2019年高考数学一轮复习课时分层训练20三角函数的图像与性质理北师大版

第4讲 三角函数的图象与性质[基础题组练]1．函数y ＝|cos x |的一个增区间是( ) A ．[－π2，π2]B ．[0，π]C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]解析：选D.将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减少的解析：选D.函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先减后增，D 选项错误．3．(2020·某某某某第十三中学质检(四))同时满足f (x ＋π)＝f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的函数f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝sin 2x解析：选D.由题意得所求函数的周期为π，且图象关于x ＝π4对称．A ．f (x )＝cos 2x 的周期为π，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0不是函数的最值． 所以其图象不关于x ＝π4对称．B ．f (x )＝tan x 的周期为π，但图象不关于x ＝π4对称．C ．f (x )＝sin x 的周期为2π，不合题意．D ．f (x )＝sin 2x 的周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1为函数最大值， 所以D 满足条件，故选D.4．(2020·某某六市联考)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称中心完全相同，则φ为( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3解析：选 D.因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称中心完全相同，所以ω＝2，φ＝π6－π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，选D.5．(2020·某某中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12 B ．π3C.13π6D ．7π6解析：选C.T ＝2πω＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，故ω＝2，又2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，所以φ的值可能为13π6.故答案为C.6．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的减区间为________．解析：由已知可得函数为f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数f (x )的减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )．得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．故所求函数f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )7．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．解析：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π58．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1，3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．解析：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.答案：π29．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，所以3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.10．已知函数f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，某某数m 的取值X 围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．解：(1)f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋3＝4(12sin x －32cos x )cos x ＋3＝2sin x cos x－23cos 2x ＋3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π3)．所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )．所以函数f (x )的增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )．(2)函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，即函数y ＝f (x )与y ＝m在[0，π2]上的图象有两个不同的交点，在直角坐标系中画出函数y ＝f (x )＝2sin(2x －π3)在[0，π2]上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解x 1，x 2，且x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6， 故tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－tan π6＝－33.[综合题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点； ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：选C.通解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π是减少的，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C. 优解：因为f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π是减少的，故②不正确，排除A ；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10递增④ω的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④解析：选D.如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈(0，π10)时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在(0，π10)是增加的，所以③正确．3．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上是减少的，则ω＝________. 解析：因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)，由π2＋2k π≤ωx ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6ω＋2k πω≤x ≤7π6ω＋2k πω，因为f (x )在区间(π6，π2)上递减，所以(π6，π2)⊆[π6ω＋2k πω，7π6ω＋2k πω]，从而有⎩⎪⎨⎪⎧π6≥π6ω＋2k πωπ2≤7π6ω＋2k πω， 解得12k ＋1≤ω≤7＋12k3，k ∈Z ，所以1≤ω≤73，因为f (π6)＋f (π2)＝0，所以x ＝π6＋π22＝π3为f (x )＝2sin(ωx ＋π3)的一个对称中心的横坐标，所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，ω＝3k －1，k ∈Z ，又1≤ω≤73，所以ω＝2.答案：24．(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x 2＋(y －1)2＝m 2至少覆盖函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πm x ＋5π12－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πm x ＋π3(m >0)的一个最大值点和一个最小值点，则m 的取值X围是________．解析：化简f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫πm x ＋5π12－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πmx ＋π3得f (x )＝2sin 2πx m ＋1，所以，函数f (x )的图象靠近圆心(0，1)的最大值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，3，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m4，－1，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫m 42＋（3－1）2≤m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 42＋（－1－1）2≤m 2，解得m ≥81515.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫81515，＋∞ 5．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 值；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x＝2sin(2x －π3)．故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，得t ＝k π2＋π3(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1，2]． 又|f (x )－m |<3， 即f (x )－3<m <f (x )＋3， 所以2－3<m <1＋3， 即－1<m <4.故实数m 的取值X 围是()－1，4.6．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，所以－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1 ＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， 所以4sin(2x ＋π6)－1>1，所以sin(2x ＋π6)>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )是增加的，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )是减少的，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z . 所以g (x )的增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z ，减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z .。

