山东省实验中学6月模拟数学试题(含答案)

山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A.13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B.1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C.{0,1,2}D.{0,1}2.已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（）A.85B.85-C.15D.15-3.数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）A.29B.827C.49D.125.如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.,1]3B.63C.622[]33D.22[36.如图，1F ､2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（）A.3y =±B.22y x =±C.3y =D.2y =7.已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.[)1,+∞ C.12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）A.33 B.26C.612D.66二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（）A.1012k a = B.10111012a m a << C.m k≥ D.212s s =10.已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（）A .4ω= B.π6ϕ=-C.()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（）A.当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B.函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C.方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D.若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥12.圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．A.若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B.若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D.1AP PQ QB ++的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．14.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．15.若关于x 的不等式()221e x x ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．16.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．18.如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值．19.已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．20.某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．21.已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．22.已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题答案1.D 【分析】化简集合M,N ，根据交集运算得解.【详解】因为{}220{12}M x x x x x =--<=-<<，12N x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭Z ，所以{0,1}M N ⋂=．2.D 【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可得答案.【详解】由()12i 32i z +=-可得()32i (12i)32i 18i 18i 12i 5555z -----====--+，故复数z 的实部为15-，3.A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由()2110n n n n n n a a a a a a +-=-=->，解得0n a <或1n a >，所以“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件，4.C 【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】一共有33327⨯⨯=个小正方体，其中2个面有颜色的小正方体有12个，（每条棱上有1个）所以恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为124279=.5.B 【详解】设正方体的棱长为1，则11111AC AC AO OC OC ======1111332122cos ,sin 33322A OC A OC +-∠==∠=⨯，1131322cos ,sin A OC A OC +-∠=∠又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1A OC ∠为钝角，所以sin α的范围为6[,1]3，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.6.A 【分析】设2AB AF m ==，利用双曲线的定义得121222,222AF AF a m a BF BF a m a =+=+=-=-，再利用勾股定理建立方程组，消去m ,得到2213a c =，进而得到b a的值，由by x a =±得到双曲线的渐近线方程.【详解】设21212,22,222AB AF m AF AF a m a BF BF a m a ===+=+=-=-，222222111212,BF BA AF BF BF F F +=+=,()()222222m a m m a -+=+①，()2222244m a m c -+=②,由①可得3,m a =代入②式化简得：2213a c =,∴2212a b =,∴ba=,所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±.【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.7.A 【分析】转化为任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令()()2g x f x x =-，得到()g x 在R 上递增求解.【详解】解：因为若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，所以对任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令()()2g x f x x =-，则()g x 在R 上递增，当1x ≤时，()()22g x a x =-+，则20a +<，即2a <-成立；当1x >时，()322213112326g x x ax a x =-+-，则()2232g x x ax a '=-+，当312a ≤，即23a ≤时，()211320g a a '=-+≥，解得12a ≤；当312a >，即23a >时，231024a g a ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭，无解；又()21311222326a a a -+≤-+-，即2430a a --≥，解得34a ≤-或1a ≥，综上：2a <-，8.C 【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++求出内切球的半径，再通过11AO O HAO OF=求出空隙处球的最大半径即可.【详解】由题，当球和正四面体A BCD -的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球的球心为O ，半径为R ，空隙处最大球的球心为1O ，半径为r ，G 为BCD △的中心，得AG ⊥平面BCD ，E 为CD 中点，球O 和球1O 分别和平面ACD 相切于F ，H ，在底面正三角形BCD 中，易求BE =，233BG BE ==，3AG ∴=，又44ABC ABD ACD BCD S S S S ====⨯= ，由A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++，即得3A BCDBCD ABC ABD ACDV R S S S S -=+++，又12622333A BCD V -==，6R ∴==，2666362AO AG GO =-=-=，12363AO AG R r r r =--=--=-，又1AHO AFO ，可得11AO O H AO OF =即12r =，即球的最大半径为12.故选：C.9.AD 【分析】利用中位数的定义可判断A 选项；举反例可判断B 选项C ；利用均值和方差公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因1232023a a a a <<<< ，样本数据最中间的项为1012a ，由中位数的定义可知，1012k a =，A 正确；对于B ，不妨令n a n =()820231,2,,2022,100n a =⋯=，则81012122022100122023101220232023m a +++++++=>== ，B 错误；对于C ，不妨令n a n =()20231,2,,2022,1n a =⋯=，则10121220222022.11220222023101220232023m k a ++++++===<= ，C 错误；对于D ，数据123202421,21,21,,21a a a a ++++ 的均值为：()202420241121212120242024ii i i a a m ==+=+=+∑∑，其方差为122s s =，D 对.10.BCD 【分析】由题意可得π22T =，即可求出ω，再根据正弦函数的对称性即可求出ϕ，根据正弦函数的单调性和对称性即可判断CD .【详解】因为12,x x 为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，所以π2π222T ω==，所以2ω=，故A 错误；则()()sin 2f x x ϕ=+，又直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，所以2πππ32k ϕ+=+，所以ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故B 正确；所以()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得πππ2,626x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为πππsin 0633g ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.11.BC 【分析】A 、B 项利用函数的周期性和单调性求解；C 项，利用函数图象交点解决方程根的问题；D 项，利用切线性质解决不等式问题.【详解】A 项，()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，表示当[]0,2x ∈时，()f x 向右平移2个单位长度时，y 值变为原来的12倍，所以当[]()*2,22x n n n ∈+∈N ，()()11sin π22n f x x n -=-，A 项错误；B 项，当[]0,2x ∈时，()2sin πf x x =，增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当[]2,4x ∈时，增区间为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得，所以()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增，B 项正确；C 项，如图所示，()y f x =与()()lg 2g x x =+的图象，满足5522f g ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9922f g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两图象共有4个交点，所以方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根，C项正确；D 项，当[]2,4x ∈时，()()sin π2f x x =-，所以()()()()2sin π22f x k x x k x ≤--≤-⇒，当两函数相切时，k 有最小值，()()πcos π2f x x '=-，所以()2πf '=，所以πk ≥，D 项错误.12.BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点P 的轨迹方程判断选项A 和选项B ，假设AP PQ ⊥，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C ，计算1AP PQ QB ++的最大值3AP 判断选项D.【详解】对B ，如图，不妨以O 为原点，以AB 的垂直平分线，1,OA OO 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0,(0,1,0),(0,1,0)OA B -，()10,1,1B -，设(),,1P x y ，则()()10,1,1,,,1OB OP x y =-=，由题意，()22222122111x y =-+⨯++，化简得，212y x =-，由于P 点在上底面内，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，故B 正确；对A ，2222(1)1(1)13PA PB x y x y +=+-++++=，化简得22119420x y +=，即P 点的轨迹为椭圆，故A 错误；对C ，设点P 在下平面的投影为1P ，若AP PQ ⊥，则222AP PQ AQ +=，则222221111AP PQ AQ +++=，当1P 在线段AQ 上时，2211AP PQ +可取最小值，由均值不等式，222211242AQ AQ AP PQ +≥⨯=，当且仅当112AQAP PQ ==时等号成立，所以2222112()2AQ AQ AP PQ =-+≤，即24AQ ≥，而点Q 只有在与点B 重合时，2A Q 才能取到4，此时点B 与点Q 重合，点P 与点1O 重合，故C 正确；对D ，当点P 与点1B ，点A 与点Q 重合，1AP PQ QB ++的值为3AP ==>，故D 错误.【点睛】判断本题选项B 时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.13.(1,9)(9,)-+∞ 【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为(4,1)AB y =- ，()1,2a = ，AB 与a成锐角，所以422220AB a y y ⋅=+-=+>，解得1y >-，当AB 与a同向时，(4,1)(1,2)(0)y λλ-=>，即412y λλ=⎧⎨-=⎩，解得9y =，此时满足0AB a ⋅> ，但AB 与a所成角为0，不满足题意，综上，AB 与a成锐角时，y 的取值范围为(1,9)(9,)-+∞ .14.25【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为1:2，我们易构造出关于R 的方程，解方程即可求出R 的值．【详解】设中截面的半径为r ，则52R r +=①，记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为1S 、2S ，母线长均为l ，1 2 π(),π()S r l S R r l =+=+5，又 1 2 ::S S =12 ，(5):()1:2r R r ∴++=②，将①代入②整理得：25R =.15.(],2e -∞【分析】利用分离参数法，通过构造函数以及利用导数来求得a 的取值范围.【详解】依题意，不等式()221e xx ax ≥+在()0,∞+恒成立，即()221e x x a x+≤在()0,∞+恒成立，设()()()221e 0x x f x x x+=>，()()()23333312211e e e x x x x x x x x x x f x x x x-+++--+==='-，其中232e 0xx x x++>，所以()f x 在区间()0,1上，()()0,f x f x '<单调递减；在区间()1,+∞上，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()12e f x f ≥=，所以2e a ≤，所以a 的取值范围是(],2e -∞.16.2【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.【详解】设()11,M x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y --，()13,0P x ，设1k 、2k 、3k ，分别为直线MN 、QM 、NP 的斜率，则111y k x =，21221y y k x x -=-，()113111101344y y k k x x x +===--，因直线QM 是以MN 为直径的圆的切线所以QM MN ⊥，121k k =-，所以2314k k =-，又Q 在直线NP 上，所以21321y y k x x +=+，因M 、Q 在()222210x ya b a b +=>>上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2212122121y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，故223214b k k a =-=-，即2214b a =，222131144b e a =-=-=，故32e =.17.（1）π3C =（2）332【分析】（1）由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-，利用正弦定理转化为222a b c ab +-=，再利用余弦定理求解；（2）方法一根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，利用角平分线定理得到2b a =，23AD c =，13BD c =，再由1cos 2C =，3cos 2ACD ∠=，求得边长，再利用三角形面积公式求解.