2020-2021学年四川省泸县第二中学高一上学期第一次月考数学试题

四川省泸县第二中学高2021届一诊模拟考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}20,2,A m m =-，{}|15B x Z x =∈<<，若{4}A B ⋂=，则实数m 构成的集合是（ ）A. {2,6}B. {2,6}-C. {2,2}-D. {2,2,6}-【答案】B 【解析】 【分析】由题知24m -=或24m =，又根据集合元素的互异性即可得出m 的值.【详解】{}{}|152,3,4B x Z x =∈<<=， 因为{4}A B ⋂=，所以4A ∈，则有24m -=或24m =，解得：6m =或2m =±， 当6m =时，集合{}0,4,36A =满足题意；当2m =时，集合{}0,0,4A =，不满足互异性，故舍去； 当2m =-时，集合{}0,4,4A =-满足题意， 综上，实数m 构成的集合是{}2,6-. 故选：B【点睛】本题考查交集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.2. 函数sin(2)3y x π=+图象的对称轴方程可能是（ ）A. 6x π=-B. 12x π=-C. 6x π=D. 12x π=【答案】D 【解析】【详解】函数的对称轴方程满足：()232x k k Z πππ+=+∈ ,即：()212k x k Z ππ=+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= .本题选择D 选项.3. 函数()()311x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可 【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x xx e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ； 又因为()()()33311211x x xe f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →, 故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =A. 3-B. 1-C. 1D. 3【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为当时，2()2f x x x =-，所以. 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以. 故应选A.考点：函数奇偶性的性质.5. α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，那么αβ⊥ B. 如果m α⊂，//αβ，那么//m β C. 如果l αβ=，//m α，//m β，那么//m lD. 如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】A. 由面面垂直的判定定理判断；B. 由面面平行的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由平面与平面的位置关系判断；【详解】A. 如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故正确； B. 如果m α⊂，//αβ，由面面平行的性质定理得//m β，故正确； C.如果l αβ=，//m α，//m β，由线面平行的性质定理得//m l ，故正确；D.如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么,αβ相交或平行，故错误； 故选：D【点睛】本题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了理解辨析和逻辑推理的能力，属于中档题.6. 在ABC 中，已知sin cos sin A B C =， 那么ABC 一定是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形【答案】A 【解析】【分析】先化简sin Acos B ＝sin C=()sin A B +，即得三角形形状. 【详解】由sin Acos B ＝sin C 得()sin cos sin sin cos cos sin ,A B A B A B A B =+=+ 所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π）， 所以sinB ＞0，所以cosA=0,所以A=2π, 所以三角形是直角三角形. 故答案为A【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7. 设0a >，0b >，是lg 4a与lg 2b的等差中项，则21a b+的最小值为A. B. 3 C. 4D. 9【答案】D 【解析】【详解】∵lg4a 与lg2b的等差中项，∴lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=． 所以212122()(2)559b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 8. 若函数()223,123,1x ax x f x x a x ⎧-+-<-=⎨-≥-⎩在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)1,--∞ B. (],2-∞-C. []1,2-D. []0,2【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质，以及函数的单调性，由题意列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为223y x ax =-+-的图象的对称轴为直线x a =， 所以要使()f x 在定义域上单调递增，则1,12323a a a≥-⎧⎨---≤--⎩，解得[]1,2a ∈-．故选：C.【点睛】本题主要考查由分段函数的单调性求参数，属于常考题型.9. 已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为17，则该长方体的表面积为（ ） A. 32 B. 20C. 16D. 12【答案】A 【解析】【分析】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，根据长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为17，由7a b c ++=和22217a b c ++=求解. 【详解】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ， 由题意可知，7a b c ++=…①，22217a b c ++=…②，由2-①②可得()232ab bc ac ++=， 所以该长方体的表面积为32． 故选：A【点睛】本题主要考查长方体的几何特征以及表面积的求法，属于基础题.10. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是A.305 B.230C. 275D.475【答案】B 【解析】【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22512CP ==+ 221230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.11. 已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）A.89π B.1118πC.512π D.49π 【答案】A【解析】 【分析】由题可得,当OE ⊥截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为a ,先求得正四面体的外接球半径为4a ,再求得OE ,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积【详解】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则DM =,令AM h =,OM x =,则x h R =-,在Rt AMD 中,222AM DM AD +=,即2223h a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,则h a =,在Rt OMD 中,222DM OM R +=,即222x R ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则22213a R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭,解得4R a =,则3412x a a =-=, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333EM BN BC a ===,在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即222211112372d a a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以2222112729r a a ⎫=-=⎪⎪⎝⎭,因为2a BC ==, 所以289r =, 所以截面面积为289S r ππ==, 故选：A【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,考查空间想象能力与转化思想,考查运算能力12. 设1x ， 2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（ ） A. [)4,+∞ B. ()4,+∞C. [)5,+∞D. ()5,+∞【答案】D 【解析】【详解】由12,x x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点，所以110x x a--=，即111xa x =，因为11,0a x >>，所以11x a >，则101x <<， 所以22log 10a x x -=，即221log a x x =，所以21211x a x =，且21>x 所以121x x =，则12221445x x x x +=+>， 即124x x +的取值范围是(5,)+∞，故选D.第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数x ，y 满足10,240,20,x y x y z x y x -+≤⎧⎪+-≥=+⎨⎪≥⎩则的最小值为___________．【答案】5 【解析】【分析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），11222z x y y x z =+⇒=-+， 则点A 处取得最小值5.联立10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得：1,(1,2)2x A y =⎧∴⎨=⎩代入2z x y =+得最小值5. 答案为：5.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 【详解】14. 计算2()xe x dx +=⎰_______________.【答案】2e 1+ 【解析】【分析】由微积分基本定理直接计算即可. 【详解】()222202021121022xx e x dx e x e e e ⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭⎰, 故答案为21e +.【点睛】本题主要考查微积分基本定理，根据基本初等函数的导函数，即可求解，属于基础题型.15. 