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2014-2015学年第一学期初三数学期中试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两条弧是等弧．其中正确的有 （ ）A ．4个B ．3个C ． 2个D ． 1个2. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为 （ ）A ．()216x -= B ．()216x += C ．()229x += D ．()229x -=3. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 （ ）A ．12B ．14C ．12或14D ．以上都不对4. 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是 （ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交5. 如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 （ ） A.k ＞14-B. 14k ≥-且0k ≠C.k ＜14-D. k ＞14-且0k ≠6．某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台。
设二三月份每月的平均增长率为x ，根据题意列出的方程是 （ ） A ．300（1+x ）2=980 B ．300（1-x ）2=980C ．300（1+x ）+300（1+x ）2=980D ．300+300（1+x ）+300（1+x ）2=9807. 如图，将量角器按所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为 （ ） A ．15︒ B ．28︒ C ．29︒ D ．34︒8．如图，等边三角形ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了 （ ）A ．2周B ． 3周C ．4周D ．5周 二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共26分）9．将一元二次方程x 2＋1=2x 化成一般形式可得 ,它的解是 ． 10．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 .班级 姓名 学号 .……………………………………………………………装……………订……………线…………………………………………………………（第8题） O D AB C（第7题）11. 一元二次方程220x x +-=的两根之和是 ，两根之积是 .12. 方程x 2－6x +k =0的一根是4，则k = ,另一个根是______．13. 如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠OBC = °．14. 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 为直径，∠C =130°，则∠ADB 的度数为 ．15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 ．16．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则ab= ．17. 如图，一张圆心角为45°的扇形纸板按如图方式剪得一个正方形，正方形的边长为1，则扇形纸板的面积是 .18. 如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是 .三、解答题（本大题共7小题，共50分） 19（本题满分12分，每小题3分）解下列方程： （1）042=-x x （2）x 2-8x-10=0(配方法)（3）x 2+6x －1=0 （4）2x 2+5x －3=0（第13题）OB C D A（第14题） O x y A B C（第15题）（第17题） （第18题）A BC P O 20（本题满分6分）如图，已知：⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角∠A=30°，AC ＝CP ． (1) 求证：CP 是⊙O 的切线；(2) 若PC ＝6,AB=43求图中阴影部分的面积．21（本题满分4分）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD =52°，∠ADC =26°.求∠CEB 的度数.22（本题满分4分）某商店经销一批小家电，每个小家电的成本为40元。
九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.B.C.D.3.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 35.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A. cmB.C. cmD. 1cm6.如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则满足的方程是（）A. B.C. D.7.下列命题是真命题的是（）A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线8.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A.B.C.D.9.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.B.C.D.10.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知=，则= ______ ．12.近年来全国房价不断上涨，我市2013年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2015年房价平均每平方米为8500元，设这两年房价的年平均增长率均为x，则关于的方程为______ ．13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA= ______ °．15.小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为______ ．16.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是______．17.如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x-2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a 的取值范围是______ ．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.（1）3y（y-1）=2（y-1）（2）（x-1）（x+2）=70（3）2y2-3=4y（配方法）20.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．21.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．22.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①⊙O的半径为______ （结果保留根号）；②的长为______ （结果保留π）；③试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB 于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．25.某公司销售一种进价为20（元/个）的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）之间为一次函数关系，其变化如下表：40万元的净利润，且尽可能让顾客得到实惠，那么销售价格应定为多少？（注：净利润=总销售额-总进价-其他开支）26.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，（1）如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动，求当P、Q、C三点构成等腰三角形时点P的坐标．（2）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC 内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．27.如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E 点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．28.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．（1）当r=4时，①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为______；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；B、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；C、由原方程得到x2-x-1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程中含有两个未知数．故本选项错误；故选C．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A【解析】解：∵DE∥OA，∴∠AOD=∠D=50°，∴∠C=∠AOD=25°，故选：A．根据平行线的性质可得∠AOD=∠D，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.【答案】D【解析】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，∴DE=1，DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=1：2，∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．故选D．由题意即可推出DE∥AB，推出DE=1，△CDE∽△CAB，△CDE的面积与△CAB 的面积之比为相似比的平方，即为1：4．本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥AB．4.【答案】B【解析】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．5.【答案】A【解析】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD=×120°=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6.【答案】B【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则（80+2x）（50+2x）=5400．故选：B．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（树叶画的长+2个纸边的宽度）×（树叶画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7.【答案】D【解析】解：A、应经过此半径的外端，故本选项错误；B、应该垂直于此半径，故本选项错误．C、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误；D、根据切线的判定方法，故本选项正确；故选D．要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．本题考查了命题和定理，知识点有：切线的判定方法．8.【答案】D【解析】解：∵∠C=∠E，且∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴=，∵BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，AD=4，∴=，解得DE=，故选：D．