广东省2011年中考数学压轴题复习(18道题+答案)
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2011年广东省初中毕业生学业考试考试用时100分钟,满分为120分一、选择题(本大题5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个选项中,只有个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.1.- 2的倒数是()1 1C . -D .-2 22010年12月8日电,2010年中国粮食总产量达到546 400 000吨,用科学记数法表示为(A . 5.464 X107吨B . 5.464X108吨C . 5. 464X109吨D . 5. 464X1010吨一个球,摸到红球的概率为(1A .-5正八边形的每个内角为(2•据中新社北京4. 3个白球,它们除颜色外都相同, 从中任意摸出5.A . 120o 135o C. 140o 144o二、填空题(本大题5小题,每小题4分, 共20分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.6.已知反比例函数ky 的图象经过(1, - 2),贝Uk7.使x 2在实数范围内有意义的x的取值范围是3.在一个不透明的口袋中,装有5个红球D.若/ A=40o,则/ C=&按下面程序计算:输入x 3,则输出的答案是9.如图,910.如图 ⑴,将一个正六边形各边延长,构成一个正六角星形AFBDCE ,它的面积为1;取△ ABC 和厶DEF 各边中点,连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1,如图⑵中阴影部分;取△ A 1B 1C 1和厶D 1E 1F 1各边中点,连接成正六角星形 A 2F 2B 2D 2C 2E 2,如图 ⑶中阴影部分; 如此下去…,则正六角星形 A 4F 4B 4D 4C 4E 4的面积为 _____________________ .(本大题5小题,每小题6分,共30 分)14. 如图,在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为(一4, 0), O P 的半径为2,将O P 沿x 轴向右平移4个单位长度得O P 1.(1) 画出O P 1,并直接判断O P 与O P 1的位置关系;(2) 设O P 1与x 轴正半轴,y 轴正半轴的交点分别为 A , B ,求劣弧AB 与弦AB 围成的图 形的面积(结果保留n ). 14、(1 )0 P 与O P i 外切。
2011年广东中考数学压轴题1.(11年广东)22.如图,抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点,过点A 的直线与抛物线交于另一点B ,过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为点C (3,0).(1)求直线AB 的函数关系式;(2)动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动,过点P 作PN ⊥x 轴,交直线AB 于点M ,交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒,MN 的长度为s 个单位,求s 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围;(3)设在(2)的条件下(不考虑点P 与点O ,点C 重合的情况),连接CM ,BN ,当t 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形?问对于所求的t 值,平行四边形BCMN 是否菱形?请说明理由.2.(11年广东茂名)25. 如图,在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C (5,0),抛物线对称轴l 与x 轴相交于点M .(1)求抛物线的解析式和对称轴;(3分)(2)设点P 为抛物线(5>x )上的一点,若以A 、O 、M 、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出....点P 的坐标;(2分) (3)连接AC .探索:在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ,使△NAC 的面积最大?若存在,请你求出点N 的坐标;若不存在,请你说明理由.(3分)3.(11年广东河源)21.如图9,已知线段AB 的长为2a ,点P 是AB 上的动点(P 不与A ,B 重合),分别以AP 、PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD .(1)当△APC 与△PBD 的面积之生取最小值时,AP=___________;(直接写结果)(2)连结AD 、BC ,相交于点Q ,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点P 的移动面变化?请说明理由;(3)如图10,若点P 固定,将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)4.(11年广东河源)22.如图11,已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于两点A 、B ,其顶点为C . 第25题图(1)对于任意实数m,点M(m,-2)是否在该抛物线上?请说明理由;(2)求证:△ABC是等腰直角三角形;(3)已知点D在x轴上,那么在抛物线上是否存在点P,使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.5.(11年广东广州)24.(14分)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0)(1)求c的值;(2)求a的取值范围;(3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD 的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<a<1时,求证:S1- S2为常数,并求出该常数。
中考数学综合压轴题100题(附答案)一、中考压轴题1.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.2.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.3.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.4.我们学习了利用函数图象求方程的近似解,例如:把方程2x﹣1=3﹣x的解看成函数y =2x﹣1的图象与函数y=3﹣x的图象交点的横坐标.如图,已画出反比例函数y=在第一象限内的图象,请你按照上述方法,利用此图象求方程x2﹣x﹣1=0的正数解.(要求画出相应函数的图象;求出的解精确到0.1)【分析】根据题意可知,方程x2﹣x﹣1=0的解可看做是函数y=和y=x﹣1的交点坐标,所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1=0的正数解约为1.1.【解答】解:∵x≠0,∴将x2﹣x﹣1=0两边同时除以x,得x﹣1﹣=0,即=x﹣1,把x2﹣x﹣1=0的正根视为由函数y=与函数y=x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标.如图:∴正数解约为1.1.【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系.一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解.5.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ.设AP=x.(1)当PQ∥AD时,求x的值;(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围.【分析】(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ 求x即可;(2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;(3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.【解答】解:(1)当PQ∥AD时,则∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,又∵AB∥CD,∴四边形APQD是矩形,∴AP=QD,∵AP=CQ,AP=CD=,∴x=4.(2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,∴y=.∵0≤y≤6,∴0≤≤6,∴≤x≤.(3)S△BPE=•BE•BP=••(8﹣x)=,S△ECQ==•(6﹣)•x=,∵AP=CQ,∴S BPQC=,∴S=S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ=24﹣﹣,整理得:S==(x﹣4)2+12(),∴当x=4时,S有最小值12,当x=或x=时,S有最大值.∴12≤S≤.【点评】解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.6.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.【分析】利用三角形相似中的比例关系,首先由题目和图形可看出,求AB的长度分成了2个部分,AH和HB部分,其中HB=EF=1.6m,剩下的问题就是求AH的长度,利用△CGE∽△AHE,得出,把相关条件代入即可求得AH=11.9,所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.【解答】解:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即:∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.7.如图,已知△BEC是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC,BD的交点为O.(1)求证:△AEC≌△DEB;(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2 cm,求图中阴影部分的面积.【分析】(1)在△AEC和△DEB中,已知AE=DE,BE=CE,且夹角相等,根据边角边可证全等.(2)由图可知,在连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD之后,整个图形是一个以EF所在直线对称的图形.即△AEO和△DEO面积相等,只要求出其中一个即可,而三角形AEO面积=•OE•FB,所以解题中心即为求出OE和FB,有(1)中结论和已知条件即可求解.【解答】(1)证明:∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,∵△BEC是等边三角形,∴CE=BE,又AE=DE,∴△AEC≌△DEB.(2)解:连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD.由(1)知AC=BD.∵∠ABC=∠DCB=90°,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴AB∥DC,AB==CD,∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形,∴OA=OB=OC=OD,又∵BE=CE,∴OE所在直线垂直平分线段BC,∴BF=FC,∠EFB=90°.∴OF=AB=×2=1,∵△BEC是等边三角形,∴∠EBC=60°.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°,∴BE=AB•cos30°=,在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,∴BF=BE•cos60°=,EF=BE•sin60°=,∴OE=EF﹣OF==,∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,∴△AOE≌△DOE.∴S△AOE=S△DOE∴S阴影=2S△AOE=2וEO•BF=2×××=(cm2).【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质,进行逻辑推理能力和运算能力.8.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,AB=2,M、N分别是边AB、AC的中点,直线MN交⊙O于E、F两点,BD∥AC交直线MN于点D.求出图中线段DM上已有的一条线段的长.【分析】连接OA交MN于点G,则OA⊥BC,由三角形的中位线的性质可得MN的长,易证得△BMD≌△AMN,有DM=MN,由相交弦定理得ME•MF=MA•MB,就可求得EM,DE的值.【解答】解:∵M,N分别是边AB,AC的中点∴MN∥BC,MN=BC=1又∵BD∥AC∴∠DBA=∠A=60°∵BM=AM,∠BMD=∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM=MN=1连接OA交MN于点G,则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG=FG,MG=FN由相交弦定理得:ME•MF=MA•MB∴EM(EM+1)=1解得EM=(EM=不合题意,舍去)∴DE=DM﹣EM=∴DE(3﹣DE)=1解得DE=(DE=不合题意,舍去).【点评】本题利用了三角形的中位线的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,一元二次方程的解法求解.9.如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.解答下列问题:(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;(4)求OA的长.[(2),(3),(4)中的结果保留π].【分析】(1)先求出圆的半径,再根据切线的性质进行解答;(2)根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长,再根据弧长公式求出的长,进而可得出结论;(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MP A的度数,进而可得出的长,【解答】解:(1)∵⊙P的直径=4,∴⊙P的半径=2,∵⊙P与直线有一个交点,∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;故答案为:2,相切;(2)位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等,∵的长为=π,NP=2,∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(3)点N所经过路径长为=2π,S半圆==2π,S扇形==4π,半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形.在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC﹣HC=NC﹣P A=1,于是sin∠NPH==,∴∠NPH=30°.∴∠MP A=60°.从而的长为=,于是OA的长为π+4+π=π+4.【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式,在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系.10.已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论是否成立?【分析】(1)连接C01,利用直径所对圆周角等于90度,以及垂直平分线的性质得出即可;(2)根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1,得出∠ABC=∠E,再利用=,得出∠E=∠AO1C,进而得出CO1∥ED即可求出;(3)根据已知得出∠B=∠EO1C,又∠E=∠B,即可得出∠EO1C=∠E,得出CO1∥ED,即可求出.【解答】(1)证明:连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C=90°即CO1⊥AD,∵AO1=DO1∴DC=AC(垂直平分线的性质);(2)证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵四边形AEDB内接于⊙O1,∴∠E+∠ABD=180°,∵∠ABC+∠ABD=180°,∴∠ABC=∠E,又∵=,∴∠ABC=∠AO1C,∴∠E=∠AO1C,∴CO1∥ED,又AE为⊙O1的直径,∴ED⊥AD,∴O1C⊥AD,(3)(2)中的结论仍然成立.证明:连接AO1,连接AB,延长AO1交⊙O1于点E,连接ED,∵∠B+∠AO1C=180°,∠EO1C+∠AO1C═180°,∴∠B=∠EO1C,又∵∠E=∠B,∴∠EO1C=∠E,∴CO1∥ED,又ED⊥AD,∴CO1⊥AD.【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质,根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键.11.如图①,有四张编号为1、2、3、4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)所求概率为;(2)方法①(树状图法)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为,方法②(列表法)1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为.【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.12.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于40;②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.【分析】(1)根据相似图形的定义知,相似图形的形状相同,但大小不一定相同,相似图形的“接近度”相等.所以若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|;当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形;(2)不合理,举例进行说明.【解答】解:(1)①∵内角为70°,∴与它相邻内角的度数为110°.∴菱形的“接近度”=|m﹣n|=|110﹣70|=40.