方法二根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，得到2b a =，然后由+= ACD BCD ABC S S S ，求得边a ，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】解：由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-及正弦定理，得()()()c b c b a a b +-=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==．因为(0,π)C ∈，所以π3C =．【小问2详解】方法一因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以由角平分线定理，得2CA AD CB DB==，则有2b a =，23AD c =，13BD c =．由222214cos 24a a c C a+-==，得c =．又2244439cos 28a c ACD a+-∠==，将c =代入，可得2a =或a =当2a =时，32c =，则13222DB CB +=+<，故舍去，所以a =所以11333sin 2222ABC S ab C ==⨯=△．方法二因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以2CA ADCB DB==，则有2b a =．因为+= ACD BCD ABC S S S ，所以1π1π1π2sin 2sin sin 262623b a ab ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则有2322a a =，所以a =所以21π333sin 2322ABC S ab ===△．18.【分析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解.【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC △为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =.在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥.又因为BP CP P = ，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC △中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥.所以OA ，OB ，OS 两两垂直.以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB a =，则30,,02A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,0,2S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，则30,,2AP y a z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，330,,22AS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得()312y a λ=-，32z a λ=，即()0,1,22P a a λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =.设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =，因为()1,1,222BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(),0,0CB a = .所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()111010x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=-.因为二面角P BC A --的大小为60°，所以cos ,cos 60mn mn m n ⋅〈〉==︒，所以22630λλ-+=.又01λ<<，解得32λ=，即32PA SA =.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.19.（1）()1*2n na n n -=⋅∈N （2）()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴()121n n n a a n++=，∴当2n ≥时，132112112232121n n n n n nn a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴12,2n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ；方法2：∵()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴121n na a n n+=+，又111a =，故0n a n≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为2，首项为1的等比数列．∴12n na n-=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．【小问2详解】()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n=，∴12n n b -=.由题知，()()1112232222k kk k k kk b b k ck -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()012213333312223212222222n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333212223212222222n n n T n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以012213333331222222222222n n n n T n ---=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********nn n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.20.【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解；（2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望；（3）用条件概率公式进行推理证明.【详解】（1）设事件C 为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为61218+=，所以()180.630P C ==．（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1和2，所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==，所以X 的分布列为X 12P0.10.9所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()|P N M P N M >，所以()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P MP M ->=-所以()()()P NM P N P M >⋅，所以()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，所以()()()()P NM P NM P N P N >，即()()||PM N P M N >21.【分析】（1）求得函数()y x ϕ=的定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数()y x ϕ=的单调递增区间和递减区间；（2）求得直线l 的方程为001ln 1y x x x =+-，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，可得出0ln t x =-，进而可将直线l 的方程表示为0001ln 1x y x x x +=+，可得0001ln 1x x x +=-，然后利用（1）中的函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）()()11ln 11x x x f x x x x ϕ++=-=---，定义域为()()0,11,+∞ ，()()()222121011x x x x x x ϕ+'=+=>--，所以，函数()y x ϕ=的单调递增区间为()0,1，()1,+∞；（2）()ln f x x =Q ，()001f x x '∴=，所以，直线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-，()x g x e = ，则()x g x e '=，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，则()01tg t e x '==，得0ln t x =-，则切点坐标为001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l 的方程可表示为()00011ln y x x x x -=+，即0001ln 1x y x x x +=+，由题意可得000ln 1ln 1x x x +-=，则0001ln 1x x x +=-，下面证明：存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.由（1）知，函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上单调递增，()2ln 230ϕ=-< ，()22222132011e e e e e ϕ+-=-=>--，由零点存在定理可知，存在唯一的()202,x e∈，使得()00x ϕ=，即0001ln 1x xx +=-.所以，存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.因此，在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与与曲线()y g x =相切.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.22.【分析】（1）设出圆心(,)D x y ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出,,M N P 的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】设圆心(,)D x y|1|y =+，化简整理得：24x y =，所以曲线C 的方程为：24x y =．【小问2详解】（ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为24x y =，所以2x y '=，∴直线PA 的方程为：()1112x y x x y =-+，即2111124y x x x =-，令0y =，得到12xx =，同理可得直线PB 的方程为：2221124y x x x =-，令0y =，得到22xx =，∴1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x N ⎛⎫⎪⎝⎭，联立21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y 解得122x x x +=，21所以12,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(0,1)F ，∴1212,1,1,2222x x x x FM FN FP +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）由（ⅰ）知直线PA 的方程为2111124y x x x =-，又2114x y =，所以11102x x y y --=，即11220x x y y --=，同理可知直线PB 的方程为22220x x y y --=，又因为P 在直线PA ，PB 上，设()0,1P x -，则有101202220220x x y x x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以直线AB 的方程为：0220x x y -+=，故直线AB 过点(0,1)F ，∵四边形FNPM 为平行四边形，∴//FM BP ，//FN AP ，∴AMF MPN BNF ∠=∠=∠，FN PM =，PN MF =，BN BF MP NP FA MA ==，∴MP NP MA BN ⋅=⋅，∵11sin 2S MA MF AMF =∠，21sin 2S PM PN MPN =∠，31||sin 2S NB NF BNF =∠‖，∴2222131sin (||||)||||2111||||||||||||sin ||sin 22PM PN MPN S PM PN PM PN S S MA MF NB NF MA NB MA MF AMF NB NF BNF ⎛⎫∠ ⎪⋅⋅⎝⎭====⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫∠⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖．【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅰⅰ）问的关键在于求出直线AB 恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.。

山东省实验中学2019届高三第二次模拟考试理科数学测试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.已知全集为实数集R ，集合{}{}22|20,|log 0A x x x B x x =-<=>，则()R A B =I ð（ ）A. (,0](1,)-∞+∞UB. (0,1]C. [2,)+∞D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】先化简{}{}2|20|02=-<=<<A x x x x x ，再求其补集，然后根据{}{}2|log 0|1=>=>B x x x x ，求()R A B ⋂ð.【详解】因为{}{}2|20|02=-<=<<A x x x x x ，所以{||0R A x x =≤ð或}2x ≥， 又因为{}{}2|log 0|1=>=>B x x x x ， 所以(){}|2=≥I R A B x ð. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了一元二次不等式、对数不等式的解法，属于基础题.2.已知复数z 满足(1)z i z i -=+，则z 等于（ ） A. 1i - B. 1i -- C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】 【分析】根据复数z 满足(1)z i z i -=+，先整理化简为21=--iz i，再用复数除法求解.【详解】已知复数z 满足(1)z i z i -=+，所以()()()2121111+=-=-=---+i i iz i i i i . 故选：A【点睛】本题主要考查复数的基本运算，属于基础题. 3.已知命题2:,2n p n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ） A. 2,2n n N n ∀∈> B. 2,2n n N n ∃∈≤ C. 2,2n n N n ∀∈≤D.2,2n n N n ∀∉≤【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题求解.【详解】因为命题2:,2np n N n ∃∈>是特称命题， 所以其否定是全称命题，即：则p ⌝为 2,2nn N n ∀∈≤.故选：C【点睛】本题主要考查命题的否定，注意结论的否定，量词也要转化，属于基础题.4.已知变量,x y 满足约束条件21,1,10,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据变量,x y 满足约束条件21,1,10,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，画出可行域，将目标函数2z x y =+，变形为2y x z =-+，平移直线2y x =-，找到直线在y 轴上的截距最小的点，此时，目标函数取得最小值.【详解】已知变量,x y 满足约束条件21,1,10,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，其可行域如图所示阴影部分，目标函数2z x y =+，可变形为2y x z =-+，平移直线2y x =-，在点A 处，直线在y 轴上的截距最小， 此时，目标函数取得最小值，最小值为 1-. 故选：B【点睛】本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 5.2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况.为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论中不一定正确的是( ) A. 样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通 B. 样本中多数女性35岁以上C. 35岁以下男性人数比35岁以上的女性人数多D. 样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高【答案】C【解析】【分析】根据两幅图中的信息，对选项中的命题判断正误即可．【详解】由左图知，样本中的男性数量多于女性数量，A正确；由右图知女性中35岁以上的占多数，B正确；由右图知，35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数少，C错误；由右图知样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，D正确．故选C．【点睛】本题考查了等高条形图的应用问题，也考查了对图形的认识问题，是基础题．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 83B.43C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】根据几何体的三视图可知，该几何体是一个四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面P AB垂直于底面ABCD，根据侧视图得知底面面积，正视图得知高，再利用锥体体积公式求解.