已知2cos 265πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________【答案】25【解析】【分析】利用诱导公式三和诱导公式五可求得结果.【详解】sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin(2)62ππα+-sin[(2)]26ππα=--+22cos(2)()655πα=-+=--=.故答案为：2516. 已知函数()2sin cos 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，给出以下四个命题：①函数()f x 的最小正周期为2π；②函数()f x 的图象的一个对称中心是,82π⎛- ⎝⎭；③函数()f x 在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数； ④若()()12f x f x =，则()1211Z 4x x k k ππ+=+∈或()1222Z x x k k π-=∈．其中真命题的序号是__________．（请写出所有真命题的序号） 【答案】②④ 【解析】【分析】先将解析式化简整理，得到()sin 242f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】由已知()2sin cos 4f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得())2cos 21cos 2sin 24f x x x x x x x π⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x的最小正周期为π，所以①错；又8f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x 的图象的一个对称中心是,82π⎛- ⎝⎭，所②正确； 若,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则2,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，故③错；由()()12f x f x =，得12sin 2sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1211222Z 44x x k k ππππ⎛⎫+=-++∈ ⎪⎝⎭或()1222222Z 44x x k k πππ+=++∈，所以()1211Z 4x x k k ππ+=+∈或()1222Z x x k k π-=∈，所以④正确．故答案为：②④.【点睛】本题主要考查判断与三角函数有关命题的真假，考查正弦型三角函数的性质，属于常考题型.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17. 已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于12y x =. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值. 【答案】（1）54a =；（2）单调递增区间()5,+∞，单调递减区间()0,5，()f x 的极小值为 ()5ln5f =-. 【解析】【分析】（1）由()2311()ln 424x a a f x x f x x x x'=+--⇒=--，而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于12y x =，所以(1)2f '=-，解方程可得a 的值； （2）由（1）的结果知()2225315145()ln 442444x x x f x x f x x x x x--'=+--⇒=--=于是可用导函数求()f x 的单调区间；【详解】（1）对()f x 求导得()2114a f x x x=--'， 由()f x 点()()1,1f 处切线垂直于直线12y x =，知()312,4f a '=--=-解得54a =；（2）由（1）知53()ln 442x f x x x =+--， 则()22215145,444x x f x x x x --'=--=令()0f x '=，解得1x =-或5x =.因1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，故舍去. 当()0,5x ∈时，()0,f x '<故()f x 在()0,5内为减函数； 当()5,x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()5,+∞内为增函数； 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln5f =-.18. 设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin sin sin A B C A B C +--+3sin sin 2B C =． （1）求sin A 的值（2）若3a =，求ABC 的面积的最大值．【答案】（1；（2. 【解析】【分析】（1）将已知等式利用平方差公式得2221sin sin sin sin sin 2A B C B C --=-，由正弦定理化简得22212b c a bc +-=，然后由余弦定理可得答案.（2）由余弦定理和基本不等式可得6bc ≤，从而可得到面积的最值. 【详解】（1）因为()()3sin sin sin sin sin sin sin sin 2A B C A B C B C +--+=．得2221sin sin sin sin sin 2A B C B C --=-．由正弦定理得22212b c a bc +-=，即222124b c a bc +-=得1cos 4A =．因为0A π<<，所以sin A ． （2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以22192b c bc =+-．所以1922bc bc ≥-，解得6bc ≤，当且仅当b c ==所以1sin 2ABC S bc A =≤△．ABC . 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查利用基本不等式求解三角形面积的最值问题，属于基础题.19. 已知向量()cos ,1m x =-，13sin ,2n x ⎛⎫=- ⎪⎭，设函数()()f x m n m =+⋅ （1）求函数f (x )的最小正周期；（2）已知a 、b 、c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长，A 为锐角，a =1，3c =，且f (A )恰是函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求A ，b 和三角形ABC 的面积． 【答案】（1）π；（2）答案见解析． 【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数得f(x)=s in 226x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭,再求函数的最小正周期.（2）由()f A 恰是函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值，A 为锐角，可得6A π=，再由余弦定理可求得b=1或b=2，再求三角形的面积得解.【详解】（1）由题意可得()()221cos 13sin cos 2f x m n m m m n x x x =+⋅=+⋅=+++1cos2311sin222x x +=+++ 13cos2sin22sin 22226x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. ∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）由（1）知()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 又()f A 恰是函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值，A 为锐角，可得6A π=，由余弦定理可得2231323b b =+-⨯⨯，解得b=1或b=2 当b=1时，三角形ABC 的面积13sin 2S bc A ==， 当b=2时，三角形ABC 的面积13sin 2S bc A ==. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查余弦定理解三角形和三角形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ABD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3EB =，1EF =，13BC =，且M 是BD 的中点.（1）求证：//EM 平面ADF ；（2）求二面角A FD B --的余弦值的大小.【答案】（1）见解析（23【解析】【分析】试题分析：（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A FD B--的大小.解析：（1）解法一：取AD的中点N，连接,MN NF.在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，所以1 //,2MN AB MN AB=，又因为1//,2EF AB EF AB=，所以//MN EF且MN EF=.所以四边形MNFE为平行四边形，所以//EM FN，又因为FN⊂平面,ADF EM⊄平面ADF，故//EM平面ADF. 解法二：因为EB ⊥平面,ABD AB BD⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-.由已知可得()(3,0,3,3,2,0,0,32EM AD AF⎛⎫=-=-=-⎪⎝，设平面ADF的一个法向量是(),,n x y z=.由n ADn AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32030x yy z-=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令3y=，则(2,3,3n=.又因为0EM n⋅=，所以EM n⊥，又EM⊄平面ADF，故//EM平面ADF.（2）由（1）可知平面ADF 的一个法向量是(2,3,3n =. 易得平面BFD 的一个法向量是()0,3,1m =- 所以3cos ,||m n m n m n ⋅==-⋅，又二面角A FD B --为锐角，故二面角A FD B --【详解】21. 已知函数()()20xf x emx x =+∈+∞，，（其中e 为自然对数的底数）．（1）求()f x 的单调性； （2）若()222xa m g x x e =-=，，对于任意()01a ∈，，是否存在与a 有关的正常数0x ，使得()0012x f g x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭成立？如果存在，求出一个符合条件的0x ；否则说明理由． 