第三节三角函数的图像与性质[考纲传真] (教师用书独具).能画出＝，＝，＝的图像，了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在[π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．(对应学生用书第页)[基础知识填充]．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数＝，∈[π]图像的五个关键点是：()，，(π，)，，(π，)．余弦函数＝，∈[π]图像的五个关键点是：()，，(π，－)，，(π，)．．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质[()()为偶函数的充要条件是φ＝＋π(∈)；()()为奇函数的充要条件是φ＝π(∈)．．()＝(ω＋φ)(＞，ω＞)．()()为奇函数的充要条件：φ＝π＋，∈.()()为偶函数的充要条件：φ＝π，∈.[基本能力自测]．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)()常数函数()＝是周期函数，它没有最小正周期．( )()函数＝的图像关于点(π，)(∈)中心对称．( )()正切函数＝在定义域内是增函数．( )()已知＝＋，∈，则的最大值为＋.( )()＝是偶函数．( )[答案]()√()√()×()×()√．(·全国卷Ⅱ)函数()＝的最小正周期为( )．π．π．π．[函数()＝的最小正周期＝＝π.故选．]．函数＝的定义域是( )．．．．[由≠π＋，∈，得≠＋，∈，所以＝的定义域为.]．函数＝，∈[－π，π]的单调递增区间是( )．．和．．[令＝＋，函数＝的单调递增区间为(∈)，由π－≤＋≤π＋得π－≤≤π＋，而∈[－π，π]，故其单调递增区间是，故选．]．(教材改编)函数()＝在区间上的最小值为．－[由已知∈，得－∈，所以∈，故函数()＝在区间上的最小值为－.](对应学生用书第页)()(·全国卷Ⅱ)函数()＝＋的最大值为( )．．。

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课时分层作业二十三角函数的图象与性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018·海淀区模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)的最小正周期为π,则ω= ( )A.1B.±1C.2D.±2【解析】选D.因为T=,所以|ω|==2,故ω=±2.【误区警示】解答本题易出现选C的错误答案,导致出现这种错误的原因是忽略了周期公式T=中的ω应加绝对值.2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在内单调递减【解析】选D.当x∈时,x+∈,函数在该区间内不单调.3.函数y=-2cos2+1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选A.y=-2cos2+1=-+1=sin2x.4.(2016·浙江高考)函数y=sinx2的图象是( )【解题指南】根据函数的奇偶性和最值判断.【解析】选D.因为y=sinx2为偶函数,所以它的图象关于y轴对称,排除A,C选项;当x2=,即x=±时,y max=1,排除B选项.5.(2018·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若函数f(x)在区间上为单调递减函数,则实数ω的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.因为π<x<,所以ωπ-<ωx-<-,由正弦函数的单调性可得即也即所以≤ω≤.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2018·广州模拟)若函数f(x)=cos(ωx+)(ω∈N*)的一个对称中心是,则ω的最小值为________.【解析】因为f=0,所以cos=0,即+=+kπ,故ω=2+6k(k∈Z),又因为ω∈N*,故ω的最小值为2.答案:27.函数y=的定义域为________.【解析】由题意得cos x≥,故2kπ-≤x≤+2kπ(k∈Z).答案:,k∈Z8.函数y=sinx-cosx+sinxcosx的值域为________.【解析】设t=sin x-cos x,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,sin xcos x=,且-≤t≤.所以y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,y max=1;当t=-时,y min=--.所以函数的值域为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求证:当x∈时,f(x)≥-.【解析】(1)f(x)=cos-2sin xcos x=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin,所以T==π.(2)令t=2x+,因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,因为y=sin t在上递增,在上递减,且sin<sin ,所以f(x)≥sin=-,得证.10.已知f(x)=sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程.(2)求f(x)的单调递增区间.(3)当x∈时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=sin,令2x+=kπ+,k∈Z,则x=+,k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=+,k∈Z.(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,则kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(3)当x∈时,≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.1.(5分)已知函数f=sin(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为( )A. B.2C. D.【解析】选D.因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=.2.(5分)(2018·广州模拟)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin.由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω==4.3.(5分)(2018·深圳模拟)若函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间上是单调递减函数,且函数值从1减少到-1,则f=________.【解析】由题意知=-=,故T=π,所以ω==2,又f=1,所以sin=1.因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=sin.故f=sin=cos=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π.(1)求当f(x)为偶函数时φ的值.(2)若f(x)的图象过点,求f(x)的单调递增区间.【解析】由f(x)的最小正周期为π,则T==π,所以ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ).(1)当f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x).所以sin(2x+φ)=sin(-2x+φ),展开整理得sin 2xcos φ=0,由已知上式对∀x∈R都成立,所以cos φ=0.因为0<φ<,所以φ=.(2)因为f=,所以sin=,即+φ=+2kπ或+φ=+2kπ(k∈Z),故φ=2kπ或φ=+2kπ(k∈Z),又因为0<φ<,所以φ=,即f(x)=sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z)得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故f(x)的递增区间为.5.(13分)已知函数f(x)=asin+a+b.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.(2)若x∈[0,π],函数f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. 【解析】f(x)=asin+a+b.(1)当a=-1时,f(x)=-sin+b-1,由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.(2)因为0≤x≤π,所以≤x+≤,所以-≤sin≤1,依题意知a≠0.①当a>0时,所以a=3-3,b=5.②当a<0时,所以a=3-3,b=8.综上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8.【变式备选】(2018·咸阳模拟)已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(2)由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(3)由2x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z.由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z.关闭Word文档返回原板块。

