15.3 分式方程2

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人教版八年级数学上册课件：15.3 分式方程(2)

列分式方程解应用题
例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单
独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，
两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的
施工速度快？
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的
1 x
，记
总工程量为1，根据工程的实际进度，得
1 + 1 + 1 =1. 3 6 2x
方程两边同乘6x，得 2x +x +3 =6x.
八年级上册
15.3 分式方程（第2课时）
学习说明
• 学习目标： 1．会解较复杂的分式方程和较简单的含有字母系数的分式方程． 2．能够列分式方程解决简单的实际问题． 3．通过学习分式方程的解法，体会转化的数学思想．
• 学习重点：分式方程的解法．
归纳解分式方程的步骤
例1
解方程
x x-1
-1=（x-1）（3 x+2）.
（b 1）.
解： ∴
x=
ab-2a b-1
．
检验：当
x=
ab-2a b-1
时，x-a

0，
所以，x=
ab-2a b -1
是原分式方程的解．
课堂练习
练习2
解关于x 的方程 m x
-
n x+1
=0
（m n 0）.
解：方程两边同乘（x x+1），得 m（x+1）-nx =0. 化简，得 mx+m-nx=0. 移项、合并同类项，得（m-n）x = -m. ∵ m n 0， ∴ mn 0，
例2
解关于x 的方程
a x-a
+b=1
（b 1）.

15.3+分式方程第2课时+列分式方程解决实际问题课件2024-2025学年人教版八年级数学上册++

解：设实际用了天，则原计划用天，改建的自行车道距离：，，解得，经检验，是原分式方程的解，付给工程队的费用：（万元）答：付给工程队的费用为万元.
能力提升
7.某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售.当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务.
4.解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
3.弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
解：设运输公司用大货车辆，小货车辆，依题意由②得，把④代入③得解得 .方案一：当时，，费用为元；方案二：当时，，费用为元，方案二费用最低，最低运输费用是15 900元.
中考链接
8.（2022·北部湾经济区）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，它的局部画面装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后，整幅画宽与长的比是，且四周边衬宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为，根据题意可列方程( ) .
5.某瓶装饮料每箱价格是26元，某商店对该饮料进行“买一送三”的促销活动，即买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，该品牌饮料每瓶多少元？设该品牌饮料每瓶是元，则可列方程为_ _____________.
6.自行车运动深受市民的喜爱.A地、B地间有一条自行车道.小明从A地出发骑行去B地，小军从B地出发骑行去A地.
（1）小明和小军相约上午8时同时从各自出发地出发，匀速骑行，到上午10时，他们相距，到中午12时，两人又相距 .求A，B两地间的自行车道的距离.

八年级数学上册 15.3 分式方程(第2课时)课件 (新版)新人教版

汽车所用的时间＝自行车所用时间－
2 3
时
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得：
15 15 2 3x x 3
设元时单位一定要准确
即： 5 15 2 x x3
15＝45－2x 2x=30
得到结果记住要检验。
x=15
经检验，15是原方程的根由x＝15得3x=45 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时
由题意得方程：
30 24 48
1.5X X
60
2、农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
分析：设自行车的速度是x千米/时，汽车的速度请是审3题x千分米析/时题请列找方出程请可的根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表意
21 25% 2 x 25% 15% x 3
经检验2，.xx= 3 是原方程的根
14
答这种配件每1只4的成本降低了 3 元。
14
利率售价成本成本
3、工厂生产一种电子配件,每只成本为2元,利率为25%. 后来通过工艺改进,降低成本,在售价不变的情况下,利率增加了15%.问这种配件每只的成本降低了多少?
假设：轮船在静水中的速度是X千米/小时。
速度（千米/小时）时间（小时）路程（千米）
顺水
X+2
逆水
X-2
80
80
x2 80
80
x2
根据题意得：顺水比逆水快一个小时到达。
80 X-2
－
80
X+2
=
1

15.3_分式方程(2)

1 3
,设乙队如果
1 x
单独施工1个月完成总工程的
,那么甲队
1 6 半个月完成总工程的_____,乙队半个月完
1 2x 成总工程的_____,两队半个月完成总工程
1 1 ( ) 6 2x 的_______
.
解: 设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 1 .依题意得
x
1 1 1 1, 3 6 2x
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为x km/h，先考虑下面的填空：
s h，提速后列车的 x 平均速度为 (x+v) km/h，提速后列车运行 (s+50) km
提速前列车行驶s km所用的时间为
所用时间为方程:
s+50 x+v
h. 根据行驶时间的等量关系可以列出
s s+50 x = x+v
完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的 1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件
新产品？
【解析】设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工
1 200 1 200 =10 ， 1.5x件产品，依题意得 x 1.5x
解得：x=40.
经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60.
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.
5.（潼南·中考)某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合
作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多
用30天完成此项工程. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____ 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;

