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数值分析第二次作业答案

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练习1 已知410x，211x，432x。

（1）推导以这3点作求积节点在[0，1]上的插值求积公式；

（2）指明该求积公式所具有的代数精度；

（3）用所求的公式计算dxx102

解：按题设原式是插值型的，故有

32434121414321100dxxxA

同样，容易计算出 3202AA，于是有求积公式

433221314132)(10fffdxxf

由于原式含有3个节点，按定理1它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜到它可能有3阶精度。事实上，对于3)(xxf原式左右两端相等。此外，容易验证原式对4)(xxf不准确，故所构造的求积公式确实有3阶精度。

（3）31]43221412[31222102dxx 31432141214341101dxxxA2. 取7个等距节点（包括区间端点）分别用复化梯形公式和复化辛甫生公式求积分21lnxdx 的近似值（取6位小数）

kx 1 67 68 69 610 611 2

xln 0 0.154151 0.287682 0.405465 0.510826 0.606136

0.693147

解：（1）复化梯形公式

])(2)()([2)(11nkkbanxfbfafhTdxxf

385139.0])(2)2()1([1211616kkxfffT

(2) 复化辛甫生公式

])(2)(4)()([6)(101021nkknkknbaxfxfbfafhSdxxf ∴ ])(2)(4)2()1([31612120213kkkkxfxfffS

≈0.386 287

而38629436.0ln21xdx

3. 用梯形格式求解初值问题2)1(6.,yxxyy)1(1 1 ，（取步长h＝0.2，小数点后至少保留6位）

解：梯形格式为

)],(),([2111nnnnnnyxfyxfhyy，于是

 1 1 ,)]()[(2111nnnnnnxyxyhyy

),(222112 nnnnxxhhyhhy ,2,1,0n 取步长h＝0.2，由初值20y计算得

147709.2)6.1(069422.2)4.1(018182.2)2.1(321yyyyyy

4. 对初值问题

1)0(00yxyy ,

试证明用欧拉预-校格式所求得的近似解为

,2,1,022 , )-(1nhhynn(其中h为步长)

证明：,2,1,0)],(),([2),(1111 nyxfyxfhyyyxhfyynnnnnnnnnn

将yyxf) ( ,代入，于是有

)(2)1(111nnnnnnyyhyyyhy

整理后，有

)-(1nnyhhy221反复递推得

)-(101212yhhynn

由1)0(0yy，故得

,2,1,022 , )-(1nhhynn

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数值分析上机题课后作业全部-东南大学

数值分析上机题课后作业全部-东南大学

上机作业题报告

2015.1.9

USER

1.Chapter 1

1.1题目

设S𝑁=∑1𝑗2−1𝑁𝑗=2，其精确值为)11123(21NN。

（1）编制按从大到小的顺序11131121222NSN，计算SN的通用程序。

（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222NNSN，计算SN的通用程序。

（3）按两种顺序分别计算64210,10,10SSS,并指出有效位数。（编制程序时用单精度）

（4）通过本次上机题，你明白了什么？

1.2程序

1.3运行结果 clear;

N=input('请输入N值:');

Ac=single((3/2-1/N-1/(N+1))/2);

Snl2s=single(0);

Sns2l=single(0);

for i=2:N

Snl2s=Snl2s+1/(i*i-1);

end

for i=N:-1:2

Sns2l=Sns2l+1/(i*i-1);

end

fprintf('精确值为： %f\n',Ac);

fprintf('从大到小的顺序累加得SN=%f\n',Snl2s);

fprintf('从小到大的顺序累加得SN=%f\n',Sns2l);

disp('========================================================');

>> P20T17

请输入N值:10^2

精确值为： 0.740049

从大到小的顺序累加得SN=0.740049

从小到大的顺序累加得SN=0.740050

============================================================

>> P20T17

请输入N值:10^4

精确值为： 0.749900

从大到小的顺序累加得SN=0.749852 1.4结果分析

北航数值分析第二次大作业

北航数值分析第二次大作业

《数值分析》第二次大作业

题目:使用带双步位移的QR分解法求矩阵10*10[]ijAa的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)()1.5cos(1.2)(){ijijijijija (i,j=1,2,……,10)

一、算法的设计方案：

（一）、总体方案设计：

构造矩阵 A，先利用Householder矩阵对矩阵A作相似变换，把A化为拟上三角矩阵A(n-1)，然后进行带双步位移的QR分解求解矩阵的全部特征值，然后对实特征值利用列主元高斯消元法求解其对应的特征向量。