②当菱形的“接近度”等于0时,菱形是正方形.(2)不合理.例如,对两个相似而不全等的矩形来说,它们接近正方形的程度是相同的,但|a﹣b|却不相等.合理定义方法不唯一.如定义为,越接近1,矩形越接近于正方形;越大,矩形与正方形的形状差异越大;当时,矩形就变成了正方形,即只有矩形的越接近1,矩形才越接近正方形.【点评】正确理解“接近度”的意思,矩形的“接近度”|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.这是解决问题的关键.13.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.【分析】(1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点,顺次连接;(2)将三角形的各顶点,绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点.顺次连接各对应点得△A2B2C2;(3)从图中可发现成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,做它的垂直平分线;(4)成中心对称图形,画出两条对应点的连线,交点就是对称中心.【解答】解:如下图所示:(3)成轴对称图形,根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段,作它的垂直平分线,或连接A1C1,A2C2的中点的连线为对称轴.(4)成中心对称,对称中心为线段BB2的中点P,坐标是(,).【点评】本题综合考查了图形的变换,在图形的变换中,关键是找到图形的对应点.14.图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格.△ABC是格点三角形(顶点在网格交点处),请你完成下面的两个问题:(1)在图(1)中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2,且△A1B1C1与△ABC的相似比是2,△A2B2C2与△ABC的相似比是;(2)在图(2)中用与△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次),拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词.【分析】(1)△A1B1C1与△ABC的相似比是2,则让△ABC的各边都扩大2倍就可.△A2B2C2与△ABC的相似比是;△ABC的直角边是2,所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度.斜边为2.依此画图即可;(2)拼图有审美意义即可,答案不唯一.【解答】解:【点评】本题主要考查了相似图形的画法,做这类题时根据的是相似图形的性质,即相似比相等.对应角相等.15.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连接ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.【分析】(1)可通过连接AD,AD就是等腰三角形ABC底边上的高,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠CAD=∠BAD,根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE,便可证得DE=DB.(2)本题中由于BE⊥AC,那么BE就是三角形ABC中AC边上的高,可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD.进而求出BE的长.【解答】解:(1)DE=BD证明:连接AD,则AD⊥BC,在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一),∴=,∴DE=BD;(2)∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4,∵AB=AC=5,∴S△ABC=•AC•BE=•CB•AD,∴BE=4.8.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,圆周角定理等知识点的运用,用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键.16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC.(1)求证:AP=AO;(2)求证:PE⊥AO;(3)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度.【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;(2)过点O作OD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO,利用“SAS”证明△APE和△OAD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°,从而得证;(3)设C0=3k,AC=8k,表示出AE=CO=3k,AO=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出PE=4k,BC=BD=10﹣4k,再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt △BDO中,利用勾股定理列式求解即可.【解答】(1)证明:∵∠C=90°,∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°,∠ABP+∠APB=90°,又∵∠CBO=∠ABP,∴∠BOC=∠APB,∵∠BOC=∠AOP,∴∠AOP=∠APB,∴AP=AO;(2)证明:如图,过点O作OD⊥AB于D,∵∠CBO=∠ABP,∴CO=DO,∵AE=OC,∴AE=OD,∵∠AOD+∠OAD=90°,∠P AE+∠OAD=90°,∴∠AOD=∠P AE,在△AOD和△P AE中,,∴△AOD≌△P AE(SAS),∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO;(3)解:设AE=OC=3k,∵AE=AC,∴AC=8k,∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k,∴OA=OE+AE=5k.由(1)可知,AP=AO=5k.如图,过点O作OD⊥AB于点D,∵∠CBO=∠ABP,∴OD=OC=3k.在Rt△AOD中,AD===4k.∴BD=AB﹣AD=10﹣4k.∵OD∥AP,∴,即解得k=1,∵AB=10,PE=AD,∴PE=AD=4K,BD=AB﹣AD=10﹣4k=6,OD=3在Rt△BDO中,由勾股定理得:BO===3.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键.17.如图,AD是⊙O的直径.(1)如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是22.5°,∠B2的度数是67.5°;(2)如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,∠B3的度数;(3)如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3C3,…,B n∁n把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示∠B n的度数(只需直接写出答案).【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数,根据圆周角等于所对弧的度数的一半,就可以求出圆周角的度数.【解答】解:(1)垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则是圆的,因而度数是45°,因而∠B1的度数是22.5°,同理的度数是135度,因而,∠B2的度数是67.5°;(2)∵圆周被6等分∴===360°÷6=60°∵直径AD⊥B1C1∴==30°,∴∠B1==15°∠B2==×(30°+60°)=45°∠B3==×(30°+60°+60°)=75°;(3)B n∁n把圆周2n等分,则弧BnD的度数是:,则∠B n AD=,在直角△AB n D中,.【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题,依据是圆周角等于所对弧的度数的一半.18.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得x•2x=288.解这个方程,得x1=﹣12(不合题意,舍去),x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样…(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,然后由题意得,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1,再利用小明的解法求解即可;(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得,即,然后利用比例的性质,即可求得答案.【解答】解:(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由.在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程:设温室的宽为xm,则长为2xm.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x﹣1﹣1)m,长为(2x﹣3﹣1)m.∵,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1;(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即,即,即2AB﹣2(b+d)=2AB﹣(a+c),∴a+c=2(b+d),即.【点评】此题考查了相似多边形的性质.此题属于阅读性题目,注意理解题意,读懂题目是解此题的关键.19.二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示,则a的取值范围是﹣1<a<0.【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点得出c的值,然后根据图象经过的点的情况进行推理,进而推出所得结论.【解答】解:抛物线开口向下,a<0,图象过点(0,1),c=1,图象过点(1,0),a+b+c=0,∴b=﹣(a+c)=﹣(a+1).由题意知,当x=﹣1时,应有y>0,∴a﹣b+c>0,∴a+(a+1)+1>0,∴a>﹣1,∴实数a的取值范围是﹣1<a<0.【点评】根据开口判断a的符号,根据与x轴,y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式.难点是推断出当x=﹣1时,应有y>0.20.今年,我国政府为减轻农民负担,决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元,若两年后人均上缴农业税为16元,假设这两年降低的百分率相同.(1)求降低的百分率;(2)若小红家有4人,明年小红家减少多少农业税?(3)小红所在的乡约有16000农民,问该乡农民明年减少多少农业税?【分析】(1)设降低的百分率为x,则降低一次后的数额是25(1﹣x),再在这个数的基础上降低x,则变成25(1﹣x)(1﹣x)即25(1﹣x)2,据此即可列方程求解;(2)每人减少的税额是25x,则4个人的就是4×25x,代入(1)中求得的x的值,即可求解;(3)每个人减少的税额是25x,乘以总人数16000即可求解.【解答】解:(1)设降低的百分率为x,依题意有,25(1﹣x)2=16,解得,x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去);(2)小红全家少上缴税25×20%×4=20(元);(3)全乡少上缴税16000×25×20%=80 000(元).答:降低的增长率是20%,明年小红家减少的农业税是20元,该乡农民明年减少的农业税是80 000元.【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.21.如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连接DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式;(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?(3)若y=,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?【分析】(1)利用互余关系找角相等,证明△BEF∽△CDE,根据对应边的比相等求函数关系式;(2)把m的值代入函数关系式,再求二次函数的最大值;(3)∵∠DEF=90°,只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,把条件代入即可.【解答】解:(1)∵EF⊥DE,∴∠BEF=90°﹣∠CED=∠CDE,又∠B=∠C=90°,∴△BEF∽△CDE,∴=,即=,解得y=;(2)由(1)得y=,将m=8代入,得y=﹣x2+x=﹣(x2﹣8x)=﹣(x﹣4)2+2,所以当x=4时,y取得最大值为2;(3)∵∠DEF=90°,∴只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形,∴△BEF≌△CDE,∴BE=CD=m,此时m=8﹣x,解方程=,得x=6,或x=2,当x=2时,m=6,当x=6时,m=2.【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来,在解题过程中,充分运用相似三角形对应边的比相等,建立函数关系式.22.在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,由D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.设DE=a,DF=b,且实数a,b满足9a2﹣24ab+16b2=0,并有=2566,∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣=0有两个相等的实数根.(1)试求实数a,b的值;(2)试求线段BC的长.【分析】(1)由题意可知:2a2b=2566,则2a2b=248,则a2b=48.化简9a2﹣24ab+16b2=0得:(3a﹣4b)2=0,则3a﹣4b=0,即3a=4b,则根据,可求得a与b的值;(2)要求BC的长需求出BD和CD的长,知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边.又知在△ABC中,AB=AC,则∠B=∠C,则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可,要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数,根据判别式可以求得∠A的读数.【解答】解:(1)由条件有,解得;(2)又由关于x的方程的判别式△=sin2A﹣sin A+=(sin A﹣)2=0,则sin A=,而∠A为三角形的一个内角,所以∠A1=60°或∠A2=120° 2分当∠A=60°时,△ABC为正三角形,∠B=∠C=60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD=,CD=所以BC=BD+DC=.当∠A=120°时,△ABC为等腰三角形,∠B=∠C=30°同上方法可得BC=14. 3分所以线段BC的长应为或14.【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用.23.某市城建部门经过长期市场调查发现,该市年新建商品房面积P(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)存在函数关系P=25x;年新房销售面积Q(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)的函数关系为Q=﹣10;(1)如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等,求市场新房均价和年新房销售总额;(2)在(1)的基础上,如果市场新房均价上涨1千元,那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少?结合年新房销售总额和积压面积的变化情况,请你提出一条合理化的建议.(字数不超过50)【分析】(1)根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可;(2)分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P,年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况.【解答】解:(1)根据题意得:25x=﹣10,解得x1=2,x2=﹣(舍去),则Q=﹣10=50万平方米,所以市场新房均价为2千元.则年新房销售总额为2000×500000=10亿元.。
2011年广东省中考数学试卷、答案及考点详解一、选择题(本大题5小题,每小题3分,共15分)1、(2011•广东)﹣2的倒数是()A、﹣B、C、2D、﹣2考点:倒数。
分析:根据倒数的定义,即可得出答案解答:解:根据倒数的定义,∵﹣2×(﹣)=1,∴﹣2的倒数是﹣点评:本题主要考查了倒数的定义,比较简单2、(2011•广东)据中新社北京2010年12月8日电,2010年中国粮食总产量达到546400000吨,用科学记数法表示为()A、5.464×107吨B、5.464×108吨C、5.464×109吨D、5.464×1010吨考点:科学记数法—表示较大的数。
专题:常规题型。
分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.解答:解:将546400000用科学记数法表示为5.464×108.故选B.点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.3、(2011•广东)将下图中的箭头缩小到原来的,得到的图形是()A、B、C、D、考点:相似图形。
专题:应用题。
分析:根据相似图形的定义,结合图形,对选项一一分析,排除错误答案.解答:解:∵图中的箭头要缩小到原来的,∴箭头的长、宽都要缩小到原来的;选项B箭头大小不变;选项C箭头扩大;选项D的长缩小、而宽没变.故选A.点评:本题主要考查了相似形的定义,联系图形,即图形的形状相同,但大小不一定相同的变换是相似变换.4、(2011•广东)在一个不透明的口袋中,装有5个红球3个白球,它们除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率为()A、B、C、D、考点:概率公式。
