线性相关的判定

§9 线性相关与线性无关

教学要求 ： 掌握线性相关与线性无关的定义,并能够判断向量组的线性相关性

知识要点 :

一、 定义与例子 :

定义 9.1 对向量组 ，如果存在一组不全为零的数 , 使得

那么, 称向量组 线性相关. 如果这样的 个数不存在, 即上述向量等式仅当

时才能成立, 就称向量组 线性无关.

含零向量的向量组 一定线性相关 , 因为

其中, 不全为零.

只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 , 线性相关的充分必要条件是 .

考虑齐次线性方程组

(*)

它可以写成

，

或

,

其中 .

由此可见, 向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 有非零解.

也就是说, 向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解.

例1 向量组 是线性无关的 .

解: 设有 使

,

即

,

得齐次线性方程组

.

解此方程组得 , 所以向量组 线性无关.

例2 设向量组 线性无关, 又设 , 证明向量组

也线性无关.

证明: 设有 使

, 即

,

因为 线性无关, 故有

此线性方程组只有零解 , 也即向量组 线性无关.

定理 9.1 向量组 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余 个向量线性表示 .

证明: 必要性 设 线性相关, 即存在一组不全为零的数 ,

使得 . 不妨设 , 则有

,

即 可以由其余 个向量 线性表示. 其实,

在向量等式 中, 任何一个系数 的向量 都可以由其余 个向量线性表示 .

充分性 设向量组 中有一个向量能由其余 个向量线性表示 . 不妨设

,

则

,

因为 不全为零, 所以 线性相关.

二、向量组线性相关和线性无关判别定理 : 设矩阵 的列向量组为 ,

交流Experience ExchangeDIGITCW经验

262DIGITCW2019.05定义：给定一个向量组I，若存在m个不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。等价定义：若向量组I中至少有一个向量能由其余的向量线性表出，则该向量组线性相关。给出任意一个向量组，判断其线性相关性，有以下几种判定方法：（1）包含零向量的向量组必线性相关。若，则有，所以向量组线性相关。（2）只含有一个向量的向量组线性相关该向量是零向量。“”若，有，所以α线性相关。“”若线性相关，则存在，使得，得到。（3）含有两个向量的向量组线性相关它们的对应分量成比例。“”若线性相关，存在不全为零的数，使得成立。假设，则有，故对应分量成比例。“”若对应分量成比例，一定存在数，使得或者，则有线性相关。例1：对应分量不成比例，所以向量组线性无关。（4）单位向量组必线性无关。由于，有，所以单位向量组线性无关。（5）向量组的向量个数>向量维数，必线性相关。任意一个向量都可以由单位向量线性表出，即有下，又因为单位向量组是线性无关的，由等价定义可得，该向量组必线性相关。判断一个向量组是否线性相关等价于判断一个齐次线性方程组是否有非零解，令向量组中向量的维数等于方程的个数，向量的个数等于方程中未知量的个数，即可构成一个齐次线性方程组。例2：讨论的线性相关性。解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组由于齐次线性方程组系数矩阵A

的秩

，故该齐次线性方程组有非零解，即不全为零，所以向量组线性相关。（6）向量组的向量个数 向量维数时，判断对应的齐次线性方程组是否有非零解，只需要根据其系数行列式和系数矩阵来判定即可，故有以下两种判定方法：方法一：以各向量为列向量组成行列式D，方法二：以各向量为列向量组成矩阵A，进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，例3：讨论向量组，，的线性相关性。解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组方法一：所以向量组线性相关。方法二：，所以向量组线性相关。（7）向量组的向量个数

Vol.32No.5

May2016赤峰学院学报渊自然科学版冤

JournalofChifengUniversity渊NaturalScienceEdition冤第32卷第5期渊上冤

2016年5月

向量组线性相关与线性无关的判定方法

侯雯昕

渊华东师范大学经济与管理学系袁上海200062冤

摘要院向量组的线性相关性是线性代数理论的基本概念袁它与向量空间尧子空间等概念有密切关系袁

同时在解析几何以及常微分方程中有广泛应用.本文主要研究的是向量组线性相关性的判定方法袁包括利

用线性相关性的定义尧行列式的值尧矩阵的秩及齐次线性方程组的解等判定向量组的线性相关性袁并比较

了几种不同判定方法的适用条件.

关键词院向量组曰线性相关曰线性无关曰行列式曰矩阵

中图分类号院O151.2文献标识码院A文章编号院1673-260X渊2016冤05-0004-02

向量组的线性相关与线性无关的判定较难理

解和掌握袁实际上袁向量组的线性相关与线性无关

是相对的袁只要掌握了线性相关的判定袁线性无关

的判定也就没有问题了.因此袁本文主要论述了向

量组的线性相关性的几种判定方法.

1线性相关及相性无关的概念及性质

1.1定义

设有n维向量组a

1,a

2,噎,a

n袁如果存在一组不全

为零的数k

1,k

2,噎,k

n使k

1a

1+k

2a

2+噎+k

na

n=0成立袁则

称向量组a

1,a

2,噎,a

n线性相关曰如果仅当k

1,k

2,噎,k

n

全为0时袁上式k

1a

1+k

2a

2+噎+k

na

n=0才成立袁则称向

量组a

1,a

2,噎,a

n线性无关.

1.2性质

由向量组的概念易知向量组的线性相关性具

有以下简单性质院

(1)含有零向量的向量组线性相关.

(2)若单个向量a屹0袁则向量组是线性无关的曰

相反袁则向量组线性相关.

(3)含有n+1个向量的n维向量组必定线性相

关.

(4)向量组中一部分向量线性相关袁则该向量组

线性相关曰若向量组线性无关袁则其任一部分向量

组线性无关.

因此袁一个向量组不是线性相关就是线性无

关袁为了更好的理解线性相关和线性无关袁下面列

1 第四节 线性方程组解的判定

从本节开始，讨论含有n个未知量、m个方程的线性方程组的解。

11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb （13—2）

主要问题是要判断出方程组（13-2）何时有解？何时无解？有解时解有多少？如何求出方程组的解。

线性方程组有没有解，以及有怎样的解，完全决定于方程组的系数和常数项。因此，将线性方程组写成矩阵形式或向量形式，以矩阵或向量作为讨论线性方程组的工具，将带来极大的方便。

方程组（13-2）中各未知量的系数组成的矩阵111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa

称为方程组（13-2）的系数矩阵。由各系数与常数项组成的矩阵，称为增广矩阵，记作A，即11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab

方程组（13-2）中的未知量组成一个n行、1列的矩阵（或列向量），记作X;常数项组成一个m行、1列的矩阵(或列向量），记作b，即12nxxXx,12mbbbb

由矩阵运算，方程组(13-2)实际上是如下关系111212122212nnmmmnaaaaaaaaa12nxxx=12mbbb

即 AX=b 2 如果令112111maaaa，122222maaaa，…，12nnnmnaaaa

则方程组（13-2）的向量形式为1122nnaxaxaxb

定理1 （有解判定定理）方程级（13-2）有解的充分必要条件是：秩（A）=秩（A）