【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是一个四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面P AB垂直于底面ABCD.如图所示:底面面积为224ABCD S =⨯=， 高为2h =， 所以该几何体的体积是1833V S h =⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题主要考查三视图的应用以及几何体的体积求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7.在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝98-，则12341111a a a a +++等于( ) A.53B. 35-C. 53-D.35【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得14231234915,88a a a a a a a a ==-+++=，两式相除化简即可得结果. 【详解】14231234915,88a a a a a a a a ==-+++=Q ， 两式相除可得，12342314232314a a a a a a a a a a a a a a +++++=+123415111158938a a a a =+++==--，故选C. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与等比数列的性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 解答有关等比数列的问题时，要注意应用等比数列的性质：若2p q m n r +=+=则2p q m n r a a a a a ==.8.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A. 2B.13C. 3-D.12【答案】B 【解析】 【分析】初始2s =， 通过前几次的循环，得知其周期为4，再利用周期性求解. 【详解】初始2s =， 第一次循环，3s =-， 第二次循环，12s =-， 第三次循环，13s =， 第四次循环，2s = ， 所以其周期4，所以2019313s s ==. 故选：B【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构，还考查了函数的周期性和归纳推理，属于基础题.9.已知3()sin ,()cos 22f x x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论中不正确的是（ ）A. 函数()()y f x g x =⋅的最小正周期为πB. 函数()()y f x g x =⋅的最大值为12C. 将函数()f x 的图象向右平移2π个单位后得到()g x 的图象 D. 函数()()y f x g x =⋅的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据31sin cos sin cos sin ()222)2(ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅+== ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭⋅x x x x y f x g x x ，利用正弦函数的图象和性质验证.【详解】因为31sin cos sin cos sin ()222)2(ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅+== ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭⋅x x x x y f x g x x ，22T ππ==，故A 正确. 因为11sin 222=≤y x ，所以函数()()y f x g x =⋅的最大值为12，故B 正确. 因为3()sin cos 2π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭f x x x ()cos sin 2π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭g x x x 函数()f x 的图象向右平移2π个单位后得到cos sin ()2π⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭y x x g x ，故C 正确.因为11sin 2242π⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及诱导公式，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于中档题.10.已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线右支上，满足22OPF OF P ∠=∠，且1224PF PF =，如果此双曲线的一个焦点在抛物线216y x =的准线上，则该双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】根据此双曲线的一个焦点在抛物线216y x =的准线上，得到4c =， 再根据点P 在双曲线右支上，满足22OPF OF P ∠=∠，得OP OF C ==，利用直角三角形中线定理，知12F PF ∆是直角三角形，由勾股定理得22221221464F PF P F F c +===，再结合双曲线的定义122F P F P a -=求解.【详解】因为此双曲线的一个焦点在抛物线216y x =的准线上， 所以4c =，因为点P 在双曲线右支上，满足22OPF OF P ∠=∠， 所以OP OF C ==，所以12F PF ∆是直角三角形， 所以22221221464F PF PF F c +===，由双曲线的定义得：122F P F P a -=， 又因为1224PF PF = 所以2a = 所以2ce a==. 故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直角三角形的中线定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11.已知函数()ln 2f x a x x =-，若不等式(1)2x f x ax e +>-在(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）. A. 2a ≤ B. 2a ≥ C. 0a ≤D. 02a ≤≤【答案】A 【解析】 【分析】将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a 的取值范围即可． 【详解】()2xxf eax e=-，所以()12xf x ax e +>-()0,+∞上恒成立，等价于()()1xf x f e+>在()0,+∞上恒成立，因为()0,x ∈+∞时，11x x e <+<， 所以只需()f x 在()1,+∞上递减， 即1x >，()'0f x ≤恒成立， 即1x >时，2ax≤恒成立，2a x ≤， 所以2a ≤， 故选A ．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题． 12.杨辉三角是我国古代数学的杰出研究成果之一，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫帕斯卡三角形帕斯卡在1654年发现这一规律，比杨辉要迟393年．在如图所示的杨辉三角形中，斜线l 的上方按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列l ，3，3，4，6，5，10，…则其前20项的和为（ ）A. 349B. 283C. 295D. 229【答案】C 【解析】 【分析】根据“锯齿形”的数列的特点，从第三行开始第二个数3，4，5，…可知其通项公式为：2n a n =+，从第二行开始第三个数1，3，6，10，…可知()1,2n n b b n n --=≥，用累加法求其通项公式，再根据“锯齿形”的数列前20项，各占10项，再用分组求和法求解.【详解】从第三行开始第二个数3，4，5，…可知其通项公式为：2n a n =+， 其前10项和为()110312752S +==.从第二行开始第三个数1，3，6，10，…可知()1,2n n b b n n --=≥其通项公式为：()()()121321...n n n b b b b b b b b -=+-+-++-，2123 (2)n nn +=++++=，其前10项和为()()()2101012101101101220262S ⎡⎤⨯+⨯⨯++=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以数列l ，3，3，4，6，5，10，…则其前20项的和为：2012295S S S =+=. 故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项公式和分组求和，还考查了归纳推理和运算求解的能力，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.若π1sin()43α+=，则sin 2α=________. 【答案】79- 【解析】 【分析】利用二倍角公式直接计算得到答案.【详解】27sin 2cos 22sin 1249ππααα⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.14.若非零向量,a b rr 满足||||1a a b =+=rr r，,120a b ︒<>=rr ，则||b =r________．【答案】1 【解析】 【分析】根据222||21+=++=r r r r r ra b a ab b ，将,120a b ︒<>=rr ，||a r代入求解.【详解】因为222||21+=++=r r r r r r a b a ab b ，又因为,120a b ︒<>=r r ，||1a =r ，所以212cos1201++=or r b b ， 解得||1b =r.故答案为：1【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.15.已知5(1)(1)ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为64-，则实数a =________．【答案】3- 【解析】 【分析】设2601265.((1)..1)=+++++-a a x a x x a x x a ，再令1x =，得0126...0++++=a a a a ，令1x =-，得()0126...321-+-+=-a a a a a ，两式相减求解.【详解】设2601265.((1)..1)=+++++-a a x a x x a x x a ，令1x =，得0126...0++++=a a a a ，令1x =-，得()0126...321-+-+=-a a a a a ， 两式相减得2()()135...321+++=-a a a a ， 所以()135...16164+++=-=-a a a a ， 解得3a =-. 故答案为：-3【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数，赋值法是解决本题的关键，属于基础题.16.已知正四面体ABCD 中，所有的棱长为4，点O 是ABC V 的中心，将DAO V 绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角的余弦的最大值是_______．【答案】3【解析】 【分析】利用向量法，根据()DA BC OA ODBCOA BC OD BC ⋅=-⋅=⋅-⋅u u r u u u ru u r u u ru u u ru u r u u u r u u r u u u r，又因为点O 是ABC V 的中心，得OD BC ^，则 0OD BC ⋅=u u u r u u u r，所以DA BC OA BC ⋅=⋅u u r u u u r u u r u u u r ，再根据4OA BC OA BC⋅≤⋅=⨯=u u r u u u r u u r u u u r求解. 【详解】因为()DA BC OA OD BC OA BC OD BC ⋅=-⋅=⋅-⋅u u r u u u r u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r，又因为点O 是ABC V 的中心，所以OD BC ^，所以 0OD BC ⋅=u u u r u u u r，所以DA BC OA BC ⋅=⋅u u r u u u r u u r u u u r ，因为433OA BC OA BC ⋅≤⋅=⨯=u u r u u u r u u r u u u r，当且仅当//OA BC u u r u u u r ，取等号.所以cos DA BC DA BC θ⋅=⋅≤u u r u u u r u u r u u u r所以cos 3θ≤所以直线DA 与直线BC【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，还考查了平面向量数量积的应用，属于中档题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足sin sin sin sin a c A Bb A C+-=-.（1）求角C ； （2）求a bc+的取值范围. 【答案】（1）3C π=(2)(1,2]【解析】 试题分析：（1）要求角,只能从sin sin sin sin a c A Bb A C+-=-入手,利用正弦定理,将角化为边,得,进而可得三边关系,利用余弦定理即可求角.（2）从a bc+入手,欲找三边关系,用正弦定理将其化简为,将（1）的结论利用起来,代入,同时将代入,使得中只含有,进而根据,讨论a bc+的范围. 试题解析：（1）根据正弦定理有:,化简得,根据余弦定理有, 所以.（2）根据正弦定理将a bc+化简,同时将（1）代入,化简为因为,,所以.故,的取值范围是考点：正弦定理的应用(角化边);余弦定理;正弦差角;辅助角公式求范围.18.四棱锥P ABCD -中，面PAB ⊥面ABCD ，PA PB =，//AB CD ，BC AB ⊥，222AB BC CD ===，三棱锥P ABD -的体积为13．（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PBC ； （Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）63-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取AB 中点为O ，根据PA PB =，得到PO AB ⊥，再由面PAB ⊥面ABCD ，得到PO ⊥面ABCD ，根据222AB BC CD ===，三棱锥P ABD -的体积为13，得到1,2PO PA PB ===，则PA PB ⊥，再由BC PA ⊥，利用面面垂直的判定定理得到PA ⊥平面PBC ，再利用面面垂直的判定证明面PAD ⊥面PBC .（Ⅱ）以O 为原点，射线,,OD OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0)O A P D C -，分别求得平面PAD 和平面PCD 的一个法向量，代入二面角向量公式cos ||||⋅〈⋅〉=⋅u r ru r r ur r m nm n m n 求解. 【详解】（Ⅰ）证明：取AB 中点为O 因为PA PB =，所以PO AB ⊥， 因为面PAB ⊥面ABCD 且交线为AB ，所以PO ⊥面ABCD因为111211,1233ABD P ABD S V PO -=⨯⨯==⨯⋅=， 所以1,2PO PA PB ===，因2AB =，所以PA PB ⊥ ①因为面PAB ⊥面ABCD 且交线为AB ，BC AB ⊥，所以BC ⊥面PAB ， 因为PA ⊂面PAB ，所以BC PA ⊥ ② 因为①②且,,PB BC B PB PC ⋂=⊂面PBC ， 所以PA ⊥平面PBC ，又PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PBC （Ⅱ）如图所示：以O 为原点，射线,,OD OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0)O A P D C -设()111,,m x y z =u r为平面PAD 的一个法向量，因为(1,0,1),(1,1,0)PD AD =-=u u u r u u u r ，所以111100x z x y -=⎧⎨+=⎩，所以取()222,,(1,1,1)n x y z ==-r设()222,,n x y z =r为平面PCD 的一个法向量，因为(1,0,1),(0,1,0)PD CD =-=-u u u r u u u r ，所以22200x z y -=⎧⎨=⎩，所以取(1,0,1)n =r，所以2,|||m n m n ⋅===u r r u rr cos m n 〈⋅〉=u r r． 又因为二面角A PD C --为钝角所以二面角A PD C --的余弦值为 【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化和二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动.对于,A B 两种游戏，每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩一次游戏A ，若绿灯闪亮，获得50分，若绿灯不闪亮，则扣除10分（即获得10-分），绿灯闪亮的概率为12；玩一次游戏B ，若出现音乐，获得60分，若没有出现音乐，则扣除20分（即获得20-分），出现音乐的概率为25.玩多次游戏后累计积分达到130分可以兑换奖品. （1）记X 为玩游戏A 和B 各一次所得的总分，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）记某人玩5次游戏B ，求该人能兑换奖品的概率. 【答案】（1）详见解析；（2）9923125. 【解析】试题分析：（1）随机变量X 可取的数值为110,50,30,30- ，每一种情况为两种游戏的结果的概率的乘积，求出概率再求分布列和期望；（2）每次得60分的概率为25，扣20分的概率为35，设需出现n 次音乐，那么()60205130n n --≥，计算n 值，再求其概率. 试题解析：（1）随机变量X 的所有可能取值为110,50,30,30-，分别对应以下四种情况： ①玩游戏A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，出现音乐； ②玩游戏A ，绿灯不闪亮，且玩游戏B ，出现音乐； ③玩游戏A ，绿灯闪亮，且玩游戏B ，没有出现音乐； ④玩游戏A ，绿灯不闪亮，且玩游戏B ，没有出现音乐， 所以()121110255P X ==⨯=，()121501255P X ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭，()1233012510P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，()12330112510P X ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即X 的分布列为113311050303032551010EX =⨯+⨯+⨯-⨯=.