由条件可证明△BDE∽△ADC，且可求得BD和DC的长度，利用相似三角形的对应边的比相等可求得DE．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．9.【答案】B【解析】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1-）=4-π．故选：B．这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．10.【答案】B【解析】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE=∠CDF，∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，则OP=AD=×2=1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO===，所以，CP=CO-OP=-1．故选B．根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】【解析】解；由=，得=．由合比性质，得=．=，故答案为：．根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单12.【答案】7000（1+x）2=8500【解析】解：设这两年房价的年平均增长率均为x，根据题意，可列方程：7000（1+x）2=8500，故答案为：7000（1+x）2=8500．由于设这两年房价的平均增长率均为x，那么2014年房价平均每平方米为7000（1+x）元，2015年的房价平均每平方米为7000（1+x）（1+x）元，然后根据2015年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．13.【答案】k＞且k≠1【解析】解：根据题意得k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14.【答案】67.5【解析】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°；又∵CO=CD，∴∠COD=∠D=45°；∴∠A=∠COD=22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=22.5°（等边对等角），∴∠PCA=180°-∠ACO-∠OCD=67.5°．故答案是：67.5°．根据切线的性质知∠OCD=90°，然后在等腰直角三角形OCD中∠COD=∠D=45°；再由圆周角定理求得∠ACO=22.5°；最后由平角的定义即可求得∠PCA的度数．本题考查了圆的切线．解题的关键是根据切线的定义推知∠OCD=90°．15.【答案】216°【解析】解：母线长==15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9=，解得n=216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．利用勾股定理计算出母线长=15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9=，解得n=216．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】4π【解析】解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案为：4π．弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．17.【答案】1-≤a≤1+【解析】解：如图：当⊙A在直线L的左侧，⊙A与直线L相切时，△BOD∽△ABC，∵直线l为y=2x-2，∴B（1，0），D（0，-2），∴OB=1，OD=2，∴，即，∴BC=，∴AB=，当⊙A在直线L的右侧，⊙A与直线L相切时，同理A′B=，∴A横坐标a的取值范围是1-≤a≤1+，故答案为：1-≤a≤1+．根据⊙A与L有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以A移动的距离是左相切到右相切时的距离．此题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是知道点A 移动距离．18.【答案】（-，）【解析】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3-x）2=x2+12，∴x=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3-=，∴==，即==．∴DF=，AF=．∴OF=-1=．∴点D的坐标为（-，）．故答案为：（-，）．如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．19.【答案】解：（1）∵3y（y-1）=2（y-1），∴（y-1）（3y-2）=0，∴y-1=0或3y-2=0，∴y1=1，y2=；（2）∵（x-1）（x+2）=70，∴x2+x-2=70，∴x2+x-72=0，∴（x+9）（x-8）=0，∴x+9=0或x-8=0，∴x1=-9，x2=8；（3）∵2y2-3=4y，∴2（y2-2y+1-1）-3=0，∴2（y-1）2=5，y=1±，y1=1+，y2=1-．【解析】（1）移项将方程右边化简为0，然后在提取公因式即可求解；（2）将方程左边去括号然后再化简成x2+x-72=0，利用因式分解即可求解；（3）移项然后在利用配方法即可求解．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，（2分）∴△ABE∽△CDE，（5分）∴，（7分）∴，（8分）∴AB=13.44（米）．（11分）答：教学大楼的高度AB是13.44米．（12分）【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．21.【答案】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．22.【答案】2；π【解析】解：（1）如图所示：连接AC，作线段AC的垂线OE，交正方形网格于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）①在Rt△OCF中，∵CF=2，OF=4，∴OC===2；②在Rt△OAG与Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2，∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOG+∠COF=90°，∴∠AOC=90°，∴===π；③直线DC与⊙O相切．理由：∵连接CD，在△DCO中，CD=，CO=2，DO=5，∴CD2+CO2=25=DO2．∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．∴CD与⊙O相切．（1）连接AC，作AC的垂直平分线，由垂径定理可知OE与网格的交点即为⊙O的圆心；（2）①直接根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长即为⊙O的半径；②先根据直角三角形的性质得出∠AOC=90°，再根据弧长公式求出的度数；③连接CD，根据勾股定理得出CD、OD的长，由勾股定理的逆定理判断出△OCD的形状即可．本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理、直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理及弧长的计算，在解答此题时要先根据垂径定理作出圆心，再根据勾股定理的相关知识进行解答．23.【答案】（1）证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm．在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【解析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：（1）相切，理由是：∵∠ACB=90°，BC为半圆的直径，∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切；（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=×4=2，由勾股定理得：BC==2，∴S阴影=S半圆-（S△ABC-S扇形AEC），=π-×2×+，=-2，答：图中阴影部分的面积是-2．【解析】（1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，满足这两个条件，则与圆相切；（2）先根据条件求直角三角形的各边长和锐角∠A的度数，再利用差求阴影部分的面积．本题考查了直线和圆的位置关系、勾股定理及扇形的面积，属于常考题型，难度不大；熟练掌握直线和圆的位置关系，在求阴影部分面积时，要注意利用和或差来求解．25.【答案】解：设y与x的解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴y=-0.1x+8，根据题意，得：（x-20）（-0.1x+8）-40=40，∴x1=40，x2=60，∵尽可能让顾客得到实惠，∴价格应定为40元．答：价格应定为40元．【解析】设y与x的解析式为：y=ax+b，将表格中的数代入解析式，求出a、b的值，求出解析式，然后表示出利润，根据利润为40万元，求出销售价格．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．26.【答案】解：（1）设运动的时间为t秒，由勾股定理得，OC==10，当CQ=CP时，2t=10-4t，解得，t=，此时CP=2×=，∴AP=8-=，P点坐标为（，6），当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t．∵△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=（10-4t）=6-t，PE=（10-4t）-2t=8-t-2t=8-t，由勾股定理得，（6-t）2+（8-t）2=（2t）2，整理得：36t2-140t+125=0，解得，t1=，t2=（舍去），此时，AP=8××2=，∴P点坐标为（，6），当QC=PQ时，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，∵△CFQ∽△CAO，∴QF═（10-4t）=6-t，PF=2t-（10-4t）=t-8，则（6-t）2+（t-8）2=（10-4t）2，整理得，21t2-40t=0，解得，t1=，t2=0（舍去），此时，AP=8-×2=，则P点坐标为（，6），综上所述，P点坐标为（，6），（，6），（，6）；（2））如图③，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4，在Rt△EFG和Rt△EBG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO•AG，即36+16=6×AG，解得，AG=，由勾股定理得，CG==，∴BG=6-=，G的坐标为（8，）．【解析】（1）分CQ=CP、PC=PQ和QC=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；（2）连接EG，由翻转变换的性质得到△AOE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠EFG=∠OBC=90°，证明Rt△EFG≌Rt△EBG得到∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，得到△AOE∽△AEG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE =6，∵∠EAD +∠BAE =90°，∠BAE =∠BEF ，∴∠EAD +∠BEF =90°，∵∠BEF +∠F =90°，∴∠EAD =∠F∵∠ADE =∠FBE∴△ADE ∽△FBE ，∴ ，， ∴BF =30；（2）①如图1，将矩形ABCD 和直角△FBE 以CD 为轴翻折，则△AMH 即为未包裹住的面积，∵Rt △F ′HN ∽Rt △F ′EG ，∴ ′ ′ = ，即 ，解得：HN =3，∴S △AMH = •AM •MH = ×12×24=144； ②如图2，将矩形ABCD 和Rt △ECF 以AD 为轴翻折，∵Rt △GBE ∽Rt △GB ′C ′，∴ ′ ′ ′，即′ ′ ，解得：GB ′=24， ∴S △B ′C ′G = •B ′C ′•B ′G = ×12×24=144， ∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．