随机延迟微分方程半隐式Euler方法的T-稳定性

2021年第42卷第1期中北大学学报(自然科学版)V o l.42 N o.12021 (总第195期)J O U R N A LO FN O R T HU N I V E R S I T YO FC H I N A(N A T U R A LS C I E N C EE D I T I O N)(S u m N o.195)文章编号:1673-3193(2021)01-0006-07非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性李晓卫,贾宏恩,郭平(太原理工大学数学学院,山西太原030024)摘要:主要对非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉方法的收敛性进行了针对性研究,证明了此类半隐式欧拉方法具有强一阶收敛性.此外,在精确解满足均方稳定性的前提下,研究了非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的均方稳定性,最后利用数值算例验证了数值解的收敛性.关键词:随机分数阶积分微分方程;半隐式欧拉方法;收敛性;均方稳定性中图分类号: O242.28文献标识码:A d o i:10.3969/j.i s s n.1673-3193.2021.01.002C o n v e r g e n c e a n dS t a b i l i t y o f S e m i-I m p l i c i t E u l e r-M a r u y a m aS o l u t i o n f o rN o n l i n e a r S t o c h a s t i cF r a c t i o n a lI n t e g r o-D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sL IX i a o-w e i,J I A H o n g-e n,G U OP i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,T a i y u a nU n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y,T a i y u a n030024,C h i n a)A b s t r a c t:T h i s p a p e r i sm a i n l y c o n c e r n e dw i t h t h e c o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f t h e s e m i-i m p l i c i tE u l e r-M a-r u y a m a(E M)m e t h o df o r t h en o n l i n e a rS F I D E s.I t i s p r o v e dt h a t t h es e m i-i m p l i c i tE M s o l u t i o no f S F I D E s s h a r e s s t r o n g f i r s t o r d e r s h a r p c o n v e r g e n c e.F u r t h e r m o r e,o n t h e p r e m i s e t h a t t h e e x a c t s o l u-t i o n s a t i s f i e s t h em e a n-s q u a r e s t a b i l i t y,w e r e s e a r c h e d t h em e a n-s q u a r e s t a b i l i t y o f t h e s e m i-i m p l i c i t E M s o l u t i o n o f t h e n o n l i n e a r S F I D E s.A t l a s t,s o m e n u m e r i c a l e x a m p l e sw e r e p r e s e n t e d t o d e m o n s t r a t e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n s.K e y w o r d s:s t o c h a s t i c f r a c t i o n a l i n t e g r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;s e m i-i m p l i c i tE u l e r-M a r u y a m am e t h o d;c o n v e r g e n c e;m e a n-s q u a r e s t a b i l i t y0引言积分微分方程是现代数学的重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它广泛应用于几何㊁力学㊁物理㊁电子技术㊁自动控制㊁航天㊁生命科学等领域,如反应堆动力学[1]㊁种群动态[2]和分层介质中的波传播[3],并且随着现实生活中的许多随机因素(如噪声等)被考虑进来,随机积分微分方程引起了国内外众多学者的关注与研究.