【答案】（1）当2m ≥-时,()f x 在0,上的单调递增；当2m <-时,()f x 在10,ln 22m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,()f x 在1ln ,22m ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；（2）存在与a 有关的正常数()0ln 01x a a =-<< 【解析】 【分析】（1）求导可得()2'2xf x em =+,分别讨论0m ≥,20m -≤<,2m <-时的情况,进而判断单调性即可；（2）存在与a 有关的正常数0x 使得()0012x f g x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即0020012x x a e x x e -->,则02001102x x a x e ++-<,设()2112x a x t x x e+=+-,满足()min 0t x <即可,利用导数可得()()()2minln ln ln 112a t x t a a a a =-=+-+-,再设()()2ln ln 12aa a a a ϕ=+-+,利用导函数判断函数性质即可求解【详解】（1）()2'2xf x em =+,①当0m ≥时,()'0f x >恒成立,所以()f x 在0,上的单调递增；②当20m -≤<时,()0x ∈+∞，,()'0f x >,所以()f x 在0,上的单调递增；③当2m <-时,令()'0f x =,得1ln 022m x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭, 当10,ln 22m x ⎛⎫⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()'0f x <,()f x 单调递减； 当1ln ,22m x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时,()'0f x >,()f x 单调递增； 综上所述：当2m ≥-时,()f x 在0,上的单调递增；当2m <-时,()f x 在10,ln 22m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,()f x 在1ln ,22m ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增 （2）存在,当2m =-时,()22xf x ex =-,设存在与a 有关的正常数0x 使得()0012x f g x ⎛⎫->⎪⎝⎭,即0020012x x a e x x e --> 0200112x x a x e +∴->, ()0200110*2x x ax e +∴+-< 需求一个0x ,使()*成立,只要求出()2112x a x t x x e+=+-的最小值,满足()min 0t x <, ∵()1'xt x x a e ⎛⎫=-⎪⎝⎭,∴()t x 在()0,ln a -上单调递减,在()ln a -+∞，上单调递增, ∴()()()2min ln ln ln 112a t x t a a a a =-=+-+-, 只需证明()2ln ln 1102a a a a +-+-<在()0,1a ∈内成立即可, 令()()2ln ln 12a a a a a ϕ=+-+,()21'ln 02a a φ∴=>,∴()a ϕ在()0,1a ∈单调递增, ∴()()()211ln 1ln11102a ϕϕ<=+⨯-+-=, 所以()min 0t x <,故存在与a 有关的正常数()0ln 01x a a =-<<使()*成立【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理函数的恒成立问题,考查运算能力与转化思想（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为131121x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（λ为参数，且1λ≠-）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos 320ρρθ++=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知点P的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到曲线1C 的距离的最大值. 【答案】（1）()34103x y x +-=≠，2212320x y x +++=.（2）85【解析】【分析】（1）化简得到341x y +=，再考虑4331x λ=-≠+，利用极坐标方程公式得到答案. （2）P 的直角坐标为()2,2，设点()00,M x y ，故()0022,22Q x y --，代入圆方程得到M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上，计算得到最大距离.【详解】（1）因为13,112,1x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，所以3×①+4×②，得341x y +=.又133(1)4433111x λλλλλ-++-===-≠+++，所以1C 的普通方程为()34103x y x +-=≠，将cos x ρθ=，222x y ρ=+代入曲线2C 的极坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程为2212320x y x +++=.（2）由点P的极坐标4π⎛⎫⎪⎝⎭，可得点P 的直角坐标为()2,2. 设点()00,M x y ，因为M 为PQ 的中点，所以()0022,22Q x y -- 将Q 代入2C 的直角坐标方程得()()2200211x y ++-=，即M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上. 所以点M 到曲线1C 距离的最大值为|23141|8155d -⨯+⨯-=+=，由（1）知1C 不过点()3,2N -，且312391423420MN k +⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-=≠- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 即直线MN 与1C 不垂直.综上知，M 到曲线1C 的距离的最大值为85. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23. 已知函数()2f x x =+.（1）求不等式()()21x x f f x +-<+的解集：（2）若x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）∅；（2）22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）由题意可得21x x x ++<+，由绝对值的定义，对x 讨论去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得2222x a x a ++++≥+恒成立，等价为()min22||22x a x a ++++≥+，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，由绝对值的解法可得所求范围. 【详解】（1）不等式()()21x x f f x +-<+，即为21x x x ++<+，等价为021x x x x ≥⎧⎨++<+⎩或2021x x x x -<<⎧⎨+-<+⎩或221x x x x ≤-⎧⎨---<+⎩，解得x ∈∅或x ∈∅或x ∈∅， 则原不等式的解集为∅；（2）若x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立， 即有2222x a x a ++++≥+恒成立，由2222x a x x a x a ++++≥++--=，当且仅当()()220x x a +++≤时，取得等号，可得22a a +≤，即为()()3220a a ++≤， 解得223a -≤≤-， 则a 的取值范围是22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想和转化思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题.。

四川省泸县第二中学2020-2021学年上学期高一年级第一次月考数学试卷第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．92．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是A ．2B ．3C ．4D ．83．下列四个方程中表示y 是的函数的是①－2y ＝6；②2＋y ＝1；③＋y 2＝1A ．①②B ．①④C ．③④D ．①②④4．在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是A ．21()1,()1x f x x g x x -=-=+B ．1,1()1,()1,1x x f x x g x x x +≥-⎧=+=⎨--<-⎩C ．()1(),()1()f x x x g x x x =+∈=+∈R ZD ．2(),()f x x g x ==5．已知2(3)231f x x x -=-+，则(1)f =A ．15B ．21C ．3D ．06．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是A ．B ．C ．D ．7．设f ：→ln||是集合M 到集合N 的映射，若N={0，1}，则M 不可能是A ．{}1,eB ．{1,-1，e}C ．{}1,e,e -D ．{0,1，e}8．函数y 的奇偶性为 A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数，又是偶函数C ．奇函数，不是偶函数D ．偶函数，不是奇函数 9．设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则a 的值为A ．0B ．1C ．-1D ．1或010．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是A ．31()21f x x x =-- B ．31()21f x x x =+- C ．31()21f x x x =-+ D ．31()21f x x x =++ 11．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m （件）与每件的售价x （元）满足一次函数：1623m x =-．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好 12．已知函数()2f x x ax b =-+-（a ，b 为实数）在区间[]22-,上最大值为M ，最小值为m ，则M m - A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，但与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年四川省泸州市某校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合A={x∈N|log2x≤1}，集合B={x∈Z|x2≤5}，则A∩B=()A.{2}B.{1, 2}C.{0, 1, 2}D.⌀2. 已知i是虚数单位，则复数的实部和虚部分别是（）A.−7，3B.7，−3iC.7，−3D.−7，3i3. 已知函数f(x)=lg(1−x)的值域为(−∞, 0]，则函数f(x)的定义域为（）A.[0, +∞)B.[0, 1)C.[−9, +∞)D.[−9, 1)4. 下列命题中正确的是（）A.若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B.垂直于同一平面的两个平面平行C.存在两条异面直线同时平行于同一平面D.三点确定一个平面5. 已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A.关于点(π4，0)对称 B.关于直线x=π8对称C.关于点(π8，0)对称 D.关于直线x=π4对称6. 若，则sin2α＝（）A. B. C. D.7. 若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（）A. B. C.D.8. 