中考数学压轴题集锦精选100题(含答案)一、中考压轴题1.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,以AB为直径的⊙O经过点C.过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.点D为圆上一点,且=,弦AD的延长线交切线PC于点E,连接BC.(1)判断OB和BP的数量关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为2,求AE的长.【分析】(1)首先连接OC,由PC切⊙O于点C,可得∠OCP=90°,又由∠BAC=30°,即可求得∠COP=60°,∠P=30°,然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,证得OB=BP;(2)由(1)可得OB=OP,即可求得AP的长,又由=,即可得∠CAD=∠BAC=30°,继而求得∠E=90°,继而在Rt△AEP中求得答案.【解答】解:(1)OB=BP.理由:连接OC,∵PC切⊙O于点C,∴∠OCP=90°,∵OA=OC,∠OAC=30°,∴∠OAC=∠OCA=30°,∴∠COP=60°,∴∠P=30°,在Rt△OCP中,OC=OP=OB=BP;(2)由(1)得OB=OP,∵⊙O的半径是2,∴AP=3OB=3×2=6,∵=,∴∠CAD=∠BAC=30°,∴∠BAD=60°,∵∠P=30°,∴∠E=90°,在Rt△AEP中,AE=AP=×6=3.【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用,注意掌握辅助线的作法.2.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ.设AP=x.(1)当PQ∥AD时,求x的值;(2)当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时,求x的取值范围;(3)当线段PQ的垂直平分线与BC相交时,设交点为E,连接EP、EQ,设△EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出S的取值范围.【分析】(1)根据已知条件,证明四边形APQD是矩形,再根据矩形的性质和AP=CQ 求x即可;(2)连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y,列出等式(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围;(3)由图形的等量关系列出方程,再根据函数的性质来求最值.【解答】解:(1)当PQ∥AD时,则∠A=∠APQ=90°,∠D=∠DQP=90°,又∵AB∥CD,∴四边形APQD是矩形,∴AP=QD,∵AP=CQ,AP=CD=,∴x=4.(2)如图,连接EP、EQ,则EP=EQ,设BE=y.∴(8﹣x)2+y2=(6﹣y)2+x2,∴y=.∵0≤y≤6,∴0≤≤6,∴≤x≤.(3)S△BPE=•BE•BP=••(8﹣x)=,S△ECQ==•(6﹣)•x=,∵AP=CQ,∴S BPQC=,∴S=S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ=24﹣﹣,整理得:S==(x﹣4)2+12(),∴当x=4时,S有最小值12,当x=或x=时,S有最大值.∴12≤S≤.【点评】解答本题时,涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点,这是一道综合性比较强的题目,所以在解答题目时,一定要把各个知识点融会贯通,这样解题时才会少走弯路.3.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2005年盈利1500万元,到2007年盈利2160万元,且从2005年到2007年,每年盈利的年增长率相同.(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2008年盈利多少万元?【分析】(1)需先算出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率,然后根据2005年的盈利,算出2006年的利润;(2)相等关系是:2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率.【解答】解:(1)设每年盈利的年增长率为x,根据题意得1500(1+x)2=2160解得x1=0.2,x2=﹣2.2(不合题意,舍去)∴1500(1+x)=1500(1+0.2)=1800答:2006年该公司盈利1800万元.(2)2160(1+0.2)=2592答:预计2008年该公司盈利2592万元.【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年,每年盈利的年增长率.等量关系为:2005年盈利×(1+年增长率)2=2160.4.如图,已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,连接PC并延长PC交y轴于点D(0,3).(1)求证:△POD≌△ABO;(2)若直线l:y=kx+b经过圆心P和D,求直线l的解析式.【分析】(1)首先连接PB,由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,可求得∠APB=∠DPO=60°,∠ABO=∠POD=90°,即可得△P AB是等边三角形,可得AB=OP,然后由ASA,即可判定:△POD≌△ABO;(2)易求得∠PDO=30°,由OP=OD•tan30°,即可求得点P的坐标,然后利用待定系数法,即可求得直线l的解析式.【解答】(1)证明:连接PB,∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点,点B、C把三等分,∴∠APB=∠DPO=×180°=60°,∠ABO=∠POD=90°,∵P A=PB,∴△P AB是等边三角形,∴AB=P A,∠BAO=60°,∴AB=OP,∠BAO=∠OPD,在△POD和△ABO中,∴△POD≌△ABO(ASA);(2)解:由(1)得△POD≌△ABO,∴∠PDO=∠AOB,∵∠AOB=∠APB=×60°=30°,∴∠PDO=30°,∴OP=OD•tan30°=3×=,∴点P的坐标为:(﹣,0)∴,解得:,∴直线l的解析式为:y=x+3.【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式.此题综合性较强,难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想的应用.5.广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率.(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【分析】(1)根据题意设平均每次下调的百分率为x,列出一元二次方程,解方程即可得出答案;(2)分别计算两种方案的优惠价格,比较后发现方案①更优惠.【解答】解:(1)设平均每次下调的百分率为x,则6000(1﹣x)2=4860,解得:x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去),故平均每次下调的百分率为10%;(2)方案①购房优惠:4860×100×(1﹣0.98)=9720(元);方案②可优惠:80×100=8000(元).故选择方案①更优惠.【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解,属于中档题.6.用两种方法解答:已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,求代数式(m2+mp+1)(n2+np+1)的值.【分析】本题主要是利用韦达定理来计算.已知m、n是关于x的方程x2+(p﹣2)x+1=0两个实数根,有四个等式可供使用:m+n=2﹣p①,mn=1②,m2+(p﹣2)m+1=0③,n2+(p﹣2)n+1=0④.通过变形方法,合理地选择解题方法.【解答】解:∵m、n是x2+(p﹣2)x+1=0的根,∴m+n=2﹣p,mn=1.方法一:m2+(p﹣2)m+1=0,n2+(p﹣2)n+1=0.即m2+pm+1=2m,n2+pn+1=2n.原式=2m×2n=4mn=4.方法二:(m2+mp+1)(n2+np+1)=(m2+mp)(n2+np)+m2+mp+n2+np+1=m2n2+m2np+mpn2+mnp2+m2+mp+n2+np+1=1+mp+np+p2+m2+n2+mp+np+1=2+p2+m2+n2+2(m+n)p=2+p2+m2+n2+2(2﹣p)p=2+p2+m2+n2+4p﹣2p2=2+(m+n)2﹣2mn+4p﹣2p2+p2=2+(2﹣p)2﹣2+4p﹣2p2+p2=4﹣4p+p2+4p﹣p2=4.【点评】本题主要是通过根与系数的关系来求值.注意把所求的代数式转化成m+n=2﹣p,mn=1的形式,正确对所求式子进行变形是解题的关键.7.如图,⊙O是等边△ABC的外接圆,AB=2,M、N分别是边AB、AC的中点,直线MN交⊙O于E、F两点,BD∥AC交直线MN于点D.求出图中线段DM上已有的一条线段的长.【分析】连接OA交MN于点G,则OA⊥BC,由三角形的中位线的性质可得MN的长,易证得△BMD≌△AMN,有DM=MN,由相交弦定理得ME•MF=MA•MB,就可求得EM,DE的值.【解答】解:∵M,N分别是边AB,AC的中点∴MN∥BC,MN=BC=1又∵BD∥AC∴∠DBA=∠A=60°∵BM=AM,∠BMD=∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM=MN=1连接OA交MN于点G,则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG=FG,MG=FN由相交弦定理得:ME•MF=MA•MB∴EM(EM+1)=1解得EM=(EM=不合题意,舍去)∴DE=DM﹣EM=∴DE(3﹣DE)=1解得DE=(DE=不合题意,舍去).【点评】本题利用了三角形的中位线的性质,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,一元二次方程的解法求解.8.如图,已知△BEC是等边三角形,∠AEB=∠DEC=90°,AE=DE,AC,BD的交点为O.(1)求证:△AEC≌△DEB;(2)若∠ABC=∠DCB=90°,AB=2 cm,求图中阴影部分的面积.【分析】(1)在△AEC和△DEB中,已知AE=DE,BE=CE,且夹角相等,根据边角边可证全等.(2)由图可知,在连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD之后,整个图形是一个以EF所在直线对称的图形.即△AEO和△DEO面积相等,只要求出其中一个即可,而三角形AEO面积=•OE•FB,所以解题中心即为求出OE和FB,有(1)中结论和已知条件即可求解.【解答】(1)证明:∵∠AEB=∠DEC=90°,∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,即∠AEC=∠DEB,∵△BEC是等边三角形,∴CE=BE,又AE=DE,∴△AEC≌△DEB.(2)解:连接EO并延长EO交BC于点F,连接AD.由(1)知AC=BD.∵∠ABC=∠DCB=90°,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴AB∥DC,AB==CD,∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形,∴OA=OB=OC=OD,又∵BE=CE,∴OE所在直线垂直平分线段BC,∴BF=FC,∠EFB=90°.∴OF=AB=×2=1,∵△BEC是等边三角形,∴∠EBC=60°.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°,∴BE=AB•cos30°=,在Rt△BFE中,∠BFE=90°,∠EBF=60°,∴BF=BE•cos60°=,EF=BE•sin60°=,∴OE=EF﹣OF==,∵AE=ED,OE=OE,AO=DO,∴△AOE≌△DOE.∴S△AOE=S△DOE∴S阴影=2S△AOE=2וEO•BF=2×××=(cm2).【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质,进行逻辑推理能力和运算能力.9.如图,有一直径MN=4的半圆形纸片,其圆心为点P,从初始位置Ⅰ开始,在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ,其中,位置Ⅰ中的MN平行于数轴,且半⊙P与数轴相切于原点O;位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴;位置Ⅲ中的MN在数轴上;位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3,且半⊙P与数轴相切于点A.解答下列问题:(1)位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;(2)求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数;(3)纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时,求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积;(4)求OA的长.[(2),(3),(4)中的结果保留π].【分析】(1)先求出圆的半径,再根据切线的性质进行解答;(2)根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长,再根据弧长公式求出的长,进而可得出结论;(3)作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形,在Rt△NPH中,根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MP A的度数,进而可得出的长,【解答】解:(1)∵⊙P的直径=4,∴⊙P的半径=2,∵⊙P与直线有一个交点,∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2;位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切;故答案为:2,相切;(2)位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等,∵的长为=π,NP=2,∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2.(3)点N所经过路径长为=2π,S半圆==2π,S扇形==4π,半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π.(4)如图,作NC垂直数轴于点C,作PH⊥NC于点H,连接P A,则四边形PHCA为矩形.在Rt△NPH中,PN=2,NH=NC﹣HC=NC﹣P A=1,于是sin∠NPH==,∴∠NPH=30°.∴∠MP A=60°.从而的长为=,于是OA的长为π+4+π=π+4.【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式,在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系.10.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连接P A、PB、PC、PD.(1)当BD的长度为多少时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形?并证明;(2)在(1)的条件下,若cos∠PCB=,求P A的长.【分析】(1)根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解;(2)过点P作PE⊥AD于E.根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解.【解答】解:(1)当BD=AC=4时,△P AD是以AD为底边的等腰三角形.∵P是优弧BAC的中点,∴=.∴PB=PC.又∵∠PBD=∠PCA(圆周角定理),∴当BD=AC=4,△PBD≌△PCA.∴P A=PD,即△P AD是以AD为底边的等腰三角形.(2)过点P作PE⊥AD于E,由(1)可知,当BD=4时,PD=P A,AD=AB﹣BD=6﹣4=2,则AE=AD=1.∵∠PCB=∠P AD(在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等),∴cos∠P AD=cos∠PCB=,∴P A=.【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理.11.在△ABC中,AB=BC,将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1,使点C1落在直线BC上(点C1与点C不重合),(1)如图,当∠C>60°时,写出边AB1与边CB的位置关系,并加以证明;(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系(不要求证明);(3)当∠C<60°时,请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1(保留作图痕迹,不写作法),再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立并说明理由.【分析】(1)AB1∥BC.因为等腰三角形,两底角相等,再根据平行线的判定,内错角相等两直线平行,可证明两直线平行.(2)当∠C=60°时,写出边AB1与边CB的位置关系也是平行,证明方法同(1)题.(3)成立,根据旋转变换的性质画出图形.利用三角形全等即可证明.【解答】解:(1)AB1∥BC.证明:由已知得△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(5分)(2)如图1,∠C=60°时,AB1∥BC.(7分)(3)如图,当∠C<60°时,(1)、(2)中的结论还成立.证明:显然△ABC≌△AB1C1,∴∠BAC=∠B1AC1,∴∠B1AB=∠C1AC,∵AC1=AC,∴∠AC1C=∠ACC1,∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1=180°,∴∠C1AC=180°﹣2∠ACC1,同理,在△ABC中,∵BA=BC,∴∠ABC=180°﹣2∠ACC1,∴∠ABC=∠C1AC=∠B1AB,∴AB1∥BC.(13分)【点评】考查图形的旋转,等腰三角形的性质,平行线的判定.本题实质是考查对图形旋转特征的理解,旋转前后的图形是全等的.12.