人教版数学八上15.3《分式方程(二)》课件

解整式方程
目标
a是分式方程的解
X=a
检验
最简公分
最简公分
母不为０
母为０
a不是分式方程的解
2 例31 解方程式 x 3 x
解 x=9
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0
所以原方程的解这x=9
例2 解方程
x 1
3
x 1 (x 1)( x 2)
解：方程两边乘（x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
15.3.2分式方程
-----解分式方程
复习：
【分式方程的定义】
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
方程的未知数不在分母中分式方程的分母中含有未知数
思考：一般地，解分式方程时，去分母后所得整
式方程的解有可能使原方程中分母为0，该怎么办？
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解；否则，不是原方程的解。
解得 x=1
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0因此x=1不是原方程的解。
所以原方程无解
练习：
x
2 1
（ x124）1
x25（x 2）x21 x
【小结】
通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步骤吗? 解分式方程的一般步骤的框架图：
分式方程去分母整式方程

八年级数学上册15.3分式方程二导学案新版新人教版2

15.3分式方程（二）【学习目标】：1.理解分式方程的概念和分式方程产生无解的原因.2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程.(体会化归思想）3.体会数学学习带来的快乐.【学习重点】：解分式方程【学习难点】：解分式方程一、自主学习阅读课本P150～ 151页，思考下列问题1．找出下列各组分式的最简公分母：（1）11+x 与11-x 最简公分母：（2）21+a 与412-a 最简公分母：（3）x x +21与661+x 最简公分母：（4）4212+-y y 与21-y 最简公分母： 2．判断下列各式哪个是分式方程．3、独立思考后我还有以下疑惑：二、合作交流探究与展示：1．概念：分式方程：分母中含有的方程叫分式方程。

2．试一试：（1）解分式方程：02111=--x x解：最简公分母为，方程两边同时乘以最简公分母；得：（）×（0)2111=--x x ×（）化简得：（此方程是方程）求解此方程得总结：解分式方程的基本思想是将分式方程化为一元一次方程，方法是方程两边同乘以，去掉分母。

（2）解方程：1x 5-＝210x 25-解：方程两边同乘最简公分母（x －5）（x +5），得解得：检验：将x=5代入原方程，分母x －5= 和2x 25-= ，相应的分式（有或无）意义。

因此，x=5不是原方程的解，即此分式方程无解。

3．归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：（1）将整式方程的解代入，如果的值不为0，则整式方程的解是的解；（2）将整式方程的解代入，如果的值为0，则整式方程的解不是的解，此时原分式方程无解。

三、当堂检测：（1必做 2选做）1、p152练习2、解方程（1）xx x ++=-12122 （2）x x x --=+-21321 （3）87178=----x x x （4） 23749392+--=-+x x x x四、学习反思1、这节课你学到了什么？。

人教版数学-八年级上册15.3 分式方程(2)课件

合作探究
探究3: 两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
达标测试
1.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度.
进货数量
进货总价
进货单价
（单位：件）（单位：元）（单位：元/件）
第一次
x
第二次
2x
8 000 17 600
8000 x
17600 2x
列分式方程解实际问题
解：设第一次购进x件衬衫，由题意得，
17600 - 8000 =4.
2x
x
方程两边都乘以2x，约去分母得，
17 600-16 000 =8x，
课堂小结
（1）借助分式方程解决实际问题时，应把握哪些主要问题？
（2）本节课的分式方程的应用方面应注意些什么？举例说明．
布置作业
教科习题15.3第6、7、8题．
15.3 分式方程（2）
列分式方程解实际问题
例1 某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他用8 000 元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一次购进多少件衬衫？
列分式方程解实际问题
分析：
达标测试
2.一个圆柱形同期的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用t分，求两根水管各自的注水速度.