【解析】（1）先证明△ADE ∽△FBE ，利用相似的性质得BF ；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果．本题主要考查了相似三角形的判定和性质及翻折变化，以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形是解答此题的关键．28.【答案】P 2，P 3；（4，-2）或P （-4，6）；0＜r ＜ 或r ＞2 +2【解析】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等∴⊙P一定通过点M，∵A（2，4）∴M（0，2）设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴r=4时，∴x2+（y-2）2=（4）2，即，x2+（y-2）2=32，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，只有P2，P3成立，∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，故答案为：P2，P3；②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，∴把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，得x2+x2=32，解得x=±4，∴y=-2或6，∴P（4，-2）或P（-4，6）．故答案为：（4，-2）或P（-4，6）．（2）如下图：①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．∴点P在线段EI的中垂线上．∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE 在y轴上，∴E（0，2），I（3，5）∴∠IEH=45°，设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M（5，0），∴P在直线y=-x+5上，∴设P（p，-p+5）过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p2+（-p+5-2）2=（p+2）2，解得：P1=5+2，P2=5-2，∴P1（5+2，-2），P2（5-2，2），∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2-2|=4或2|2-2|=4-4．②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HF所在的直线为：y=-x+8，DT所在的直线为：y=x-2，∴T（5，3），∵D（2，0），∴DT==3，∵DE=DE1∴DT-DE=DT-DE=3-2=，1∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，∴HE=HD+DE=+2=2+2，2∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．综上可知当0＜r＜或r＞2+2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，故答案为：0＜r＜或r＞2+2．（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，求出x和y的值，再写出坐标．（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．此外对本题中的“等距圆”的定义正确理解也是解题的关键．。
学校 班级 姓名 考试号………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（第4题图）（第5题图）（第7题图）2014-2015无锡市九年级数学第一学期期中试卷（苏科版含答案）（考试时间：120分钟 满分：130分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列方程中，一元二次方程的是…………………………………………………（ ）A.3x －2x＝0 B.x (x －1)＝1 C.x 2＝(x －1)2 D.ax 2＋bx ＋c ＝02．若△ABC ∽△DEF ，相似比为1:2．若BC ＝1，则EF 的长是…………………（ ）A. 12 B. 1 C. 2 D. 4 3．原价168元的商品连续两次降价a %后售价为128元，下列方程正确的是…（ ）A. 128(1＋a %)2＝168 B. 168(1－a 2%)＝128 C. 168(1－2a %)＝128 D. 168(1－a %)2＝1284．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为（ ）A.2B.4C.6D.85．如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是 ⌒BC上任意一点．若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为………………………………………………………………（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 56．已知扇形的圆心角为45º，半径长为12，则该扇形的弧长为…………………（ ）A. 34π B. 2π C. 3π D. 12π 7．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ， ∠C ＝40º，则∠ABD 的度数是……………………………………………………（ ） A. 25º B. 20º C.30º D.15º 8．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S 阴影S 空白的值为……（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 69．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于…………………………………………………………（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 410．如图，Rt△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，M 为AE 的中点，BF ⊥BC交CM 的延长线于点F ，BD ＝4，CD ＝3．下列结论：①∠AED ＝∠ADC ；② DE DA ＝ 12；③AC ²BE ＝12；④3BF ＝4AC ．其中正确结论的个数有（ ）（第8题图）（第9题图）FA D EM （第10题图）（第15题图）（第14题图）（第16题图）（第17题图）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二．填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分.） 11．方程x 2＝0的解是 .12．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2＝1的一个根为0，则a ＝ .13．若一元二次方程mx 2＝n （mn ＞0）的两个根分别是k ＋1与2k －4，则nm＝ . 14．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35º，则∠B 的度数是 . 15．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD ＝4，DB ＝2，则DE BC的值为 .16．如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长为 . 17．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD :DE ＝3:5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于 .18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，P 是 ⌒CD 上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是 .19．如图，A 、B 、C 、D 依次为一直线上4个点，BC ＝2，△BCE 为等边三角形，⊙O 过A 、D 、E 3点，且∠AOD ＝120º．设AB ＝x ，CD ＝y ，则y 与x 的函数关系式为 .20．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，E 是边AB 上一点，且AE ＝14AB ．⊙O 经过点E ，与边CD 所在直线相切于点G （∠GEB 为锐角），与边AB 所在直线交于另一点F ，且EG :EF ＝5:2．当边AD 或BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是 .三．解答题（本大题共8小题，共80分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤）21．（16分）解方程：（1）x 2－5x －6＝0 （2）2x 2－4x －1＝0（3）(x －7)2＋2(x －7)＝0 （4）(3x ＋2)2＝4(x －3)2（第19题图）（第18题图）（第20题图）CBF E ADG O²22．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0. （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值.23．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠A ．（1）求∠D 的度数；（2）若CD ＝2，求BD24．（10分）如图，在□ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD 于E ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C . （1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB ＝4，∠BAE ＝30º，求AE 的长； （3）在（1）（2）的条件下，若AD ＝3，求BF 的长.25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ AF DB26．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ． （1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD 、CD ． （2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①以点O 为原点、水平方向所在直线为x 轴、竖直方向所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，写出点的坐标：C （6，2） 、D ；（2，0）②⊙D 的半径为 2 5（结果保留根号）；③若用扇形ADC 围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 5π4 ；④若E （7，0），试判断直线EC 与⊙D 的位置关系并说明你的理由．27．