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度CD=3m,标杆与旗杆的水平距离BD=15m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6m,人与标杆CD的水平距离DF=2m,求旗杆AB的高度.【分析】利用三角形相似中的比例关系,首先由题目和图形可看出,求AB的长度分成了2个部分,AH和HB部分,其中HB=EF=1.6m,剩下的问题就是求AH的长度,利用△CGE∽△AHE,得出,把相关条件代入即可求得AH=11.9,所以AB=AH+HB=AH+EF=13.5m.【解答】解:∵CD⊥FB,AB⊥FB,∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即:∴∴AH=11.9∴AB=AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5(m).【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题,利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度.13.一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外其余都相同),其中红球有2个,黄球有1个,任意摸出一个黄球的概率为.(1)试求口袋里绿球的个数;(2)若第一次从口袋中任意摸出一球(不放回),第二次任意摸出一球,请你用树状图或列表法,求出两次都摸到红球的概率.【分析】(1)根据概率的求解方法,利用方程求得绿球个数;(2)此题需要两步完成,所以采用树状图法或者列表法都比较简单,解题时要注意是放回实验还是不放回实验,此题为不放回实验.【解答】解:(1)设口袋里绿球有x个,则,解得x=1.故口袋里绿球有1个.(2)红一红二黄绿红一红二,红一黄,红一绿,红一红二红一,红二黄,红一绿,红二黄红一,黄红二,黄绿,黄绿红一,绿红二,绿黄,绿故,P(两次都摸到红球)=.【点评】(1)解题时要注意应用方程思想;(2)列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.14.已知:y关于x的函数y=(k﹣1)x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2.①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值.【分析】(1)分两种情况讨论,当k=1时,可求出函数为一次函数,必与x轴有一交点;当k≠1时,函数为二次函数,若与x轴有交点,则△≥0.(2)①根据(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系,建立关于k的方程,求出k 的值;②充分利用图象,直接得出y的最大值和最小值.【解答】解:(1)当k=1时,函数为一次函数y=﹣2x+3,其图象与x轴有一个交点.当k≠1时,函数为二次函数,其图象与x轴有一个或两个交点,令y=0得(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0.△=(﹣2k)2﹣4(k﹣1)(k+2)≥0,解得k≤2.即k≤2且k≠1.综上所述,k的取值范围是k≤2.(2)①∵x1≠x2,由(1)知k<2且k≠1,函数图象与x轴两个交点,∴k<2,且k≠1.由题意得(k﹣1)x12+(k+2)=2kx1①,将①代入(k﹣1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得:2k(x1+x2)=4x1x2.又∵x1+x2=,x1x2=,∴2k•=4•.解得:k1=﹣1,k2=2(不合题意,舍去).∴所求k值为﹣1.②如图,∵k1=﹣1,y=﹣2x2+2x+1=﹣2(x﹣)2+.且﹣1≤x≤1.由图象知:当x=﹣1时,y最小=﹣3;当x=时,y最大=.∴y的最大值为,最小值为﹣3.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值,充分利用图象是解题的关键.15.如图①,有四张编号为1、2、3、4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:(1)所求概率为;(2)方法①(树状图法)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为,方法②(列表法)1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(3,2)(4,2)3(1,3)(2,3)(4,3)4(1,4)(2,4)(3,4)共有12种可能的结果:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),∵其中有两种结果(1,2),(2,1)是符合条件的,∴贴法正确的概率为.【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.16.经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.【分析】(1)当20≤x≤220时,设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可;(2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当x<20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论.【解答】解:(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b,由题意,得,解得:,∴当20≤x≤220时,v=﹣x+88,当x=100时,v=﹣×100+88=48(千米/小时);(2)由题意,得,解得:70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在70<x<120范围内;(3)设车流量y与x之间的关系式为y=vx,当0≤x≤20时y=80x,∴k=80>0,∴y随x的增大而增大,∴x=20时,y最大=1600;当20≤x≤220时y=(﹣x+88)x=﹣(x﹣110)2+4840,∴当x=110时,y最大=4840.∵4840>1600,∴当车流密度是110辆/千米,车流量y取得最大值是每小时4840辆.【点评】本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键.17.如图,反比例函数的图象经过点A(4,b),过点A作AB⊥x轴于点B,△AOB 的面积为2.(1)求k和b的值;(2)若一次函数y=ax﹣3的图象经过点A,求这个一次函数的解析式.【分析】(1)由△AOB的面积为2,根据反比例函数的比例系数k的几何意义,可知k的值,得出反比例函数的解析式,然后把x=4代入,即可求出b的值;(2)把点A的坐标代入y=ax﹣3,即可求出这个一次函数的解析式.【解答】解:(1)∵反比例函数的图象经过点A,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,A(4,b),∴OB×AB=2,×4×b=2,∴AB=b=1,∴A(4,1),∴k=xy=4,∴反比例函数的解析式为y=,即k=4,b=1.(2)∵A(4,1)在一次函数y=ax﹣3的图象上,∴1=4a﹣3,∴a=1.∴这个一次函数的解析式为y=x﹣3.【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.18.图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格.△ABC是格点三角形(顶点在网格交点处),请你完成下面的两个问题:(1)在图(1)中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2,且△A1B1C1与△ABC的相似比是2,△A2B2C2与△ABC的相似比是;(2)在图(2)中用与△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次),拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词.【分析】(1)△A1B1C1与△ABC的相似比是2,则让△ABC的各边都扩大2倍就可.△A2B2C2与△ABC的相似比是;△ABC的直角边是2,所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度.斜边为2.依此画图即可;(2)拼图有审美意义即可,答案不唯一.【解答】解:【点评】本题主要考查了相似图形的画法,做这类题时根据的是相似图形的性质,即相似比相等.对应角相等.19.如图,矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,(1)求的长;(2)若,直线MN分别交射线DA、DC于点M、N,∠DMN=60°,将直线MN沿射线DA方向平移,设点D到直线的距离为d,当时1≤d≤4,请判断直线MN与⊙O的位置关系,并说明理由.【分析】(1)连接OE、OF,利用相切证明四边形AFOE是正方形,再根据弧长公式求弧长;(2)先求出直线M1N1与圆相切时d的值,结合1≤d≤4,划分d的范围,分类讨论.【解答】解:(1)连接OE、OF,∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F,∴∠A=90°,∠OEA=∠OF A=90°∴四边形AFOE是正方形∴∠EOF=90°,OE=AE=∴的长==π.(2)如图,将直线MN沿射线DA方向平移,当其与⊙O相切时,记为M1N1,切点为R,交AD于M1,交BC于N1,连接OM1、OR,∵M1N1∥MN∴∠DM1N1=∠DMN=60°∴∠EM1N1=120°∵MA、M1N1切⊙O于点E、R∴∠EM1O=∠EM1N1=60°在Rt△EM1O中,EM1===1∴DM1=AD﹣AE﹣EM1=+5﹣﹣1=4.过点D作DK⊥M1N1于K在Rt△DM1K中DK=DM1×sin∠DM1K=4×sin∠60°=2即d=2,∴当d=2时,直线MN与⊙O相切,当1≤d<2时,直线MN与⊙O相离,当直线MN平移到过圆心O时,记为M2N2,点D到M2N2的距离d=DK+OR=2+=3>4,∴当2<d≤4时,MN直线与⊙O相交.【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定.20.如图所示,AB=AC,AB为⊙O的直径,AC、BC分别交⊙O于E、D,连接ED、BE.(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;(2)如果BC=6,AB=5,求BE的长.【分析】(1)可通过连接AD,AD就是等腰三角形ABC底边上的高,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出∠CAD=∠BAD,根据圆周角定理即可得出∠DEB=∠DBE,便可证得DE=DB.(2)本题中由于BE⊥AC,那么BE就是三角形ABC中AC边上的高,可用面积的不同表示方法得出AC•BE=CB•AD.进而求出BE的长.【解答】解:(1)DE=BD证明:连接AD,则AD⊥BC,在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAD(等腰三角形三线合一),∴=,∴DE=BD;(2)∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4,∴S△ABC=•AC•BE=•CB•AD,∴BE=4.8.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,圆周角定理等知识点的运用,用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键.21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,Rt△BAP中,∠BAP=90°,已知∠CBO=∠ABP,BP交AC于点O,E为AC上一点,且AE=OC.(1)求证:AP=AO;(2)求证:PE⊥AO;(3)当AE=AC,AB=10时,求线段BO的长度.【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;(2)过点O作OD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO=DO,利用“SAS”证明△APE和△OAD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°,从而得证;(3)设C0=3k,AC=8k,表示出AE=CO=3k,AO=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出PE=4k,BC=BD=10﹣4k,再根据相似三角形对应边成比例列式求出k=1然后在Rt △BDO中,利用勾股定理列式求解即可.【解答】(1)证明:∵∠C=90°,∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°,∠ABP+∠APB=90°,又∵∠CBO=∠ABP,∴∠BOC=∠APB,∵∠BOC=∠AOP,∴∠AOP=∠APB,∴AP=AO;(2)证明:如图,过点O作OD⊥AB于D,∵∠CBO=∠ABP,∵AE=OC,∴AE=OD,∵∠AOD+∠OAD=90°,∠P AE+∠OAD=90°,∴∠AOD=∠P AE,在△AOD和△P AE中,,∴△AOD≌△P AE(SAS),∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO;(3)解:设AE=OC=3k,∵AE=AC,∴AC=8k,∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k,∴OA=OE+AE=5k.由(1)可知,AP=AO=5k.如图,过点O作OD⊥AB于点D,∵∠CBO=∠ABP,∴OD=OC=3k.在Rt△AOD中,AD===4k.∴BD=AB﹣AD=10﹣4k.∵OD∥AP,∴,即解得k=1,∵AB=10,PE=AD,∴PE=AD=4K,BD=AB﹣AD=10﹣4k=6,OD=3在Rt△BDO中,由勾股定理得:BO===3.【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出k=1是解题的关键.22.如图,AD是⊙O的直径.(1)如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是22.5°,∠B2的度数是67.5°;(2)如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,∠B3的度数;(3)如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3C3,…,B n∁n把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示∠B n的度数(只需直接写出答案).【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数,根据圆周角等于所对弧的度数的一半,就可以求出圆周角的度数.【解答】解:(1)垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则是圆的,因而度数是45°,因而∠B1的度数是22.5°,同理的度数是135度,因而,∠B2的度数是67.5°;(2)∵圆周被6等分∴===360°÷6=60°∵直径AD⊥B1C1∴==30°,∴∠B1==15°∠B2==×(30°+60°)=45°∠B3==×(30°+60°+60°)=75°;(3)B n∁n把圆周2n等分,则弧BnD的度数是:,则∠B n AD=,在直角△AB n D中,.【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题,依据是圆周角等于所对弧的度数的一半.23.今年,我国政府为减轻农民负担,决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25元,若两年后人均上缴农业税为16元,假设这两年降低的百分率相同.(1)求降低的百分率;(2)若小红家有4人,明年小红家减少多少农业税?(3)小红所在的乡约有16000农民,问该乡农民明年减少多少农业税?【分析】(1)设降低的百分率为x,则降低一次后的数额是25(1﹣x),再在这个数的基础上降低x,则变成25(1﹣x)(1﹣x)即25(1﹣x)2,据此即可列方程求解;(2)每人减少的税额是25x,则4个人的就是4×25x,代入(1)中求得的x的值,即可求解;(3)每个人减少的税额是25x,乘以总人数16000即可求解.【解答】解:(1)设降低的百分率为x,依题意有,25(1﹣x)2=16,解得,x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去);(2)小红全家少上缴税25×20%×4=20(元);(3)全乡少上缴税16000×25×20%=80 000(元).答:降低的增长率是20%,明年小红家减少的农业税是20元,该乡农民明年减少的农业税是80 000元.【点评】本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.24.在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,由D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.设DE=a,DF=b,且实数a,b满足9a2﹣24ab+16b2=0,并有=2566,∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣=0有两个相等的实数根.(1)试求实数a,b的值;(2)试求线段BC的长.【分析】(1)由题意可知:2a2b=2566,则2a2b=248,则a2b=48.化简9a2﹣24ab+16b2=0得:(3a﹣4b)2=0,则3a﹣4b=0,即3a=4b,则根据,可求得a与b的值;(2)要求BC的长需求出BD和CD的长,知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边.又知在△ABC中,AB=AC,则∠B=∠C,则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可,要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数,根据判别式可以求得∠A的读数.【解答】解:(1)由条件有,解得;(2)又由关于x的方程的判别式△=sin2A﹣sin A+=(sin A﹣)2=0,则sin A=,而∠A为三角形的一个内角,所以∠A1=60°或∠A2=120° 2分当∠A=60°时,△ABC为正三角形,∠B=∠C=60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD=,CD=所以BC=BD+DC=.当∠A=120°时,△ABC为等腰三角形,∠B=∠C=30°同上方法可得BC=14. 3分所以线段BC的长应为或14.【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用.25.某市城建部门经过长期市场调查发现,该市年新建商品房面积P(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)存在函数关系P=25x;年新房销售面积Q(万平方米)与市场新房均价x(千元/平方米)的函数关系为Q=﹣10;(1)如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等,求市场新房均价和年新房销售总额;(2)在(1)的基础上,如果市场新房均价上涨1千元,那么该市年新房销售总额是增加还是减少?变化了多少?结合年新房销售总额和积压面积的变化情况,请你提出一条合理。
