河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测(理数)

1 河南省郑州市2020届高中毕业年级第二次质量预测

数 学（理科）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合}531|{axaxA，}223|{xxB，且ABA，则实数a

的取值范围是

A．]9,( B．)9,( C．]9,2[ D．)9,2(

2．已知复数32iiz（其中i是虚数单位，满足12i），则z的共轭复数是

A．i21 B．i21 C．i21 D．i21

3．郑州市2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如下：

则这组数据的中位数是

A．20

B．21

C．20.5

D．23

4． 圆4)12()2(22yx关于直线08yx对称的圆的方程为

A．4)2()3(22yx B．4)6()4(22yx

C．4)6()4(22yx D．4)4()6(22yx

5． 在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知

这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，

要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为

A．30米 B．20米 C．215米 D．15米

6．若,2，4sin2cos2，则2sin的值为

A．87 B．87 C．81 D．81

7．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入x的取值范围是

A．),2( B．]4,2(

C．]10,4( D．),4( 2 8． 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过

分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨

曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示

收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示

收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示

其面积；S为OKL的面积，将SaGini，称为

基尼系数．对于下列说法：

①Gini越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为)(xfy，则对

)1,0(x，均有1)(xxf；

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(2xxy，则41Gini；

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为])1,0[(3xxy，则21Gini．

其中正确的是：

A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④

9． 2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A．96 B．84 C．120 D．360

10．已知等差数列}{na的公差0d，且1a，3a，13a成等比数列，若11a，nS为数

列}{na的前n项和，则362nnaS的最小值为

A．4 B．3 C．232 D．2

11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的

直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球

面上，则该球的表面积为

A．6 B．2

C．6 D．24

12．已知双曲线)0,0(12222babyax的右焦点为F，过F作直线xaby的垂线，垂足为M，且交双曲线的左支于N点，若FMFN2，则该双曲线的离心率为

A．3 B．2 C．5 D．7

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．二项式62xx的展开式中的常数项为 。

14．已知函数xxf2)(，xxxxgsincos)(，当]4,4[x且0x时，方程

)()(xgxf根的个数是 。 3 15．已知四边形ABCD中，BCAD//，90BAD，1AD，2BC，M是AB边上的动点，则||MDMC的最小值为 。

16．设函数exmxexxxy,ln,23，的图象上存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是 。

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17．（12分）

已知数列}{na为公差不为零的等差数列，777S，且满足611211aaa•．

（I）求数列}{na的通项公式；

（II）若数列}{nb满足)(11*1nabbnnn，且311b，求数列}{nb的前n项和nT．

18．（12分）

由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同

举办的2018年度全国“最美中学生”寻访活动结果出炉啦，此

项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票

方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等

方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美

中学生”。现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎

叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票

数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．

（I） 在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问

有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；

（II）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？

（III）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用表示所选4人中青春组的人数，试写出的分布列，并求出的数学期望．

附：))()()(()(22dbcadcbabcadnK；其中dcban

独立性检验临界表：

)(02kKP 0.100 0.050 0.010

K 2.706 3.841 6.635

4 19．（12分）

如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD折起，使得点D在平面ABC内的射影恰好落在边AB上．

（I）求证：平面ABD平面BCD；

（II）当2ADAB时，求二面角BACD

的余弦值．

20．（12分）

在平面直角坐标系xOy内，动点A到定点)0,3(F的距离与A到定直线4x距离之比为23．

（I）求动点A的轨迹C的方程；

（II）设点M，N是轨迹C上两个动点，直线OM，ON与轨迹C的另一交点分别为P，Q，且直线OM，ON的斜率之积等于41，问四边形MNPQ的面积S是否为定值？请说明理由．

21．（12分）

已知函数axxfln)(，)0(1)(xxxxg．

（I）当1a时，求曲线)()(xgxfy在1x处的切线方程；

（II）讨论函数)(1)()(xgxfxF在),0(上的单调性．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，圆C的方程为)0(sin2aa．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为3413tytx，（t为参数）．

（I）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；

（II）若直线l与圆C交于A，B两点，且aAB3||．求实数a的取值范围．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知函数|1||1|)(xaxxf．

（I）当2a时，解不等式5)(xf；

（II）若|3|)(xaxf，求a的最小值． 5 数学（理科）参考答案

一、选择题

BCCCA ABBBD CC

二、填空题

13.160； 14.8； 15.3； 16.[1,).e

三、解答题

17.(1)设等差数列{}na的公差为d，则1211172177,(60)(10),adaadad………………3分

解得15,23.2,naand ………………5分

(2)由1111111,(2,).nnnnnnaannbbbbN

当2n时，1211122111111111111()()()LLnnnnnnnaaabbbbbbbbb

=(1)(25)3(2).nnnn …………………………8分

对113b也适合， ………………………9分

1111(2)()().22nnnnnNbbnn …………………10分

2111111131135(1)().2324222124(1)(2)nnnTnnnnnnL 12分

18. (I)作出22列联表：

青春组 风华组

合计

男生 7 6 13

女生 5 12 17

合计 12 18 30

……………………3分

由列联表数据代入公式得22()1.83()()()()nadbcKabcdacbd，…………………5分

因为1.83<2.706，