（2）设某人玩5次游戏B 的过程中，出现音乐n 次，则没出现音乐5n -次，依题意得()60205130n n --≥，解得238n ≥，所以3n =或4或5. 设“某人玩5次游戏B 能兑换奖品”为事件M ，则()3245345523232992555553125P M C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20.已知椭圆2222:1,(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其离心率是12，P 为椭圆上异于长轴端点的一点，122F PF θ∠=，设12PF F △的内心为I ，且||cos 1PI θ=． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知直线l 过定点1,04E ⎛⎫⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在两点,A B 关于直线l 对称，求直线l 斜率k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）(2,2)-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据12PF F △的内心为I ，且||cos 1PI θ=，根据圆的切线长定理得到222-=a c ，再结合12c e a ==求解.（Ⅱ）（ⅰ）由题意当0k =时，显然合题意；（ⅱ）当0k ≠时，设直线11:,:4l y k x AB y x m k ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，()()1122,,,,A x y B x y AB 中点是()00,M x y ，由2234121x y y x mk ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，得()222223463120k y k my k m +-+-=，根据韦达定理得到22243,3434km k m M k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，根据M 在直线l 上，得到2344k km +=，再由0>V 得，222340k m k --<，代入求解.【详解】（Ⅰ）因为12PF F △的内心为I ，且||cos 1PI θ=， 所以222-=a c ，又因为12c e a ==，所以2,1,a c b ===即椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）（ⅰ）由题意当0k =时，显然合题意； （ⅱ）当0k ≠时，设直线11:,:4l y k x AB y x m k⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， ()()1122,,,,A x y B x y AB 中点是()00,M x y ，由2234121x y y x mk ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，得()222223463120k y k my k m +-+-=， 由0>V 得，222340k m k --< ①由2122634k my y k +=+，得12122834km x x km ky km ky k +=-+-=+，所以22243,3434km k m M k k ⎛⎫⎪++⎝⎭在直线l 上，即22234134344k m km k k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，所以2344k km += ② ①②得24k <，所以22k -<<且0k ≠．综合（ⅰ）（ⅱ）即直线l 斜率k 的取值范围是(2,2)-．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数2()1,()()x ax f x e x g x x e a R =--=∈ （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，对于在(0,1)中的任一个给定常数m ，问是否存在00x >使得()()002mf xg x >成立？如果存在，求出符合条件的一个0x ；否则说明理由． 【答案】（Ⅰ）分类讨论，详见解析；（Ⅱ）存在，0ln (01)x m m =-<<. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据2()()=∈axg x x e a R ，求导()22()22ax axax g x xe ax ex ax e '=+=+，分当0a =，0a >，0a <，三种情况讨论求解.（Ⅱ）假设存在这样的0x 满足题意，()()0020000122x x m m f x g x e x x e >⇔-->20001102x m x x e+⇔+-<（*）要找一个00x >，使*式成立，只需找到函数21()12x m x h x x e +=+-的最小值，满足min ()0h x <即可.【详解】（Ⅰ）因为2()()=∈axg x x e a R ， 所以()22()22axaxax g x xe ax ex ax e '=+=+．①当0a =时，若0x <，则()0g x '<，若0x >，则()0g x '>． 所以函数()g x 在区间(,0)-∞内为减函数，在区间(0,)+∞内为增函数． ②当0a >时，由220x ax +>，解得2x a<-或0x >， 由220x ax +<，解得20x a-<<． 所以函数()g x 在区间2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭内为增函数，在区间2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为减函数，在区间(0,)+∞内为增函数；③当0a <时，由220x ax +>，解得20x a<<-， 由220x ax +<，解得0x <或2x a>-． 所以函数()g x 在区间(,0)-∞内为减函数，在区间20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数，在区间2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数．（Ⅱ）假设存在这样的0x 满足题意，则()()0020000122x x m m f x g x e x x e >⇔-->20001102x m x x e+⇔+-<（*） 要找一个00x >，使*式成立，只需找到函数21()12x m x h x x e +=+-的最小值，满足min ()0h x <即可， 1()x h x x m e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭令()0h x '=得1xe m=，则ln x m =-，取0ln x m =- 在00x x <<时，()0h x '<，在0x x >时，()0h x '> 所以()2min 0()(ln )(ln )ln 12mh x h x h m m m m m ==-=-+- 下面只需证明：在01m <<时，2(ln )ln 102mm m m m -+-<成立即可， 又令2()(ln )ln 1,(0,1)2mp m m m m m m =-+-∈， 则21()(ln )02p m m '=≥，从而()p m 在(0,1)m ∈时为增函数， 则()(1)0p m p <=，从而2(ln )ln 102m m m m m -+-<得证．于是()h x 的最小值(ln )0h m -<，因此可找到一个正常数0ln (01)x m m =-<<，使得（*）式成立．【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和导数与不等式恒成立问题，还考查了分类讨论、转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.（二）选考题：共10分．请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，过点(2,1)P的直线2:1x l y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 相交于,M N 两点．（1）试写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求11||||PM PN +的值． 【答案】（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=；直线l 的普通方程为：10x y --=；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）根据曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，有22cos ρρθ=，再利用cos ,sin x y ρθρθ==化为直角坐标方程；由直线l 的参数方程消去参数t ，即得直线l 的普通方程.（2）设,M N 两点对应的参数分别为12,t t，将参数方程21x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩代入方程22(1)1x y -+=，整理得2410t ++=，再利用直线方程参数的几何意义1212121111||||222++=+=t t PM PN t t t t 求解. 【详解】（1）由已知有22cos ρρθ=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，即22(1)1x y -+=． 由直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为：10x y --=．（2）设,M N 两点对应的参数分别为12,t t，将参数方程21x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩代入方程22(1)1x y -+=，整理得2410t ++=，则121214t t t t +==．所以，由直线方程参数得几何意义知：()121212*********||||22222t t t t PM PN t t t t t t +-++=+==== 【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程间的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.23.已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈.(1)若不等式()12f x x +-≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当2a <时，函数()f x 的最小值为1a -,求实数a 的值.【答案】（Ⅰ）(,0][4,)-∞⋃+∞；(Ⅱ) 4.3a =. 【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式可求得实数a 的取值范围.(2)以零点2a 和1分三段讨论． 试题分析：(Ⅰ)()12f x x +-≥可化为112a x x -+-≥．Q 1122a a x x -+-≥- ∴ 11,2a -≥ 解得：0a ≤或4a ≥．∴实数a 的取值范围为][(),04,.-∞⋃+∞（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知()31,(),21.1,1,2231,(1),a x a x a a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪⎛⎫<∴=-+≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-->⎪⎩如图可知()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增， ()min 11,22a a f x f a ⎛⎫∴==-+=- ⎪⎝⎭解得：4 2.3a =< 4.3a ∴= 【点睛】绝对值函数的最值问题，一般按n 个零点分n+1段讨论,也可以结合图像分析．。

山东省实验中学2024~2025学年第一学期期中高一数学试题2024.11（必修第一册阶段检测）说明：本试卷满分150分，分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷为第1页至第2页，第II 卷为第2页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I 卷（选择题58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.命题，，则命题的否定为（ ）A.， B.，C.， D.，3.若，函数最小值为（ ）B.2C. D.44.若幂函数为偶函数，则（ ）A.或4 B. C.2 D.45.“”的一个必要不充分条件为（ ）A. B. C. D.6.已知不等式的解集为或，则（ ）A. B.C. D.的解集为7.已知函数，对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.{2,1,0,1,2}A =--122x B x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭A B = {1}-{2,1}--{1}{1,0,1}-:2p x ∀>210x ->p 2x ∀>210x -≤2x ∀≤210x ->2x ∃>210x -≤2x ∃≤210x -≤0x >13y x x=+()2()19m f x m m x =+-m =5-5-3a ≥1a ≥1a <3a ≥3a >20ax bx c ++<{1x x <-}3x >0a >0c <0a b c ++<20cx bx a -+<113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2(31)4,1()6,1a x a x f x x ax x -+<⎧=⎨-+≥⎩1x 2x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x ->-a [2,)+∞1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦[1,2]8.在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A ，B 均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A. B.C. D.10.若，，且，则（ ）A. B.C. D.11.已知函数的定义域为，且，的图象关于对称.当时，，若，则（ ）A.的周期为4 B.的图象关于对称C. D.当时，第II 卷（非选择题 92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的定义域为，则的定义域为_________.13.若正实数x ，y 满足，则的最小值为_________.14.已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设集合，.（1）当时，求与；M a b M ∈[2,3]ab∉M {}1,4,6,7{}1,2,,A B n = n (0,)x ∈+∞()f x =()||f x x =2()||f x x x =+()22xxf x -=-a 0b ≠||||a bc c >a b>11a b<||a b >||||a cbc >()f x R ()(2)f x f x =-(2)y f x =+(0,0)[0,1]x ∈()2xf x a b =⋅+(3)1f =-()f x ()y f x =(4,0)(2025)1f =[4,5]x ∈()21xf x =-(31)f x +[1,2]-()f x 32x y +=31x y+22,0()112,0x x x f x x x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩x ()2f x kx k =-k {}23100A x x x =--≤{}121B x m x m =-<<+4m =()A B R ðA B（2）当时，求实数的取值范围.16.（本小题满分15分）已知定义域为上的奇函数满足当时，.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值和最小值及对应的值.17.（本小题满分15分）已知二次函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）当，时，求的最大值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围.19.（本小题满分17分）已知函数，.（1）求函数的值域；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.A B A = m R ()f x (,0]x ∈-∞2()4f x x x =+()f x ()f x [1,3]-x 2()33f x x mx x m =+--m ∈R x ()0f x ≤2m =[],1x t t ∈+()f x ()g t 3()2||1xf x x x =++()f x ()f x [0,)+∞x ()()2310f ax ax f ax ++->x a 1()21x f x =+x ∈R ()f x ()y f x =1[1,]x n ∈2[1,2]x ∈m ()()11231f mx f x x -+=n。