2011年全国各地中考数学专集答案三、反比例函数1.解:(1)作AM⊥x轴于M,BN⊥x轴于N,设AM交OB于点E则S△AOM=S△BON∴S△AOE=S梯形BEMN,∴S△AOB=S梯形BAMN由题意知,A(a,-4a),B(2a,-2a)∴AM=-4a,BN=-2a,MN=-a∴S△AOB=12(-4a-2a)(-a)=3 ·······································································4分(2)作BE⊥x轴于E∵四边形ABCD为正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°∴∠BCE+∠OCD=90°又∠BCE+∠EBC=90°,∴∠EBC=∠OCD∴Rt△EBC≌Rt△OCD,∴BE=CO又A(a,-4a),B(2a,-2a),点C在x轴上,点D在y轴上∴C(a,0),D(0,-2a),∴-2a=-a分2又∵点P在反比例函数=-2x(x<0)图象上,且纵坐标为53∴P(-65,53)把x=-65代入y=x+2,得y=45,∴EM=45S△EOF=S△AOF-S△AOE=12×2×53-12×2×45=1315 ··················································4分(2)以AE、EF、BF为边的三角形是直角三角形理由如下:由题意知△AOB 是等腰直角三角形,则△AME 又-2<a <0,0<b <2,AM =2-(-a)=2+a∴AE 2=(2AM)2=2a2+8a +8而BN =2-b ,∴BF 2=(2BN)2=2b2-8b +8PE =PM -EM =PM -AM =b -(2+a)=b -a -2又ab =-2,∴EF 2=(2PE)2=2a2+2b2+8a -8b ∵|a|≠|b|,∴AE ≠BF又(2a2+8a +8 )+(2b2-8b +8)=2a 2+2b2+8a -8∴AE 2+BF 2=EF 2故以AE 、EF 、BF 为边的三角形是直角三角形 ···················································· 9分3.解:(1)∵y =3,∴3=63x∴x =2 3∴a =33+23=5 3 ···················································································· 2分 (2)①∵tan ∠AOB =333=33,∴∠AOB =30° 又∵OA =OB ,∴当α=30°时,点B 的坐标为(-33,-3)∴k =(-33)(-3)=9 3 ················································································ 4分 ②能 ··········································································································· 5分 ∵A (-33,3),OA =OB ,∴OB =OA 将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α由①知反比例函数为y =93 x,若点B 在则(-6cos α)(-6sin α)=93,即sin αcos α∵0°<α<90°,sin α1-sin 2α=34整理得:16sin 4α-16sin 2α+3=0,∴sin 2α∴sin α=1 2或sin α= 32,∴α=30°或α=当α=30°时,点A 在x 轴上,舍去当α=60°时,点A 坐标为(-33,-3)∴α=60° ········································图34.解:(1)过点A 分别作AM ⊥y 轴于M ,AN ⊥x 轴于N ,如图1∵△AOB 是等腰直角三角形,∴AM =AN ∴设点A 的坐标为(a ,a )∵点A 在直线y =3x -4上,∴a =3a -4,解得a =2 ∴A (2,2) ················································· 1分∵反比例函数y =kx(x >0)的图象经过点A∴2=k2,∴k =4 ············································ 2分∴反比例函数的解析式为y =4x·························· 3分(2)∵A (2,2),∴AO 2=22+22=8把x =0代入y =3x -4,得y =-4 ∴C (0,-4),∴OC =4在Rt △COD 中,CD 2=OC 2-OD 2 ① 在Rt △AOD 中,AD 2=OA 2-OD 2 ②①-②,得CD 2-AD 2=OC 2-OA 2=16-8 ··········· 7分 (3)①若∠P AQ =90°,AP =AQ ,如图2连接BQ在△AOP 和△ABQ 中∵AO =AB ,∠OAP =∠BAQ =90°-∠P AB ,AP =AQ ∴△AOP ≌△ABQ ,∴∠ABQ =∠AOP =45° 又∠ABO =45°,∴∠OBQ =90°,即QB ⊥OB ∵A (2,2),∴B (4,0)把x =4代入y =4x,得y =1∴Q 1(4,1) ················································· 8分 ②若∠AQP =90°,AQ =PQ ,如图3过A 作AC ⊥x 轴于C ,过Q 分别作QD ⊥AC 于D ,QE ⊥x 轴于E 在Rt △ADQ 和Rt △PEQ 中∵AQ =PQ ,∠AQD =∠PQE =90°-∠DQP ∴Rt △ADQ ≌Rt △PEQ ,∴AD =PE ,DQ =EQ设Q (m ,4 m ),则OE =m ,CE =DQ =EQ =4m由OC +CE =OE ,得2+ 4m=m ,∴m =1± 5∵m >0,∴m =1-5 不合题意,舍去,∴m =1+ 5 ∴Q 2(5+1,5-1) ····································10分 ③若∠APQ =90°,P A =PQ ,如图4过A 作AC ⊥x 轴于C ,过Q 作QD ⊥x 轴于D在Rt △ACP 和Rt △PDQ 中∵P A =PQ ,∠APC =∠PQD =90°-∠DPQ∴Rt △ACP ≌Rt △PDQ ,∴AC =PD ,CP =DQ设Q (n ,4 n ),则OD =n ,CP =DQ =4n,PD =AC =2由OC +CP +PD =OD ,得2+ 4n+2=n ,∴n =2±2 2∵n >0,∴n =2-22 不合题意,舍去,∴n =2+2 2∴Q 3(22+2,22-2) ······························································· 12分 综上所述,在反比例函数的图象上一共存在三个符合条件的点Q ,其坐标分别为: ∴Q 1(4,1),Q 2(5+1,5-1),Q 3(22+2,22-2)5.解:(1)∵反比例函数y =4-2mx(x >0)的图象在第四象限 ∴4-2m <0,∴m >2 ···································································· 2分 (2)∵点A (2,-4)在反比例函数y =4-2mx的图象上 ∴-4=4-2m2,解得m =6 ····························································· 4分 ∴反比例函数为y =-8x过点A 、B 分别作AM ⊥OC 于点M ,BN ⊥OC 于点N ∴∠BNC =∠AMC =90°又∵∠BCN =∠ACM ,∴△BCN ∽△ACM ∴BNAM=BCAC∵BCAB=1 3,∴BCAC = 1 4 ,即BNAM =1 4∵AM =4,∴BN =1∴点B 的纵坐标是-1 ············································∵点B 在反比例函数y =-8x的图象上,∴当y =-1时,x =8∴点B 的坐标是(8,-1)······························································ 7分 ∵一次函数y =kx +b 的图象过点A (2,-4)、B (8,-1)∴⎩⎪⎨⎪⎧2k +b =-48k +b =-1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k =12b =-5∴一次函数的解析式是y =12x -5 ····················································· 8分(3)0<x<2或8<x<5+41 ····························································· 10分6.解:(1)k =1×2=2 ·················································································· 2分(2)当k >2时,如图1,点E 、F 分别在P 点的右侧和上方作EC ⊥x 轴于C ,作FD ⊥y 轴于D ,EC 与FD 相交于点G ,则四边形OCGD 为矩形 ∵PF ⊥PE∴S △PEF=1 2 PE ·PF = 1 2 ( k 2 -1)( k -2)= 14k 2-k+1 ··············∵四边形PFGE 为矩形,∴S △GEF=S △PEF S △OEF=S 矩形OCGD-S △GEF-S △ODF-S △OCE=k 2 ·k -(1 4 k 2-k +1)-k = 1 4k2-1 ·························· 5分 ∵S △OEF =2S △PEF ,∴ 1 4 k 2-1=2( 14k 2-k+1)解得k =2或k =6∵k =2时,E 、F 重合,∴k =6∴E 点坐标为(3,2) ········································· 6分 (3)存在点E 及y 轴上的点M ,使得△MEF 与△PEF 全等①当k <2时,如图2,只可能△MEF ≌△PEF 作FH ⊥y 轴于H ,由△FHM ∽△MBE 得:BMHF=EMMF∵HF =1,EM =EP =1-k2,MF =PF =2-k∴ BM 1 = 1-k 22-k ,∴BM =12··································· 7分在Rt △BME 中,由勾股定理得:EM 2=BE 2+BM 2 ∴(1-k 2 )2=(k 2)2+(1 2)2,解得k =3 4此时E 点坐标为(38,2) ···································· 8分②当k >2时,如图3,只可能△MFE ≌△PEF 作FQ ⊥y 轴于Q ,由△FQM ∽△MBE 得:BMQF=EMMF∵QF =1,EM =PF =k -2,MF =PE =k2-1BM 1= k -2k2-1,∴BM =2 ······································ 9分 在Rt △MBE 中,由勾股定理得:EM 2=BE 2+BM 2∴(k -2)2=(k 2)2+22,解得k =0(不合题意,舍去)或k =163此时E 点坐标为(83,2)综上所述,符合条件的E 点坐标为(3 8,2)和(83,2) ······················ 10分图37.解:(1)∵点B (2,1)在曲线y =mx(x >0)上∴m =1×2=2 ··············································································· 1分 设直线l 的解析式为y =kx +b ∵直线l 经过点A (1,0),B (2,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧k +b =02k +b =1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1b =-1 ∴直线l 的解析式为y =x -1 ··························································· 4分 (2)∵点P (p ,p -1)在直线y =2上∴p -1=2,即p =3,∴P (3,2)把y =2分别代入y =2 x和y =- 2x,得x =1和x ∴M (1,2),N (-1,2)∴PM =2,PN =4,P A =22,PB = 2∴PMPN=PBP A=1 2,又∵∠BPM =∠APN ∴△PMB ∽△PNA ·····································(3)存在∵点P (p ,p -1)(p >1),∴点P 在直线l 上∵点P (p ,p -1)(p >1),∴M 、N 两点的纵坐标都为p -1 把y =p -1分别代入y =2 x和y =- 2 x ,得x =2 p -1和x =-2 p -1∴M (2 p -1,p -1),N (-2p -1,p -1)∵S △AMN=4S △APM,△AMN 和△APM 等高,∴①当1<p<2时,点P 在点M 的左侧MN =4p -1,PM =2p -1-p∴4p -1=4(2p -1-p)整理得p2-p -1=0,解得p =1±52∵1<p<2,∴p =1-52不合题意,舍去 ∴p =1+52·············································②当p >2时,点P 在点M 的右侧 MN =4p -1,PM =p -2p -1∴4p -1=4(p -2p -1)整理得p2-p -3=0,解得p =1±132∵p>2,∴p=1-132不合题意,舍去∴p=1+132··············································································14分综上所述,存在实数p=1+52或p=1+132,使得S△AMN8.解:(1)点P在线段AB上,理由如下:∵点O在⊙P上,且∠AOB=90°∴AB是⊙P的直径∴点P在线段AB上(2)过点P作PP1⊥x轴,PP2⊥y轴由题意可知PP1、PP2是△AOB的中位线故S△AOB=12OA·OB=12×2PP1·2PP2=2PP1·PP2∵P是反比例函数y=6x(x>0)图象上的任意一点∴PP1·PP2=6∴S△AOB=2PP1·PP2=12(3)连接MN,则点Q在线段MN上,且S△MON=S△AOB=12∴OA·OB=OM·ON,即OAOM=ONOB又∵∠AON=∠MOB,∴△AON∽△MOB ∴∠OAN=∠OMB∴AN∥MB9.解:(1)∵点E、F在函数y=kx(x>0)的图象上,∴设E(x1,kx1)(x1>0),F(x2,kx2)(x2>0) ·································· 1分∴S1=12·x1·kx1=k2,S2=12·x2·kx2=k2 ··················∵S1+S2=2,∴k2+k2=2,∴k=2 ·················· 4分(2)∵四边形OABC为矩形,OA=2,OC=4设E(k2,2),F(4,k4) ······························· 5分∴BE=4-k2,BF=2-k4 ······························· 6分∴S△BEF=12(4-k2)(2-k4)=116k2-k+4 ·········· 7分S△OCF=12×4×k4=k2,S矩形OABC=2×4=8 ········ 8分∴S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=8-(116k2-k +4)-k 2=-1 16 k 2+ k2 +4=- 116( k -4)2+5 ···················· 9分 ∴当k =4时,S 四边形OAEF=5,∴AE =2当点E 运动到AB 的中点时,四边形OAEF 的面积最大,最大值是5 ······ 10分10.解:(1)∵y =(3-m)x2+2(m -3)x +4m -m2=(3-m)(x2-2x +1)+4m -m2-3+m=(3-m)(x -1)2-m2+5m -3∴A (1,-m2+5m -3) ································································ 1分∵点A 在双曲线y =3x上,∴1×(-m2+5m -3)=3解得m =2或m =3∵二次项系数3-m ≠0,∴m ≠3∴m =2,A (1,3) ····································································· 2分 ∵直线y =mx +b 经过点A ,∴2×1+b =3,∴b =1 ···························· 3分 ∴直线AB 的解析式为y =2x +1 ····················································· 4分 (2)由y =2x +1,可得B (0,1),C (-1 2,0)将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°,得点B 的对应点为D (1,0),点C 的对应点为E (0,12)可得直线DE 的解析式为y =-1 2 x +12············································· 5分由 ⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +1y =- 1 2 x +1 2得两直线交点为G (- 1 5,3 5) ····························· 6分 可得DE ⊥BC ,BD =2,BG =55∴sin ∠BDE =BGBD=OBAB=1010······················································ 8分 (3)N 1(5,1),N 2(-3,1) ····················································· 10分 解答过程如下(本人添加,仅供参考)连接AF ,易得F (3,1),AF =22,∠AFB =MF =6+1-3=4,当点N 在点F 右侧时,则∠AFB =∠F AN +∠∵∠AMF +∠ANF =45°,∴∠F AN =∠AMF 又∠AFN =∠AFM ,∴△AFN ∽△MF A ∴AFNF=MFAF,即22NF=422,∴NF =2 ∴N 1(5,1)由抛物线的对称性可得,当点N 在点F11.