2.配方法解一元二次方程教案(3课时)

21.2.1 配方法（3课时）

1.会用直接开平方法解一元二次方程.

2.理解并掌握用配方法解简单的一元二次方程.

1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.

2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.

1.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.

2.通过用配方法将一元二次方程变形的过程,让学生进一步体会转化的思想方法,并增强他们的数学应用意识和能力,激发学生的学习兴趣.

【重点】 运用直接开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

【难点】

1.一元二次方程根的确定.

2.判断一个方程是否适合用直接开平方的方法求解.

1.使学生理解直接开平方法的定义和基本思想.

2.会用直接开平方法解一元二次方程.

3.知道形如(x+n)2=p(p≥0)的方程可以用直接开平方法求解.

1.体会转化、降次等数学思想在数学中的应用,培养学生基本的运算技巧和能力.

2.培养学生的观察、比较、分析、综合等能力,会应用学过的知识去解决新的问题.

1.培养学生积极参与、主动探索的精神,发展学生合作意识.

2.鼓励学生积极主动地参与知识的形成过程,激发求知的欲望,体验成功的快乐,增强学习的兴趣和自信心.

【重点】 运用直接开平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程.

【难点】 如何识别一个一元二次方程可以用直接开平方法求解.

【教师准备】 预想学生在解方程过程中容易出现的问题. 【学生准备】 复习一元二次方程根的定义.

导入一: 有这样一首诗:一群猴子分两队,高高兴兴在游戏.八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里;其余十二叽喳喳,伶俐活泼又调皮.告我总数共多少,两队猴子在一起? 学生列出方程,并思考怎样解这个一元二次方程,教师引出课题. 导入二: (1)什么是一个数的平方根?平方根有哪些性质?

(2)计算:9的平方根是 ,425的平方根是 .

(3)如果x2=36,那么x的值是

.

【师生活动】 共同复习平方根的概念和性质. [设计意图] 由实际问题导入新课,让学生体会数学在实际问题中的应用,培养学生学习数学的兴趣,同时教师引导学生分析解决问题,为以后学习一元二次方程的应用打下基础.通过复习平方根的概念和性质,让学生很自然地应用旧知识解决新问题.

[过渡语] 我们复习了平方根的定义,根据平方根的定义可以解某些特殊的一元二次方程,让我们尝试解这些方程吧! 一、例题讲解

(教材问题1)一桶油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗? 【师生活动】 学生思考,教师引导回答下列问题.

(1)设其中一个盒子的棱长为xdm,则这个盒子的表面积为 dm2;

(2)据题意可得等量关系为

;

(3)根据等量关系可列方程 ; (4)化简可得 .

【学生活动】 小组交流讨论如何解这个方程,学生回答问题后,教师及时补充.

解:设其中一个盒子的棱长为xdm,则这个盒子的表面积为6x2dm2.

根据题意,得10³6x2=1500,整理,得x2=25.

根据平方根的意义,得x=±5.

即x1=5,x2=-5(不合题意,舍去).

答:其中一个盒子的棱长为5dm.

问题思考:x=±5都是方程x2=25的根,在这里为什么舍去一个根?(棱长不能为负数,所以正方体盒子的棱长为5dm.) 二、共同探究1 直接开平方法

1.例解方程

解下列方程. (1)x2=4; (2)x2-2=0.

【师生活动】 学生思考回答,教师规范书写. 解:(1)根据平方根的意义得x=±2,

∴x1=2,x2=-2.

(2)移项得x2=2,∴x=± 2,

∴x1= 2,x2=- 2.

[设计意图] 通过简单例题,探究利用平方根的意义解一元二次方程的方法,学生做好新旧知识衔接的同时,易于理解和掌握本节课的学习重点,教师板书解答过程,达到规范学生做题习惯的目的.

2.归纳概念

通过直接将某一个数开平方解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

[过渡语] 我们知道了直接开平方法解一元二次方程方程的定义,让我们比一比看谁算得快吧!

3.即时巩固

解下列方程.(抢答)

(1)x2=9; (2)9x2-144=0.

【师生活动】 学生独立思考计算后,进行抢答,教师对学生的成果点评. 解:(1)根据平方根的意义,得x=±3,

∴x1=3,x2=-3.

(2)移项,得9x2=144,系数化为1,得x2=16,

根据平方根的意义,得x=±4,

∴x1=4,x2=-4.

[设计意图] 设计比较简单的练习,巩固直接开平方法的应用,以抢答形式回答,激发学生的学习兴趣和竞争意识.

4.总结归纳

一般地,对于方程x2=p:

(1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根x1= 𝑝,x2=- 𝑝;

(2)当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=0;

(3)当p<0时,方程没有实数根.

