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初中数学专题讲座精编中考动态几何问题

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中考动态几何问题

动态几何问题通常包括:（1）动点;（2）动直线;（3）动型问题。通过这些问题，有效的区分学生的档次，在做这类题前一定要基本知识扎实，“化动为静”，通常前两问较简单，有时是“静态”的题，所以一定要认真冷静，有时又需要用数学方法（分类讨论数形结合等），因此一定要多多训练，独立思考，充满信心。

练习:（注：题目难度按照动态几何题目难度编排，并非中考试卷难度）

1.（2000吉林省）如图，在矩形ABCD中，BC=acm，AB=bcm，a>b,且a,b是方程

84231(5)5xxxxx的两个根,P是BC上一动点,动点Q在PC或其延长线上，BP=PQ，以PQ为一边的正方形为PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP=x。cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为ycm2．

(1)求a和b；

(2)分别求出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．

2.（2001吉林省）如图，A，B是直线l的两点,AB＝4厘米,过l外一点C作CD//l，射线BC与l所成的锐角∠l＝60°，线段BC= 2厘米．动点P,Q分别从B，C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动．设P，Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD于E．

（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；

（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式；

（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？

ABCPEQD1

3. （江西2001）如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC＝2cm．现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1㎝/s的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2㎝/s的速度向点C运动．设点E离开点B的时间为t（s）．

(l)当t为何值时，线段EF与BC平行？

(2)设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？

(3)当1≤t＜2，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值．

CABD

4. (2001湖南长沙市)已知：Rt△AOC中，∠AOB＝90°，OA＝3厘米，OB＝4厘米．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．设P、Q分别为AB边、OB边上的动点，它们同时分别从点A、O向B点匀速移动，移动的速度都为1厘米/秒．设P、Q移动时间为t秒（40t）.

（l）过点P作PM⊥OA于M．证明:ABAPBOPMAOAM，并求出P点的坐标（用t表示）．

（2）求△OPQ的面积S（厘米2）与移动时间t（秒）之间的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．

（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？

（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度；使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值．

POyxBAMQ(0,3)(4,0)(厘米）(厘米）

5.（2002上海市）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；

（1） 当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的取值范围；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）

6.（2000吉林省）如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：

（1）当t=3秒时，求S的值； （2）当t=5秒时，求S的值；（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

ABCDABCDABCD图2图1图37.（2002年吉林省） 如图，菱形OABC的边长为4㎝，∠AOC=60°，动点P从O出发，以每秒1㎝的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2s后。动点Q从O出发，在OA上以每秒1㎝的速度，在AB上以每秒2㎝的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线。没P点运动的时间为xS,这两条平行线在菱形上截出的图形（图中的阴影部分）的周长为y㎝.请你回答下列问题：

(1)当x=3时，求y的值是多少？

(2)就下列各种情形。求y与x之间的函数关系：

① 0≤x≤2; ② 2≤x≤4; ③ 4≤x≤6 ; ④ 6≤x≤8

(3)在直角坐标系中，用图像表示（2）中的各种情形下y与x的关系。

8.（2001天津）已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm， AB＝8cm， D、E、F分别为AB、AC、BC边上的中点．若P为AB边上的一个动点，PQ// BC，且交AC于点Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．

（l）如图，当AP＝3cm时，求y的值；

（2）设AP＝xcm，试用含x的代数式表示y（2cm）；

（3）当2cm2y时，试确定点P的位置.

PNMQABCFED

A A A A B B B C C

O O C C

O B

P Q P Q P Q P 9.（2001河北省）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠BAD＝60°．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（100t）．

（l）点N为BC边上任意一点．在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由；

（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大？并求出面积的最大值；

（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a＞2）个单位长的速度沿着射线BC方向（可以超越C点）移动，过点M作MP//AB，交BC于点P．当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，并求当S＝0时a的值．

10. (2001济南市)如图，等边△ABC的边长为32，以BC边所在直线为x轴，BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．

（l）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

（2）如图，设⊙P是△ABC的内切圆，分别切AB、AC于E、F点，求阴影部分的面积．

（3）点D为y轴上一动点，当以D点为圆心，3为半径的⊙D与直线AB、AC都相切时，试判断⊙D与（2）中⊙P的位置关系，并简要说明理由．

（4）若（2）中⊙P的大小不变，圆心P沿y轴运动，设P点坐标为（0，a），则⊙P与直线AB、AC有几种位置关系？并写出相应位置关系时a的取值范围．

ABCDMPN

· BCPAOyxEF

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初中数学 培优专题复习 中考压轴题 易错题 汇编 含答案 10：几何三大变换问题之对称