解:(1)根据反比例函数图形的对称性可知点∵∠BAC =60°,AB =4,∴∠BON =∴在△BON 中,ON=OB cos60°=1,∴点B 的坐标为(1,3),点A ∵点B 在直线y =mx 和双曲线y =k x∴m =31=3,k =1×3= 3 (2)∵∠QON +∠NOP =90°,∠MOP +∴∠QON =∠MOP又∵∠OMP =∠ONQ =90°,∴△∴MPQN=OMON,即xQN=3 1,∴QN 在Rt △PCQ 中,PC =1-x ,QC =33x ∴L =PC 2+QC 2=43x 2+4即L 与x 的函数关系式为L =43x 2+4(-1≤x ≤1) (3)S △PQC=1 2 PC ·QC = 1 2 ( 1-x )(3 3 x +3)=32整理得x2+2x =0,解得x 1=0或x 2=-2此时点P 的坐标为(0,-3)或(-2,-3)12.解:(1)在y =ax +1中,令y =0,得x =-1a;令x =0,得y =1∴A (-1a,0),B (0,1)∴S △AOB=1 2 ×|-1 a |×1=32∴a =±33················································································ 1分 ①当a =33 时,直线的解析式为y =33x +1 ∵点C (-23,m )为直线与双曲线在第三象限的交点 ∴k >0,m<0,且k 、m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m =33×(-23)+1m =k-23解得:⎩⎨⎧k =23m =-1∴a =33,m =-1,k =2 3 ·························································· 4分 ②当a =-33 时,直线y =-3 3 x +1经过一、二、四象限,与双曲线y =kx不可能在第三象限有交点∴a =-33不合题意,舍去 ···························································· 5分综上所述,a =33,m =-1,k =2 3 (2)由(1)知,A (-3,0),B (0,1∴OA =3,OB =1,∴∠OBA =60°由作图可知,点D 在y ①当点D 在y 轴负半轴上时作CE ⊥y 轴于E ,则E (0,-1),∴∵△BCD 为等边三角形,∴DE =BE =∴OD =3,∴D 1(0,-3) ············ 7②当点D 在第二象限时∵∠BCD =∠OBA =60°,∴DC ∥y 轴 ∴点D 的横坐标为-2 3∵B (0,1),C (-23,-1),∴BC ∴DC =4,∴点D 的纵坐标为3 ∴D 2(-23,3)综上所述,D 点的坐标为(0,-3)或(-23,3) ··························· 9分13.解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +8y =kx得2x2+8x -k =0 ∴x 1+x 2=-4,x 1x 2=-k 2由⎩⎪⎨⎪⎧x 1+x 2=-4x 1-x 2=2 解得x 1=-1,x 2=-3 ∴k =-2x 1x 2=-6 ······································································· 3分(2)由(1)知,反比例函数为y =-6x把x 1=-1,x 2=-3分别代入上式,得y 1=6,y 2=2 ∴A (-1,6),B (-3,2)设一次函数y =2x +8的图象与x 轴交于点C ,则C (-4,0)∴S △AOB=S △AOC-S △BOC=1 2 ×4×6-12×4×2 =8 ················································································ 6分(3)设过点A 且与OB 平行的直线与x 轴交于点D ,与抛物线交于点E分别过A 、B 、E 作x 轴的垂线,垂足分别为AA 1、BB 1、EE 1 ∵B (-3,2),∴OB =(-3)2+22=13∵AD ∥BO ,∴∠ADA 1=∠BOB 1∴sin ∠BOB 1=2 13 ,cos ∠BOB 1=313∵AD ∥BO ,∴∠ADA 1=∠BOB 1∴sin ∠ADA 1=sin ∠BOB 1=2 13 ,cos ∠ADA 1=cos ∠BOB 1=313∴AD = AA 1sin ∠ADA 1=313,A 1D =AD ·cos ∠ADA 1=9由题意,AE =13,∴ED =213∴E 1D =ED ·cos ∠ADA 1=6,EE 1=ED ·sin ∠ADA 1=4 OE 1=A 1D -A 1O -E 1D =9-1-6=2∴E (2,4) ··············································································· 8分 设所求抛物线的解析式为y =ax2+bx +c ,则: ⎩⎪⎨⎪⎧a -b +c =69a -3b +c =24a +2b +c =4解得:a =-8 15,b =-2 15,c =32 5∴抛物线的解析式为y =- 8 15x2- 2 15 x +325······································ 10分14.解:(1)设直线得⎩⎨⎧b =232k +b =0 解得⎩⎨⎧k =-3b =23∴直线AB 的解析式为y =-3x +23将D (-1,a )代入y =-3x +23,得a =33∴D (-1,33),将D (-1,33)代入y =mx中,得m =-33∴反比例函数的解析式为y =-3 3x(2)解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y =-3x +23y =-33x得⎩⎨⎧x 1=3y 1=- 3 ⎩⎨⎧x 2=-1y 2=33 ∴点C 坐标为(3,-3)过点C 作CH ⊥x 轴于点H 在Rt △OMC 中,CH =3,OH =3∴tan ∠COH =CHOH=33,∴∠COH =30° 在Rt △AOB 中,tan ∠ABO =AOOB=232=3∴∠ACO =∠ABO -∠COH =30° (3)如图,∵OC ′⊥AB ,∠ACO =30°∴α=∠COC ′=90°-30°=60°,∠BOB ′=α=60° ∴∠AOB ′=90°-∠BOB ′=30° ∵∠OAB =90°-∠ABO =30° ∴∠AOB ′=∠OAB ,∴AB ′=OB ′=2故当α为60度时OC ′⊥AB ,此时线段AB ′的长为15.解:(1)∵E (2,4),∴k =2×4=8∵点F 的横坐标为6,点F 的纵坐标为8 6=43∴F (6,43)设经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式为y =ax2+bx∴⎩⎪⎨⎪⎧4a +2b =436a +6b =4 3解得a =-4 9,b =26 9∴所求抛物线的解析式为y =- 4 9x2+ 269x ·············· 3分(2)设直线EF 的解析式为y =kx +b 1∴⎩⎪⎨⎪⎧2k +b =46k +b =4 3解得k =-2 3,b 1=163∴直线EF 的解析式为y =-2 3x +16 3过O 作OP ∥EF ,交抛物线于点P ,则点P 即为所求的点 ∴直线OP 的解析式为y =-23x解方程组 ⎩⎨⎧y =-23x y =- 4 9x2+ 26 9x得⎩⎪⎨⎪⎧x 1=0y 1=0 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2=8y 2=-16 3。
2011年广东省初中毕业生学业考试数 学 试 题全卷共6页,考试用时100分钟,满分为120分。
一、选择题(本大题5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,1.-3的相反数是( ) A .3B .31C .-3D .31-2.如图,已知∠1 = 70º,如果CD ∥BE ,那么∠B 的度数为(A .70ºB .100ºC .110ºD .120º3.某学习小组7位同学,为玉树地震灾区捐款,捐款金额分别为57元,8元,9A .6,6B 45.下列式子运算正确的是( ) B .248=C .331= D .4321321=-++4分,共20分)6. 日电:世博会开园一个月来,客流平稳,累计至当晚19时,参观者已超过8000000人次。
试用科学记数法表示8000000=_______________________。
7.化简:11222---+-y x y xy x =_______________________。
8.如图,已知Rt △ABC 中,斜边BC 上的高AD=4,cosB=54,则AC=____________。
9.已知一次函数b x y -=与反比例函数xy 2=的图象,有一个交点的纵坐标是2,则b 的值为________。
D .第4题图第8题图ABC D1C 2DC 1C D E10.如图(1),已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1;把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图(2));以此下去···,则正方形A4B4C4D4的面积为__________。
三、解答题(一)(本大题5小题,每小题6分,共30分)11.1001()260(2)2cosπ--+-。
12.解方程组:⎩⎨⎧=-+=-433222yyxyx13.如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,Rt△ABC的顶点均在格点上,在建立平面直角坐标系后,点A的坐标为(-6,1),点B的坐标为(-3,1),点C的坐标为(-3,3)。
2011年东莞市中考数学压轴题21.如图(1),△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形,AC 与DE 重合,AB=AC=EF=9,△BAC=△DEF=90º,固定△ABC ,将△DEF 绕点A 顺时针旋转,当DF 边与AB 边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE ,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G ,H 点,如图(2) (1)问:始终与△AGC 相似的三角形有 及 ;(2)设CG=x ,BH=y ,求y 关于x 的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由) (3)问:当x 为何值时,△AGH 是等腰三角形. 【答案】解:(1)△HAB ,△HGA 。
(2)∵△AGC ∽△HAB ,∴AC GCHB AB=,即9=9x y 。
∴81=y x。
又△BC=229992092<x <+=∴ ,。
∴y 关于x 的函数关系式为()81=092y <x <x。
(3)①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时,如图1,可知9222BC x CG ===。
②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图2, 在△HGA 和△AGC 中△△AGH=△CGA ,△GAH=△C=450, ∴△HGA ∽△AGC 。
△AG=AH ,∴9x CG AC ===③当CG >BC 时,由(1)△AGC ∽△HGA , 所以,若△AGH 必是等腰三角形,只可能存在GH=AH , 若GH=AH ,则AC=CG ,此时x=9, 如图(3),当CG=BC 时,题21图(1)BHFA (D )GCEC (E )BFA (D )题21图(2)注意:DF才旋转到与BC垂直的位置,此时B ,E,G 重合,∠AGH=∠GAH=45°,所以△AGH 为等腰三角形,所以CG=9.综上所述,当x=9或x=或9时,△AGH是等腰三角形.22.如图,抛物线2517144y x x=-++与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).(1)求直线AB的函数关系式;(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.22、略解:(1)易知A(0,1),B(3,2.5)=121+xO xAMNBP C题22图(2) )30(41545)121(14174522≤≤+-=+-++-=-==t t t t t t MP NP MN s(3)若四边形BCMN 为平行四边形,则有MN =BC ,此时,有25415452=+-t t ,解得11=t ,22=t 所以当t =1或2时,四边形BCMN 为平行四边形.①当t =1时,23=MP ,4=NP ,故25=-=MP NP MN , 又在Rt △MPC 中,2522=+=PC MP MC ,故MN =MC ,此时四边形BCMN 为菱形②当t =2时,2=MP ,29=NP ,故25=-=MP NP MN ,又在Rt △MPC 中,522=+=PC MP MC ,故MN ≠MC ,此时四边形BCMN 不是菱形.。
(2012年1月最新最细)2011全国中考真题解析120考点汇编☆压轴题241.(2011黑龙江大庆,28,8分)二次函数:y=ax 2﹣bx+b (a >0,b >o )图象顶点的纵坐标不大于.(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围;(2)若该二次函数图象与x 轴交于A ,B 两点,求线段AB 长度的最小值. 考点:抛物线与x 轴的交点;二次函数的性质。
分析:(1)先求出y=ax 2﹣bx+b (a >0,b >0)的顶点的纵坐标,根据题意得出≥3,即可得出该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围;(2)设A (x 1,0),B (x 2,0)(x 1<x 2),则x 1、x 2是方程ax 2﹣bx+b=0的两根,由求根公式得出x 1、x 2,根据AB =|x 2﹣x 1|求出线段AB 长度的最小值.解答:解:(1)由于y=ax 2﹣bx+b (a >0,b >0)图象的顶点的纵坐标为,则≤﹣,得≥3,∴该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围是不小于3; (2)设A (x 1,0),B (x 2,0)(x 1<x 2) 则方程ax 2﹣bx+b=0的两根,得x 1=,x 2=,从而AB =|x 2﹣x 1|==ab ab ⋅-4)(2=4)2(2--ab由(1)知≥6.由于当≥6时,随着的增大,4)2(2--ab也随着增大, 所以=6时,线段AB 长度的最小值为2.点评:本题是一道综合性的题目,考查了抛物线与x 轴的交点问题以及二次函数的性质,是中考压轴题,难度较大.42. (2011•郴州)如图,在平面直角坐标系中,A 、B 两点的坐标分别是(0,1)和(1,0),P 是线段AB 上的一动点(不与A 、B 重合),坐标为(m ,1﹣m )(m 为常数). (1)求经过O 、P 、B 三点的抛物线的解析式;(2)当P 点在线段AB 上移动时,过O 、P 、B 三点的抛物线的对称轴是否会随着P 的移动而改变;(3)当P 移动到点()时,请你在过O 、P 、B 三点的抛物线上至少找出两点,使每个点都能与P 、B 两点构成等腰三角形,并求出这两点的坐标.考点:二次函数综合题。
中考数学压轴题复习20题1.在平面直角坐标系xO y 中,抛物线y =-41 m x2+45mx +m2-3m +2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ,点B (2,n )在这条抛物线上.(1)求点B 的坐标;(2)点P 在线段OA 上,从O 点出发向A 点运动,过P 点作x 轴的垂线,与直线OB 交于点E ,延长PE 到点D ,使得ED =PE ,以PD 为斜边,在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时,C 点、D 点也随之运动).①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时,求OP 的长;②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动,P 点也同时停止运动).过Q 点作x 轴的垂线,与直线AB 交于点F ,延长QF 到点M ,使得FM =QF ,以QM 为斜边,在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时,M 点、N 点也随之运动).若P 点运动到t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t 的值.2.在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,OA =3,OB =4,D 为边OB 的中点.(Ⅰ)若E 为边OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点E 的坐标;(Ⅱ)若E 、F 为边OA 上的两个动点,且EF =2,当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标.3.在平面直角坐标系中,已知抛物线y =-x2+bx +c 与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧),与y 轴的正半轴交于点C ,顶点为E .(Ⅰ)若b =2,c =3,求此时抛物线顶点E 的坐标;(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE=S △ABC,求此时直线BC的解析式;(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE=2S △AOC,且顶点E 恰好落在直线y =-4x +3上,求此时抛物线的解析式.4.如图1,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ,与边AC 相交于点E ,连结DE 并延长,与线段BC 的延长线交于点P . (1)当∠B =30°时,连结AP ,若△AEP 与△BDP 相似,求CE 的长; (2)若CE =2,BD =BC ,求∠BPD 的正切值;(3)若tan ∠BPD =31,设CE =x ,△ABC 的周长为y ,求y 关于x 的函数关系式.5.已知:如图①,在平面直角坐标系xO y 中,边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限,顶点A 在x 轴的正半轴上.另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限,OC =AC ,∠C =120°.