固体物理课后习题答案

第一章 晶体的结构

1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比.

[解答]

设原子的半径为R, 体心立方晶胞的空间对角线为4R, 晶胞的边长为 , 晶胞的体积为 , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为 ,单位体积晶体中的原子数为 ; 面心立方晶胞的边长为 , 晶胞的体积为 , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为 , 单位体积晶体中的原子数为 . 因此, 同体

积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为

=0.272.

2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？

[解答]

晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.

3. 基矢为 , , 的晶体为何种结构? 若 + , 又为何种结构? 为什么?

[解答]

有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积

.

由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量

, ,

.

对应体心立方结构. 根据14题可以验证, 满足选作基矢的充分条件.可见基矢为 , , 的晶体为体心立方结构.

若

+ ,

则晶体的原胞的体积

,

该晶体仍为体心立方结构.

4. 若 与 平行, 是否是 的整数倍? 以体心立方和面心立方结构证明之.

[解答]

若 与 平行, 一定是 的整数倍. 对体心立方结构, 由(1.2)式可知

, , ,

=h +k +l =(k+l) (l+h) (h+k) =p =p(l1 +l2 +l3 ), 其中p是(k+l)、(l+h)和(h+k)的公约(整)数.

对于面心立方结构, 由(1.3)式可知, , , ,

=h +k +l =(-h+k+l) +(h-k+l) +(h+k-l) =p’ = p’(l1 +l2 +l3 ), 其中p’是(-h+k+l)、(-k+h+l)和(h-k+l)的公约(整)数.

1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之

比，证明结构 x简单立方 π / 6 ≈ 0.52 体心立方 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方 2

π / 6 ≈ 0.74六方密排 2π / 6 ≈ 0.74 金刚石 3π /16 ≈ 0.34

解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系

不同，分别为：简单立方：a = 2r

金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有

1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。

证明：体心立方格子的基矢可以写为

面心立方格子的基矢可以写为

根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为

同理

与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π / a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格

的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形

式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为

同理

而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4π a的体心立方晶格的基矢。

证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢

的截距分别为

即为平面的法线

根据定义，倒格子基矢为

则倒格子原胞的体积为

1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足

其中 a 为立方边长。

解：根据倒格子的特点，倒格子

与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。

因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为

则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若

立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。

答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于

次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；

固体物理学课后题答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一章 晶体结构

1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示钢球所占体积与总体积之比，证明：

结构 X

简单立方 52.06

体心立方 68.083

面心立方 74.062

六角密排 74.062

金刚石 34.063

解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx

（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）

a=2r， V=3r34，Vc=a3，n=1

∴52.06834343333rrarx

（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x334ar4a3

n=2, Vc=a3

∴68.083)334(3423423333rrarx

（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r22a,r4a2

n=4，Vc=a3

74.062)22(3443443333rrarx 3 （4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6260sinaa6SABO=2a233

晶胞的体积：V=332r224a23a38a233CS

n=1232126112=6个

74.062)22(3443443333rrarx

（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r8ar24a3 n=8, Vc=a3

固体物理第一次习题参考答案

1．如果将等体积球分别排成下列结构，设x表示刚球所占体积与总体积之比，证明

结构 x

简单立方 0.526x

体心立方

30.688x

面心立方 20.746x

六角密排 20.746x

金刚石 30.3416x

解：设钢球半径为r，立方晶系晶格常数为a，六角密排晶格常数为a,c

钢球体积为V1，总体积为V2

（1）简单立方

单胞含一个原子，ar2 52.06343321arVV

（2）体心立方

取惯用单胞，含两个原子，ra43 68.0833423321arVV

（3）面心立方

取惯用单胞，含4个原子，ra2 74.0623443321arVV

（4）六角密排

与面心立方同为密堆积结构，可预期二者具有相同的空间占有率

取图示单胞，含两个原子，ar2 单胞高度ac38（见第2题）

74.062233422321carVV

（5）金刚石

取惯用单胞，含8个原子，ra2341 34.01633483321arVV

2．试证六方密排密堆积结构中128()1.6333ca

解：

六角密排，如图示，4个原子构成正四面体 222)2332(2aac  ac38

3．证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方，面心立方的倒格子是体心立方。

证：体心立方基矢取为

)(2)(2)(2321kjiaakjiaakjiaa

其中a为晶格常数

其倒格子基矢，按定义

)(2)(21111114212)(223321jibjiakjiaaaab