已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC＝120∘，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为（）A.1 2B.√105C.√155D.√639. 在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2c cos A，c=2b cos A则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形10. 若f(x)=cos2x+a cos(π2+x)在区间(π6，π2)上是增函数，则实数a的取值范围为（）A.[−2, +∞)B.(−2, +∞)C.(−∞, −4)D.(−∞, −4]11. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段B1C1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是( )12. 对于函数f(x)={2x⋅e x,x≤0x2−2x+12,x>0，有下列命题：①过该函数图象上一点（−2, f(−2)）的切线的斜率为−2e2；②函数f(x)的最小值为−2e；③该函数图象与x轴有4个交点；④函数f(x)在(−∞, −1]上为减函数，在(0, 1]上也为减函数．其中正确命题的序号是（）A.①④B.①②③C.①②④D.②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省泸州市泸县第二中学2020-2021学年高一数学下学期第一次月考试题 文数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效。

3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效。

第一部分 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求。

） 1．已知}3|{},5,4,2{≥==x x B A ，则=B AA ．}5{B ．}5,4{C ．}5,4,3{D ．}5,4,3,2{ 2．=︒︒+︒︒12sin 72sin 12cos 72cosA ．21-B ．21C ．23-D ．23 3.已知数列}{n a 是等差数列，且1073=+a a ，则=5aA.2B.3C.4D.54.已知扇形弧长是2，面积是4，则扇形的圆心角的弧度数是A.21 B.23 C.25D.4 5．已知ABC Δ中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,.若︒===60,2,3A b a ，则=B A ．︒45 B ．︒60 C ．︒45或︒135D ．︒1356．在正方形中，点E 为CD 边的中点，则A ．AD AB AE 21+= B ．AD AB AE 21-= C ．AD AB AE +=21D ．AD AB AE +-=217. 在ABC Δ中，若A c b cos =，则ABC Δ是A. 等边三角形B. 等腰三角形C.直角三角形D. 等腰直角三角形8．为了得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin )(πx x f 的图像，需对函数x x g sin )(=的图像所作的变换可以为A ．先将图像上所有的横坐标压缩为原来的31倍，纵坐标不变，再向左平移12π个单位B ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移12π个单位 C ．先将图像上所有的横坐标压缩为原来的31倍，纵坐标不变，再向左平移4π个单位D ．先将图像上所有的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移4π个单位 9．已知α为锐角，且5522cos =⎪⎭⎫⎝⎛-πα，则=-+ααααcos sin cos 3sin 2 A ．8- B ．7 C ．8± D ．7±10.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0(+∞上单减，则A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛--322332241log f f f B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛--233232241log f f fC.⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41log 2233223f f f D.⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41log 2232332f f f 11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-≤+-=3,230,320,3)(x x x x x x x f ，若数列}{n a 满足())(,411*+∈==N n a f a a n n ，则=2021aA ．1B ．2C ．4D ．1-12.已知定义在R 上的函数)(x f 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f 44ππ，且当ππ≤≤x 4时，x x f sin )(=，则当函数a x f x g -=)()(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ,2有零点时，关于其零点之和有以下阐述：①零点之和为4π；②零点之和为2π；③零点之和为43π；④零点之和为π.其中结果有可能成立的是 A.①② B.②③ C.③④ D.②③④第二部分 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2020年春四川省泸县第二中学高一第一学月考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A ＝{1，3}，B ＝{x |2≤x ≤5，x ∈Z}，则A ∩B ＝ A ．{1}B ．{3}C ．{1，3}D ．{2，3，4，5}2．下列函数中与函数2x y =值域相同的是 A．y B ．2log (1)y x =+ C ．2y x -= D ．239y x x =-+3．下列函数中，周期为2π的是 A ．cos 4y x =B ．sin 2y x =C ．cos4x y = D ．sin2x y = 4．设函数()()232,2log 1,2x e x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为 A ．eB ．2eC ．2D ．35．已知角α的终边经过点()5,12P --，则3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于A ．513-B ．1213-C ．513D ．12136．0.94a =，0.488b =， 1.512c -⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>7．已知函数2y ax bc c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．已知曲线:sin 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是 A ．把C 向左平移512π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B ．把C 向右平移12π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称C ．把C 向左平移3π个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D ．把C 向右平移6π个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称 9．函数在其定义域上是A ．单调递增的奇函数B ．单调递增的偶函数C ．偶函数且在上单调递增D ．偶函数且在上单调递减10．已知()sin ωx (0,0,,)2f x A A x R πφφ=+>><∈（）在一个周期内的图象如图所示,则()y f x =的解析式是A ．()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭11．已知2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，那么a b +=（ ） A ．14-B ．14C ．12D ．12-12．已知0m >，函数2()()24()x x m f x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩，若存在实数b ，使得函数()y f x =与y b =的图像恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是 A ．(3,)+∞B ．(3,8)C ．(,3)-∞-D ．(8,3)--第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省泸县第一中学2020—2021学年高一数学上学期第一次月考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题(60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}2|3M x N x =∈<,则下列结论正确的是A ．1M -∈B ．2M ∈C ．0M ∈D M2．已知集合{}1,2,3A =，非空集合B 满足{}1,2,3A B =，则集合B 的个数为 A ．3B ．6C ．7D ．83．对于集合A ＝｛x ｜0≤x ≤2}，B ＝｛y ｜0≤y ≤3｝，则由下列图形给出的对应f 中,能构成从A 到B 的函数的是A ．B ．C ．D ．4．下列各组函数中，两个函数相等的是 A ．2)y x =与y x =B ．1y x =-与2=1x y x -C ．2y x =与2(y x = D ．33y x y x =5．已知函数()f x 满足()()22f x f x ＝，且当12x ≤＜时，()2f x x ＝，则()3f ＝A ． 98B ．94C ．92D ．9 6．函数f(x ）＝x ＋9x (x≠0）是A ．奇函数，且在(0，3）上是增函数B ．奇函数，且在（0,3）上是减函数C ．偶函数，且在（0，3）上是增函数D ．偶函数，且在（0，3）上是减函数7．下列对应是集合A 到集合B 上的映射的个数是(1)A=R ，B=N ＊,对应关系f ：对集合A 中的元素取绝对值，与B 中的元素相对应;（2）A={1，-1，2,—2}，B=｛1，4}，对应关系f ：f ：x→y=x 2，x ∈A ，y ∈B ；（3）A=｛三角形}，B=｛x|x ＞0｝，对应关系f ：对集合A 中的三角形求面积，与集合B 中的元素对应 A ．0 B ．1C ．2D ．38．函数()f x =A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x=对称9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时，()2f x x =+，那么不等式2()10f x -<的解集是A ．5|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．35| 022x x x ⎧⎫<-≤<⎨⎬⎩⎭或 C ．3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭ D ．35| 022x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或 10．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时,每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率%x ）,则每年销售量将减少10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为A ．2B ．6C ．8D ．1011．已知函数()()221,1x f x g x x =-=-,构造函数()F x ，定义如下:当()()f x g x ≥时，()()F x f x =;当()()f x g x <时，()()F x g x =-，那么()F xA ．有最大值1，无最小值B ．有最小值0，无最大值C ．有最小值1-，无最大值D ．无最小值，也无最大值 12．当1x ≤时，函数246y xx =++的值域为D ，且当x D ∈时,不等式264x kx x++≥恒成立,则实数k 的取值范围为A．)4⎡-+∞⎣ B ．(,1]-∞-C．(,4-∞- D ．33,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 第II 卷 非选择题（90分）二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年四川省泸州市第二中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从随机编号为0001,0002,…1500的1500名参加某次沈阳市四校联考期末测试的学生中，用系统抽样的方法抽取一个样本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为0018,0068，则样本中最大的编号应该是( )A．1466 B．1467 C.1468 D．1469参考答案：C2. 设，向量，，且，则（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：由知，则，可得．故本题答案应选B．考点：1.向量的数量积；2.向量的模．3. 点位于第二象限，则角所在象限是（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限参考答案：D略4. 设是偶函数，那么的值为（）A．1 B．－1 C． D．参考答案：D5. 已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）且对定义域中任意x均有：f（x）?f（﹣x）=1，g（x）=，则g（x）（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数又非偶函数参考答案：A【考点】函数奇偶性的判断．【分析】由题意先判断函数g（x）的定义域关于原点对称，再求出g（﹣x）与g（x）的关系，判断出其奇偶性．【解答】解：由题意，要使函数g（x）有意义，则f（x）+1≠0，即f（x）≠﹣1，∵对定义域中任意x均有：f（x）?f（﹣x）=1，∴若f（a）=﹣1时，则有f（﹣a）=﹣1，∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴函数g（x）的定义域也关于原点对称，∵g（﹣x）===﹣=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数．故选A．6. 有4个函数：①②③④，其中偶函数的个数是（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）参考答案：C7. “函数只有一个零点”是的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A当或时，函数f(x)都只有一个零点.8. 函数f（x）=+lg（x﹣1）的定义域是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．（1，2]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式被开方数非负，对数的真数大于0，得到不等式组，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）=+lg（x﹣1），可得2﹣x≥0，且x﹣1＞0，即有x≤2且x＞1，即为1＜x≤2，则定义域为（1，2]．故选：D．9. 已知平面向量=（1，2），=（－2，m），且，则( )A.（－5，－10）B.（－4，－8）C.（－3，－6）D.（－2，－4）参考答案：B略10. y=（x+1）的定义域是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1.1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质得到不等式组，解出即可．解：由题意得：，解得：﹣1＜x≤1，故选：D．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式的性质以及对数函数的性质，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （4分）设{a n}是等差数列，若a2=3，a7=13，则数列{a n}前8项的和为．参考答案：64考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的前n项和公式，结合等差数列的性质a2+a7=a1+a8求解．解答：在等差数列{a n}中，若m+n=k+l，则a m+a n=a k+a l．所以a2+a7=a1+a8=16，所以s8=×8=64．故答案为64．点评：熟练掌握等差数列的性质：在等差数列{a n}中，若m+n=k+l，则a m+a n=a k+a l．特例：若m+n=2p （m，n，p∈N+），则a m+a n=2a p．12. 在直角坐标系内，已知A（3，2）是圆C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M，N的坐标分别为（﹣m，0），（m，0），则实数m的取值集合为．参考答案：[3，7]【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出⊙C 的方程，过P ，M ，N 的圆的方程，两圆外切时，m 取得最大值，两圆内切时，m 取得最小值．【解答】解：由题意，∴A （3，2）是⊙C 上一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为x ﹣y+1=0和x+y ﹣7=0， ∴圆上不相同的两点为B （1，4），D （5，4）， ∵A （3，2），BA ⊥DA∴BD 的中点为圆心C （3，4），半径为1， ∴⊙C 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=4． 过P ，M ，N 的圆的方程为x 2+y 2=m 2， ∴两圆外切时，m 的最大值为+2=7，两圆内切时，m 的最小值为﹣2=3，故答案为[3，7]．13. sin13°cos17°+cos13°sin17°= _________ ．参考答案：14. 经过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线的方程是______________________．参考答案：x+2y-1=0或x+3y=0 15. 函数y=的图象与其反函数图象重合，则a= ．参考答案：3【考点】反函数．【分析】由y=，解得x=，可得反函数，利用函数y=的图象与其反函数图象重合，即为同一个函数即可得出．【解答】解：由y=，解得x=，把x 与y 互换可得：y=，∵函数y=的图象与其反函数图象重合，∴a=3． 故答案为：3． 16. 若是锐角三角形的两内角，则_____（填>或<）。

四川省泸州市泸县第二中学2020届高三数学上学期第一次月考试题文第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.若复数满足，则的共轭复数A. B. C. D.2.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则A. 96B. 72C. 48D. 363.中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为A. 6B. 5C. 4D. 24.如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是A. 这15天日平均温度的极差为B. 连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C. 由折线图能预测16日温度要低于D. 由折线图能预测本月温度小于的天数少于温度大于的天数5.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为A.B.C.D.6.已知实数是给定的常数，函数的图象不可能是A. B. C. D.7. 正项等比数列{}n a 中,2014201620182a a a +=，若214a a a n m =,则nm 11+的最小值等于A.1 B ．54 C ．32 D. 358.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1，0)∪(2，＋∞)C ．(－1，0)D ． (2，＋∞) 9.在中，内角的对边分别为，已知，，，则A. B. C.D. 或10.若函数的图象关于直线8π=x 轴对称，则函数的最小值为A.B. 263-C. 0D. 829-11.已知函数，则下列结论中正确的是 A. 函数的定义域是B. 函数是偶函数C.函数在区间上是减函数 D. 函数的图象关于直线轴对称12.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 A.B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13.计算___________.14.已知函数f(x)= ,那么f 的值是___________.15.在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，是以斜边的等腰直角三角形，以为折痕把折起，当时，四面体的外接球的体积为______． 16.已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，过点向抛物线的准线引垂线，垂足为，若为等边三角形，则______．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分）已知数列满足.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．18.（本大题满分12分）槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解，两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.（I）你能否估计哪个班级学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？（II）从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为，从班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为，求的概率；19.（本大题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，与交于点.(I)求证:；(II)若为的中点，平面，求三棱锥的体积.20.（本大题满分12分）函数．（Ⅰ）若函数在点处的切线过点，求的值；（Ⅱ）若不等式在定义域上恒成立，求的取值范围．21.