现有两动点P ,Q 分别从A ,O 两点同时出发,点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动,点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止. (1)求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系,并写出自变量t 的取值范围; (2)在等边△OAB 的边上(点A 除外)存在点D ,使得△OCD 为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D 的坐标;(3)如图②,现有∠MCN =60°,其两边分别与OB ,AB 交于点M ,N ,连接MN .将∠MCN 绕着C 点旋转(0°<旋转角<60°),使得M ,N 始终在边OB 和边AB 上.试判断在这一过程中,△BMN 的周长是否发生变化?若没变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.6.已知抛物线y =ax2+bx +c (a >0)的图象经过点B (12,0)和C (0,-6),对称轴为x =2. (1)求该抛物线的解析式:(2)点D 在线段AB 上且AD =AC ,若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ 被直线CD 垂直平分?若存在,请求出此时的时间t (秒)和点Q 的运动速度;若不存在,请说明理由;AE C B P D 图2(备用) B PE C D A 图3(备用) A B C P E D 图1图②图①(3)在(2)的结论下,直线x =1上是否存在点M ,使△MPQ 为等腰三角形?若存在,请求出所有点M 的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,抛物线y =ax2+bx +1与x 轴交于两点A (-1,0),B (1,0),与y 轴交于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ,求四边形ACBD 的面积;(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ,过M 作MN ⊥x 轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,已知抛物线y =21x2+bx +c 与y 轴相交于C ,与x 轴相交于A 、B ,点A 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式;(2)点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D ,连结DC ,当△DCE 的面积最大时,求点D 的坐标;(3)在直线BC 上是否存在一点P ,使△ACP 为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标,若不存在,说明理由.9.如图,已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,相似比为k (k >1),且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c (a >b >c ),△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1. (1)若c =a 1,求证:a =kc ;(2)若c =a 1,试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1,使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数,并加以说明;(3)若b =a 1,c =b 1,是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1,使得k =2?请说明理由.10.如图,Rt △ABC 内接于⊙O ,AC =BC ,∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ,与BC 交于点E ,延长BD ,与AC 的延长线交于点F ,连结CD ,G 是CD 的中点,连结OG . (1)判断OG 与CD 的位置关系,写出你的结论并证明; (2)求证:AE =BF ; (3)若OG ·DE =3(2-2),求⊙O 的面积.11.已知:抛物线y =ax2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =-1,与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中A (-3,0)、C (0,-2). (1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得△PBC 的周长最小.请求出点P 的坐标.(3)若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ,连接PD 、PE .设CD 的长为m ,△PDE 的面积为S .求S 与m 之间的函数关系式.试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.12.(本小题满分12分)如图,BD 是⊙O 的直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧上一点,过M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点. (1)求证:PM =PN ; (2)若BD =4,P A =23AO ,过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 的长. B C AA 1 a b cB 1C 1 a 1b 1c 1 A C B F D EO G13.如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ,其顶点为A (0,1)、B (-33,1)、C (-33,0)、O (0,0).将此矩形沿着过E (-3,1)、F (-334,0)的直线EF 向右下方翻折,B 、C 的对应点分别为B ′、C ′.(1)求折痕所在直线EF 的解析式;(2)一抛物线经过B 、E 、B ′三点,求此二次函数解析式;(3)能否在直线EF 上求一点P ,使得△PBC 周长最小?如能,求出点P 的坐标;若不能,说明理由.14.已知:甲、乙两车分别从相距300(km )的M 、N回,图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y (km )与行驶时间x (h )之间的函数图象. (1)试求线段AB所对应的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(2)当它们行驶到与各自出发地的距离相等时,用了29h ,求乙车的速度; (3)在(2)的条件下,求它们在行驶的过程中相遇的时间.y h图1y h图215.如图1,在△ABC 中,AB =BC ,且BC ≠AC ,在△ABC 上画一条直线,若这条直线..既平分△ABC 的面积,又平分△ABC 的周长,我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”. (1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”;(2)在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”?若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由; (3)如图2,若AB =BC =5cm ,AC =6cm ,请你找出△ABC 的所有“等分积周线”,并简要说明确定的方法.16.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3cm ,BC =4cm ,点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动,点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动,设P 、Q 同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t (s ). (1)若点P 以43cm/s 的速度运动 ①当PQ ∥AB 时,求t 的值;②在①的条件下,试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系,并说明理由.(2)若点P 以1cm/s 的速度运动,在整个运动过程中,以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切?若能,请求出运动时间t ;若不能,请说明理由.17.青海玉树发生7.1级强震后,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作战的作风。
2011初三数学总复习12分题参考答案 (全等与锐角三角函数)1. 如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠A=90°,6AB AD ==,DE DC⊥交AB 于E ,DF 平分∠EDC 交BC 于F ,连结EF . (1)证明:DE=CD ; (2)当tan ADE ∠=31时,求EF 的长.解:(1)过D 作DG ⊥BC 于G1分 由已知可得四边形ABGD 为正方形∵DE ⊥DC ∴∠ADE +∠EDG =90°=∠GDC +∠EDG ∴∠ADE =∠GDC 又∵∠A=∠DGC 且AD =GD ∴△ADE ≌△GDC ∴DE =DC 且AE =GC 在△EDF 和△CDF 中∠EDF =∠CDF ,DE =DC ,DF 为公共边 ∴△EDF ≌△CDF ,∴EF =CF(2)∵tan ∠ADE =ADAE =31 ∴2AE GC ==。
设EF x =,则88BF CF x =-=-,4B E =由勾股定理222(8)4x x =-+。
解得5x =, ∴5EF =(旋转)2、 将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放,其中∠ACB =∠DEB =90°,∠A =∠D =30°,点E 落在AB 上,DE 所在直线交AC 所在直线于点F .(1)求证: AF +EF =DE ;(2)若将图①中的DBE △绕点B 按顺时针方向旋转角α,且060α<<°°,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在⑴中猜想的结论是否仍然成立;(3)若将图①中的DBE △绕点B 按顺时针方向旋转角β,且60180β<<°°,其它条件不变,如图③.你认为⑴中猜想的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出AF 、EF 与DE 之间的关系,并说明理由.解:⑴连接BF (如图①),∵△ABC ≌△DBE ,∴BC =BE ,AC =DE . ∵∠ACB =∠DEB =90°,∴∠BCF =∠BEF =90°, ∵BF =BF ,∴Rt △BFC ≌Rt △BFE .∴CF =EF . 又∵AF +CF =AC ,∴AF +EF =DE .⑵画出正确图形如图②⑴中的结论AF +EF =DE 仍然成立.⑶不成立.此时AF 、EF 与DE 的关系为AF - EF =DE 理由:连接BF (如图③),∵△ABC ≌△DBE ,∴BC =BE ,AC =DE , ∵∠ACB =∠DEB =90°,∴∠BCF =∠BEF =90°. 又∵BF =BF ,∴Rt △BFC ≌Rt △BFE .∴CF =EF . 又∵AF -CF =AC ,∴AF -EF = DE . ∴⑴中的结论不成立. 正确的结论是AF -EF = DE图③图②图①(规律)3、如图,在直角坐标系中,已知点0M 的坐标为(1,0),将线段0OM绕原点O 沿逆时针方向旋转45 ,再将其延长到1M ,使得001OM M M ⊥,得到线段1OM ;又将线段1OM 绕原点O 沿逆时针方向旋转45 ,再将其延长到2M ,使得112OM M M ⊥,得到线段2OM,如此下去,得到线段3OM ,4OM,…,nOM.(1)写出点M 5的坐标;(2)求56M OM △的周长;(3)我们规定:把点)(n n n y x M ,(=n 0,1,2,3…)的横坐标n x ,纵坐标n y 都取绝对值后得到的新坐标()n n y x ,称之为点n M 的“绝对标”.根据图中点n M 的分布规律,请你猜想点n M 的“绝对坐标”,并写出来. 解:(1)M 5(―4,―4) (2)由规律可知,245=OM,2465=M M ,86=OM∴56M OM △的周长是288+(3)由题意知,0OM 旋转8次之后回到x 轴的正半轴,在这8次旋转中,点n M 分别落在坐标象限的分角线上或x 轴或y 轴上,但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数,因此,点n M 的“绝对坐标”可分三类情况:令旋转次数为n① 当点M 在x 轴上时: M 0(0,)2(0),M 4(0,)2(4),M 8(0,)2(8),M 12(0,)2(12),…, 即:点n M 的“绝对坐标”为(0,)2(n)。
② 当点M 在y 轴上时: M 2))2(,0(2,M 6))2(,0(6,M 10))2(,0(10,M 14))2(,0(14,……, 即:点n M 的“绝对坐标”为))2(,0(n .③ 当点M 在各象限的分角线上时:M 1))2(,)2((00,M 3))2(,)2((22,M 5))2(,)2((44,M 7))2(,)2((66,……,即:n M 的“绝对坐标”为))2(,)2((11--n n .(规律)4、 观察下列方程及其解的特征:(1)12x x +=的解为121x x ==; (2)152x x +=的解为12122x x ==,;(3)1103x x +=的解为12133x x ==,; …… ……解答下列问题: (1)请猜想:方程1265x x +=的解为 ;(2)请猜想:关于x 的方程1x x+= 的解为121(0)x a x a a==≠,;(3)下面以解方程1265x x+=为例,验证(1)中猜想结论的正确性.解:原方程可化为25265x x -=-.(下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程)解:(1)15x =,215x =;(2)21a a +(或1a a+);(3)二次项系数化为1,得22615x x -=-.配方,得2222613131555x x ⎛⎫⎛⎫-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,213144525x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.开方,得131255x -=±.解得15x =,215x =. 经检验,15x =,215x =都是原方程的解(探究)5、 已知ABC △中,AC AB =,D 、E 是BC 边上的点,将ABD △绕点A 旋转,得到△D AC ',连结E D '.(1)如图1,当︒=∠120BAC ,︒=∠60DAE 时,求证:E D DE '=.(2)如图2,当E D DE '=时,DAE ∠与BAC ∠有怎样的数量关系?请写出,并说明理由. (3) 如图3,在(2)的结论下,当︒=∠90BAC ,BD 与DE 满足怎样的数量关系时,D EC'△是等腰直角三角形?(直接写出结论,不必说明理由).(1)证明:如图1∵ABD △旋转得到△D AC '∴D A AD BAC D DA '=︒=∠='∠,120∵︒=∠60DAE∴︒=︒-︒=∠-'∠='∠6060120DAE D DA D EA ∴AE D DAE '∠=∠ 又∵AE AE =∴DAE D AE '△≌△)(SAS ∴E D DE '= (2)BAC DAE ∠=∠21理由:如图2∵ABD △旋转得到△D AC '∴BAC D DA ∠='∠,D A AD '= ∵AE AE E D DE ='=,∴DAE D AE '△≌△(SSS ) ∴D DA AE D DAE '∠='=∠21∴BAC DAE ∠=∠21(3)BD DE 2=,或BD ︰DE =1︰2AE DBD '图1CA CD 'EDB图2CAB DED '图3 AE DBD '图1 ACD 'EDB 图2 CABDED '图3(探究)6、 我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称; (2)如图,在ABC △中,点D E ,分别在AB AC ,上, 设CD BE ,相交于点O ,若60A ∠=°,12D C B E B C A ∠=∠=∠.请你写出图中一个与A ∠相等的角,并猜想图中哪个四边形是等对边四边形;(3)在ABC △中,如果A ∠是不等于60°的锐角,点D E ,分别在AB AC ,上,且12D C BE B C A ∠=∠=∠.探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论.解:(1)回答正确的给1分(如平行四边形、等腰梯形等). (2)答:与A ∠相等的角是BOD ∠(或COE ∠).四边形DBCE 是等对边四边形. (3)答:此时存在等对边四边形,是四边形DBCE .如图1,作CG BE ⊥于G 点,作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点. 因为12D C BE B C A ∠=∠=∠,BC 为公共边,所以BCF CBG △≌△.所以BF CG =.因为BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠, BEC ABE A ∠=∠+∠,所以BDF BEC ∠=∠. 可证BDF CEG △≌△.所以BD CE =.所以四边形DBCE 是等边四边形. (抛物线)7、如图,Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,A 、B 两点的坐标分别为(3-,0)、(0,4),抛物线223y x bx c=++经过B 点,且顶点在直线52x =上.(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的,当四边形ABCD 是菱形时,试判断点C 和点D 是否在该抛物线上,并说明理由;(3)若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N .设点M 的横坐标为t ,MN 的长度为l .求l 与t 之间的函数关系式,并求l 取最大值时,点M 的坐标. 解:(1)由题意,可设所求抛物线对应的函数关系式为225()32y x m =-+ ∴2254()32m =⨯-+∴16m =-∴所求函数关系式为:22251210()432633y x x x =--=-+(2)在Rt △ABO 中,OA =3,OB =4,∴5AB == ∵四边形ABCD 是菱形 ∴BC =CD =DA =AB =5 ∴C 、D 两点的坐标分别是(5,4)、(2,0). 当5x =时,22105533y =⨯-⨯+当2x =时,2210224033y =⨯-⨯+= ∴点C 和点D 在所求抛物线上.(3)设直线CD 对应的函数关系式为y kx b =+,则5420k b k b +=⎧⎨+=⎩解得:48,33k b ==-. ∴4833y x =- B OA DEC BOAD E C F图BOADECF图G∵MN ∥y 轴,M 点的横坐标为t , ∴N 点的横坐标也为t .