（10分）如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 中点O 为圆心，12 AC 长为半径作⊙O ，交BC 于E ，过O 作OD ∥BC 交⊙O 于D ，连结AE 、AD 、DC ．（1）求证：D 是 ⌒AE的中点； （2）求证：∠DAO ＝∠B ＋∠BAD ； （3）若 S △CEFS △OCD ＝ 1 2 ，且AC ＝4，求CF 的长.28.（10分）在□ABOC中，AO⊥BO，且AO＝BO．以AO、BO所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知B(－6，0)，直线y＝3x＋b过点C且与x轴交于点D．（1）求点D的坐标；（2）点E为y轴正半轴上一点，当∠BED＝45°时，求直线EC的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线EC与x轴交于点F，ED与AC交于点G．点P从点O出发沿折线OF－FE运动，在OF上的速度是每秒2个单位，在FE上的速度是每秒2个单位．在运动过程中直线PA交BE 于H，设运动时间为t．当以E、H、A为顶点的三角形与△EGC相似时，求t的值．备用图初三数学期中考试参考答案与评分标准 2014.11一、选择题（每题3分）B C D D A C A C B C 二、填空题（每空2分）11. x 1＝x 2＝0 12. 1 13. 4 14. 55º 15. 2316. 2 17. 154 18. 5－1 19. y ＝4x 20. 4或12三、解答题21. ① x 1＝6，x 2＝－1 ② x 1,2＝2±62 ③x 1＝7， x 2＝5 ④x 1＝－8，x 2＝45………………………………………………………………（每小题4分，分步酌情给分） 22. （1）∵原方程有实数根，∴△＝4(m ＋1)2－4(m 2－1)≥0…………………………（3分） 解得m ≥－1，故m 的取值范围是m ≥－1…………………………………（4分）（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－2(m ＋1)，x 1x 2＝m 2－1……（5分） 由(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2得(x 1＋x 2)2＝16＋3x 1x 2，即4(m ＋1)2＝16＋3(m 2－1) （6分） 化简整理得，m 2＋8m －9＝0，解得m ＝－9或m ＝1………………………（7分） 考虑到m ≥－1，故实数m 的值为1…………………………………………（8分） 23. （1）连结OC …………………………………………………………………………（1分） ∵PD 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PD ………………………………………………（2分） ∵⊙O 中，OA ＝OC ，∴∠COD ＝2∠A ，而∠D ＝2∠A ，∴∠COD ＝∠D （3分）∴在Rt △COD 中， D ＝45º…………………………………………………（4分） （2）∵在Rt △COD 中，CO ＝CD ＝2，∴OD ＝22………………………………（6分） ∴BD ＝22－2…………………………………………………………………（8分） 24.（1）先证∠ABF ＝∠EAD ，…………………………………………………………（2分）再证∠BAF ＝∠AED ，…………………………………………………………（3分） ∴△ABF ∽△EAD ………………………………………………………………（4分）（2）AE ＝833…………………………………………………………………………（7分）（3）由△ABF ∽△EAD ，得BF AD ＝ABAE，………………………………………………（8分）故BF ＝AB •AD AE ＝3³4 833＝332．………………………………………………（10分） 25. 因每批次进货个数不得超过180个，故原销售定价应增加…………………… （1分） 设在原销售定价基础上增加x 元，则销售量减少10x 个……………………… （2分） 根据题意，(52＋x －40)(180－10x )＝2000，…………………………………… （4分）而x ≥0，∴x ＝8…………………………………………………………………… （7分） 答：应定销售价每个60元，进货100个………………………………………… （8分） 26. （1）画图，略……………………………………………………………………… （2分）（2）C (6，2)、D (2，0)、25、52（1＋1＋1＋2分）………………………… （7分）EC 与⊙D 相切（判断1分，说理2分）…………………………………… （10分） 27.（1）∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AEC ＝90°，即BC ⊥AE …………………………（1分） ∵OD ∥BC ，∴OD ⊥AE …………………………………………………………（2分）∴⊙O 中，D 是 ⌒AE的中点………………………………………………………（3分） （2）延长AD 交BC 于G ，在⊙O 中， OA ＝OD ，又有OD ∥BC ，∴∠DAO ＝∠ADO ＝∠AGC ＝∠B ＋∠BAD …………………………………（6分） （3）∵S △OCD ＝12S △ACD ， S △CEF S △OCD ＝ 1 2 ，∴ S △CEFS △ACD＝ 14 ………………………………（7分）可证△CEF ∽△CDA …………………………………………………………（8分） ∴ CFCA ＝ 12 ，CF ＝ 12 ³4＝2…………………………………………………（10分）28.（1）C (6，6)……………………………………………………………………………（1分） b ＝－12，D (4，0) ……………………………………………………………（2分） （2）E (0，12) …………………………………………………………………………（4分） 直线EC 的解析式是y ＝－x ＋12………………………………………………（5分） （3）t ＝3………………………………………………………………………………（7分）或 t 10分）。
中学2013-2014学年第一学期期中考试九年级数学试卷注意事项：1．本卷考试时间为120分钟，满分130分．2．卷中除要求近似计算的按要求给出近似结果外，其余结果均给出精确结果．一．选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内．）1．要使二次根式2 x 有意义，那么x 的取值X 围是…………………………（ ） A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ≥2D ．x ≤22．下列运算错误的是．．．．……………………………………………………………… （ ） A.2＋3＝ 5 B. 2·3＝ 6 C. 6÷2＝ 3 D.(－2)2＝2 3．若两圆的半径分别为4和3，圆心距为1，则这两圆的位置关系是……………（ ） A ．内含 B ．内切 C ．相交 D ．外切4.方程(x －1)2＝2的根是……………………………………………………………（ ）A ．－1、3B ．1、－3C ．1－2、1＋2D ．2－1、2＋15．一元二次方程x （x －3）=0的根的情况是…………………………………………（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根 D ．没有实数根6．在平面中，下列命题为真命题的是…………………………………………………（ ） A ．四边相等的四边形是正方形 B ．对角线相等的四边形是菱形 C ．四个角相等的四边形是矩形 D ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 7.顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 一定是…………………………………………………………………………………（ ） A ．菱形 B ．对角线互相垂直的四边形 C ．矩形 D ．对角线相等的四边形8.如图，⊙O 上有两定点A 与B ，若动点P 从点B 出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP 的长度d 与时间t 的关系可能是下列图形中的………………………………（ ）9．某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教①d t O ③ d t O②d t O④dtO第8题图B ·••O 班级 某某 学号AB C GFED O育经费的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是………………………………（ ） A ．2500(1+x )2=3600B ．2500x 2=3600C ．2500（1+x %）2=3600D ．2500(1+x )+2500(1+x ) 2=3600 10、如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，连接AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 交AB 于点D ，E 是OB 上一点，直线CE与⊙O 交于点F ，连接AF 交直线CD 于点G ．若AC ＝22， 则AG ·AF ＝…………………………………………（ ） A ．10 B ．12 C ．8 D ．16二．填空题（本大题共有8小题，每空2分，共18分．请把结果直接填在题中的横线上．） 11．8－2＝__．12．一组数据1，3，2，5，x 的平均数为3，那么这组数据的极差是___ ___. 13．梯形上下底分别是4,6则中位线长___________.14．已知x= -1是关于x 的一元二次方程012=-+mx x 的一个根，则m=.15．已知平行四边形的两邻边之比为2：3，周长为20cm ，•则这个平行四边形的两条邻边长分别为__．16．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是_________cm ，面积是_________cm 2．17．如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于．18.如图，在一单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，﹣1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2013的坐标为__．（第15题）CABS 1S 2三．解答题（共有10小题，共82分．解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．） 19．计算（每小题4分，共8分）：（1）计算：12227- （2）计算：20122010)23()23(+⋅-（每小题4分，共8分）（1）0242=-+x x ；（2）2(3)4(3)0x x x -+-=21.（本题满分8分）如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且BE ＝CF ．求证：∠BAE ＝∠CDF ．22.(本小题满分8分)关于x 的一元二次方程0122=+++k x x 有实数解。
ABCO（第6题图）2014~2015学年度第一学期期中考试初三数学面卷一、选择题1．方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =2．若关于x 的方程022=+-n x x 无实数根，则一次函数n x n y --=)1(的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；（6）方程x 2＋4x ―1＝0的两个实数根的和为4．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 （ ） A ． 9B ． 11C ．13D ． 11或135． 如图，AB 是⊙O 的直径，AB 垂直于弦CD ，∠BOC =70°，则∠ABD =（ ） A ．20°B ．46°C ．55°D ．70°6．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠A ＝80°，则∠BOC 为（ ）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65°7．关于x 的一元二次方程（a −1）x 2−2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．−18．在平面直角坐标系中，以点（3，－5）为圆心，r 为半径的圆上有且仅有两点到x 轴所在直线 的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是( ) A ．r>4B ．0<r<6C ．4≤r<6D ．4<r<69．如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB =PB =1，OA 绕点O 逆时针方向旋转 60°到OD ，则PD 的长为（ ）A ．7B ．231C ．5D ．22 10．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。
