数学奥林匹克高中训练题_170及解析

数学奥林匹克高中训练题_170

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

评卷人 得分

一、填空题

1.已知2{|430,}AxxxxR，12{|20,2(7)50,}xBxaxaxxR，

若AB，则实数a的取值范围是 ．

2.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点𝑃(−2,0)到其渐近线的距离为2√63.若过点P作斜率为√22的直线交双曲线于𝐴、𝐵两点，交𝑦轴于点𝑀，且𝑃𝑀是𝑃𝐴与𝑃𝐵的等比中项，则双曲线的半焦距为_______________.

3.在棱长为1的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中,已知𝑂1是底面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的中心,𝑀是棱𝐵𝐵1上的点,且𝑆△𝐷𝐵𝑀:𝑆△𝑂1𝐵1𝑀=2:3.则四面体𝑂1𝐴𝐷𝑀的体积为______.

4.已知𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥−1𝑥)=1+𝑥(𝑥≠0,1),则𝑔(𝑥)=𝑥−2𝑓(𝑥)的值域是______.

5.已知三个正数,,abc满足3abca， 2235baacb，则2bca的最小值是 ．

6.已知𝐷是边长为1的正△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶上的点,△𝐴𝐵𝐷、△𝐴𝐶𝐷的内切圆半径分别为𝑟1、𝑟2.若满足𝑟1+𝑟2=√35的点D有两个(设为𝐷1、𝐷2),则𝐷1𝐷2=______.

7.在任何𝑛个连续的正整数中,使得必有一数其各位数字之和是7的倍数成立的最小的正整数𝑛=______.

8.已知正整数数列{𝑎𝑛}首项为2013,末项为1,且对任意的𝑘≥2均有𝑎𝑘<√𝑎𝑘−1.则满足条件的数列{𝑎𝑛}共有______个.

评卷人 得分

二、解答题

9.在(2𝑛+1)×(2𝑛+1)数表中,每行均是等差数列,每列各数平方后为等差数列.证明：左上右下=左下右上. 10.已知⊙𝐶:(𝑥−4)2+(𝑦−3)2=36,定点𝑃(1,0),定直线𝑙和⊙𝐶上的动点𝑄满足：𝑃、𝑄在直线𝑙的同侧,点𝐶在直线𝑙的另一侧.以𝑃、𝑄为焦点作与直线𝑙相切的椭圆𝐸,且当𝑄在⊙𝐶上运动时,椭圆𝐸的长轴长为定值.

(1)求直线𝑙的方程；

(2)对于第一象限内任意2012个在椭圆𝐸上的点,是否一定可以将它们分成两组,使得其中一组点的横坐标之和不大于2013,另一组点的纵坐标之和不大于2013?请证明你的结论.

11.已知△𝐴𝐵𝐶三个内角分别为∠𝐴、∠𝐵、∠𝐶.求2√2sin𝐴+2√2sin𝐵+sin𝐶的最大值.

12.如图,在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中,已知𝑃为对角线𝐵𝐷上一点,且满足∠𝑃𝐶𝐵=∠𝐴𝐶𝐷,△𝐴𝐵𝐷的外接圆与𝐴𝐶交于另一点𝐸.证明：∠𝐴𝐸𝐷=∠𝑃𝐸𝐵.

13.已知复平面上的正𝑛边形,其各个顶点对应的复数恰是某个整系数多项式𝑓(𝑥)=𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0的𝑛个复根.求该正多边形面积的最小值.

14.(1)若𝑝为奇素数,𝑎、𝑏、𝑛∈N+,𝑝|(𝑎−𝑏),𝑝|𝑏,𝑎≠𝑏 ,证明： 𝑝𝑎‖𝑛 ⇔𝑝𝑎‖𝑎𝑛−𝑏𝑛𝑎−𝑏 ;

(2)若𝑎,𝑏是不同的正有理数,使得存在无穷多个正整数𝑛,满足𝑎𝑛−𝑏𝑛是正整数.证明：𝑎,𝑏也是正整数.