（本大题满分12分）已知动圆过定点，且和直线相切，动圆圆心形成的轨迹是曲线，过点的直线与曲线交于两个不同的点.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）在曲线上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线，，，与曲线分别交异于极点的四点，，，．（Ⅰ）若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程．（）求，当时，求的值域．23.设函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）当时，恒成立，求m的取值范围．2019-2020学年度秋四川省泸县二中高三第一学月考试文科数学试题答案1.D2.B3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.C 10.D 11.B 12.C13.6 14.1 15.16.17.解:(1)由题意得，所以得由,所以（），相减得，得也满足上式.所以的通项公式为.(2)数列的通项公式为是以为首项,公差为的等差数列,若对任意的正整数恒成立，等价于当时,取得最大值,所以解得所以实数的取值范围是18.（1）班样本数据的平均值为.由此估计班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为17颗；班样本数据的平均值为，由此估计班学生每周平均咀嚼槟榔的颗数为19颗.故估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多.（2）班的样本数据中不超过19的数据有3个，分别为9，11，14，班的样本数据中不超过21的数据也有3个，分别为11，12，21.从班和班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为，，，，，，，，.其中的情况有，，三种，故的概率.19.(1)证明：过点作，垂足为因为平面平面，且交线为平面，又平面，底面是正方形，又，平面平面，(2) 平面，平面，，又的中点为由平面，可得，又，平面.而平面，又由(1)可知，平面，即是四棱锥的高，故20.（Ⅰ），，，整理可得，解得，（Ⅱ）由题意知，，，设，，故在递增，故时，，当时，，故在上有唯一实数根，当时，，当时，，故0时，取最小值，由，得，故，，解得：，故的范围是．21.（1）设动圆圆心到直线的距离为，根据题意，动点形成的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，抛物线方程为.（2）根据题意，设，直线的方程为，代入抛物线方程，整理得若设抛物线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点，设，则，同理可得解得在曲线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.22.（），即，化为直角坐标方程为．把的方程化为直角坐标方程为，因为曲线关于曲线对称，故直线经过圆心，解得，故的直角坐标方程为．（）当时，，，，，∴，的值域为．23.（1），由解得即不等式的解集为.（2）当时，，由，得，也就是在恒成立，故，即的取值范围为.。

2021届四川省泸县第二中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则M ∩（U C N ）=（）A ．0,1B ．0,1C ．[)1,+∞ D ．1,答案：C解题思路：先求出{|11}N x x =-<<和UN ，再求M ∩（U C N ）得解.解：由题得2{|1}{|11}N x x x x =<=-<<， 所以{|1UN x x =≤-或1}x ≥，所以M ∩（U C N ）=[)1,+∞. 故选：C 点评：本题主要考查集合的补集和交集运算，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．若()25i z +=，则z 的虚部为（） A ．－1 B ．1C ．i -D ．i答案：A解题思路：利用复数除法运算化简z ，则虚部可求 解：()()()5252222i z i i i i -===-++-，故虚部为－1 故选：A 点评：本题考查复数的运算，意在考查计算能力，是基础题 3．已知命题:,sin p x R x x ∀∈>，则p 命题的否定为 A ．:,sin p x R x x ⌝∃∈<B ．:,sin p x R x x ⌝∀∈<C ．:,sin p x R x x ⌝∃∈≤D ．:,sin p x R x x ⌝∀∈≤答案：C解题思路：首先从题的条件中可以断定命题P 是全称命题，应用全称命题的否定是特称命题，利用其形式得到结果. 解：因为命题P ：,sin x R x x ∀∈>为全称命题， 所以P 的否定形式为：,sin x R x x ∃∈≤， 故选C. 点评：该题考查的是有关全称命题的否定的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有全称命题的否定，注意其形式即可得到正确的结果，属于简单题目. 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π3B ．16π3C ．8πD ．16π答案：B解题思路：根据三视图还原出原几何体，然后根据圆柱和圆锥的体积公式，计算出结果. 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱挖去一个同底等高的圆锥， 圆柱和圆锥的底面直径为4，故底面半径为2，故底面面积4S π=， 圆柱和圆锥的高2h =，故组合体的体积116133V Sh π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 故选B ．点评：本题考查三视图还原几何体，圆柱体的体积和圆锥体积的求法，属于简单题. 5．已知角α的终边经过点(3,4)-，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．45-B ．35 C ．35D ．45答案：D解题思路：利用诱导公式可得πcos sin 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的定义求解即可. 解：因为角α的终边经过点(3,4)-，所以224sin 53(4)y r α===-+-. 所以π4cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭. 故选D. 点评：本题考查三角函数的定义和诱导公式，是一道基础题，解题时要注意符号.6．函数()2)2(xf x x x e -=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：B解题思路：根据函数()2)2(xf x x x e -=，利用导数得到函数的单调性，再根据0x <时，()0f x >求解.解：因为()2)2(xf x x x e -=，所以()2)2(xf x x e '-=，当x <x >()0f x '>，()f x 递增；当x <<时，()0f x '<，()f x 递减；又当0x <时，()0f x >， 故选：B 点评：本题主要考查函数的单调性与导数以及函数图象识别问题，还考查了数形结合的思想，属于中档题.7．已知432a =，1ln33e b =，233c =，则（） A ．c b a << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<答案：B解题思路：结合指数式与对数式的性质，可将三个式子化为指数为13的形式，然后利用幂函数的单调性可得出答案. 解：由题意，4133216a ==，1311ln3ln333e e 3b ===，213339c ==， 因为函数13y x =在0,上单调递增，所以1113333916<<，即b c a <<.故选：B. 点评：本题考查几个数的大小比较，考查指数式与对数式的运算性质，考查幂函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题. 8．设曲线1cos ()sin x f x x +=在3x π=处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于()A ．1-B ．23C ．2-D ．2答案：C解题思路：利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得． 解： 解：切线与直线1y ax =+平行，斜率为a ，又()222sin 1cos cos 1cos ()sin sin x x xxf x xx--+--'==， 所以切线斜率()23k f π'==-，所以1y ax =+的斜率为2-，即2a =-． 故选：C ． 点评：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题． 9．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（）. A ．92B ．9C ．5D ．52答案：A解题思路：根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 解：定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+ 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选A 点评：本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.10．已知函数,0 ()11,02x xf xx x⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<，()()f m f n=，则n m-的取值范围是（）A．(1,2]B．[1,2)C．3(2]4，D．3[2)4，答案：B解题思路：画出图象，根据图象确定m，n的取值范围，得出n m-的取值范围．解：根据图象()0f x=有两个交点，()(0f x∈，1]，m n<，()()f m f n=，()1f x=时，0m=1x=，1x=，故1n=，所以1n m-=；()0f x=时，2m=-0x=，1x=，故0n=，根据题意0n≠，所以2n m-<所以[1n m-∈，2)．故选：B点评：本题主要考查分段函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．已知112ω>，函数()πsin24f x xω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围（）A．11[,]62B．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦答案：C解题思路：根据正弦函数的最值可得，当418k x πω+=，k Z ∈时，()f x 取得最值，所以问题转化为对任意k Z ∈，都有413(,)822k πππω+∉，而当12ω=时，存在1k =使得413(,)822k πππω+∉不成立，所以12ω≠，排除选项,A D ，当1124ω=时，存在1k =使得4115811k ππω+=∈π3π(,)22，排除选项B ,可得选项C 正确. 解：由242x k ππωπ+=+，k Z ∈，得418k x πω+=，k Z ∈，因为函数()πsin 24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π3π(,)22内没有最值，所以对任意k Z ∈，都有413(,)822k πππω+∉， 当12ω=，1k =时，4153(,)8422k ππππω+=∈，故选项,A D 不正确； 当1124ω=时，存在1k =使得4115811k ππω+=∈π3π(,)22，故选B 不正确. 故选：C. 点评：本题考查了正弦函数的最值，属于基础题.12．