[设计意图] 师生共同探究,得出一般结论,达到真正理解和掌握直接开平方法解方程的目的,同时培养学生归纳总结能力.

三、共同探究2 解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程

[过渡语] 通过上边的学习,我们已经会解形如x2=p的方程,如果我们给这样的方程进行变化,同学们又该如何求出方程的解呢?

解下列方程. (1)(x+3)2=5; (2)4(x+3)2=5.

思路一

教师引导分析方程特点,方程(1)中,把x+3看作整体,用直接开平方法,将方程化为x+3=± 5,即x+3= 5或x+3=- 5,达到降次的目的,转化为两个一元一次方程求解.

方程(2)中,也把x+3看作整体,两边同时除以4,方程化为(x+3)2=54,仿照方程(1)的解法可直接开平方求解.

思路二

思考:方程有什么特点?是不是形如x2=p的方程?如果不是,能不能化成这种形式?

教师提出问题,学生针对问题进行小组讨论交流,共同探究,教师在巡视过程中针对学生遇到的困难给予提示,即整体思想在数学中的应用.

解:(1)直接开平方,得x+3=± 5,

即x+3= 5或x+3=- 5,

∴方程的根为x1=-3+ 5,x2=-3- 5.

(2)两边同时除以4,得(x+3)2=54,

即x+3= 52或x+3=- 52,

∴方程的根为x1=-3+ 52,x2=-3- 52.

[设计意图] 通过给学过的方程“穿衣服”,激发学生探究数学新知识的乐趣,方程层层递进的变化,让学生在熟悉的知识中易于理解和掌握新知识,同时培养学生用整体思想思考问题的意识. 归纳总结: (1)通过上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么?

【师生活动】 学生思考,教师提示:由方程(x+3)2=5,到方程x+3= 5或x+3=- 5,方程的次数有什么变化?将新知识化成原来学过的知识,是数学中常用的转化思想.

“降次”是解一元二次方程的基本策略,直接开平方法是根据平方根的意义,把一个一元二次方程“降次”,达到转化为两个一元一次方程的目的. (2)能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点?方程的解是什么?

【师生活动】 学生思考,小组讨论,归纳总结.

如果一个一元二次方程具有(x+n)2=p(p≥0)的形式,那么就可以用直接开平方法求解,方程的解为x1=-n- 𝑝,x2=-n+ 𝑝.

(3)用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么? 【师生活动】 学生思考回答,老师指导. 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的概念求解. [设计意图] 以问题的形式归纳本节课的重难点及易错点,在教师的引导下,学生独立思考或小组交流,将知识进行归纳,体会转化思想在数学中的重要应用,培养学生分析问题、解决问题的能力. [知识拓展] 1.直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法,主要解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,解方程的理论依据是平方根的定义.

2.利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开方的结果.

3.方程(x+n)2=p中,当p<0时,方程没有实数根.

如图所示,在ΔABC中,∠B=90°,点P从点B出发,沿BA边向点A以1cm/s的速度移动,点Q从点B出发,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P,Q同时从B点同时出发,几秒后ΔPBQ的面积等于8cm2?

解:设xs后ΔPBQ的面积等于8cm2,则PB=xcm,BQ=2xcm,依题意,得12x²2x=8.

即x2=8,根据平方根的意义,得x=±2 2,即x1=2 2,x2=-2 2.

可以验证,2 2和-2 2都是方程12x²2x=8的根,但是移动时间不能是负值.

所以2 2s后ΔPBQ的面积等于8cm2.

直接开平方法解一元二次方程的基本策略是降次,依据是平方根的概念.

直接开平方法适合解形如(x+n)2=p(p≥0)的一元二次方程.

一元二次方程(x+n)2=p根的情况:

当p≥0时,方程有实数根,当p<0时,方程没有实数根.

1.方程3x2+27=0的解是 ( )

A.x=±3 B.x=-3C.无实数根 D.以上都不对

2.方程(x-2)2=9的解是 ( )

A.x1=5,x2=-1B.x1=-5,x2=1C.x1=11,x2=-7D.x1=-11,x2=7

3.用直接开平方法解方程(x+h)2=k,方程必须满足的条件是 ( )

A.k≥0 B.h≥0C.hk>0 D.k<0

4.方程(x-m)2=n(n为正数)的解是

.

5.解下列方程.

(1)4x2=81; (2)(x-2)2=5;(3)36x2-1=0; (4)3(x-1)2-6=0.

一、例题讲解

二、共同探究1 直接开平方法 对于方程x2=p,

(1)当p>0时,✕✕