（第8题图）A BCO（第9题图）（第10题图）CBA DO江苏省无锡市崇安区2014届九年级上学期期中考试数学试题 苏科版（考试时间：120分钟 满分：130分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．若式子x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是………………………（ ）A. x ≥3B. x ≤3C. x ＞3D. x ＜32．下列计算正确的是……………………………………………………………… （ ）A. 43－33＝1B. 2＋3＝ 5C. 212＝ 2 D. 3＋22＝5 23．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为…………………… （ ） A ．(x ＋1) 2＝0 B ．(x －1) 2＝0 C ．(x ＋1) 2＝2 D ．(x －1) 2＝2 4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是…………………………………………… （ ） A ．两组对边分别平行 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分 D ．两组对角分别相等 5．下列说法中，不正确的是…………………………………………………………（ ） A ．过圆心的弦是圆的直径 B ．等弧的长度一定相等C ．周长相等的两个圆是等圆D ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧6．若x ＋1与x －1互为倒数，则实数x 为………………………………………… （ ）A ．0B ． 2C ．±1D ．± 27．一元二次方程2x 2－5x ＋1＝0的根的情况是……………………………………（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定8． 如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于F ，连结BC 、DB ，则下列结论错误的是（ ） A ． ⌒AD ＝ ⌒BDB ．AF ＝BFC ．OF ＝CFD ．∠DBC ＝90º9．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠A ＝80°，则∠BOC 为……… （ ）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65° 10. 如图，已知BO 是△ABC 的外接圆的半径，CD ⊥AB 于D ．若AD ＝3，BD ＝8，CD ＝6，则BO 的长为……………………………………………………… （ ）A ．6B ．52 5C ．4 2D ．458二．填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分.） 11. 比较大小： 3 27.12. 在实数范围内分解因式：a 3－3a ＝ ．13．若实数a 、b 满足(a 2＋b 2)2－2(a 2＋b 2)－8＝0，则a 2＋b 2＝ . 14．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AB ∥CO ，∠A ＝38º，则∠B ＝ º.15. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF .若菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A ＝120︒，则EF ＝ cm.16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝ °.A BCDEF O EDA17．⊙O 的半径OA ＝1，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则∠BAC 的度数为 .18．若a －4＋||b －1＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是 .19．如果一组数据－1、0、3、5、x 的极差为7，那么x 的值可以是 ． y ＝－3 320．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线x ＋6分别与x 轴、y 轴相交于B 、A 两点．点C 在射线BA 上以3厘米/秒的速度运动，以C 点为圆心作半径为1厘米的⊙C ．点P 以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P 作直线l ∥x 轴．若点C 与点P 同时从点B 、点O 开始运动，设运动时间为t 秒，则在整个运动过程中直线l 与⊙C 最后一次相切时t ＝ 秒.三．解答题（本大题共8小题，共80分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 21．（12分）计算：① 8－||―2＋(－12)0② (63－213＋48)÷12 ③ 3a 2÷(－3a2)³122a322．（16分）解方程：① x 2－10x ＋9＝0 ② 2x 2－2x －5＝0③ x 2＋5＝25x ④ x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0 （a 为常数）23．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，对角线BD 平分∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N .（1）求证：∠ADB ＝∠CDB ；（2）若∠ADC ＝90︒，求证：四边形MPND 是正方形.ABCD NMP（第20题图）24．（8分）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 计算方差的公式：s 2＝1n[(x 1－-x )2＋(x 2－-x )2＋…＋(x n －-x )2]25.（8分）已知□ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根.（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB 的边长为2，那么□ABCD 的周长是多少？26.（8分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，如下所示为正视图.已知EF ＝CD ＝16厘米，求出这个球的半径．--------------------------------------------密----------封----------线----------内----------请----------不----------要----------答校 班级 姓名 考试号……………………………………………………………………………………………………………………………………………27.（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，过点B 作⊙O 的切线，C 是切线上一点，且BC ＝2，P 是线段OA 上一动点，连结PC 交⊙O 于点D ，过点P 作PC 的垂线，交切线BC 于点E ，交⊙O 于点F ，连结DF交AB 于点G ．（1）当P 是OA 的中点时，求PE 的长； （2）若∠PDF ＝∠E ，求△PDF 的面积．B28. （10分）已知A（23，0），直线y＝(2－3)x－2与x轴交于点F，与y轴交于点B，直线l∥AB且交y轴于点C，交x轴于点D，点A关于直线l的对称点为A′，连接AA′、A′D．直线l从AB出发，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向向上平移，设移动时间为t．（1）求点A′的坐标（用含t的代数式表示）；（2）求证：AB＝AF；（3）过点C作直线AB的垂线交直线y＝(2－3)x－2于点E，以点C为圆心CE为半径作⊙C，求当t为何值时，⊙C与△AA′D三边所在直线相切？初三数学期中考试参考答案与评分标准一、选择题（每题3分）A C D B D D A C A B 二、填空题（每空2分）11. ＜ 12. a (a ＋3)(a －3) 13. 4 14. 19º 15. 316. 45º 17. 75º或15º 18. k ≤14 19. 6或－2 20. 267三、解答题21. ①原式＝22－2＋1＝2＋1 ②原式＝3－13＋2＝423③原式＝－163a 2³2³2a a ³3＝－a322. ① x 1＝1，x 2＝9 ② x 1,2＝1±112③x 1＝x 2＝5④x 1＝a ， x 2＝1…………………………………（21、22每小题4分，分步酌情给分） 23. （1）易证△ABD ≌△CBD （SAS ）………………………………………………（3分）∴∠ADB ＝∠CDB ……………………………………………………………（4分） （2）∵∠ADB ＝∠CDB ，且PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN ……………………（5分）又∵∠ADC ＝∠PMD ＝∠PND ＝90º，∴四边形MPND 是矩形………………（7分） 而PM ＝PN ，∴矩形MPND 是正方形……………………………………（8分）24.（1）9，9 ……………………………………………………………………………（2分）（2）s 2甲＝16[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2]＝16(1＋1＋0＋1＋1＋0)＝23 ………………………………………………（4分） s 2乙＝16[(10－9)2＋(7－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2]＝16(1＋4＋1＋1＋0＋1)＝43………………………………………………（6分） （3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲．………（8分）25.（1）令△＝m 2－4(m 2－14)＝m 2－2m ＋1＝(m －1)2＝0……………………………… （2分）∴m ＝1，此时菱形边长为12…………………………………………………… （4分）（2）当AB ＝2时，22－2m ＋m 2－14＝0……………（5分）解得m ＝52………… （6分）∴C ＝2(AB ＋AD )＝2m ＝5…………………………………………………… （8分）26. 由题意，⊙O 与BC 相切…………………………………………………………… （1分） 不妨记切点为G ，作直线OG ，分别交AD 、劣弧 ⌒EF于点H 、I ，再连结OF ……（2分） 在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，而IG ⊥BC ，∴IG ⊥AD ……………………………（3分）A (P )BD COF EABEDF G O (P )（第26题图）（第27题图①）（第27题图②）∴在⊙O 中，FH ＝12EF ＝8…………………………………………………………（4分）设求半径为r ，则OH ＝16－r ，在Rt △OFH 中，r 2－(16－r )2＝82……………（6分） 解得r ＝10，这个球的半径是10厘米……………………………………………（8分）27.（1）当P 是OA 的中点时，PB ＝3………………………………………………（1分） ∵CE 是⊙O 的切线，∴AB ⊥CE ……………………………………………（2分）又∵CP ⊥PE ，∠CPB ＝∠E ，∴△CBP ∽△PBE …………………………（3分）∴CB BP ＝PB BE ，∴BE ＝PB 2BC ＝92 …………………………………………………（4分） ∴在Rt △PBE 中，PE ＝32＋(92)2＝3132……………………………………（5分）（2）在Rt △PDG 中，由∠PDF ＝∠E ＝∠CPB ，可知∠GPF ＝∠GFP于是GD ＝GP ＝GF ……………………………………………………………（6分） 直径AB 平分弦DF ，有两种可能.（ⅰ）弦DF 不是直径，如图①，则AB ⊥DF ，于是PD ＝PF ，∠GPD ＝∠GDP ＝45º∴BP ＝BC ＝2＝BO ，点P 与点O 重合. S △PDF ＝12³2³2＝2………………（8分）（ⅱ）弦DF 恰为直径，如图②，则点P 即为点A . 而BC ＝2，BP ＝4，∴BE ＝8S △PCE ＝12³10³4＝20，∴S △PDF ＝(410)2³20＝165……………………………（10分）28.（11分）5分）（3）∵直线l 是点A 和A ’的对称轴，∴直线l 是∠A ’DA 的平分线，∴点C 到直线AD 和A ’D 的距离相等，∴当⊙C 与AD （x 轴）相切时，也一定与A ’D 相切．图①∵∠OAB ＝30°且AB ＝AF ，∴∠ABF ＝15°，∴∠CBF ＝75°＝∠CEB ，∴CB ＝CE ． 题中所指CE 为半径，即以CB 为半径.又⊙C 与AD 相切，∴CO ＝CE ＝CB ，∴t ＝1………………………………（7分）如图②，当⊙C与AA’相切于点M时，DM＝2(t－2)＋10分）综上所述，符合要求的t图1 图2C。