已知函数()()()()ln 121,2,if x x x m i e =---=是自然对数的底数，存在m R ∈，所以（）A ．当1i =时，()f x 零点个数可能有3个B ．当1i =时，()f x 零点个数可能有4个C ．当2i =时，()f x 零点个数可能有3个D ．当2i =时，()f x 零点个数可能有4个 答案：C解题思路：将()f x 的零点转化为两个图象的交点，分析()f x 的单调区间，即可得出结论. 解：将()()()()ln 1212if x x x m i =---=，看成两个函数与y m =的交点，1i =时，()()()ln 12g x x x =--与y m =图象的交点，2()ln ,(0,)g x x x x'=-+∈+∞单调递增，2(1)20,()10g g e e'=-<'=-+>，所以存在唯一的0(1,)x e ∈，使得0()0g x =， 当0(0,),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减， 当0(,),()0,()x x g x g x ∈+∞'>单调递增，所以()g x 有两个单调区间，与y m =至多只有两个交点， 所以AB 错误；当2i =时，()()2()ln 12h x x x =--()2()2ln 12h x x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭，设2()2ln 1,(0,)x x x xϕ=--∈+∞单调递增， 2(2)2(ln 21)0,()10e eϕϕ=-<=->，所以存在唯一的0(2,)x e ∈，使得0()0x ϕ=， 令()0,2h x x ==或0x x =， 当()0h x >时，02x <<或0x x >， 当()0h x <时，02x x <<，所以()h x 的单调递增区间是0(0,2),(,)x +∞， 单调递减区间是0(2,)x ，所以()h x 有三个单调区间，与y m =至多有三个交点，则D 错误. 故选：C. 点评：本题考查函数的零点，等价转化为求函数的单调区间，属于中档题. 二、填空题 13．已知0,0a b >>，若461log log 2a b ==，则ab=______．解题思路：由指数式与对数式的互化公式，得到2,a b ==，即可求得ab的值，得到答案. 解：由对数式与指数式的互化，因为461log log 2a b ==，可得112242,66a b ====，所以636a b ==. 故答案为6. 点评：本题主要考查了指数式与对数式的互化，其中解答中熟记指数式与对数式的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．若,x y 满足约束条件1120y y x x y ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+-≤⎩则22z x y =+的最小值是___________.答案：12解题思路：由约束条件画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值． 解：作出可行域如图，目标函数22z x y =+的几何意义是区域内的点到原点距离的平方， 图中直线AB 的方程为1y x =-，原点到此直线的距离为2200121(1)d --==+-， 所以22z x y =+的最小值为212d =. 故答案为:12点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题.15．若函数2()=e --x f x x ax 在区间()0,+∞单调递增，则a 的取值范围是__________. 答案：(],22ln 2-∞-解题思路：等价于()0f x '≥在区间()0,+∞上恒成立，分离参数a 后化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求最值． 解：解：函数2()=e --x f x x ax 在区间()0,+∞单调递增，()20x f x e x a '∴=--≥在区间()0,+∞上恒成立，即2x e x a -≥在区间()0,+∞上恒成立， 令2xy e x =-其在()0,+∞上单调递增，2x y e '∴=-，当0y '=时ln 2x =，0ln 2x ∴<<时，0y '<函数递减， ln 2x >时，0y '>；函数递增ln 2min 2ln 222ln 2y e ∴=-=-，22ln 2a ∴≤-；故答案为：(],22ln 2-∞-． 点评：该题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题往往转化为函数最值解决．16．已知三棱锥P ABC -满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，4AB =，030APB ∠=，则该三棱锥的外接球的表面积为________________.答案：64π解题思路：先确定球心就是PAB ∆的外心，再利用正弦定理得到4R =，计算表面积得到答案. 解：因为AC BC ⊥，所以ABC ∆的外心为斜边AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P ABC -的外接球球心在平面PAB 上， 即球心就是PAB ∆的外心，根据正弦定理2sin ABR APB=∠，解得4R =，所以外接球的表面积为64π. 点评：本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心为PAB ∆的外心是解题的关键.三、解答题17．已知函数()2cos 222f x x x x =.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在区间[]π,0-上的最小值.答案：（1）3ππ2π,2π,44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）()min 1f x =-解题思路：（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式化简解析式，再根据正弦函数的递增区间列式可解得结果； （2）由x 的范围得到4x π+的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.解： （1）2()cos 222x x x f x =-1cos 2x x x x -==，∴π()sin()42f x x =+-，由πππ2π2π242k x k -≤+≤+得3ππ2π2π,44k x k k Z -≤≤+∈，则()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π,44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵π0x -≤≤，∴3πππ444x -≤≤+，当ππ42x +=-，即3π4x =-时，()min 1f x =--点评：本题考查了二倍角的正弦公式、降幂公式以及两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求最值，属于中档题. 18．已知函数32213()242a f x x x bx a =+++. （1）若1b =，当0x >时，()f x 的图象上任意一点的切线的斜率都为非负数，求证：a ≥； （2）若()f x 在2x =-时取得极值0，求+ab . 答案：（1）证明见解析；（2）11.解题思路：（1）根据导数的几何意义转化为当0x >时，3134x a x+≥-恒成立，根据基本不等式求出314x x+的最小值即可解得结果；（2）由(2)0f '-=和(2)0f -=解得29a b =⎧⎨=⎩或13a b =⎧⎨=⎩，再检验可知29a b =⎧⎨=⎩符合题意，所以11a b +=. 解：23()34f x x ax b '=++， （1）因为1b =，所以23()314f x x ax '=++， 因为当0x >时，()f x 的图象上任意一点的切线的斜率都为非负数， 所以当0x >时，()0f x '≥，即23134x ax +≥-，即3134x a x+≥-恒成立，∵3134x x +≥，∴33a -≤，∴3a ≥-. （2）因为()f x 在2x =-时取得极值0，所以(2)360f a b '-=-+=且2(2)26220f a b a -=-+-+=解得29a b =⎧⎨=⎩或13a b =⎧⎨=⎩， 当1,3a b ==时，23()(2)04f x x '=+≥，函数无极值；∴2,9,11a b a b ==+=. 点评：本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式，考查了根据函数的极值求参数，属于中档题.19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，5,21AC AD ==求AB 的长；答案：（1）3C π=；（2197；解题思路：（1）首先根据正弦定理边角互化，得到2sin cos 2sin sin C A B A =-，由()sin sin B A C =+，代入化简，最后得到1cos 2C =求角C ；（2）首先在ACD ∆中，根据余弦定理求CD ，然后在ABC ∆中再利用余弦定理求边AB . 解： （1）2cos 2c A b a =-，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin sin C A A C A =+（）-∴，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴，2sin cos in ,sin 0A C s A A =≠∴，1cos 2C ∴=， (),3C C ππ∈=0，∴，（2）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅ 221255CD CD =+-∴ 2540CD CD -+=，1CD =∴或4CD =，当1CD =时，2BC =ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅1254252219=+-⨯⨯⨯=AB =∴，当4CD =时，8BC =2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅12564258492=+-⨯⨯⨯= 7AB =∴AB =∴或7AB =.点评：本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般在含有边和角的等式中，可根据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题.20．如图1，在平行四边形ABCD 中，4=AD ，22AB =，45DAB ∠=︒，E 为边AD 的中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达P 的位置，得到图2几何体P EBCD -．（1）证明：PD BE ⊥；（2）当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C PBD -的体积． 答案：（1）证明见解析；（2）83． 解题思路：（1）由已知条件和勾股定理可得EB AD ⊥，根据折叠的不变性可得EB PE ⊥，EB ED ⊥，由线面垂直的判定和性质可得证；（2）由线面垂直的性质可得出PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高，再运用等体积法可得出三棱锥的体积. 解：（1）依题意，在ABE △中（图1），2AE =，22AB =45EAB ∠=︒， 由余弦定理得2222cos 45EB AB AE AB AE =+-⋅⋅︒28422224=+-⨯=，∴222AB AE EB =+，即在平行四边形ABCD 中，EB AD ⊥． 以BE 为折痕将ABE △折起，由翻折不变性得， 在几何体P EBCD -中，EB PE ⊥，EB ED ⊥．