15.设𝑛≥3(𝑛∈N+),(𝑎1,𝑎2⋯,𝑎𝑛)是任意的和为正数的𝑛个不同的实数,(𝑏1,𝑏2⋯,𝑏𝑛.)是这𝑛个数的一个排列.若对任意的𝑘(𝑘=1,2,⋯,𝑛),有∑𝑏𝑖𝑘𝑖=1>0,则称(𝑏1,𝑏2⋯,𝑏𝑛)是一个“好排列”.求好排列个数的最小值. 参考答案

1.41a

【解析】1.

试题∵2{|430,}AxxxxR{|13}xx，∵120xa，∴12xa，

∴0a且21log()xa，即21log()xa，∵AB，∴21log()1a，∴1a；

而22(7)50xax，22[2(7)]454561760aaa，

∴227144471444aaaxaaa，∵AB，∴22271444171444314440aaaaaaaa，

∴4a；综上可得：41a.

2.√3或√21

【解析】2.

设渐近线的方程为𝑦=𝑘𝑥.

由题设得|−2𝑘|√1+𝑘2=2√63，解得𝑘=±√2.

故双曲线的渐近线方程为𝑦=±√2𝑥.

设双曲线的方程为2𝑥2−𝑦2=𝜆(𝜆≠0).

设𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)，直线AB的方程为𝑦=√22(𝑥+2)，代入双曲线方程消去y得3𝑥2−4𝑥−2𝜆−4=0.

当𝛥=16+12(2𝜆+4)>0，即𝜆>−83时，上面的方程恰有两实根，且

𝑥1+𝑥2=43，𝑥1𝑥2=−23(𝜆+2).

由题设知，𝑃𝑀2=𝑃𝐴⋅𝑃𝐵，可化为

|(𝑥1+2)(𝑥2+2)|=4

⇒|𝑥1𝑥2+2(𝑥1+𝑥2)+4|=4

⇒|−23(𝜆+2)+2×43+4|=4.

解得𝜆=2或𝜆=14.

因此，双曲线的方程为

2𝑥2−𝑦2=2或2𝑥2−𝑦2=14 ⇒𝑥2−𝑦22=1或𝑥27−𝑦214=1.

所以，双曲线的半焦距为√1+2=√3或√7+14=√21.

故答案为：√3或√21

3.748

【解析】3.

如图,设𝑂是底面𝐴𝐵𝐶𝐷的中心,则𝐴𝑂⊥平面𝐷𝑂1𝑀

𝑆△𝐷𝐵𝑀S△𝑂1𝐵1𝑀=2BM𝐵1𝑀=23⇒BM𝐵1𝑀=13.

于是,𝐵𝑀=14, 𝐵1𝑀=34.

故𝑆△𝐷𝑂1𝑀=𝑆正方形𝐷1𝐵1𝐵𝐷=𝑆△𝐷𝐷1𝑂1−𝑆△𝑂1𝐵1𝑀−𝑆△𝐷𝐵𝑀=7√216.

则𝑉=棱镜𝐴−𝑂1𝑀𝐷=12×𝑆△𝐷𝑂1𝑀⋅𝐴𝑂=13×7√216×√22=748.

4.(−∞,−4]∪(0，+∞)

【解析】4.

令𝜑(𝑥)=𝑥−1𝑥.则𝜑2(𝑥)=𝜑(𝜑(𝑥))=𝜑(𝑥−1𝑥)=11−𝑥,

𝜑3(𝑥)=𝜑(𝜑2(𝑥))=𝜑(11−𝑥)=x.

此时,条件表示为𝑓(𝑥)+𝑓(𝜑(𝑥))=1+𝑥⇒𝑓(𝜑(𝑥))+𝑓(𝜑2(𝑥))=1+𝜑(𝑥)=2𝑥−1𝑥

⇒𝑓(𝜑2(𝑥))+𝑓(𝜑3(𝑥))=2𝜑(𝑥)−1𝜑(𝑥)⇒𝑓(𝜑2(𝑥))+𝑓(𝑥)=2−𝑥1−𝑥

故2𝑓(𝑥)=1+𝑥−2𝑥−1𝑥+2−𝑥1−𝑥⇒𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥2−12𝑥(𝑥−1)(𝑥∈𝑅\{0,1})

检验,知其满足题设方程式. 则𝑔(𝑥)=1𝑥2−𝑥∈(−∞,−4]∪(0,+∞).