2014—2015学年度第一学期阶段检测..九年级数学试题..注意事项： ..1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、考号、考试科目及选择题答案涂写在答题卡上，并同时将学校、姓名、考号、座号填写在试卷的相应位置。
２．本试卷分为卷I （选择题）和卷II （非选择题）两部分，共120分。
考试时间为90分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共45分）.一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，满分45分） 1．方程x (x ＋1)＝0的解是A. x ＝0B. x ＝1C. x 1＝0，x 2＝1D. x 1＝0，x 2＝－1 2．图中三视图所对应的直观图是3．用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是 A ．(x －1)2＝4B ．(x ＋1)2＝4C ．(x －1)2＝16D ．(x ＋1)2＝16..4．如果反比例函数xky 的图像经过点（－3，－4），那么函数的图象应在 A ．第一、三象限 B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限..B．5．若函数xmy =的图象在其所在的每一象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大，则m 的取值范围是 A ．m ＞1B ． m ＞0C ． m ＜1D ．m ＜06．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是7．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个相似三角形的周长比是 A ．2:1B．C ． 1:4D ．1:28．一元二次方程2x 2 + 3x +5=0的根的情况是 A ．有两个不相等的实数 B ．有两个相等的实数 C ．没有实数根D ．无法判断9．如图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序进行排列正确的是A ．（1）（2）（3）（4）B ．（4）（3）（1）（2）C ．（4）（3）（2）（1）D ．（2）（3）（4）（1）10. 下列各点中，不在反比例函数xy 6-=图象上的点是 A ．(-1，6) B ．(-3，2) C ．)12,21(- D ．(-2，5)11．如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，21=AB AD ，DE ＝4 cm ，则BC 的长为A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cmA ．B ．C ．D ．AB12．下列结论不正确的是A ．所有的矩形都相似B ．所有的正方形都相似11题图C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似 13．在函数y=xk(k<0)的图像上有A(1,y 1)、B(－1,y 2)、C(－2,y 3)三个点，则下列各式中正确的是A ． y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 3<y 1 14．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是Ａ．525 Ｂ．625Ｃ．1025Ｄ．192514题图15．如图，正方形OABC 和正方形ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数1(0)y x x =>的图象上，则点E 的坐标是A ．1122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭; B ．3322⎛+ ⎝⎭C ．11,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭;D ．3322⎛ ⎝⎭15题图第Ⅱ卷（非选择题 共75分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，把答案填在题中的横线上。
初三数学适应性练习试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分,共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．．．．．．．．．．．．．）1。
16的算术平方根等于（▲）A．±4 B．一4 C．4 D．16±2。
下列计算正确的是（▲）A.()baab33= B.1-=+--babaC. 326aaa=÷ D.222)(baba+=+3．若一个正多边形的一个外角是45°,则这个正多边形的边数是（▲）A．7 B．8 C．9 D．104.两圆的半径分别为3和7，圆心距为4，则两圆的位置关系是( ▲）A. 内切B. 相交 C。
外切 D. 外离5.等腰三角形的一边长为4，另一边长为3，则它的周长为（▲）A．11 B．10 C．10或11 D．以上都不对6．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ▲）A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补7。
一组数据2，7，6，3，4, 7的众数和中位数分别是( ▲) A。
7和4.5 B。
4和6 C。
7和4 D。
7和58。
抛物线223y x x=-++的顶点坐标是（▲) A．(-1，4） B．(1,3） C．（-1，3) D．(1，4)9.一次函数y kx b=+的图象如图所示,则不等式:0kx b-+>的解集为( ▲）A．1x>-B．1x<-C．1x>D．1x<10。
如图，在斜边为3的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中,作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3…依次作下去，则第2014个正方形A2014B2014C2014D2014的边长是( ▲) A．201213B．201313C．201413D．201513(第10题图)(第9题图)二、填空题（本大题共8小题, 每小题2分,共16分,不需写出解答过程,只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置)11。
2013—2014学年第一学期初三数学期中考试试卷（时间：100分钟，分值：100分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列二次根式中，最简二次根式是 （ ）．(A)(B) (C) (D) ．2. 下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 （ ）A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=3. 下面计算正确的是 （ ）A.3= 3= C. = 2=-4.一组数据为2、3、5、7、3、4，对于这组数据，下列说法错误的是 （ ） A ．平均数是4 B ．极差是5 C ．众数是3 D ． 中位数是65. 下列关于矩形的说法中正确的是 （ ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分6. 12a =-，则 （ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥127. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数是 （ ） A ．55°，55° B ．70°，40° C ．55°，55°或70°，40° D ．以上都不对 8. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm 2 B ． 24cm 2 C ． 48cm 2 D ． 96cm 29. 如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上的一点，︒>∠60BEG ，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片上的点H 处，连接AH ，则与BEG ∠相等的角的个数为 ( ) A.4 B. 3 C.2 D.1(第9题图) (第10题图)10.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm ，宽为n cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是 （ ） A ．4m cm B ． 4n cm C ． 2(m +n ) cm D ． 4(m -n ) cm 二．填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分.）11. 有意义的x 的取值范围是 . 12．在实数范围内因式分解：416a -= .13．已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根为2,则另一根是___ ____.142(5)0b -=，求a b -=15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，EF 为中位线，若AB ＝2b ，EF ＝a ，则阴影部分的面积为 .（第15题图） （第16题图） （第17题图）16．如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，PE ＝4cm ，则点P 到BC 的距离是_ ____cm .17．如图，已知矩形ABCD 中，AB =12，AD =3，E 、F 分别为AB 、DC 上的两个动点，则AF +FE +EC的最小值为18．存在正整数a ，能使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，则a =三．解答题（本大题共8小题，共54分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 19.计算（8分）（1 （2）20．解下列一元二次方程（8分）（1）2890x x +-= （2）2250x x --=（配方法）21．（6分）如图已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE=DF ．求证：四边形AECF 是平行四边形22．（5分）一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：（1）求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差.（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝（个人成绩－平均成绩）÷成绩标准差.从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好?23．（6分）已知，下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程。