则2210433M y t t =-+, 4833N y t =-,∴22248210214202734(3333333322N M l y y t t t t t t ⎛⎫=-=---+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∵203-<, ∴当72t =时,32l =最大,此时点M 的坐标为(72,12).(图形与抛物线)8、 如图①,梯形ABCD 中,∠C =90°.动点E 、F 同时从点B 出发, 点E 沿折线BA -AD -DC运动到点C 时停止运动, 点F 沿BC 运动到点C 时停止运动,它们运动时的速度都是1 cm/s .设E 、F出发t s 时, EBF ∆的面积为y cm 2.已知y 与 t 的函数图象如图②所示,其中曲线OM 为抛物线的一部分,MN 、NP 为线段.请根据图中的信息,解答下列问题:(1)梯形上底的长AD = cm ,梯形ABCD 的面积= cm 2;(2)当点E 在BA 、DC 上运动时, 分别求出y 与 t 的函数关系式(注明自变量的取值范围); (3)当t 为何值时,EBF ∆与梯形ABCD 的面积之比为1:2? 解:(1)2,14.(2)①当点E 在BA 上运动时,如图①,此时05t <≤. 分别过点E ,A 作EG ⊥BC ,AH ⊥BC ,垂足分别为G ,H , 则△BEG ∽△BAH .∴BEEG BA AH=,即54tE G =,∴45E G t=.∴211422255y B F E G t t t=⋅=⋅⋅=.② 当点E 在DC 上运动时,如图②,此时711t ≤<.∴11C E t=-,∴()115555112222y B C C E t t=⋅=⨯⨯-=-.(自变量的取值范围写全写对得1分,否则0分)(3)当05t <≤时,2275t =,∴2t =. 当711t ≤<时,555722t -=, ∴8.2t=.∴2t =s 或8.2t=s 时,EBF ∆与梯形ABCD 的面积之比为1:2.(图形与抛物线)9、在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点(02)A ,,点(10)C -,,如图所示:抛物线22y ax ax =+-(1)求点B 的坐标; (2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外),使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(1)过点B 作BD x ⊥轴,垂足为D ,9090BCD ACO ACO CAO ∠+∠=∠+∠= °,°BCD CAO ∴∠=∠; 又90BDC COA CB AC ∠=∠== °;,BCD CAO ∴△≌△, 12BD OC CD OA ∴====, ∴点B 的坐标为(31)-,; (2)抛物线22y ax ax =+-经过点(31)B -,,则得到1932a a =--, 解得12a =,所以抛物线的解析式为211222y x x =+-;(3)假设存在点P ,使得ACP △仍然是以AC ①若以点C 为直角顶点;则延长BC 至点1P ,使得1P C BC =,得到等腰直角三角形1AC P △, 过点1P 作1P M x ⊥轴,11190CP BC M CP BCD P M C BDC =∠=∠∠=∠= ,,°;1M P C DBC ∴△≌△ 121CM CD P M BD ∴====,,可求得点1P (1,-1);②若以点A 为直角顶点;则过点A 作2AP CA ⊥,且使得2AP AC =,得到等腰直角三角形2ACP △,过点2P 作2P N y ⊥轴,同理可证2AP N CAO △≌△;221NP OA AN OC ∴====,,可求得点2(21)P ,;经检验,点1(11)P -,与点2(21)P ,都在抛物线211222y x x =+-上.(圆)10、如图,点A ,B ,C ,D 是直径为AB 的⊙O 上四个点,C 是劣弧BD 的中点,AC 交BD 于点E , AE =2, EC =1. (1)求证:DEC △∽ADC △;(2)试探究四边形ABCD 是否是梯形?若是,请你给予 证明并求出它的面积;若不是,请说明理由. (3)延长AB 到H ,使BH =OB .求证:CH 是⊙O 的切线.(1) 证明:∵C 是劣弧弧BD 的中点, ∴DAC CDB ∠=∠. 而ACD ∠公共, ∴DEC △∽ADC △. (2)证明:连结OD ,由⑴得D CE C A CD C=,∵ 1.213CE AC AE EC ==+=+=,∴2313D C A C E C ==⨯= .∴DC =.由已知BC DC ==A B 是⊙O 的直径,∴90ACB ∠=︒ , ∴22222312AB AC C B =+=+=.∴AB = ∴OD OB BC DC ====, ∴四边形OBCD 是菱形. ∴DC AB DC AB <∥,, ∴四边形ABCD 是梯形.过C 作CF 垂直AB 于F ,连结OC,则OB BC OC === ∴60OBC ∠=︒. ∴sin 60C F B C︒=,3sin 6022C F BC =︒== ,∴()(1132224ABC D S C F AB D C ⨯梯形=+==.(3)证明:连结OC 交BD 于G 由(2)得四边形OBCD 是菱形,∴OC BD ⊥且OG GC =.又已知OB =BH , ∴BG CH ∥. ∴90OCH OGB ∠=∠=︒ , ∴CH 是⊙O 的切线. (圆与相似)11、如图,圆O 的直径为5,在圆O 上位于直径A B 的异侧有定点C 和动点P ,已知43BC CA =∶∶,点P 在半圆弧A B 上运动(不与A B 、两点重合),过C 点作C P 的垂线CD 交P B 的延长线于D 点(1)求证:AC CD PC BC =··;(2)当点P 运动到A B 弧中点时,求CD 的长;(3)当点P 运动到什么位置时,PCD △的面积最大?并求这个最大面积S . 解:(1)A B 为直径,90ACB ∴∠=︒.又90PC CD PCD ⊥∴∠=︒ ,而AC BC C AB C PD ABC PC D PCC D∠=∠∴∴=,△∽△,·AC CD PC BC ∴=·(2)当点P 运动到A B 弧中点时,过点B 作BE PC ⊥于点E ,P 是A B 中点452P C B C E B E B C ∴∠=︒===,又CAB CPB ∠=∠43tan tan 3tan 4BE C PB C AB PE C PB∴∠=∠=∴==∠,3422BE BC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭从而2P C P E E C =+=,由(1)得433C D P C ==(3)当点P 在A B 上运动时,12PC D S PC C D =△·,由(1)可知,43C D PC =223P C D S P C ∴=△故PC 最大时,PCD S △取最大值时;而PC 为直径时最大.PC D S ∴△的最大值2250533S =⨯=. (翻折)12、如图1,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠CAB =30°, △ABD是等边三角形,E 是AB 的中点,连结CE 并延长交AD 于F .(1)求证:① △AEF ≌△BEC ;② 四边形BCFD 是平行四边形; (2)如图2,将四边形ACBD 折叠,使D 与C 重合,HK 为折痕, 求sin ∠ACH 的值.证明思路:设BC=a ,则AB=AD=2a ,AC=a 3,由翻折可知CH=DH ,令AH=x ,则CH=DH=a-x ,在Rt △AHC 中,AH 2+AC 2=HC 2,可得AH=a 81,则CH=a 87,所以sin ∠ACH=71图1 A BCDEF30°ABCDKH 30°A(翻折)13、如图①,将边长为4 cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠(点E 、F 分别在边AB 、CD 上),使点B 落在AD 边上的点M 处,点C 落在点N 处,MN 与CD 交于点P ,连接EP . (1)如图②,若M 为AD 边的中点, ①△AEM 的周长= cm ;②求证:EP=AE +DP ; (2)随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A 、D 重合),△PDM 的周长是否发生变化?请说明理由. 解:(1)① 6 .②(图略)取EP 中点G ,连接MG .梯形AEPD 中,∵M 、G 分别是AD 、EP 的中点,∴()12M G AED P =+. 由折叠得∠EMP =∠B =90︒,又G 为EP 的中点,∴12M G EP=.故EP AE DP =+.(2)△PDM 的周长保持不变.证明:如图,设A Mx=cm ,Rt △EAM 中,由222(4)AE x AE +=-,可得:2128A E x=-.∵∠AME +∠AEM =90︒,∠AME +∠PMD =90︒,∴∠AEM =∠PMD . 又∵∠A =∠D =90︒,∴△AEM ∽△DMP . ∴D M PAEMC D MCAE=,即241428D M P C x xx-=+-∴24(4)8128D M P x C x x-=⋅+=- cm . 故△PDM 的周长保持不变.(动态)14、如图,正方形ABCD 的边长为4,E 是BC边的中点,点P 在射线A D 上,过P 作PF AE ⊥于F . (1)求证:PFA ABE △∽△;(2)当点P 在射线A D 上运动时,设PA x =,是否存在实数x ,使以P F E ,,为顶点的三角形也与ABE △相似?若存在,请求出x 的值;若不存在,说明理由.(1)证明:由正方形ABCD 知AD BC ∥PAF AEB ∴∠=∠ 又90PFA ABE ∠=∠=P F A A B E ∴△∽△ (2)解:若EFP ABE △∽△,则PEF EAB ∠=∠∴必有P E A B ∥ ∴四边形A B E P 为矩形2PA EB ∴==,即2x = 若PFE ABE △∽△,则PEF AEB ∠=∠ 而PAF AEB ∠=∠PEF PAF ∴∠=∠,PE PA ∴=PF AE ⊥ ,∴点F 为A E 的中点,AE ====12EF AE ∴==由P E E F A EE B=2=得5PE =,即5x = ∴满足条件的x 的值为2或5.NFPECDB MA(动态)15、如图,ABC △中,点P 是边AC 上的一个动点,过P 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠BCA的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F .(1)求证:PE=PF ;(2)当点P 在边AC 上运动时,四边形BCFE 可能是菱形吗?说明理由;(3)若在AC 边上存在点P ,使四边形AECF 是正方形,且23=BCAP 时,求∠A 的大小.(1)证明: ∵EC 平分∠BCA , ∴∠BCE=∠PCE .∵MN BC ∥,∴∠PEC=∠BCE . ∴∠PEC=∠PCE , ∴PE=PC . 同理可证PC=PF .∴PE=PF .(2)四边形BCFE 不可能是菱形. 若BCFE 为菱形,则BF EC ⊥,而由(1)可知FC EC ⊥. 因为在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线,所以BF EC ⊥不能成立,所以四边形BCFE 不可能是菱形. (3)当AECF 为正方形时,P 是AC 的中点,且EF AC ⊥.∵EF BC ∥,∴AC BC ⊥.∴ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形 ∵23=BCAP ,在R t △ABC 中, 332tan ===APBC ACBC A .∴∠A=30°.16、(探究)如图1,在Rt ABC △中,9068ACB AC BC ∠===°,,,点D 在边AB 上运动,DE 平分CDB ∠交边BC 于点E ,CM BD ⊥垂足为M EN CD ⊥,,垂足为N. (1)当AD=CD 时,求证:DE AC ∥;(2)探究:AD 为何值时,BME △与CNE △相似?(3)探究:AD 为何值时,四边形MEND 与BDE △的面积相等?(1)证明:AD C D D AC D C A =∴∠=∠ 2BDC DAC ∴∠=∠又∵DE 是∠BDC 的平分线∴∠BDC=2∠BDE ∴∠DAC =∠BDE ∴DE ∥AC(2)解:(Ⅰ)当BME CNE △∽△时,得MBE NCE ∠=∠∴BD=DC ∵DE 平分∠BDC ∴DE ⊥BC ,BE=EC.又∠ACB =90° ∴DE ∥AC .∴B E B D B C A B =即152B D A B ===∴AD =5 (Ⅱ)当BME ENC △∽△时,得EBM CEN ∠=∠∴EN ∥BD 又∵EN ⊥CD∴BD ⊥CD 即CD 是△ABC 斜边上的高,由三角形面积公式得AB ·CD=AC ·BC ∴CD=245∴185A D ==综上,当AD =5或185时,△BME 与△CNE 相似.(3)由角平分线性质易得12M D E D EN S S D M M E ==△△·B D E M E N D S S = △四边形C E ND MB A 图1C B A C B A 图2(备用图) 图3(备用图) C E ND M B A 第24题C BAENMD12B D E M D M E M ∴=·· 即12D M BD =∴EM 是BD 的垂直平分线.∴∠EDB=∠DBE ∵∠EDB =∠CDE ∴∠DBE =∠CDE 又∵∠DCE =∠BCD ∴CDE CBD △∽△C D C E D E BCC D BD∴==①2C D BE BE BCBDBM∴==即4B E C D B M=45cos 4554BMB C D BE ==∴=⨯= 由①式得2258C DC E BC ==3943939cos 85810BE BM BE B ∴=∴==⨯=39112102105AD AB BM ∴=-=-⨯=17、如图.抛物线212y ax ax b =-+经过A (-1,0),C (2,32)两点,与x 轴交于另一点B .(1) 求此地物线的解析式;(2) 若抛物线的顶点为M ,点P 为线段OB 上一动点 (不与点B 重合),点Q 在线段MB 上移动,且∠MPQ =45°,设线段OP =x ,MQ=22y ,求y 2与x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围;(3) 在同一平面直角坐标系中,两条直线x=m ,x=n 分别与抛物线交于点E ,G ,与(2)中的函数图象交于点F ,H .问四边形EFHG 能否为平行四边形? 若能,求m ,n 之间的数量关系;若不能,请说明理由.解:(1)∵拋物线y 1=ax 2-2ax +b 经过A (-1,0),C (0,23)两点,∴⎪⎩⎪⎨⎧==++2302b b a a ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=2321b a ∴拋物线的解析式为y 1= -21x 2+x +23.(2)作MN ⊥AB ,垂足为N .由y 1= -21x 2+x +23易得M (1,2),N (1,0),A (-1,0),B (3,0),∴AB =4,MN =BN =2,MB =22, ∠MBN =45︒.根据勾股定理有BM 2-BN 2=PM 2-PN 2. ∴(22)2-22=PM 2= -(1-x )2… ,又∠MPQ =45︒=∠MBP , ∴△MPQ ~△MBP ,∴PM 2=MQ ⨯MB =22y 2⨯22… .由 、 得y 2=21x 2-x +25.∵0≤x <3,∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2-x +5(0≤x ≤3).(3)四边形EFHG 可以为平行四边形,m 、n 之间的数量关系是m +n =2(0≤m ≤2,且m ≠1).∵点E 、G 是抛物线y 1= -21x 2+x +23分别与直线x=m ,x=n 的交点,∴点E 、G 坐标为 E (m ,-21m 2+m +23),G (n ,-21n 2+n +23).同理,点F 、H 坐标 为F (m ,21m 2-m +25),H (n ,21n 2-n +25).∴EF =21m 2-m +25-(-21m 2+m +23)=m 2-2m +1,GH =21n 2-n +25-(-21n 2+n +23)=n 2-2n +1.∵四边形EFHG 是平行四边形,EF =GH .∴m 2-2m +1=n 2-2n +1 ∴(m +n -2)(m -n )=0.由题意知m ≠n ,∴m +n =2 (0≤m ≤2,且m ≠1).因此,四边形EFHG 可以为平行四边形,m 、n 之间的数量关系是m +n =2 (0≤m ≤2,且m ≠1). 18、如图,点A B 、坐标分别为(4,0)、(0,8),点C 是线段OB 上一动点,点E 在x 轴正半轴上,四边形OEDC 是矩形,且2OE OC =.设(0)O E t t =>,矩形OEDC 与AOB △重合部分的面积为S .根据上述条件,回答下列问题:(1)当矩形OEDC 的顶点D 在直线A B 上时,求t 的值;(2)当4t =时,求S 的值;(3)直接写出S 与t 的函数关系式;(不必写出解题过程) (4)若12S =,则t = . 解:(1)由题意可得90BCD BOA ∠=∠=°,CBD OBA ∠=∠,BCD BOA ∴△∽△B C C DB O O A ∴= 而8842t C D O E t BC C O O A ===-=-=,,,则8284tt -= 解得165t =,∴当点D 在直线A B 上时,165t =.(2)当4t =时,点E 与A 重合,设CD 与A B 交于点F ,则由CBF OBA △∽△得C F O A C B O B =,即4828C F =-,解得3CF =, 11()2(34)722S O C O E C F ∴=+=⨯⨯+=(3)①当1605t <≤时,212S t =②当1645t <≤时,217101616S t t =-+- ③当416t <≤时,21216S t t =-+分析:①当1605t <≤时,如图(1),212S t =②当1645t <≤时,如图(2),(40)08A B ,,(,),∴直线A B 的解析式为28y x =-+,(28)442t t G t t F ⎛⎫∴-+- ⎪⎝⎭,,,,554842D F t D G t ∴=-=-,,155482242D FG C O ED t S S S t t t ⎛⎫⎛⎫∴=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△矩形217101616t t -+-③当416t <≤时,如图(3)CD OA ∥,BCF BOA ∴△∽△,B C C FB O O A ∴=,8284tC F -∴=,44t C F ∴=-,∴211148482224216BO A BC Ft t S S S t t ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯-⨯--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△(4)8分析:由题意可知把12S =代入21216S t t =-+中,2121216t t -+=整理,得 2321920t t -+=解得 1282416t t ==>,(舍去)∴当12S =时,8t =.(3)。