5.185

【解析】5.试题由3abca得13bcaa，由2235baacb得22315bcbaaa，设,bcxyaa，则,xy满足2213{ 315xyxyx，平面区域如下图：

令22bczxya，即1122yxz，所以当1122yxz时， z有最小值185；

6.√65

【解析】6.

设𝐵𝐷=𝑥.由余弦定理得𝐴𝐷=√𝑥2−𝑥+1.

一方面,𝑆△𝐴𝐵𝐷=12×√32𝑥 ①

另一方面,𝑆△𝐴𝐵𝐷=12(1+𝑥+√𝑥2−𝑥+1)𝑟1 ②

由式①、②解得𝑟1=√36(1+𝑥−√𝑥2−𝑥+1)

同理, 𝑟2=√36(2−𝑥−√𝑥2−𝑥+1)

故𝑟1+𝑟2=√36(3−2√𝑥2−𝑥+1)=√35⇒𝑥2−𝑥+19100=0

设两个根分别为x1、x2,则𝐷1𝐷2=|𝑥1−𝑥2|=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=√65.

7.13

【解析】7. 注意到,12个连续正整数994,995,…,1005中任一数的各位数字之和均不是7的倍数

因此,𝑛≥13.

对每个非负整数𝑎,称如下10个数所构成的集合

𝐴𝑎={10𝑎,10𝑎+1,⋯,10𝑎+9}为一个“基本段”.

可见,13个连续正整数要么属于两个基本段,要么属于三个基本段.

当13个连续数属于两个基本段时,由抽屉原理,知其中必有连续的七个数属于同一个基本段：当13个连续数属于三个基本段𝐴𝑎−1、𝐴𝑎、𝐴𝑎+1时,其中必有连续十个数同属于𝐴𝑎.

设𝑎𝑘𝑎𝑘−1⋯𝑎1𝑎0,𝑎𝑘𝑎𝑘−1⋯𝑎1(𝑎0+1),…, 𝑎𝑘𝑎𝑘−1⋯𝑎1(𝑎0+6)是属于同一基本段的七个数,其各位数字之和分别为∑𝑎𝑖k𝑖=0,∑𝑎𝑖+1,⋯,∑𝑎𝑖+6k𝑖=0k𝑖=0.

显然,这七个和数被7除的余数互不相同.故其中必有一个是7的倍数.

因此,所求的最小值为𝑛=13.

8.201

【解析】8.

设首项为𝑚且满足题设条件的正整数数列{𝑎𝑛}的个数为𝑏𝑚.

则𝑏𝑚=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑘(𝑘2+1≤𝑚≤(𝑘+1)2).

注意到,442+1=1937<2013<2025=452.

易算得

𝑏1=1, 𝑏2=𝑏3=𝑏4=1,

𝑏5=𝑏6=⋯=𝑏9=𝑏1+𝑏2=2,

𝑏10=𝑏11=⋯=𝑏16=𝑏1+𝑏2+𝑏3=3,

𝑏17=𝑏18=⋯=𝑏25=𝑏1+𝑏2+𝑏3+𝑏4=4,

𝑏26=𝑏27=⋯=𝑏36=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏5=6,

𝑏37=𝑏38=⋯=𝑏44=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏6=8.

所以,𝑏2013=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏44=201.

9.见解析

【解析】9.

设𝑎𝑖𝑗＝𝑎𝑖+(𝑗−1)𝑑；表示该数表中第𝑖行第𝑗列的数.

则2𝑎22=𝑎12+𝑎32 ①

2(𝑎2+𝑑2)2=(𝑎1+𝑑1)2+(𝑎3+𝑑3)2 ②

2(𝑎2+2𝑑2)2=(𝑎1+2𝑑1)2+(𝑎3+2𝑑3)2 ③