人教版八年级数学上册15.3 分式方程2

答：甲每小时做18个，乙每小时12个
1、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学
校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从
学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进
速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千
米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
解：设队伍的速度为x，骑车的速度为2x,则 15 15 30 解得x=15
km/h ，提速后列车行驶
（s+50）km所用的时间为
h.
根据行驶时间的等量关系可以列出方程
s s 50 . x xv
分式方程
v，s表示已知数据.
探究新知解方程：s s 50. x xv
解：方程的两边同乘 x(x v), 得
s(x v) x(s 50).
去括号，得sx sv sx 50x.
A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽
车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分
钟．已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆汽
车各自的速度．
解：设小汽车的速度为5x,大汽车的速度为2x,则
135 135 5 30
2x 5x
60
解得x=9
经检验x=9是方程的解．
探究新知例4：某次列车平均提速v km/h.用相
同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多
少？
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h ，先试着完成下面的填空：
提速前列车行驶s km所用的时间为
h，提
速后列车的平均速度为
初中数学课件

八年级数学上册 15.3 分式方程(2)教案 (新版)新人教版

15.3分式方程
课题
15.3分式方程（2）
授课类型
新授
课标ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ据
理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法。
教学目标
知识与
技能
理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法。
过程与
方法
通过探究、交流合作等活动过程，探索分式方程的解题步骤，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想。
解得x＝9
检验：x＝9时x（x－3）≠0，9是原分式方程的解。
例2解方程
解：方程两边同乘（x－1）（x＋2），得
x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3
化简，得x＋2＝3
解得x＝1
检验：x＝1时（x－1）（x＋2）＝0， 1不是原分式方程的解，原分式方程无解。
四．随堂练习
课本152页练习
五．课时小结：解分式方程的一般步骤。
学生活动：小组讨论后总结
（二）总结
（1）为什么要检验根？
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。
情感态度与价值观
在数学活动中，培养学生积极主动交流，学会与人合作，经历检验过程，感受数学的严谨性。
教学重点难点
教学
重点
解分式方程的基本思路和解法。
教学
难点

15.3分式方程课时2-2024-2025学年初中数学八年级上册(人教版)上课课件

所以x=-1不是原分式方程的解. 分式方程的常数项
“1”也要乘以最简
所以原分式方程无解.
公分母(x+1)(x-1).
3.解分式方程：4xx2 -11
3 2x 1
-
4 4x -
2
.
解：原分式方程可化为
(2x
x 1 1)( 2 x
-1)
3 2x 1
-
2
2x -1,
方程两边同乘(2x+1)(2x-1)，得x+1=3(2x-1)-2(2x+1) ，解得x=6，检验：当x=6时，(2x+1)(2x-1)≠0，所以原分式方程的解是x=6.
检验：当x=1.5时，3(x-1)=1.5≠0，
所以原分式方程的解是x=1.5.
分式方程的常数项“1”也要乘以最简公分母3(x-1).
4
2.解分式方程：x2 -1
1
x -1
x 1.
解：方程两边同乘(x+1)(x-1)，得4+x2-1=(x-1)2，
解得x=-1.
检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0，
30 v 30-v
整式方程的解就是①的解，而分式方程
1
x-5
10 x2 -25
②
中去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
相应的分式无意义.
因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解，

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树人学校数学学科教师备课活页（八年级）课题：分式方程2 备课人：时间：
预习目标：
1．会解较复杂的分式方程和较简单的含有字母系数的分式方程．
2．熟练掌握分式方程的一般步骤，体会转化的数学思想．
一、课前预习
自主学习
P150--P1
51
二、后预习
（3分）
（多媒体出示预习目标）三、展示点评（小组展示，讨论交流，教师解惑）
活动一（10分）
活动二（20分）
四、反馈活动三（10分）
活动四（2分）活动一复习巩固解分式
方程的步骤
（学生板书展示互改互评）
1.解方程
（1）
（2）
2. 解分式方程的步骤：
3.练一练
解下列方程：（自我检测）
活动二知识的延伸
（讨论，展示，总结）
1.解关于x 的
方程
2.若分式
1
2
-
x
与1互为相反数，则
x的值是。

3.如果关于x的方程
3
1
3
2
-
-
=
-x
m
x
无解,则m的值等于
（）
A.-3
B.-2
C.-1
D.3
4.关于x的方程
9
3
3
3
1
2-
+
=
+
+
-x
k
x
k
x
有
增根,求k的值.
解分式方
程的步
骤：
（1）去分
母，将分
式方程转
化为整式
方程；
（2）解这
个整式方
程；
（3）检
验．
活动三课堂检测
（自我检测）
2.解方程 1
23-=x x 3.解方程
2
1
2423=---x x x
3.如图,点A,B 在数轴上,它们
所对应的数分别是-3和x
x
--21，
且点A,B 到原点的距离相等,求x 的值.
A B • • • -3 0 x
x --21
活动四课堂小结（抢答）
本节课学习哪几种不同类型分式方程？。