山东省实验中学2015届高考数学模拟试卷（文科）（6月份）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数z满足（1﹣2i）z=7+i，则复数z的共轭复数z=（）A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|0＜2x＜1}，B={x|log3x＞0}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}3．（5分）“命题∃x∈R，x2+ax﹣4a≤0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y±2）2=3 B．C．（x﹣2）2+（y±2）2=4 D．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则的值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7．（5分）函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．9．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）10．（5分）定义在实数集R上的函数f（x），对定义域内任意x满足f（x+2）﹣f（x﹣3）=0，且在区间（﹣1，4]上f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在区间（0，2015]上的零点个数为（）A．403 B．806 C．1209 D．1208二.填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）对某校400名学生的体重（单位：kg）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为．12．（5分）阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是．13．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是．14．（5分）实数x，y满足若y≥k（x+2）恒成立，则实数k的最大值是．15．（5分）定义平面向量的一种运算：⊗=||•||sin＜，＞，则下列命题：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗；③（+）⊗=（⊗）+（⊗）；④若=（x1，y1），=（x2，y2），则⊗=|x1y2﹣x2y1|．其中真命题是（写出所有真命题的序号）．三.解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16．（12分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值．17．（12分）在一次射击考试中，编号分别为A1，A2，A3，A4的四名男生的成绩依次为6，8，8，9环，编号分别为B1，B2，B3的三名女生的成绩依次为7，6，10环，从这七名学生中随机选出二人．（1）用学生的编号列出所有的可能结果；（2）求这2人射击的环数之和小于15的概率．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，点F为PD中点．（Ⅰ）若k=，求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数k，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足：2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0且a n≠0．数列{b n}中，b1=f（0）且b n=f（a n﹣1）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{|b n|}的前n项和T n．20．（13分）已知函数f（x）=+lnx（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在4．（5分）若圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切，则圆C的方程为（）A．（x﹣2）2+（y±2）2=3 B．C．（x﹣2）2+（y±2）2=4 D．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由已知圆C经过（1，0），（3，0）两点，且与y轴相切．可得圆心在直线x=2上，且半径长为2．设圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣b）2=4．将点（1，0）代入方程即可解得．从而得到圆C的方程．解答：解：∵圆C经过（1，0），（3，0）两点，∴圆心在直线x=2上．可设圆心C（2，b）．又∵圆C与y轴相切，∴半径r=2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣b）2=4．∵圆C经过点（1，0），∴（1﹣2）2+b2=4．∴b2=3．∴．∴圆C的方程为．故选：D．点评：本题考查圆的标准方程，直线与圆相切的性质等知识，属于中档题．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则的值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理；正弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：根据余弦定理cosB=的式子，结合题中等式算出cosB=，代入即可算出的值．解答：解：∵，可得b2=∴cosB===因此可得==故选：C点评：本题给出三角形中边的平方关系，求的值．着重考查了余弦定理解三角形的知识，属于基础题．6．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点：平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．解答：解：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；这符合平面垂直平面的判定定理，正确的命题．②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；可能n∥m，α∩β=l．错误的命题．③m⊂α，n⊂α，m、n是异面直线，那么n与α相交；题目本身错误，是错误命题．④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．点评：本题考查平面与平面的平行和垂直的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．7．（5分）函数 f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．解答：解：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．8．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b1•22n﹣2=22n﹣2．设c n=，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．9．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若0＜k＜，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：作出图形，则易知|AF2|=a+c，|BF2|=，再由∠BAF2是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF2，然后通过0＜k＜，分子分母同除a2得0＜＜求解．解答：解：如图所示：|AF2|=a+c，|BF2|=，∴k=tan∠BAF2=，又∵0＜k＜，∴0＜＜，∴0＜＜，∴＜e＜1．故选：D．点评：本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．10．（5分）定义在实数集R上的函数f（x），对定义域内任意x满足f（x+2）﹣f（x﹣3）=0，且在区间（﹣1，4]上f（x）=x2﹣2x，则函数f（x）在区间（0，2015]上的零点个数为（）A．403 B．806 C．1209 D．1208考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由ff（x+2）﹣f（x﹣3）=0，得到函数的周期是5，分别画出y=x2，y=2x的图象，由图象可知f（x）在（﹣1，4]上有3个零点，故f（x）在（0，5]上有3个零点利用函数的周期性即可求出函数y=f（x）在区间上零点个数．解答：解：∵f（x+2）﹣f（x﹣3）=0，令x=x+3，则f（x+5）=f（x+3﹣3）=f（x），∴函数的周期是5．分别画出y=x2，y=2x的图象，如图所示，在（﹣1，4]上有3个交点，∴f（x）在（﹣1，4]上有3个零点，∴f（x）在（0，5]上有3个零点，∵2015=403×5，∴函数f（x）在区间（0，2015]上的零点个数为403×3=1209．故选：C．点评：本题主要考查函数零点的个数的判断，函数的周期性，函数的图象和性质，利用函数的周期性是解决本题的关键，属于中档题．二.填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）对某校400名学生的体重（单位：kg）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为100．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图中矩形的面积表示频率，求出60kg以频率，然后根据频数=频率×样本容量求出所求．解答：解：60kg以上频率为0.040×5+0.010×5=0.25，故人数为400×0.25=100（人）．故答案为：100．点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及频数=频率×样本容量，属于基础题．12．（5分）阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是n＜5．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S n 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 3 2 是第二圈 7 3 是第三圈 15 4 是第四圈 31 5 否故最后当n＜5时退出，故答案为：n＜5．点评：本题主要考查了循环结构，解题的关键是弄清各变量之间的关系，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．13．（5分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．考点：函数单调性的性质；一元二次不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．解答：解：因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，所以|x+2|＜5，解得﹣7＜x＜3，所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．故答案为：（﹣7，3）．点评：本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．14．（5分）实数x，y满足若y≥k（x+2）恒成立，则实数k的最大值是．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，设y=k（x+2）利用直线的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式对应的平面区域，如图阴影部分：则直线y=k（x+2）的几何意义表示为过点B（﹣2，0）的直线，由图象可知当直线y=k（x+2）经过点A时，实数k取的最大值，由，解得，即A（1，2），此时直线y=k（x+2）满足2=3k，∴k=，即实数k的最大值是，故答案为：．点评：本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件作出平面区域，根据数形结合是解决本题的关键．15．（5分）定义平面向量的一种运算：⊗=||•||sin＜，＞，则下列命题：①⊗=⊗；②λ（⊗）=（λ）⊗；③（+）⊗=（⊗）+（⊗）；④若=（x1，y1），=（x2，y2），则⊗=|x1y2﹣x2y1|．其中真命题是①④（写出所有真命题的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义．分析：①根据定义不难得出⊗=⊗是正确的；②需对参数λ进行分类讨论，再依据定义即可判断其正确性；③直接代入定义即可验证；④根据给出的两向量的坐标，求出对应的模，运用向量数量积公式求两向量夹角的余弦值，则正弦值可求，最后直接代入定义即可．解答：解：①由于⊗=||•||sin＜，＞，则⊗=||•||sin＜，＞=||•||sin ＜，＞=⊗，故①正确；②由于⊗=||•||sin＜，＞，当λ＞0时，λ（⊗）=λ||•||sin＜，＞，（）⊗=||•||sin＜，＞=λ||•||sin＜，＞=λ||•||sin＜，＞，故λ（⊗）=（λ）⊗当λ=0时，λ（⊗）=0=（λ）⊗，故λ（⊗）=（λ）⊗当λ＜0时，λ（⊗）=λ||•||sin＜，＞（λ）⊗=|λ|•||sin＜λ，＞=﹣λ||•||sin＜λ，＞=﹣λ||•||×sin（π﹣＜，＞）=﹣λ||•||sin＜，＞，故λ（⊗）≠（λ）⊗故②不正确；③显然（+）⊗=（⊗）+（⊗）不正确；④令=（x1，y1），=（x2，y2），则，则=，即有⊗==|x1y2﹣x2y1|，故④正确故答案为：①④．点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，我们需根据新定义对四个结论逐一进行判断，即可得到正确的结论．三.解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 16．（12分）函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．专题：计算题；数形结合．分析：（Ⅰ）由图读出A，最高点到时左边第一个零点的横坐标的差的绝对值为四分之一周期，求出周期T，进而求出ω，代入点的坐标求出φ，得f（x）的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，把x﹣代入求f（x﹣），进而求出g（x），利用降幂公式得一个角一个三角函数值，由x的范围，求出3x+的范围，借助余弦函数的图象，求出cos（3x+）的范围，进一步求出最大值．解答：解：（Ⅰ）由图知A=2，，则∴∴f（x）=2si n（x+φ），∴2sin（×+φ）=2，∴sin（+φ）=1，∴+φ=，∴φ=，∴f（x）的解析式为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：∴∵∴∴当即时，g（x）max=4点评：给出条件求y=Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos （ωx+φ）+B的形式，从x的范围由里向外扩，一直扩到Asin（ωx+φ）+B或Acos（ωx+φ）+B的范围，即函数f（x）的值域，数形结合，看ωx+φ为多少时，取得最值．用到转化化归的思想．17．（12分）在一次射击考试中，编号分别为A1，A2，A3，A4的四名男生的成绩依次为6，8，8，9环，编号分别为B1，B2，B3的三名女生的成绩依次为7，6，10环，从这七名学生中随机选出二人．（1）用学生的编号列出所有的可能结果；（2）求这2人射击的环数之和小于15的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用已知条件列出结果即可．（2）求出这2人射击的环数之和小于15的个数，得到概率即可．解答：解：（1）{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，A4}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}…（6分）（2）以上21个结果对应的射击环数之和依次为14，14，15，13，12，16，16，17，15，14，18，17，15，14，18，16，15，19，13，17，16．…（9分）其中环数之和小于15的结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{B1，B2}共7个…（11分）所以这2人射击的环数之和小于15的概率为…（13分）点评：本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率的求法，考查计算能力．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E为AB上一点，且=k，点F为PD中点．（Ⅰ）若k=，求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）是否存在一个常数k，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）若k=，根据线面平行的判定定理即可证明直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）根据面面垂直的条件，进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴FM=CD．∵k=，∴AE=AB=FM，又∵FM∥CD∥AB，∴AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵A F⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．…（6分）（Ⅱ）存在常数k=，使得平面PED⊥平面PAB．…（8分）∵，AB=1，k=，∴AE=，又∵∠DAB=45°，∴AB⊥DE．又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB．又∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，∵AB⊂平面PAB，∴平面PED⊥平面PAB．…（12分）点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定依据面面垂直的应用，要求熟练掌握相应的判定定理．19．（12分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足：2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0且a n≠0．数列{b n}中，b1=f（0）且b n=f（a n﹣1）．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{|b n|}的前n项和T n．考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，得，由此能够证明数列是等差数列．（2）由b1=f（0）=5可求得a1，进而由（1）可求得a n，由b n=f（a n﹣1）可得b n．讨论b n 的符号，然后借助等差数列的求和公式可求得T n．解答：解：（1）由2a n+1﹣2a n+a n+1a n=0，得，∴数列{}是等差数列．（2）∵b1=f（0）=5，∴=5，即7a1﹣2=5a1，解得a1=1，∴=，∴．∴=7﹣（n+1）=6﹣n．∴{b n}是首项为5，公差为﹣1的等差数列，当n≤6时，b n≥0，T n=b1+b2+…+b n==；当n≥7时，b n＜0．T n=b1+b2+…+b6﹣b7﹣…﹣b n=2（b1+…+b6）﹣（b1+…+b n）=30﹣；∴．点评：本题考查数列与函数的综合、由递推式求数列通项、数列求和等知识，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．