2014-2015学年江苏省无锡市天一实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接写在答卷上相应的位置处）1．（3分）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（）A．y=2x+3 B．y=C．y=x2﹣1 D．y=+12．（3分）如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（3分）二次函数y=﹣3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是（）A．（1，8） B．（﹣1，8）C．（﹣1，2）D．（1，﹣4）4．（3分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm5．（3分）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+36．（3分）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm7．（3分）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＞6 B．r≥6 C．r＜6 D．r≤68．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+k的图象经过点A（1，y1），B（，y2），C（﹣2，y3），则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y29．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．B．4.75 C．5 D．4.8二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接写在答卷上相应的位置处）11．（2分）如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，∠ABC=50°，则∠ADC=．12．（2分）抛物线y=﹣2x2+8bx+1的对称轴是直线x=﹣2，则抛物线的解析式为．13．（2分）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是cm．14．（2分）抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=．16．（2分）已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=﹣x2+1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为．17．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积为．18．（2分）已知二次函数y=﹣x2+2|x|+1．如果方程﹣x2+2|x|+1=k恰有两个不相等的实数根，那么k须满足的条件是．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）如图，已知⊙O的半径为R．（1）请用无刻度的直尺、圆规作出已知圆的内接正△ABC；（只需保留作图痕迹）（2）试求正△ABC的周长．20．（8分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．21．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若⊙O的半径为2，BC﹣AC=2，求CE的长．22．（8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）24．（9分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x （km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．（1）用含x和n的式子表示Q；（2）若n=3，要使Q最大，确定x的值；（3）设n=2，x=40，能否在n增加m% （m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．25．（10分）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以OC为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M 与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．27．（10分）在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点H作OP的垂线交弧AB于点C，射线PC交弧AB于点D，联结OD．（1）如图，当弧AC=弧CD时，求弦CD的长；（2）如图，当点C在弧AD上时，设PA=x，CD=y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）设CD的中点为E，射线HE与射线OD交于点F，当DF=时，请直接写出∠P的余切值．2014-2015学年江苏省无锡市天一实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答案直接写在答卷上相应的位置处）1．（3分）下列函数关系中，y是x的二次函数的是（）A．y=2x+3 B．y=C．y=x2﹣1 D．y=+1【解答】解：A、该函数式中，y是x的一次函数，故本选项错误；B、被开方数中含自变量，不是二次函数，故本选项错误．C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；D、分母中含自变量，不是二次函数，故本选项错误；故选：C．2．（3分）如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接OB，OC，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠BOC=90°，∴∠BEC=∠BOC=45°．故选：B．3．（3分）二次函数y=﹣3x2﹣6x+5的图象的顶点坐标是（）A．（1，8） B．（﹣1，8）C．（﹣1，2）D．（1，﹣4）【解答】解：∵a=﹣3、b=﹣6、c=5，∴﹣=﹣1，=8，即顶点坐标是（﹣1，8）．故选：B．4．（3分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm【解答】解：圆锥的母线长==10（cm）．故选：B．5．（3分）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3【解答】解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：D．6．（3分）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm【解答】解：如图，连接OC，AO，∵大圆的一条弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，∴AC=BC=AB，∵OA=5cm，OC=4cm，在Rt△AOC中，AC==3cm，∴AB=2AC=6（cm）．故选：C．7．（3分）已知点A在半径为r的⊙O内，点A与点O的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＞6 B．r≥6 C．r＜6 D．r≤6【解答】解：∵点A在半径为r的⊙O内，∴OA小于r而OA=6，∴r＞6．故选：A．8．（3分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+k的图象经过点A（1，y1），B（，y2），C（﹣2，y3），则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【解答】解：y=﹣x2﹣2x+k=﹣（x+1）2+k+1，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，抛物线开口向下，而点A（1，y1）离对称轴最远，点B（，y2）离对称轴最近，所以y1＜y3＜y2．故选：D．9．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0，错误的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵由函数图象开口向下可知，a＜0，由函数的对称轴x=﹣＞﹣1，故＜1，∵a＜0，∴b＞2a，所以2a﹣b＜0，①正确；②∵a＜0，对称轴在y轴左侧，a，b同号，图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c＜0，③正确；④当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，④错误；⑤当x=2时，y=4a+2b+c＜0，⑤错误；故错误的有2个．故选：B．10．（3分）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．B．4.75 C．5 D．4.8【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，∴EF是直径，设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．∵AB=10，AC=8，BC=6，∴∠ACB=90°，∴EF为直径，OC+OD=EF，∴CO+OD＞CD=4.8，∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值∴由三角形面积公式得：CD=BC•AC÷AB=4.8．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，只需把答案直接写在答卷上相应的位置处）11．（2分）如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，∠ABC=50°，则∠ADC=130°．【解答】解：∵AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，∠ABC=50°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=130°．故答案为：130°．12．（2分）抛物线y=﹣2x2+8bx+1的对称轴是直线x=﹣2，则抛物线的解析式为y=﹣2x2﹣8x+1．【解答】解：∵抛物线y=﹣2x2+8bx+1的对称轴是直线x=﹣2，∴﹣=﹣2，解得b=﹣1，∴y=﹣2x2﹣8x+1，故答案为：y=﹣2x2﹣8x+1．13．（2分）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是2πcm．【解答】解：∵L=，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，∴扇形的弧长L==2π．故答案为：2π．14．（2分）抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为8．【解答】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=0，∴b2﹣4ac=82﹣4×2×m=0；∴m=8．故答案为：8．15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=2．