题目要求输出矩阵A(n-1)QR分解得到的矩阵Q、R以及乘积矩阵RQ，可用单独的QR分解法进行计算输出。

（二）具体算法设计：

1、对矩阵赋值：即为下述程序中的double fuzhi（）子程序。

2、对上述生成的矩阵进行拟上三角化：即为下述程序中的void NSSJH（）子程序，输出矩阵A(n-1)。

3、对拟上三角化后的矩阵进行QR分解：程序中用void QR（）子程序来对拟上三角化过后的A阵进行QR分解，并输出Q阵、R阵和乘积矩阵RQ阵。

4、对拟上三角化后的矩阵进行带双步位移的QR分解。

子程序void doubleQR（）实现对拟上三角化后的A阵进行带双步位移的QR分解，得出特征值并输出。

5、求解每一个实特征值相应的特征向量：用子程序void TZXL（）对其中的实数特征值进行求解，得出对应的特征向量并输出。

二、源程序： #include

#include

#include

#include

#include

#include /*头文件*/

/*定义全局变量*/

#define Epsilon 1e-12 /*定义精度*/

#define N 11 /*取N为11，可实现从1到10的存储，方便计算*/

#define n 10 /*为了方便计算取n*/

第二次作业参考答案

第二次作业参考答案

第二次作业参考答案

1、中等长度输电线路的集中参数等值电路有那两种形式？电力系统分析计算中采用哪一种？为什么？

答：中等长度输电线路的集中参数等值电路有型等值电路和型等值电路两种，电力系统分析计算中采用型等值电路。因为电力系统分析计算通常采用节点电压法，为减少独立节点的数目，所以采用型等值电路。

2、为什么要采用分裂导线？分裂导线对电晕临界电压有何影响？

答：采用分裂导线是为了减小线路的电抗，但分裂导线将使电晕临界电压降低，需要在线路设计中予以注意。

3、输电线路进行全换位的目的是什么？

答：输电线路进行全换位的目的是使输电线路各相的参数（电抗、电纳）相等。

4、变压器的τ形等值电路和T形等值电路是否等效？为什么？

答：变压器的τ形等值电路和T形等值电路不等效，τ形等值电路是将T形等值电路中的励磁值路移到一端并用相应导纳表示所得到的等值电路，是T形等值电路的近似电路。

5、已知110KV架空输电线路长度为80km,三相导线平行布置，线间距离为4m，导线型号为LGJ－150，计算其参数并画出其等值电路。（LGJ-150导线计算外径为17mm）

解：由于线路为长度小于100km的短线路，线路的电纳和电导可以忽略不计，因而只需计算其电抗和电阻。

)(5426.1mDm＝500（cm），导线计算半径)(5.8217cmr,标称截面为)(1502mmS，取导线的电阻率为kmmm/.5.312。

)/(21.01505.311kmSr

)/(416.00157.05.8500lg1445.01kmx

输电线路的总电阻和总电抗分别为：

)(8.168021.01lrR、)(28.3380416.01lxX

输电线路的单相等值电路如图

6、已知220KV同杆双回架空输电线路长度为200km,三相导线平行布置，导线之间的距离为6.0m，导线型号为LGJ-300,求线路的集中参数，并画出其等值电路。（LGJ-300导线计算外径24.2mm）

数值分析大作业

数值分析大作业

第二次计算实验：SVD及其应用

梁杰存 2014310739航博143

1. 方法

求矩阵A奇异值分解一个途径是求解𝐴𝑇𝐴的特征值，但因为舍入误差容易丢掉小奇异值。因此通常先将矩阵上双对角化，即构造正交阵Q和W,使得𝑄𝑇𝐴𝑊=𝐵(𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟−𝑏𝑖𝑑𝑖𝑎𝑔𝑛𝑎𝑙)。这一过程可以通过逐次Household变换或逐次Given’s变换完成，还有一种基于待定系数法思想的Lanczos算法。由于Linpack中SVD算法需要输入上双对角矩阵，本文采用Lanczos算法实现上双对角化。

1.1. 隐式零移位QR法（implicit zero-shift QR）

与传统移位QR迭代算法不同，隐式零移位QR算法不进行移位，并且第一步构造右乘Given’s变换矩阵GR(1,2)将上双对角矩阵B的(1,2)位置上的元素12b消零，而不是传统方法中引入一个非零元素21b。但这一步可能会使原来为零的𝑏12变为非零。第二步左乘Given’s阵GL(1,2)使得12b为0，但可能会使为零𝑏13变为非零。与上述步骤类似，将𝑏13变为0后可能会使𝑏23非零。如下图所示，重复上述步骤最终将恢复为上双对角矩阵，即完成一步隐式零移位QR迭代。反复迭代，矩阵B将趋近与对角阵阵，对角元即特征值。

图1隐式QR迭代

1.2. 分而治之(Divide-and-conquer)

分而治之算法将上双对角阵B分成有两个互相独立对角块矩阵与另一矩阵之和，即：

B= 𝐵100𝐵2 +𝑏𝑚𝑣𝑣𝑇= 𝑄1𝛴1𝑄1𝑇00𝑄2𝛴1𝑄2𝑇 +𝑏𝑚𝑣𝑣𝑇= 𝑄100𝑄2 ( 𝛴100𝛴1 +𝑏𝑚𝑢𝑢𝑇) 𝑄1𝑇00𝑄2𝑇

所以矩阵B的特征值与矩阵D+ρu𝑢𝑇的特征值相同，其中D= 𝛴100𝛴1 为对角阵，又：

det D+ρu𝑢𝑇−𝜆𝐼 =det⁡((𝐷−𝜆𝐼)(𝐼+𝜌 D−λ −1u𝑢𝑇))