第三节三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质辨明三个易误点()＝不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间(∈)内为增函数．()三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”连接．()求函数＝(ω＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>时，才能把ω＋φ看作一个整体，代入＝的相应单调区间求解．．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)()＝在第一、二象限内是减函数．( )()函数＝是偶函数，最小正周期为π.()()函数＝的对称轴方程为＝π＋(∈)．( )()函数＝在整个定义域上是增函数．( )答案：()×()√()×()×．函数＝的一个单调递增区间是( )．．．．解析：选由π－≤＋≤π＋(∈)得π－≤≤π＋(∈)．可知为该函数的一个单调递增区间．．已知函数()是定义在上周期为的奇函数，且()＝－，则()＝.解析：()＝(－)＝－()＝.答案：．(教材习题改编)函数()＝－的最小值是，取得最小值时，的取值集合为．解析：()＝－＝, 此时＝π(∈), ＝π(∈), 所以的取值集合为{＝π，∈}．答案：{＝π，∈}三角函数的定义域[明技法]简单三角不等式的解法()利用三角函数的图像求解．()利用三角函数线求解．[提能力]【典例】函数＝(－)＋的定义域是．解析：要使函数＝(－)＋有意义，则(\\(－＞，－≥))即(\\(＞()，≤().))解得π＋≤<π＋，∈.即函数的定义域为(∈)．答案：(∈)[刷好题](·衡水调研)函数＝的定义域为．解析：方法一要使函数有意义，必须使－≥.利用图像，在同一坐标系中画出[π]上＝和。

2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3 三角函数的图像与性质学案理北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3 三角函数的图像与性质学案理北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§4.3三角函数的图像与性质最新考纲考情考向分析1。

能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2。

理解正弦函数、余弦函数在［0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等）,理解正切函数在区间错误!内的单调性。

以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合,加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题,又有解答题，中档难度。

