高中数学方法在解化学竞赛题中的应用

数学方法在解化学竞赛题中的应用

摘要：本文以如何应用数学中的有关知识解决化学竞赛试题为例,说明数学是解决化学中诸多问题的重要工具.提出数列、排列组合、函数图象、几何知识在解决化学竞赛题中的应用.

一：应用数列方法

1、等差数列：在化学中,同系物或同系列物质在分子组成上相差若干个重复单元.即C、H数目按一定的公差规律性地变化,这与数学中的数列变化相似.故运用数列知识分析有机同系物,既能降低化学学习的难度,又能提高学生应理论分析解决实际问题的能力,对数学与化学的学习都是互利的.

例1：(2003浙江省高中化学竞赛试题26)有许多现象,你去留心观察,分析思考,会发现一些有趣问题,从中发现规律.如下系列芳香族有机物,各项排列构成一个等差数列.请回答有关问题：

(1)写出上面等差数列的第n项芳烃分子式.（2）略.（3）略.

(4)仔细分析该系列芳烃的二氯取代物异构体的数目,很有规律性.请你分析推出An的二氯取代物种数的代数表达式.

解析：（1）由A1分子式为C6H6,A2分子式为C10H8,A3分子式为C14H10......形成一等差数列,系差为C4H2,所以第n项芳烃分子式为C4n+2H2n+4,n为大于等于1的整数.

（4）先写出若干个项的二氯代物的同分异构体,如下：

同分异构体数：3 7+3=10 9+5+1=15 11+7+3=21 13+9+5+1=28……

当n=2k+1时（k是正整数）,等差数列nA的首项是1,末项是（4k+5）,公差为4,且有(k+2)项,nA=1+5+9+……+（4k+5）=(1+4k+5)(k+2)2=(2k+3)(2k+4)2=(n+2)(n+3)2

当n=2k时（k是正整数）,等差数列nA的首项是3,末项是（4k+3）,公差为4,且有(k+1)项,nA=3+7+……+（4k+3）=(3+4k+3)(k+1)2=(2k+2)(2k+3)2=(n+2)(n+3)2

所以nA的二氯取代物种数的表达式为(n+2)(n+3)2.

2、等比数列：在化学放射性物质衰变或化学反应中某个物质循环出现,且其后一项与前一项的比值是一个定值,这种现象与数学中等比数列相似.在这里运用数学中的等比数列进行探究及实际应用,就显得比较容易.

例2：（2003浙江省高中化学竞赛试题29）HNO3是极其重要的化工原料.工业上制备HNO3采用NH3催化氧化法,将中间产生的NO2在密闭容器中多次循环用水吸收制备的.

（1）工业上用水吸收二氧化氮生产硝酸,生成的气体经过多次氧化、吸收的循环操作使其充分转化为硝酸（假定上述过程中无其它损失）.

①试写出上述反应的化学方程式. ②设循环操作的次数为n,试写出NO2→HNO3转化率与循环操作的次数n之间关系的数学表达式.

③计算一定量的二氧化氮气体要经过多少次循环操作,才能使95％的二氧化氮转变为硝酸？

解析（1）①略

②发生的反应有：3NO2+H2O=2 HNO3+NO,2NO+O2=2 NO2如此不断循环.设起始时NO2物质的量为1 mol,经过n次循环后生成HNO3的物质的量Sn是等比数列且首项23,公比为13,共有n项,所以Sn=23+23×13+23×（13）2+……+ 23×（13）n-1

=23[1-（13）n]/(1-13).因此,NO2→HNO3转化率为[1－(13)n]×100%

③[1－(1/3)n]/1′100%=95%,因此,n=2.6≈3,要经过3次循环操作才能使95%的NO2转化为HNO3

二、排列组合法

排列组合在分析原子、离子等组成物质种类,结构单元等问题时可以将具体问题抽象化,可以简化解题过程.

例3：2003浙江省高中化学竞赛试题18．已知氢元素有1H、2H、3H三种同位素,氧元素也有16O、18O二种同位素.它们之间形成化合物的种类有( ).

(A)30种 (B)18种 (C)21种 (D)33种

解析：可以形成的化合物有H2O和H2O2两种.

对H2O2而言,当其中两个氢是同一种原子,氧原子不同种原子时为13C,

当其中两个氢是不同种原子,氧原子是同一种原子时为1223CC,

当其中的两个氢原子,两个氧原子都是同一种原子时为1123CC,

当其中的两个氢原子,两个氧原子都不是同一种原子时为23P.

所以H2O2有13C+1223CC+1123CC+23P=21种；

对H2O而言,当其中两个氢原子是同一种原子时为3×12C,

当其中两个氢不是同一种原子时为1223CC,

所以H2O有3×12C+1223CC=12种；故选答案D.

三、函数图象法

当遇到由于反应物的配比量不同,反应后生成不同的产物时,就会产生函数关系.就会出现某个变量（反应物）的取值范围和建立函数的问题.

这类把数学的函数思想应用到化学计算的讨论,主要要抓住有关的化学反应方程式中反 应物的相关量,由相关量出发,确定变量的取值范围,以及变量与题设问题的函数关系.在确定变量的取值范围时,还应注意反应方程式的意义,才能正确地得出答案.这样通过建立数学函数,研究数学函数或函数所对应的图象使所要研究的问题直观化、形象化,并使复杂问题抽象成简单关系进行研究.