20．（13分）已知函数f（x）=+lnx（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）在f′（x）=﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=1处f（x）取得极小值，也为最小值，且为0；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．即为﹣≥0在[1，+∞）恒成立．即有≤x在[1，+∞）恒成立．而x≥1，即为≤1，解得a＜0或a≥1；（Ⅲ）设a n=（1+）n，b n=（1+）n+1，由=e，得，，由a n=（1+）n＜（）n+1=（）n+1=a n+1，故数列{a n}的单调递增；又b n=（1+）n+1==（令t=﹣（n+1））=（1+）t=a t，由a t是关于t的增函数，而t是关于n的减函数，由复合函数的单调性可得，（1+）n＜e＜（1+）n+1．故（）n+1（n∈N*）＞e．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查数列的单调性和运用，运用重要极限是解题的关键．21．（14分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，1），过焦点且垂直于长轴的弦长为，直线l交椭圆C1于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l的方程；（Ⅲ）直线l与椭圆C2：+=λ（λ∈R，λ＞1）交于P，Q两点（如图），求证|PM|=|NQ|．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，利用椭圆的顶点为B（0，1），过焦点且垂直长轴的弦长为，建立方程组，从而可求椭圆的几何量，即可求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），又F（1，0），求得△BMN的重心，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，解方程即可得到直线方程；（Ⅲ）设直线l：y=kx+t，分别代入椭圆C1，C2的方程，运用韦达定理，结合中点坐标公式，可得MN和PQ的中点重合，即可得证．解答：解：（Ⅰ）由题意，椭圆的焦点在x轴上，可得，∴a=，b=1，c==1，∴椭圆C1的方程为+y2=1；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），又F（1，0），则△BMN的重心为（，），由题意可得x1+x2=3，y1+y2=﹣1，设直线l：y=kx+t，代入椭圆C1的方程，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，即有x1+x2=﹣，即4kt=﹣3（1+2k2），又k（x1+x2）+2t=﹣1，即有+2t=﹣1，解得k=，t=﹣，代入判别式（4kt）2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0成立，即有直线l的方程为y=x﹣；（Ⅲ）证明：设直线l：y=kx+t，代入椭圆C1的方程，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），即有x1+x2=﹣，则有MN的中点的横坐标为﹣；设直线l：y=kx+t，代入椭圆C2：+y2=λ的方程，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2λ=0，设P（x3，y3），Q（x4，y4），即有x3+x4=﹣，则有PQ的中点的横坐标为﹣．即有MN和PQ的中点重合，即有|PM|=|NQ|．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及中点坐标公式，考查运算求解能力，属于中档题．。

第二次模拟试题答案（理科数学）一、选择：DDBDC AABCA二、填空11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3三、解答题P 16解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………2分CB C B B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==∴ A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴A A C A C AB A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形 (8)分21sin 2OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅ ……………9分 435cos 3-sin +=θθ2sin (-)3πθ=+ ……………………10分 (0)θπ∈Q ，,2--333πππθ∴∈(，)， 当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S的最大值为212分 17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． ……(1分)又PA ⊥底面ABCD , ∴平面PAD ⊥平面ABCD ， ……(2分)∵AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PD ， ……(3分)在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF //PD ，……（4分)∴ AB ⊥EF ． ……(5分)由此得⊥AB 平面BEF ．……(6分)（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系，则)21,0(),0,2,1(h BE BD =-=……(8分) 设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ，平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n n ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-0202hz y y x 可取⎪⎫ ⎛-=n 2,1,22……(10分)设二面角E -BD -C 的大小为θ，则|||||,cos |cos 212121n n n n ⋅=><=θ224522<+h h ， 化简得542>h ，所以552>h …(12分) 18解:(I )设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件A ，则31)(391714==C C C A P 所以32)(1)(=-=A P A P ………………（4分）(II ) X 的取值为2,3,4,5211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214)3(3914222412=+==C C C C C X P 73)3(3916222612=+==C C C C C X P ，31)5(3928===C C X P…………………（8分）的数学期望213574213212=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………..12分 19解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a ---------------------------------2分所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分 而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2,121,2n n a n n -------------------------------------6分 因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分可设d b d b +=-=3,331，由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分（Ⅱ）因为⎪⎭⎫⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k 11141)22(211)12(1)12(11222所以，当2≥n 时22222221)12(13111111-++=+++n b b b n ΛΛ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+<n n 1113121211411Λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n 1141145411=+<------- ----------------------------------------------------12分20.解（1）2222ca b a == （1分）又2b =，得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （3分）（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kxx kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （4分）211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++u u u r u u u r =0MA MB ∴⊥ （6分）（3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得222(,1)B kk -11212S MA MB k == （8分）1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或 同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++212S MD ME ∴==（11分）2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥所以λ的最小值为169 ,此时k =1或-1. （13分） 21解：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分当0=a 时，x x x f 1ln )(+= ，22111)(xx x x x f -=-='. 令0)(='x f ，解得1=x ,当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞；所以1=x 时， )(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值 ……………3分(Ⅱ) 222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x ----+-'=--==> ………4分令0)(='x f ,得1=x 或a x 1-= 当01<<-a 时，a11-<，令0)(<'x f ，得10<<x 或a x 1->， 令0)(>'x f ，得ax 11-<<； 当1-=a 时，0)1()(22≤--='xx x f . 当1-<a 时，110<-<a ，令0)(<'x f ，得ax 10-<<或1>x ， 令0)(>'x f ，得11<<-x a； 综上所述: 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a -；当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a - (10)分（Ⅲ）0≥a 时)0()1)(1()(2>-+='x xx ax x f Θ)0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解.(注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.)由(Ⅱ)知01-<<a 时,极小值01)1(>+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1(+∞-a 上有1个解.-1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;1-<a 时, 01)1()1(<+=<-a f a f ,方程0)(=x f 仅在区间)1,0(a -内有1个解; 故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3. …………………14分。

山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A. 13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C. {0,1,2}D. {0,1}2. 已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（ ）A.85B. 85-C.15D. 15-3. 数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（ ）A.29B.827C.49D.125. 如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是的.的A.B.C.D. 6. 如图，1F ､2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. y =±B. y =±C. y =D. y =7. 已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞- B. [)1,+∞ C. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦8. 棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（ ）A. 1012k a = B. 10111012a m a << C. m k≥ D. 212s s =10. 已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（ ）A 4ω= B.π6ϕ=-C. ()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. ()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称11. 已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（ ）A. 当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B. 函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C. 方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D. 若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥12. 圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．A. 若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B. 若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C. 存在唯一一组点,P Q ，使得AP PQ⊥.的D. 1AP PQ QB ++的取值范围是第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．14. 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．15. 若关于x 的不等式()221e xx ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．16. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．18. 如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值．19. 已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．20. 某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．21. 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．22. 已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A. 13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B. 1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C. {0,1,2}D. {0,1}【答案】D 【解析】【分析】化简集合M,N ，根据交集运算得解.【详解】因为{}220{12}M x x x x x =--<=-<<，12N x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭Z ，所以{0,1}M N ⋂=．故选：D ．2. 已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（ ）A.85B. 85-C.15D. 15-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可得答案.【详解】由()12i 32i z +=-可得()32i (12i)32i 18i 18i 12i 5555z -----====--+，故复数z 的实部为15-，故选：D3. 数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由()2110n n n n n n a a a a a a +-=-=->，解得0n a <或1n a >，所以“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件，故选：A4. 把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（ ）A.29B.827C.49D.12【答案】C 【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】一共有33327⨯⨯=个小正方体，其中2个面有颜色的小正方体有12个，（每条棱上有1个）所以恰好抽到2个面有颜色小正方体的概率为124279=.故选：C5. 如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点. 