又ED PE E =，∴BE ⊥平面PED ，又BE ⊂平面PEB ，∴PD BE ⊥．（2）∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴BC PE ⊥．由（1）得EB PE ⊥，同理可得PE ⊥平面BCE ，即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高．又45DCB DAB ∠=∠=︒，4BC AD ==，CD AB ==2PE AE ==，∴11sin 4544222CBD S BC CD =⨯⨯⨯︒=⨯⨯=△， 11842333C PBD P CBD BCD V V S PE --==⨯=⨯⨯=△，因此，三棱锥C PBD -的体积为83． 点评：本题考查由平面图形折叠成空间几何体中的线面关系，以及三棱锥的体积的求解，属于中档题.21．设函数2()(2)ln ()f x ax a x x a R =---∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 恰有两个零点，求a 的取值范围. 答案：（1）见解析；（2）(44ln 2,)++∞ 解题思路：（1）()()()()211122x ax f x ax a x x-+=---='，讨论a ，求得单调性即可（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解 解：（1）因为()()22ln f x ax a x x =---，其定义域为()0,∞+，所以()()()()211122(0)x ax f x ax a x x x-+=---=>'.①当0a ≥时，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >，此时()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. ②当20a -<<时，令()0f x '<，得102x <<或1x a >-；令()0f x '>，得112x a<<-， 此时()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. ③当2a =-时，()0f x '≤，此时()f x 在()0,∞+上单调递减.④当2a <-时，令()0f x '<，得10x a <<-或12x >；令()0f x '>，得112x a -<<，此时()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.（2）由（1）可知：①当0a ≥时，()14ln224af x f -⎛⎫==+⎪⎝⎭极小值. 易证ln 1x x ≤-，所以()()()222ln 11f x ax a x x ax a x =---≥--+.因为()110313a <≤+，()()()()()2221116191211031319191a a f a a a a a a ⎛⎫++≥⋅--⋅+=> ⎪ ⎪++++⎝⎭， ()120f =>.所以()f x 恰有两个不同的零点，只需14ln2024af -⎛⎫=+<⎪⎝⎭，解得44ln2a >+. ②当20a -<<时，114ln2024af f a -⎛⎫⎛⎫->=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意. ③当2a =-时，()f x 在()0,∞+上单调递减，不符合题意.④当2a <-时，由于()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且14ln2024af -⎛⎫=+>⎪⎝⎭，又1111ln f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1102a <-<，1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 所以1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 最多只有1个零点，与题意不符. 综上可知，44ln2a >+，即a 的取值范围为()44ln2,++∞. 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点问题，考查推理求解能力及分类讨论思想，是难题22．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点π2,6P ⎛⎫⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)6ρθ+=． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1(,)A ρα，2π,2B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点，求2211||||OA OB +的值．答案：（1）4sin ρθ=；（2）23. 解题思路：(1)先化参数方程为普通方程，再化为极坐标方程，利用曲线1C 经过点π2,6P ⎛⎫⎪⎝⎭求出r 的值即可. (2)把1(,)A ρα，2π,2B ρα⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入曲线2C 的方程，对2222121111=||||OA OB ρρ++变形化简即可. 解：（1）将曲线1C 的参数方程cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，化为普通方程为222(2)x y r +-=，即222440x y y r +-+-=.由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线1C 的极坐标方程为224sin 40r ρρθ-+-=.由曲线1C 经过点π2,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22π242sin 4026r r -⨯⨯+-=⇒=(2r =-舍去), 故曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）由题意可知21(2cos 2)6ρα+=，2222π2cos 2(2cos 2)62ραρα⎡⎤⎛⎫++=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以22221211112cos 22cos 22||||663OA OB ααρρ+-+=+=+=. 点评：本题考查参数方程与极坐标方程的转化，考查对极坐标方程含义的理解，是一道基础题.牢记转化公式和极坐标系中ρθ，的含义即可顺利解题.23．已知函数2()23f x x a =+.（1）当0a =时，求不等式()23f x x +-≥的解集；（2）若对于任意实数x ，不等式21()2x f x a +-<恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）1(,][1,)3-∞-⋃+∞；（2）1(,1)3.解题思路：（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解；（2）等式21()2x f x a +-<恒成立等价于2|31|2a a -<，再分类讨论解绝对值不等式. 解：(1)当0a =时，()|2||2||2|3f x x x x +-=+-≥ 有0223x x x ≤⎧⎨--+≥⎩或02223x x x <<⎧⎨-+≥⎩或2223x x x ≥⎧⎨+-≥⎩ 解得13x ≤-或12x ≤<或2x ≥所以()|2|3f x x +-≥的解集为1(,][1,)3-∞-⋃+∞.(2)对于任意实数x ，不等式|21|()2x f x a +-<成立，即2|21||23|2x x a a +-+<恒成立.又因为222|21||23||2123|31x x a x x a a +-+≤+--=-.要使原不等式恒成立，则需要2|31|2a a -<. 当0a <时，无解；当03a ≤≤时，由2132a a -<，解得13a <≤；当3a >时，由2312a a -<，解得13a <<， 所以实数a 的取值范围是1(,1)3.点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

2020年秋四川省泸县第一中学高一第一学月考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}2|3M x N x =∈<，则下列结论正确的是A ．1M -∈B ．2M ∈C ．0M ∈D M2．已知集合{}1,2,3A =，非空集合B 满足{}1,2,3A B =，则集合B 的个数为A ．3B ．6C ．7D ．83．对于集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应f 中，能构成从A 到B 的函数的是A ．B ．C ．D ．4．下列各组函数中,两个函数相等的是A ．2y =与y x =B ．1y x =-与2=1x y x-C ．y =2y =D ．y y x =5．已知函数()f x 满足()()22f x f x ＝，且当12x ≤＜时，()2f x x ＝，则()3f ＝A ．98 B ．94 C ．92D ．96．函数f(x)＝x ＋9x(x≠0)是 A ．奇函数，且在(0，3)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，3)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，3)上是增函数D ．偶函数，且在(0，3)上是减函数7．下列对应是集合A 到集合B 上的映射的个数是（1）A=R ，B=N *，对应关系f ：对集合A 中的元素取绝对值，与B 中的元素相对应； （2）A={1，-1，2，-2}，B={1，4}，对应关系f ：f ：x→y=x 2，x ∈A ，y ∈B ；（3）A={三角形}，B={x|x ＞0}，对应关系f ：对集合A 中的三角形求面积，与集合B 中的元素对应 A ．0B ．1C ．2D ．38．函数()f x =A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称9．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，那么不等式2()10f x -<的解集是A ．5|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．35| 022x x x ⎧⎫<-≤<⎨⎬⎩⎭或C ．3|2x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭D ．35| 022x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或 10．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率%x ),则每年销售量将减少10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x 的最小值为 A ．2B ．6C ．8D ．1011．已知函数()()221,1xf xg x x =-=-，构造函数()F x ，定义如下：当()()f x g x ≥时，()()F x f x =；当()()f x g x <时，()()Fx g x =-，那么()F xA ．有最大值1，无最小值B ．有最小值0，无最大值C ．有最小值1-，无最大值D ．无最小值，也无最大值12．当1x ≤时，函数246y x x =++的值域为D ，且当x D ∈时，不等式264x kx x ++≥恒成立，则实数k 的取值范围为A．)4⎡-+∞⎣B ．(,1]-∞-C．(,4-∞-D ．33,5⎛⎫-∞-⎪⎝⎭第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。