例4：写出H2S燃烧的化学方程式.1.0 L H2S气体和a L空气混合后点燃,若反应前后气体的温度和压强都相同（20℃、1.01×105Pa）,讨论当a的取值范围不同时,燃烧后气体的总体积V（用含a的表达式表示,假定空气中氮气和氧气的体积比为4:1,其它成分可忽略不计）.

此题所涉及的是H2S的燃烧反应：①2H2S + O2 == 2S + 2H2O ②2H2S +3O2 == 2SO2 +2H2O.

从这两个反应可以看出,当反应物用量不同时,会发生不同的反应.题中H2S的体积是一定值1.0 L,空气中的O2的体积为一变量a/5 L,以①②两个反应式为依据,讨论a的取值范围,并建立空气a与反应后总体积V的函数关系.反应后总体积V可通过反应前后气体体积的变化量来推算,即：V = 1.0 L + a L -ΔV.

解答：

⑴ O2不足,从①式： 2H2S + O2 = = 2S + 2H2O ΔV

2L 1L 3L

a/5 L 3a/5 L

当VH2S = 1.0 L,VO2：a/5 L ≤ 0.5 L, a ≤ 2.5时

那么,反应后总体积V = 1.0 L + a L – 3a/5 L.

⑵ O2过量 从②式： 2H2S +3O2 == 2SO2 +2H2O ΔV

2L 3L 2L 3L

1.0L 1.5L

当VH2S = 1.0 L, VO2：a/5 L ≥ 1.5 L , a ≥ 7.5时

那么,反应后总体积V = 1.0 L + a L – 1.5L.

⑶ 当7.5 ≥ a ≥2.5 时, 发生反应：① 2H2S + O2 == 2S + 2H2O ΔV

2L 1L 3L

1.0L 1.5L

③ S + O2 == SO2 ΔV

1L 1L O

那么,反应后总体积V = 1.0 L + a L – 1.5L.

所以：a ≤ 2.5时,V = 1.0 L + 2a/5 L；a ≥ 2.5 时,V = a L– 0.5L

四、利用几何知识

晶体结构类试题考查的知识综合性强,思维跨度大,能力要求高且可以与高科技、新材料、新发现密切相关,所以成为竞赛命题的主流题,而几何知识在晶体结构中起着十分重要的作用.

1、晶体结构与结构要素：

已知晶体的结构,要求晶体中的原子数、化学键数、几何多边形面数、键角等问题,解决这类问题须先弄清楚他们与几何结构要素：顶点数、棱边数、面数、角等的关系,必要时可用欧拉定律.

例5、（2001年浙江省高中学生化学竞赛试题24）在烃的分子结构中,若每减少2个氢原子,则相当于碳碳间增加一对共用电子.试回答下列问题：（1）略（2）略

（3）Cx可看作是烃减氢后的产物,若某物质分子中碳碳间的共用电子对数为160,则符合该条件的碳单质的分子式为 ▲ ；符合该条件的单烯烃的分子式为 ▲ .

（4）目前,化学家们已经找到十余种富勒烯家族的Cx,它们分子结构中都由正五边形和正 六边形构成的封闭的凸多面体,C60就是其中的一种富勒烯,其结构见右图.第（3）小题中的Cx也是其中一种富勒烯.则第（3）小题中Cx结构中五边形和六边形的个数分别是 ▲ 和 ▲ .（5）略

解析：由（1）、（2）小题很容易知道Cx为C80.其结构类同C60,所以很容易解第（4）小题.设C80中有六元环x个,五元环y个.该多面体的顶点就是碳原了.构成一个六元环有六个顶点,构成一个五元环有五个顶点,而每个顶点由三个环共用.故有6+5y3x=80（1式）,又根据欧拉定律（顶点数+面数-棱边数=2）有：80+

x+y-6+ 5y2x=2（2式）,解（1式）与（2式）很容易得x=30,y=12.

2、晶体结构的计算：

有关计算与推断是以化学知识为载体,运用数学中的立体几何等知识通过对晶体结构判断、推理及计算从而考查学生的空间想像能力和运用数学工具解决化学问题的能力.

例6、（2003年湖南竞赛试题29）干冰的外观和冰相像,可由二氧化碳气体压缩成液态后再急剧膨胀而制得.右图为干冰晶体结构示意图.通过观察分析,可知每个CO2分子周围与之相邻等距的CO2分子有 个.在一定温度下,已测得干冰晶胞（即图示）的边长a＝5.72×10－8cm,则该温度下干冰的密度为 g/cm3.

解析：在图1 的二氧化碳分子晶体结构中,8个二氧化碳分子处于正方体的8个顶点上,还有6个处于正方体的六个面的面心

上.此时可选定面心的二氧化碳分子为基准,从图中看有8个,它 图1

们分别位于该侧面的四个顶点及与之相连的四个面的面心上.此时应注意,图中所给出的结构仅是晶胞.所谓晶胞,是晶体中最小的重复结构单元,它能全面正确地表示晶体中各微粒的空间关系.也就是说晶体是以晶胞为核心向空间延伸而得到的,单个的晶胞不能表示整个晶体的结构.所以在我们观察晶体结构时应充分发挥空间想象的能力 ,要将晶胞向各个方向（上,下,左,右,前,后）扩展.图1向右扩展 得

图2(为容易观察,用•表示二氧化碳分子),从中可以看出

与二氧化碳分子距离最近的二氧化碳分子有 12 个.