数学问题中。例如，代数学在物理学中具有重要作用，可以描述物理过程中的数量和变化。在计算机科学中，代数学可以帮助我们进行数据的存储和计算，支持人工智能等领域的发展。
二、数论
数论是数学中研究自然数及其性质的学科，它有着悠久的历史。数论可以追溯到公元前3000年左右，最初被应用于计算财产和天文观测等领域。
数论的研究内容包括整数论、素数、同余数、分数等问题。其中，整数论研究的是整数及其性质，例如最大公约数和最小公倍数等。素数研究的是质数及其分布问题，例如求质数个数和判断某个数是否为质数等。同余数则研究整数之间的同余关系，它有助于解决密码学中的加密问题。分数则研究分数的基本性质和分数序列等问题。
数论的研究具有重要的理论和应用价值。它不仅有助于我们了解自然数的性质和规律，还能够用于密码学、计算机科学、通讯等领域中。
三、代数学与数论的联系
在数学领域中，代数学和数论是两个非常重要的分支，它们之间有着紧密的联系。首先，在代数学中，很多问题需要用到数论的知识。例如，环和域中的素元素问题需要用到素数的概念。其次，在数论中，我们常常需要运用代数学的知识来解决问题。例如，同余数中的剩余类问题需要用到环或域的知识。