初中数学 培优专题复习 中考压轴题 易错题 汇编 含答案 10：几何三大变换问题之对称

1

初中数学

培优专题复习

2018版

初中培优系列

2018年全国中考数学分类解析汇编 2 全国中考数学分类解析汇编

专题10：几何三大变换问题之对称

一、选择题

1. （2018江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】

A．3＋1 B．2＋1 C．2.5 D．5

【答案】B。

【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，

∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，

∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，

∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝0452＝22.5°。∴∠FAB＝67.5°。

设AB＝x，则AE＝EF＝2x，

∴an67.5°＝tan∠FAB＝tFB2x+x21ABx。故选B。

2. （2018江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，CFFD的值为【 】 3

A. 312 B. 36 C. 2316 D. 318

【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】延长DC与A′D′，交于点M，

∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，

∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。

∴∠D=180°-∠A=120°。

根据折叠的性质，可得

∠A′D′F=∠D=120°，

∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。

七上数学动态几何问题举例_赖启茂

七上数学动态几何问题举例_赖启茂

七上数学动态几何问题举例

赖启茂

（福建省武平县城郊中学，364300）

动态几何问题涉及的知识点多，有一定

的复杂性，能考察学生的数学阅读能力，分析

问题和解决问题的能力，此类问题成为每年

中考的热点．七上教材就让学生接触动态几

何问题，作为启蒙，让他们初步感知，用运动

和变化的眼光去观察和思考问题，在变中找

出不变的量，从中渗透数形结合、分类讨论、

方程函数等数学思想，最终树立运动观点和

整体观点．

一、动点问题

1．单动点例1在数轴上，点A表示的数为－10，

点P从A点出发向右运动，运动时间为t秒．

（1）若点P的速度为每秒1个单位，则t

为何值时，到达原点？

（2）若点P的速度为每秒2个单位，则t

为何值时，到达原点？

（3）若点P的速度为每秒2个单位，则t

为何值时，原点为线段AP的中点？

解（1）依题意，得t=10，

所以，当t=10秒时，点P到达原点．

（2）依题意，得2t=10，解得t=5．

所以，当t=5秒时，点P到达原点．

（3）依题意，得2t=20，解得t=10．

所以，当t=10秒时，原点为线段AP的中

点．

2．双动点例2如图2，线段AB=10，点P从点A

出发，以1个单位/秒的速度沿AB向终点B运

动，同时，点Q从点B出发，以3个单位/秒的

速度在AB上连续往返运动，当P到达B时，P、

Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为x

秒．

（1）当x=3时，求线段PQ的长；

（2）当P、Q两点第一次重合时，求线段BQ的长；

（3）是否存在x，使Q为线段AP的中点？

若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．

教学分析本题实际是路程问题中的相

遇问题和追及问题．第（3）小题应抓住点Q是

动线段AP的中点这个不变量，鉴于点Q在AB

上往返运动，需进行分类讨论．

解（1）如图2，AP=1×3=3，BQ=3

×3=9，所以PQ=（3+9）－10=2．

（2）如图3，依题意得，x+3x=10，

解得x=2.5，BQ=3x=7.5．

（3）存在，有三种情况

①当3x＜10时，如图4．

中考数学动态几何试题研究

中考数学动态几何试题研究

中考数学动态几何试题研究

一、中考数学动态几何问题研究的背景和意义

1、研究背景：时代在进步，科学在发展，随着改革开放以来，我国的生活水平发展迅速，教育依然是发掘人才的重要战略，培养人才成了中国的重中之重。教育成为了我国最看重的问题，我国开展的九年义务教育就可以看出我国认真发展教育的决心。在我国人才紧缺的背景下，考试成了选拔人才的一种必要方式，所以中考无论在老师眼中还是在家长眼中都很关心。如今国家正在快速的发展之中，世界各地都很重视教育，教育的发展直接影响一个国家的发展情况，而数学思想在显示生活中是不可或缺的。只有良好的基础教育才能为培养中国人才打下良好的基础，而数学几何动态问题是中考的必考试题，数学动态几何问题在试卷中占有至关重要的位置，也是让许多学生对数学失去信心的原因，动态几何问题作为中考数学很难的一部分，如果学生长期对动态几何无能为力，会严重打击学生的积极性和自信心，逐渐让学生对数学失去兴趣甚至出现厌学的心理。只有对动态几何进行研究把动态几何问题的解题思维方式传授给学生，培养学生的学习兴趣，激发学生的自信心。

2意义：数学思想方法在现代金融学、建筑学等中必不可少，数学动态几何问题在数学教育中显得格外精彩，数学是一门理论灵活多变的教学，动态几何问题使数学教学更加丰富多彩，能够调动学生的脑力，开发学生的思维空间，对开发学生的大脑起着很重要的作用，掌握好动态几何问题对学生的发展有着很重要的意义。

二、中考数学动态几何问题国内外的发展历史和现状

1、国内外发展历史：公元前两百多年，伟大的科学家、数学家、物理学家阿基米德说：“给我一个支点，我能撬起整个地球。”阿基米德、高斯、牛顿被誉为世界三大数学家数学发展史氛围四个时期，第一时期人类才建立最基本的数学概念，简单的计算法并认识最基本的几何形式。第二时期从公元前5世纪开始直到17世纪是常量数学时期，逐渐形成了几何、代数、算数。从17世纪开始就是第三时期：变量数学时期，解析几何的产生，积分学的产生。第四时期就是现代数学时期。动态几何问题是考验学生的自我抽象能力，思维空间。动态几何是以运动变化为基准，考验学生的数形结合与变通能力。美国在二十世纪八十年代发明了《几何画板》这一动态几何软件，大大的促进了数学动态几何的发展，动态几何也因此进入了一个飞跃时代，经过及时年的发展，动态几何软件已经达到了四十多种。我国是九六年引入了几何画板，在我国的动态几何教育上起了很大的帮助。

动态几何问题

动态几何问题

精锐教育网站： 1 课 题 动态几何问题

教学内容

中考数学重难点专题讲座

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。另一类就是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法

第一部分 真题精讲

【例1】（2011一模）

如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，3AD，5DC，10BC，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

DNCMBA

（1）当MNAB∥时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．

【例2】（2011一模）

在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

精锐教育网站： 2 （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，3BC，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

【例3】（2011一模）

已知如图，在梯形ABCD中，24ADBCADBC∥，，，点M是AD的中点，MBC△是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且60MPQ∠保持不变．设PCxMQy，，求y与x的函数关系式；