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,0）,错误!,（π,0)，错误!，(2π，0）．（2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点是:（0，1），错误!,(π,－1），错误!,(2π,1）．2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质（下表中k∈Z）函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图像定义域R R{x|x∈R，且x≠kπ＋错误!｝值域［－1,1]［－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间错误![2kπ－π,2kπ］错误!递减区间错误![2kπ,2kπ＋π]无对称中心（kπ，0)错误!错误!对称轴方程x＝kπ＋错误!x＝kπ无知识拓展1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是错误!个周期．（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．奇偶性若f（x）＝A sin(ωx＋φ)（A，ω≠0），则：(1)f(x）为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ（k∈Z)；（2）f(x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1）y＝sin x在第一、第四象限上是增函数．（×）(2)由sin错误!＝sin错误!知,错误!是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．( ×)(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( ×）（4)已知y＝k sin x＋1,x∈R，则y的最大值为k＋1.（×）(5)y＝sin|x|是偶函数．（√)题组二教材改编2．函数f(x)＝cos错误!的最小正周期是．答案π3．y＝3sin错误!在区间错误!上的值域是．答案错误!解析当x∈错误!时，2x－错误!∈错误!,sin错误!∈错误!，故3sin错误!∈错误!，即y＝3sin错误!的值域为错误!.4．y＝tan 2x的定义域是．答案错误!解析由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠错误!＋错误!,k∈Z,∴y＝tan 2x的定义域是错误!。

