集合和常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语

§1.1

集合的概念与运算

一、知识导学

1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.

2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.

3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称

集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.

4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.

5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记

为 .

6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常 记作U.

7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，

记作AB.

8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并

集，记作AB.

9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.

10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.

11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.

12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.

13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.

二、疑难知识导析

1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.

3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.

4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.

集合与常用逻辑用语

一、集合

1、特定集合的表示

①自然数集：N ②正整数集：N ③整数集：Z ④有理数集：Q

⑤实数集：R ⑥正实数集：R

2、集合之间的关系

①子集：AB x∈Ax∈B。

真子集：ABAB且AB。

集合相等：A=BAB且BA。

②空集是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集。

③n个元素的集合有n2个子集；n个元素的集合有12n个真子集。

3、集合的运算关系

①交集：A∩Bx∈A且x∈B。

并集：A∪Bx∈A或x∈B。

补集：ACUx∈U且xA。

②基本性质：A∩=；A∪=A；A∩B=AAB；A∪B=ABA。

③容斥原理：Card(A)+Card(B)=Card(A∩B)+Card(A∪B)；

Card(A)+Card(B)+Card(C)=Card(A∪B∪C)+Card(A∩B)+Card(B∩C)

+Card(C∩A)-Card(A∩B∩C)。

④德摩根定律：(ACU)∩(BCU)=)(BACU；(ACU)∪(BCU)=)(BACU。

⑤其它性质：

若{a1,a2…am}A{a1,a2…am,am+1…an}，则集合A的个数为mn2。

若{a1,a2…am}∪B={a1,a2…am,am+1…an}，则集合B的个数为m2。 二、常用逻辑用语

1、量词

①全称量词：。含有全称量词的命题为全称命题：x∈M，p(x)。

②存在量词：。含有存在量词的命题为存在性命题：x∈M，p(x)。

2、基本逻辑连结词

①(且)：若p、q全真，则pq为真；若p、q一真一假，则pq为假。

②(或)：若p、q至少一真，则pq为真；若p、q全假，则pq为假。

③(非)：若p真则p假；若p假则p真。

㈠正面叙述的否定：

都是→不都是；任意的→某个；任意n个→某n个；所有的→某些；

至多有n个→至少有n+1个；至少有n个→至多有n-1个；

1 第一章：集合与常用逻辑用语

东北大学外国语学院 丁梁整理

1 元素与集合

(1) 概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）

（2）集合中元素的特征：

1 确定性：作为一个集合，必须是确定的

2 互异性：集合中的元素必须是互异的

3 无序性：集合与其中元素的排列顺序无关

（3）元素与集合的两种关系：（属于） （不属于）

（4）集合的分类：有限集，无限集，空集

（5）常用的数集及其表示符号

（6）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）

2 集合间的关系

(1)集合间的运算关系

1 子集：如果集合A中所有的元素都是集合B中的元素，则 名称 非负整数集

（自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号 N N+ N＊ Z Q R 2 称集合A为集合B的子集

2 真子集：如果集合AB，但存在元素aB,但元素aA,则称集合A是集合B的真子集

3 等集：集合A与集合B中的元素相同，那么就说集合A与集合B相等

4 并集：对于两个给定集合A、B，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

5 交集：对于两个给定的集合A、B，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合

６补集：对于一个集合A，由全集U中所有属于集合U但不属于集合A的所有元素组成的集合成为A在全集U中的补集，记作CUA

（2）集合间的逻辑关系

交集：ABA ABB AA=A A =

并集：ABA ABB AA=A A =A

补集：CU(CUA)=A CUU=  CU= U A（CUA）=

A（CUA)=U

3 设有限集合A，card（A）=n(nN+),则

（1）集合与常用逻辑用语

1、已知全集1,2,3,4,5,6,7,8U集合2,3,5,6A集合1,3,4,6,7B则集合UAB( )

A. 2,5 B. 2,5 C. 2,5 D. 2,3,5,6,8

2、已知集合|22Pxx，|lg0Qxx，那么PQ（ ）

A.2,0 B.1,2 C.1,2 D.0,2

3、已知全集2,1,0,1,2U，集合2|20,MxxxxN，则UCM（ ）

A.2,1,2 B.2,1,2 C.2 D.2

4、已知集合2|1Pxx,集合|1Qxax,若QP,那么a的值是（ ）

A.1 B.-1 C.1或-1 D.0,1或-1

5、设全集R,A=30,1UxxxBxx则图中阴影部分表示的集合为( )

A.1,0 B.3,1 C.1,0 D.,1

6、已知:225,:32pq,则下列判断中，错误的是（ ）

A．p或q为真，非q为假 B． p或q为真，非p为真

C．p且q为假，非p为假 D． p且q为假，p或q为真

7、已知01110baaaab且，则是的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8、下面四个条件中,使ab成立的充分而不必要条件是( )

A.1ab B.1ab C.22ab D.33ab

9、已知命题：2:R,2sin10pxxx；命题:,R,sinsinsinq．则

下列命题中的真命题为( )

A．pq B．pq C．pq D．pq