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是的A.B.C.D.【答案】B 【解析】【详解】设正方体的棱长为1，则11111AC AC AO OC OC======所以11111cos,sin3A OC A OC∠==∠=11cos A OC A OC∠==∠=又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1A OC∠为钝角，所以sinα的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.6. 如图，1F､2F是双曲线C：()222210,0x ya ba b-=>>的左､右焦点，过2F的直线与双曲线C交于A､B两点.若A是2BF中点且12BF BF⊥则该双曲线的渐近线方程为（）A. y=±B. y=±C. y =D. y =【答案】A 【解析】【分析】设2AB AF m ==，利用双曲线的定义得121222,222AF AF a m a BF BF a m a =+=+=-=-，再利用勾股定理建立方程组，消去m ,得到2213a c =，进而得到b a的值，由by x a =±得到双曲线的渐近线方程.【详解】设21212,22,222AB AF m AF AF a m a BF BF a m a ===+=+=-=-， 222222111212,BF BA AF BF BF F F +=+=,()()222222m a m m a -+=+①，()2222244m a m c -+=②,由①可得3,m a =代入②式化简得：2213a c =,∴2212a b =,∴ba=,所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.7. 已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. [)1,+∞ C. 12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】转化为任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令 ()()2g x f x x =-，得到 ()g x 在R 上递增求解.【详解】解：因为若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，所以对任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令 ()()2g x f x x =-，则 ()g x 在R 上递增，当1x ≤时， ()()22g x a x =-+，则20a +<，即 2a <-成立；当1x >时， ()322213112326g x x ax a x =-+-，则 ()2232g x x ax a '=-+，当312a ≤，即23a ≤时，()211320g a a '=-+≥，解得 12a ≤；当312a >，即23a >时， 231024a g a ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭，无解；又()21311222326a a a -+≤-+-，即2430a a --≥，解得34a ≤-或1a ≥，综上：2a <-，故选：A.8. 棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++求出内切球的半径，再通过11AO O HAO OF=求出空隙处球的最大半径即可.【详解】由题，当球和正四面体A BCD -的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球的球心为O ，半径为R ，空隙处最大球的球心为1O ，半径为r ，G 为BCD △的中心，得AG ⊥平面BCD ，E 为CD 中点，球O 和球1O 分别和平面ACD 相切于F ，H ，在底面正三角形BCD 中，易求BE =，23BG BE ==AG∴===，又4ABC ABD ACD BCDS S S S=====，由A BCD O BCD O ABC O ACD O ABDV V V V V-----=+++，即得3A BCDBCD ABC ABD ACDVRS S S S-=+++，又13A BCDV-==，R∴==，AO AG GO=-==，12AO AG R r r r=--=-=-，又1AHO AFO，可得11AO O HAO OF=即r=.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a⋯<<<⋯<，记其中位数为k，均值为m，标准差为1s，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a+++⋯+的标准差为2s，下列结论正确的是（）A. 1012k a= B.10111012a m a<< C. m k≥ D. 212s s=【答案】AD【解析】【分析】利用中位数的定义可判断A选项；举反例可判断B选项C；利用均值和方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项，因1232023a a a a<<<<，样本数据最中间项为1012a ，由中位数的定义可知，1012k a =，A 正确；对于B ，不妨令n a n =()820231,2,,2022,100n a =⋯=，则81012122022100122023101220232023m a +++++++=>== ，B 错误；对于C ，不妨令n a n =()20231,2,,2022,12022.n a =⋯=，则10121220222022.11220222023101220232023m k a ++++++===<= ，C 错误；对于D ，数据123202421,21,21,,21a a a a ++++ 的均值为：()202420241121212120242024iii i a a m ==+=+=+∑∑，其方差为122s s ===，D 对.故选：AD 10. 已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（ ）A. 4ω= B.π6ϕ=-C. ()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. ()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由题意可得π22T =，即可求出ω，再根据正弦函数的对称性即可求出ϕ，根据正弦函数的单调性和对称性即可判断CD .【详解】因为12,x x 为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，的所以π2π222T ω==，所以2ω=，故A 错误；则()()sin 2f x x ϕ=+，又直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，所以2πππ32k ϕ+=+，所以ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故B 正确；所以()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得πππ2,626x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为πππsin 0633g ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：BCD .11. 已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（ ）A. 当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B. 函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C. 方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D. 若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥【答案】BC【解析】【分析】A 、B 项利用函数的周期性和单调性求解；C 项，利用函数图象交点解决方程根的问题；D 项，利用切线性质解决不等式问题.【详解】A 项，()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，表示当[]0,2x ∈时，()f x 向右平移2个单位长度时，y 值变为原来的12倍，所以当[]()*2,22x n n n ∈+∈N ，()()11sin π22n f x x n -=-，A 项错误；B 项，当[]0,2x ∈时，()2sin πf x x =，增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当[]2,4x ∈时，增区间为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得，所以()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增，B 项正确；C 项，如图所示，()y f x =与()()lg 2g x x =+的图象，满足5522f g ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9922f g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两图象共有4个交点，所以方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根，C 项正确；D 项，当[]2,4x ∈时，()()sin π2f x x =-，所以()()()()2sin π22f x k x x k x ≤--≤-⇒，当两函数相切时，k 有最小值，()()πcos π2f x x '=-，所以()2πf '=，所以πk ≥，D 项错误.故选：BC.12. 圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．A. 若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B. 若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C. 存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D. 1AP PQ QB ++的取值范围是【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点P 的轨迹方程判断选项A 和选项B ，假设AP PQ ⊥，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C ，计算1AP PQ QB ++的最大值3AP 判断选项D.【详解】对B ，如图，不妨以O 为原点，以AB 的垂直平分线，1,OA OO 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0,(0,1,0),(0,1,0)OA B -，()10,1,1B -，设(),,1P x y ，则()()10,1,1,,,1OB OP x y =-=，=212y x =-，由于P 点在上底面内，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，故B 正确；对A ， 3PA PB +=+=，化简得22119420x y +=，即P 点的轨迹为椭圆，故A 错误；对C ，设点P 在下平面投影为1P ，若AP PQ ⊥，则222AP PQ AQ +=，则222221111AP PQ AQ +++=，当1P 在线段AQ 上时，2211AP PQ +可取最小值，由均值不等式，222211242AQ AQ AP PQ +≥⨯=，当且仅当112AQAP PQ ==时等号成立，所以2222112()2AQ AQ AP PQ =-+≤，即24AQ ≥，而点Q 只有在与点B 重合时，2A Q 才能取到4，此时点B 与点Q 重合，点P 与点1O 重合，故C 正确；对D ，当点P 与点1B ，点A 与点Q 重合，1AP PQ QB ++的值为3AP ==>，故D 错误.故选：BC【点睛】判断本题选项B 时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．【答案】(1,9)(9,)-+∞ 【解析】【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为(4,1)AB y =- ，()1,2a = ，AB 与a成锐角，的所以422220AB a y y ⋅=+-=+>，解得1y >-，当AB 与a同向时，(4,1)(1,2)(0)y λλ-=>，即412y λλ=⎧⎨-=⎩，解得9y =，此时满足0AB a ⋅> ，但AB 与a所成角为0，不满足题意，综上，AB 与a成锐角时，y 的取值范围为(1,9)(9,)-+∞ .故答案为：(1,9)(9,)-+∞ 14. 如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．【答案】25【解析】【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为1:2，我们易构造出关于R 的方程，解方程即可求出R 的值．【详解】设中截面的半径为r ，则52R r +=①，记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为1S 、2S ，母线长均为l ，1 2 π(),π()S r l S R r l =+=+5，又 1 2 ::S S =12 ，(5):()1:2r R r ∴++=②，将①代入②整理得：25R =.故答案为：2515. 若关于x 的不等式()221e xx ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2e -∞【解析】【分析】利用分离参数法，通过构造函数以及利用导数来求得a 的取值范围.【详解】依题意，不等式()221e xx ax ≥+()0,∞+恒成立，在即()221e x x a x+≤在()0,∞+恒成立，设()()()221e 0x x f x x x+=>，()()()23333312211e e ex x x x x x x x x x f x x x x -+++--+==='-，其中232e 0xx x x++>，所以()f x 在区间()0,1上，()()0,f x f x '<单调递减；在区间()1,+∞上，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()12e f x f ≥=，所以2e a ≤，所以a 的取值范围是(],2e -∞. 故答案为：(],2e -∞16. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．【解析】【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.【详解】设()11,M x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y --，()13,0P x ，设1k 、2k 、3k ，分别为直线MN 、QM 、NP 的斜率，则111y k x =，21221y y k x x -=-，()113111101344y y k k x x x +===--，因直线QM 是以MN 为直径的圆的切线所以QM MN ⊥，121k k =-，所以2314k k =-，又Q 在直线NP 上，所以21321y y k x x +=+，因M 、Q 在()222210x ya b a b+=>>上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212220x x y y a b--+=，整理得2212122121y y y y b x x x x a+-⋅=-+-，故223214b k k a =-=-，即2214b a =，222131144b e a =-=-=，故e =四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．【答案】（1）π3C =（2【解析】【分析】（1）由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-，利用正弦定理转化为222a b c ab +-=，再利用余弦定理求解；（2）方法一 根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，利用角平分线定理得到2b a =，23AD c =，13BD c =，再由1cos 2C =，cos ACD ∠=，求得边长，再利用三角形面积公式求解. 方法二根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，得到2b a =，然后由+= ACD BCD ABC S S S ，求得边a ，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】解：由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-及正弦定理，得()()()c b c b a a b +-=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==．因为(0,π)C ∈，所以π3C =．【小问2详解】方法一 因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以由角平分线定理，得2CA ADCB DB==，则有2b a =，23AD c =，13BD c =．由222214cos 24a a c C a +-==，得c =．又224449cos 8a c ACD a+-∠==，将c =代入，可得a =a =当a =时，32c =，则122DB CB +=+<，故舍去，所以a =所以11sin 22ABC S ab C ===△方法二 因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以2CA ADCB DB==，则有2b a =．因为+= ACD BCD ABC S S S ，所以1π1π1π2sin 2sin sin 262623b a ab ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则有232a =，所以a =所以21πsin 23ABC S ab ===△18. 如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PA SA的值．【答案】（1）证明见解析；（2）PA SA =.【解析】【分析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解.【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC △为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =.在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥.又因为BP CP P = ，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC △中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥.所以OA ，OB ，OS 两两垂直.以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB a =，则0,,0A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，则0,,AP y z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，AS ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得)1y a λ=-，z a =，即)1P a a λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n = .设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z = ，因为)112BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(),0,0CB a = .所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即()111010x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=- .因为二面角P BC A --的大小为60°，所以cos ,cos 60m n m n m n ⋅〈〉===︒，所以22630λλ-+=.又01λ<<，解得λ=，即PA SA =【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.19. 已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n ++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式n n a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()1*2n na n n -=⋅∈N （2）()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦【解析】【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴()121n n n a a n ++=，∴当2n ≥时，132112112232121n n n n n n n a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴12,2n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n na n n -=⋅∈N ；方法2：∵()()*121n n n a a n n ++=⋅∈N ，∴121n n a a n n +=+，又111a =，故0n a n≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为2，首项为1的等比数列．∴12n n a n -=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．【小问2详解】 ()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n =，∴12n n b -=.由题知，()()1112232222k k k k k k k b b k c k -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()012213333312223212222222n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333212223212222222n nn T n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以012213333331222222222222n n nn T n ---=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********n n n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.20. 某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．【答案】（1）0.6 （2）分布列见解析，1.9（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解；（2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望；（3）用条件概率公式进行推理证明.【详解】（1）设事件C 为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为61218+=，所以()180.630P C ==．（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1和2，所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==，所以X 的分布列为所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()|P N M P N M >，所以()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-所以()()()P NM P N P M >⋅，所以()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，所以()()()()P NM P NM P N P N >，即()()||P M N P M N >21. 已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．【答案】（1）增区间()0,1和()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()y x ϕ=定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数()y x ϕ=的单调递增区间和递减区间；（2）求得直线l 的方程为001ln 1y x x x =+-，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，可得出0ln t x =-，进而可将直线l 的方程表示为0001ln 1x y x x x +=+，可得0001ln 1x x x +=-，然后利用（1）中的函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）()()11ln 11x x x f x x x x ϕ++=-=---，定义域为()()0,11,+∞ ，()()()222121011x x x x x x ϕ+'=+=>--，所以，函数()y x ϕ=的单调递增区间为()0,1，()1,+∞；（2）()ln f x x =Q ，()001f x x '∴=，所以，直线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-，()x g x e = ，则()x g x e '=，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，则()01t g t e x '==，得0ln t x =-，则切点坐标为001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l 的方程可表示为()00011ln y x x x x -=+，即0001ln 1x y x x x +=+，由题意可得000ln 1ln 1x x x +-=，则0001ln 1x x x +=-，下面证明：存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.由（1）知，函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上单调递增，()2ln 230ϕ=-< ，()22222132011e e e e e ϕ+-=-=>--，的由零点存在定理可知，存在唯一的()202,x e ∈，使得()00x ϕ=，即0001ln 1x x x +=-.所以，存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.因此，在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与与曲线()y g x =相切.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.22. 已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．【答案】（1）24x y =（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）1【解析】【分析】（1）设出圆心(,)D x y ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出,,M N P 的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】设圆心(,)D x y|1|y =+，化简整理得：24x y =，所以曲线C 的方程为：24x y =．【小问2详解】（ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为24x y =，所以2x y '=，∴直线PA 的方程为：()1112x y x x y =-+，即2111124y x x x =-，令0y =，得到12x x =，同理可得直线PB 的方程为：2221124y x x x =-，令0y =，得到22x x =，∴1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y 解得122x x x +=，所以12,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又(0,1)F ，∴1212,1,1,2222x x x x FM FN FP +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）由（ⅰ）知直线PA 的方程为2111124y x x x =-，又2114x y =，所以11102x x y y --=，即11220x x y y --=，同理可知直线PB 的方程为22220x x y y --=，又因为P 在直线PA ，PB 上，设()0,1P x -，则有101202220220x x y x x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以直线AB 的方程为：0220x x y -+=，故直线AB 过点(0,1)F ，∵四边形FNPM 为平行四边形，∴//FM BP ，//FN AP ，∴AMF MPN BNF ∠=∠=∠，FN PM =，PN MF =，BN BF MP NP FA MA ==，∴MP NP MA BN ⋅=⋅， ∵11sin 2S MA MF AMF =∠，21sin 2S PM PN MPN =∠，31||sin 2S NB NF BNF =∠‖，∴2222131sin (||||)||||2111||||||||||||sin ||sin 22PM PN MPN S PM PN PM PN S S MA MF NB NF MA NB MA MF AMF NB NF BNF ⎛⎫∠ ⎪⋅⋅⎝⎭====⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫∠⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖．【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅰⅰ）问的关键在于求出直线AB恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.。

山东省东营市实验中学2024届高三新课标数学试题配套月考试题（5套）考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞2．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=4．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><5．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 6．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则AB =( )A ．{}32x x -<< B ．{}22x x -<< C ．{}62x x -<<D ．{}12x x -<<7．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列8．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．17B ．27C ．13D ．18359．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22B ．2C ．4D ．310．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅11．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．213B 213C ．613D 613二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学试题（文科）注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。

两卷合计150分，考试时间为120分钟。

选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上.第Ⅰ卷（选择题 60分） 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若B A {1,3}=，则b a +的值是 （ ）10.A 9.B 7.C 4.D2．复数i i (113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 （ ）.A (1,1) .B (1,1)- .C (1,1)- .D (1,1)--3．“22ab >”是“22log log a b >”的 （ ）.A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4．直线m l ,与平面γβα,,，满足γβ =l ，α//l ，α⊂m ，γ⊥m ，则必有 （ ） .A γα⊥且m l ⊥ .B γα⊥且β//m .C β//m 且m l ⊥ .D βα//且γα⊥5.在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则155a a =（ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．3-或13-6. 已知某几何体的三视图如图所示．则该几何体的体积是 （ ）A ．332 B ．34 C ．38 D ．47．以点)2,2(-为圆心并且与圆014222=+-++y x y x 相外切的圆的方程是 （ ）xyO 23π2π2πππ23π2-2O yxxyO23π2π2πππ23π2-2OyxA ．9)2()2(22=++-y xB ．9)2()2(22=+++y xC ．16)2()2(22=-+-y xD ．16)2()2(22=++-y x8.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+--≥+-≤022011y x y x x ，则22y x +的最小值为（ ）A ．5B ．552 C ．1 D ．259. 函数|sin tan |sin tan x x x x y --+=在区间⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ内的图像是 A ． B . C . D .10.P 是ABC ∆内的一点，1()3AP AB AC =+，则ABC ∆的面积与ABP ∆的面积之比为（ ）A ．3B ．6C ．2D ．23 11． 在区间]5,1[和]4,2[分别取一个数,记为a b ,, 则方程12222=+by a x 表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为（ ） A ．12 B ．3132 C ．1732 D ．153212. 函数2()f x x bx a =-+的图象如图所示，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是 （ ）A ．11(,)42B ．1(,1)2C ．)2,1(D ．(2,3)第II 卷（非选择题 90分）开始k =k ＝k ＋131n n =+150?n >输出k结束是 否输入n二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上. 13.已知)(x f 是奇函数, ,2)1(,4)()(=+=g x f x g 则)1(-f 的值是 .14.阅读右图程序框图． 若输入5n =，则输出k 的值为___________．15.在ABC ∆中，若1=b ,3=c , 32π=∠C ,则=∆ABC S _______________.16.设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈*N ，若ABC ∆的内角A 满足31)()()(201321=+++A f A f A f ，则A 2sin 的值是 .三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数23()sin cos 3cos f x x x x ωωω=⋅+-（0>ω），直线1x x =，2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为4π． （1）求()f x 的表达式； （2）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）2013年“五一”期间，高速公路车辆较多。