第5讲三角函数的图象与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|.3．对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 在第一、二象限内是减函数．( ) (2)若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值是k ＋1.( )(3)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( ) (4)函数y ＝sin x 图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )(5)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z解析：选D.由3x ≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .故选D.(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D.函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为__________，此时x ＝________．解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )． 答案：53π4＋2k π(k ∈Z )函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]的减区间为________．解析：当2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.答案：⎣⎡⎦⎤π4，π三角函数的定义域和值域[典例引领](1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________．【解析】 (1)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.(2)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x >12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z .即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z .【答案】 (1)1 (2)⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域． ③(换元法)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ④(换元法)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．[通关练习]1．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 解析：选B.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 2．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎨⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z3．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.答案：72三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度为中档题．高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度： (1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数； (3)利用三角函数的单调性比较大小；(4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．(见本节例1(1)及通关练习T1)[典例引领]角度一 求已知三角函数的单调区间(2018·沈阳市教学质量检测(一))已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( ) A ．2π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 D ．π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8【解析】 f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，所以T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z )，令k ＝0得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减． 【答案】 B角度二 已知三角函数的单调区间求参数函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上单调递增，则ω的取值范围是________．【解析】 因为ω>0，由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z . 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k π2＋π2ω. 所以－π2≥2k πω－π2ω且2π3≤π2ω＋2k πω，所以ω∈⎝⎛⎦⎤0，34. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤0，34角度三 利用三角函数的单调性比较大小已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin 1021π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上递增，所以c <a <b .【答案】 B(1)求三角函数单调区间的两种方法①代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解，如例2-1.②图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． (2)利用单调性确定ω的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷． (3)利用单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．[通关练习]1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )解析：选B.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan(2x－π3)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 2．(2018·浙江宁波质检)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪[6，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞) D ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析：选D.当ω>0时，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，由题意知π4ω≤－π2，所以ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(]－∞，－2∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.3．已知函数g (x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则g (x )的单调递增区间为________．解析：g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数g (x )的单调递增区间， 只需求y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递减区间． 由2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .故所给函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2.答案：⎣⎡⎦⎤－π2，－π3，⎣⎡⎦⎤π6，π2三角函数的奇偶性、周期性及对称性(高频考点)三角函数的奇偶性、周期性及对称性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或在解答题某一问出现，难度为中档题．高考对三角函数单调性的考查有以下三个命题角度： (1)三角函数的周期性与奇偶性； (2)三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数的奇偶性与单调性．[典例引领]角度一 三角函数的周期性与奇偶性(2018·贵阳市监测考试)下列函数中，以π2为最小正周期的奇函数是( )A ．y ＝sin 2x ＋cos 2xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2C ．y ＝sin 2x cos 2xD ．y ＝sin 22x －cos 22x【解析】 A 中，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，为非奇非偶函数，故A 错；B 中，y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x ，为偶函数，故B 错；C 中，y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ，最小正周期为π2且为奇函数，故C 正确；D 中，y ＝sin 22x －cos 22x ＝－cos 4x ，为偶函数，故D 错． 【答案】 C角度二 三角函数的对称轴或对称中心函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象与函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象( )A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴【解析】 由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的对称轴为x ＝k π2＋π3，k ∈Z .由x －π3＝k π，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的对称轴为x ＝k π＋π3，k ∈Z .当k ＝0时，函数有相同的对称轴．由2x －π6＝k π，k ∈Z ，可解得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，0，k ∈Z .由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，可解得函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋5π6，0，k ∈Z .故两个函数没有相同的对称中心，故选A. 【答案】 A角度三 三角函数的奇偶性与单调性(2018·广州市综合测试(一))已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增【解析】 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增． 【答案】 D三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．[提醒] 对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．[通关练习]1．已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为( ) A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ的图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数． 所以π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又因为|φ|≤π2，所以φ＝π6，故选D.2．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称解析：选B.函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )；函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－13π(k ∈Z )．所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0. 3．(2018·揭阳模拟)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0，1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________．解析：因为当x ∈[0，1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，f ⎝⎛⎭⎫45＝lg 95， 又因为函数f (x )是周期为2的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 18－lg 95＝lg 10＝1. 答案：1奇偶性对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k2π(k ∈Z )．函数图象的对称中心、对称轴(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是先把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据y ＝sin x 和y ＝cos x 图象的对称轴或对称中心进行求解． (2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.易错防范(1)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0时的情况，避免出现增减区间的混淆．1．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2， 即tan b ＋sin b ＝1.所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1 ＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.2．(2018·南昌市第一次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的周期为π，若f (α)＝1，则f ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0， 0<φ<π2)的周期为π，所以T ＝2πω＝π，得ω＝2，从而由f (α)＝1，得A sin(2α＋φ)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋φ＝A sin []3π＋（2α＋φ）＝－A sin(2α＋φ)＝－1.3．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.4．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin(x ＋π3)＋cos(x －π6)的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15解析：选A.因为cos(x －π6)＝cos[(x ＋π3)－π2]＝sin(x ＋π3)，所以f (x )＝65sin(x ＋π3)，于是f (x )的最大值为65，故选A.5．(2018·石家庄教学质量检测(二))已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 B.⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 C.⎣⎡⎦⎤－π3，2π3D.⎣⎡⎦⎤－π6，5π6解析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A.6．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.解析：因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.答案：＞7．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为T ，T ∈(1，3)，则正整数ω的最大值为________．解析：因为T ＝2πω，T ∈(1，3)，所以1<2πω<3，即2π3<ω<2π.所以正整数ω的最大值为6. 答案：68．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝|2sin ⎝⎛⎪⎪⎪2x －π3）<3，所以m ≥ 3.答案：[3，＋∞)9．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )≥－12.10．(2018·合肥市第二次教学质量检测)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，所以ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.1．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z解析：选D.函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的周期为T ＝π12＝2π，故A 错误；函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的值域为[0，＋∞)，故B 错误；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，即x ＝5π3不是f (x )的对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，解得x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，故D 正确．2．(2018·武汉市武昌区调研考试)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4，故选D.3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为( ) A.12 B ．2 C.π2D.π2解析：选D.因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值， 所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z ，又ω－(－ω)≤12·2πω，ω>0，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2.4．(2018·湖南省湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：选C.因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z )．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，所以sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，即sin φ<0，所以φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin(2x －56π)，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，得x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )即为f (x )的单调递增区间，故选C.5．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调递增区间； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.6．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]， 又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