【解答】解：连接OE、OF、OQ，设⊙O的半径是r，由勾股定理得：AB==5，∵⊙O是三角形ABC的内切圆，∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，AE=AQ，BF=BQ，∵∠C=90°，∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，∴四边形CFOE是正方形，∴CE=CF=OF=OE，∴3﹣r+4﹣r=5，r=1，AQ=AE=3﹣1=2，OQ=1，∵D是AB的中点，∴AD=，∴DQ=AD﹣AQ=，tan∠ODA==2，故答案为：2．16．（2分）已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=﹣x2+1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为（，﹣2）．【解答】解：∵⊙P的半径为2，⊙P与x轴相切，∴点P的纵坐标为2或﹣2，∵圆心P在抛物线y=﹣x2+1上运动，∴当y=2时，﹣x2+1=2，此时无解；当y=﹣2时，﹣x2+1=﹣2，解得：x=±，∴圆心P的坐标为：（，﹣2）．故答案为：（，﹣2）．17．（2分）如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．则图中阴影部分的面积为π．【解答】解：作直径CG，连接OC、OD、OE、OF、DG、OF．∵CG是圆的直径，∴∠CDG=90°，则DG===8，又∵EF=8，∴DG=EF，∴=，∴S扇形ODG=S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD=S△BCD，S△OEF=S△BEF，∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=π．故答案是：π．18．（2分）已知二次函数y=﹣x2+2|x|+1．如果方程﹣x2+2|x|+1=k恰有两个不相等的实数根，那么k须满足的条件是k=2或k＜1．【解答】解：y=﹣x2+2|x|+1=﹣（x±1）2+2．则顶点坐标是（±1，2）．令x=0，则y=1．则由﹣x2+2|x|+1=k，得k=﹣（x±1）2+2．∵方程﹣x2+2|x|+1=k恰有两个不相等的实数根，∴根据图示知，当k=2或k＜1时，满足题意．故答案是：k=2或k＜1三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）如图，已知⊙O的半径为R．（1）请用无刻度的直尺、圆规作出已知圆的内接正△ABC；（只需保留作图痕迹）（2）试求正△ABC的周长．【解答】解：（1）如图，△ABC就是所求作的三角形．（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D，则BD=CD=BC．∵在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，∴CD=OC•c os30°=R，∴BC=2CD=R，∴△ABC的周长=3R．20．（8分）如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）若点P（m，m）在该函数图象上，求m的值．【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣1），B（3，﹣9）代入，得，∴a=1，c=﹣6，∴y=x2﹣4x﹣6；（2）对称轴：直线x=2，顶点坐标：（2，﹣10）；（3）∵点P（m，m）在函数图象上，∴m2﹣4m﹣6=m，∴m=6或﹣1．21．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB．延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若⊙O的半径为2，BC﹣AC=2，求CE的长．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∵DC=CB∴AD=AB，∴∠B=∠D．（2）设BC=x，则AC=x﹣2．在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=4，解得：（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB∴CE=CB=1+．22．（8分）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为（2，﹣1）．【解答】解：（1）如图，∵AB=2，对称轴为直线x=2．∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．由韦达定理，得1+3=﹣b，1×3=c，∴b=﹣4，c=3，∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），∴C（0，3），∴BC==3，AC==．∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴PA=PB，∴PA+PC=PB+PC．此时，PB+PC=BC．∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3+；（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1），当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，故点D的坐标为：（2，﹣1）．故答案是：（2，﹣1）．23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【解答】（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=，∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣．24．（9分）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x （km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．（1）用含x和n的式子表示Q；（2）若n=3，要使Q最大，确定x的值；（3）设n=2，x=40，能否在n增加m% （m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）设W=k1x2+k2nx，∴Q=k1x2+k2nx+100．由表中数据，得，解得∴Q=x2+6nx+100．（2）当n=3时，Q=x2+18x+100．由n=﹣＜0，可知，要使Q最大，x==90．（3）由题意，得420=[40（1﹣m%）]2+6×2（1+m%）×40（1﹣m%）+100．即2（m%）2﹣m%=0，解得m%=，或m%=0（舍去）．∴m=50．25．（10分）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（﹣2，0），（2，0）．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（0，4），∴可设抛物线解析式为y=ax2+4，又∵抛物线过点（2，0），∴0=4a+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+4；（2）①如图，连接CE，CD．∵OD是⊙C的切线，∴CE⊥OD．在Rt△CDE中，∠CED=90°，CE=AC=2，DC=4，∴∠EDC=30°，∴在Rt△CDO中，∠OCD=90°，CD=4，∠ODC=30°，∴OC=，∴当直线OD与以AB为直径的圆相切时，k=OC=；②存在k=2，能够使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上．理由如下：设抛物线y=﹣x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=﹣（x﹣k）2+4，它与y=﹣x2+4交于点P，由﹣（x﹣k）2+4=﹣x2+4，解得x1=，x2=0（不合题意舍去），当x=时，y=﹣k2+4，∴点P的坐标是（，﹣k2+4）．设直线OD的解析式为y=mx，把D（k，4）代入，得mk=4，解得m=，∴直线OD的解析式为y=x，若点P（，﹣k2+4）在直线y=x上，得﹣k2+4=•，解得k=±2（负值舍去），∴当k=2时，O、P、D三点在同一条直线上．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣，0），以OC为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M 与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣，0），则，解得，，∴该二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，∴BE==．∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD∽△ECB，∴=，∴DG=1．∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，∴BE是⊙D的切线；（3）由题意，得E（﹣，0），B（2，2）．设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则，解得，，∴直线BE为：y=x+．∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，∴点P 的纵坐标y=，即P （1，）． ∵MN ∥BE ， ∴∠MNC=∠BEC ． ∵∠C=∠C=90°， ∴△MNC ∽△BEC ， ∴=，∴=，则CN=t ，∴DN=t ﹣1，∴S △PND =DN•PD=（t ﹣1）•=t ﹣．S △MNC =CN•CM=×t•t=t 2．S 梯形PDCM =（PD +CM ）•CD=•（+t ）•1=+t ． ∵S=S △PND +S 梯形PDCM ﹣S △MNC =﹣+t （0＜t ＜2）．∵抛物线S=﹣+t （0＜t ＜2）的开口方向向下，∴S 存在最大值．当t=1时，S 最大=．27．（10分）在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB=90°，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点H 作OP 的垂线交弧AB 于点C ，射线PC 交弧AB 于点D ，联结OD ．（1）如图，当弧AC=弧CD 时，求弦CD 的长；（2）如图，当点C 在弧AD 上时，设PA=x ，CD=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）设CD 的中点为E ，射线HE 与射线OD 交于点F ，当DF=时，请直接写出∠P 的余切值．【解答】解：如图1，（1）联结CO，∵HC垂直平分OP，∴CP=CO=2，∴∠COP=∠P，∵=，∴∠COP=∠DOC，∴∠DOC=∠P，又∵∠ODC=∠PDO，∴△DOC∽△DPO，∴=又CP=OD=OC=2，∴=，∴4=DC（DC+2），解得：CD=﹣1+，CD=﹣1﹣（舍去）（2）根据割线定理可知：PC•PD=PA•（AP+OA）∵PC=OC=2，∴2（2+y）=x（x+4），∴y=x2+2x﹣2，（2﹣2≤x≤2﹣2）（3）如图2，连接OC和OE．显然可以得：Rt△CHP≌Rt△CHO，∴∠CPH=∠COH=x（不妨设其大小为x）∴∠DCO=2x．（三角形外角的性质定理），同时，PC=OC=2，∵CE=DE（已知）∴由垂径定理可知：OE⊥CD，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=2x．同时，由锐角三角函数定义，在Rt△OPE中．tan∠APD=，∵∠CHO=∠CEO=90°，∴四点H，C，E，O四点共圆，∴由同圆中，同弧上的圆周角相等可知∠HEC=∠HOC=x，∴∠DEF=∠HEC=∠HOC=x．在△DEF中，由三角形外角性质定理，∠ODC=∠F+∠DEF，∴2x=∠F+x，∴∠F=x．∴△DEF为等腰三角形，CE=DE=DF=．∴PE=PC+CE=2+=，在Rt△ODE中，DE=，OD=2，∴由勾股定理可得OE=，∴cot∠P===，。
