一元二次方程计算方法

一元二次方程归纳总结

1、一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

2、一元二次方程的解法

（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法）

①2(0)xaa 解为：xa

②2()(0)xabb 解为：xab

③2()(0)axbcc 解为：axbc

④22()()()axbcxdac 解为：()axbcxd

（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

（3）公式法：一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa

①当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242bbacxa

② 当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa

③ 当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，并确定出a、b、c

②求出24bac，并判断方程解的情况。

③代公式：21,242bbacxa（要注意符号）

3、一元二次方程的根与系数的关系

法1：一元二次方程20 (0)axbxca的两个根为：

221244,22bbacbbacxxaa

所以：22124422bbacbbacbxxaaa，

22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa 定理：如果一元二次方程20 (0)axbxca定的两个根为12,xx，那么：

一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0 ；④0351xx，其中是一元二次方程的有 。

变式:方程：①13122xx ②05222yxyx ③0172x ④022y中一元二次程的是 。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式是 ，二次项系数是

，一次项系数是 ，常数项是 。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（ ）

【数学公式】一元二次方程的解法公式总结

一元二次方程是中考的重点内容，也是初中数学学习的重点，下面是一元二次方程的解法总结，供大家参考。

一、直接开平方法

若x^2=a(a≥0)，则x叫做a的平方根，表示x=±√α，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。有一点是需要注意的，就是直接开平方得到的是两个解。

二、配方法

将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解的方法。

步骤：

①把原方程化为一般形式。

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边。

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数。

⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

三、因式分解法

当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，ab=0,那么a=0或者b=0。

四、图像解法

一元二次方程ax2+bx+c=0的根的几何意义是二次函数y=ax2+bx+c的图像（为一条抛物线）与x轴交点的x坐标。

当△＞0时，则该函数与x轴相交（有两个交点）。

当△=0时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）。

当△＜0时，则该函数与轴x相离（没有交点）。 五、公式法

利用求根公式，直接求解。把一元二次方程的各系数代入求根公式，直接求出方程的解。一般步骤为：(1)把方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算b-4ac的值；(4)当b-4ac≥0时，把a、b、c及b-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b-4ac<0时，方程没有实数根。需要注意的是：公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫万能方法，对于任意一个一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来。求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免繁杂的配方过程。因此没有特别要求，一般不会用配方法解方程。

专题(一) 一元二次方程的解法

1．用直接开平方法解下列方程：

(1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0；

(3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16.

2．用配方法解下列方程：

(1)x2－4x－1＝0；

(2)2x2－4x－8＝0；

(3)3x2－6x＋4＝0；

(4)2x2＋7x＋3＝0.

3．用公式法解下列方程：

(1)x2－23x＋3＝0；

(2)－3x2＋5x＋2＝0；

(3)4x2＋3x－2＝0；

(4)3x＝2(x＋1)(x－1)．

4．用因式分解法解下列方程：

(1)x2－3x＝0；

(2)(x－3)2－9＝0；

(3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0；

(4)2(t－1)2＋8t＝0；

(5)3x＋15＝－2x2－10x；

(6)x2－3x＝(2－x)(x－3)．

5．用合适的方法解下列方程：

(1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(2)5(x－3)2＝x2－9；

(3)t2－22t＋18＝0.

参考答案

1.(1)移项，得x2＝16，根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.

(2)移项，得3x2＝27，两边同除以3，得x2＝9，根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3.

(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x1＝5，x2＝－1.

(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即y1＝72，y2＝－12.

2.(1)移项，得x2－4x＝1.配方，得x2－4x＋22＝1＋4，即(x－2)2＝5.直接开平方，得x－2＝±5，∴x1＝2＋5，x2＝2－5.

(2)移项，得2x2－4x＝8.两边都除以2，得x2－2x＝4.配方，得x2－2x＋1＝4＋1.∴(x－1)2＝5.∴x－1＝±5.∴x1＝1＋5，x2＝1－5.

(3)移项，得3x2－6x＝－4.二次项系数化为1，得x2－2x＝－43.配方，得x2－2x＋12＝－43＋12，即(x－1)2＝－13.∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根．