第讲三角函数的图像与性质一、选择题.在函数①＝，②＝，③＝，④＝中，最小正周期为π的所有函数为( ).①②③.①③④.②④.①③解析①＝＝，最小正周期为π；②由图像知＝的最小正周期为π；③＝的最小正周期＝＝π；④＝的最小正周期＝，因此选.答案.(·石家庄模拟)函数()＝的单调递增区间是( )(∈)(∈)(∈)(∈)解析由π－＜－＜π＋(∈)，解得－＜＜＋(∈)，所以函数＝的单调递增区间是(∈)，故选.答案.(·成都诊断)函数＝－的最大值与最小值分别为( )，－，－，－，－解析＝－＝－－＝－－＋，令＝，则∈[－，]，＝－－＋＝－(＋)＋，所以＝，＝－.答案.(·山东卷)函数()＝( ＋)( － )的最小正周期是( ).π π π解析()＝＝，∴()的最小正周期＝π.答案.(·安徽江南十校联考)已知函数()＝(ω＋φ)的最小正周期为π，且任意∈，有()≤成立，则()图像的一个对称中心坐标是( )解析由()＝(ω＋φ)的最小正周期为π，得ω＝.因为()≤恒成立，所以()＝，即×＋φ＝＋π(∈)，由φ<，得φ＝，故()＝.令＋＝π(∈)，得＝π－(∈)，故()图像的对称中心为(∈)，当＝时，()图像的对称中心为.答案二、填空题.(·郑州调研)若函数()＝(<φ<π)是奇函数，则φ＝.解析因为()为奇函数，所以φ－＝＋π，φ＝＋π，∈.又因为<φ<π，故φ＝.答案.(·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数＝＋的单调递增区间是.解析∵＝＋＝，由π－≤＋≤π＋(∈)，解得π－≤≤π＋(∈).∴函数的单调递增区间为(∈)，又∈，∴单调递增区间为.答案.若函数()＝ω(ω>)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝.解析法一由于函数()＝ω(ω>)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，为函数()的周期，故＝，解得ω＝.法二由题意，得()＝＝ω＝.由已知并结合正弦函数图像可知，ω＝，解得ω＝.答案三、解答题.(·安徽卷)已知函数()＝( ＋ )＋ .()求()的最小正周期；()求()在区间上的最大值和最小值.解()因为()＝＋＋＋。

课时分层训练(二十) 三角函数的图像与性质A 组 基础达标一、选择题 1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) 【导学号：79140113】A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，所以2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .] 2．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( )A ．y ＝sin x cos xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2xA [y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.]3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33C. 2D.22 B [由x ＝5π3是f (x )图像的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫10π3，即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.] 4．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2A [依题意，得2π|ω|＝2π3，|ω|＝3，又ω＞0，所以ω＝3，令3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π3＋π9(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π9.因此，函数f (x )的图像的一条对称轴方程是x ＝π9.]5．已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围可以是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2]A [由π2＜x ＜π，ω＞0得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意结合选项，令⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.]二、填空题6．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________.【导学号：79140114】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 [由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.]7．(2018·兰州模拟)已知下列函数：①f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； ②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3；最新高考数学一轮复习 学案练习④f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 其中，最小正周期为π且图像关于直线x ＝π3对称的函数的序号是________．② [③中函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的最小正周期为4π，故③错误．将x ＝π3分别代入①②④中，得其函数值分别为0,2，3，因为函数y ＝A sin x 在对称轴处取得最值，故①④错误，②正确．]8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z [由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z .] 三、解答题9．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π) ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， 于是T ＝2π1＝2π.(2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2]．故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1. 10．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；小学+初中+高中(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x ·cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4上的图像知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.B 组 能力提升11．(2017·郑州二次质量预测)将函数f (x )＝－cos 2x 的图像向右平移π4个单位后得到函数g (x )，则g (x )具有性质( ) A ．最大值为1，图像关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图像关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称B [由题意得函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2×π4＝－sin 2x ，易知其为奇函数，由－π2＋2k π＜2x ＜π2＋2k π，k ∈Z 得－π4＋k π＜x ＜π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin2x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π4＋k π，k ∈Z ，所以函数g (x )＝－sin 2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减，故选B.]12．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ＜π2的最小正最新高考数学一轮复习 学案练习周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0A [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.] 13．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图像关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________.【导学号：79140115】5π12 [由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12.]14．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3小学+初中+高中＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．。