在现有研究中,随机积分微分方程被应用于随机力驱动的粘弹性结构构件的力学行为[4]㊁期权定价[5]及人口增长模型中[6].此外,一些学者证明了随机积分微分方程解的存在性㊁唯一性和稳定性[7-10].但在许多情况下,随机积分微分方程的精确解很难找到,因此,寻找求解此类方程近似解的数值方法引起了许多学者的关注.如,对于具有乘性噪声的随机微分方程,T o c i n oA等[11]提出了一种二阶显式R u n g e K u t t a格式,对于具有恒收稿日期:2020-04-26作者简介:李晓卫(1995-),女,硕士生,主要从事计算数学的研究.定扩散系数的标量方程,还得到了两种三阶R u n g e K u t t a格式;B a b u s k a I等[12]采用蒙特卡罗G a l e r k i n法和随机G a l e r k i n有限元方法求解随机扩散和载荷系数的随机线性椭圆偏微分方程,当采用少量随机参数描述噪声时,随机G a l e r k i n法为首选方法;M a l e k n e j a dK等[13]利用块脉冲函数求解随机沃尔泰拉积分方程,得到了精度较高的近似解.随着分数阶微积分的发展,分数阶积分微分方程出现在信号处理的统计力学领域[14-16].目前,越来越多的研究者对随机分数阶积分微分方程进行了深入研究,探讨了此类方程解的存在性㊁唯一性和稳定性[17-18].而且,研究人员还研究了一些数值格式,并对这些数值格式的性质进行了探讨,如利用谱配置方法㊁欧拉方法以及径向基方法求解该类方程,并讨论了这些方法的性质[19-21].此外,F a e d o-G a l e r k i n方法㊁L e g e n d r e小波方法以及对应的收敛性也被研究和证明[22-23].半隐式欧拉格式已被用于多种方程中,如随机受电弓方程和随机微分延迟方程[24-25],其精确解的稳定性已被证明[26].本文主要目的是给出随机分数阶积分微分方程的半隐式欧拉格式的收敛性分析和相应离散数值解的稳定性分析.本文给出了一些必要的符号与准备,以及与原始方程对应的随机沃尔泰拉积分方程;分析了随机分数阶积分微分方程的半隐式欧拉格式的收敛性与收敛阶;给出了半隐式欧拉格式数值解的稳定性;最后通过数值算例验证了本文的理论分析.1符号与准备工作在本文中,设(Ω,F,P)为具有满足一般条件的σ域F t t⩾0的完备概率空间,㊃为R d空间上的欧拉范数.如果A为向量或矩阵,其转置表示为A T,且若A为矩阵,其F范数用A= t r a c e(A T)A来表示.如果Z为集合,其指标函数用I Z来表示,即当xɪZ时,I Z x=1;否则,值为0.设T>0,L10,T;R n表示一族所有R n值可测的F t适应过程f={f(t)}0ɤtɤT使得ʏT0f(t)d t<ɕ成立;设L2(0,T;R nˑm)表示一族所有(nˑm)矩阵值可测的F t适应过程{f(t)}0ɤtɤT使得ʏT0f(t)2d t<ɕ成立.考虑以下d维非线性随机分数阶积分微分方程Dαy(t)=Ø(t)+ʏt0k1(t,s,y(s))d s+ʏt0k2(t,s,y(s))d W(s),tɪ[0,T],y(0)=y0,(1)式中:Dα为α(αɪ(0,1])阶C a p u t o分数阶导数;ØɪC([0,T];R d);设Q=(t,s)ʒ0ɤsɤtɤT, k1ɪL1(QˑR d;R d),k2ɪL2(QˑR d;R dˑr);W(t)表示定义在完备概率空间上的r维标准布朗运动; y0为F0可测R d值的随机变量使得E y02<ɕ成立.定义1对函数fʒ[0,+ɕ)ңR d的α阶R i e m a n n-L i o u v i l e分数阶积分算子定义如下Iαf(t)=1Γ(α)ʏt0(t-τ)α-1f(τ)dτ,α>0且I0f(t)=f(t),其中Γ(α)为G a m m a函数,Γ(α)ʉʏ+ɕ0e-t tα-1d t定义2对于函数fɪCγ([0,+ɕ))的α阶C a p u t o导数可以记作Dαf(t)=1Γ(γ-α)ʏt0f(γ)(τ)(t-τ)α+1-γdτ,式中:γ-1<α<γ,γɪN+.由富比尼定理,式(1)可转化为以下随机沃尔泰拉积分方程(这两个方程的具体转化可参考文献[18])y(t)=Φ(t)+ʏt0K1(t,s,y(s))d s+ʏt0K2(t,s,y(s))d W(s),(2)其中tɪ[0,T],y(0)=y0,Φ(t)=y0+1Γ(α)ʏt0(t-τ)α-1Ø(τ)dτ, K i(t,s,y(s))=1Γ(α)ʏt s(t-τ)α-1k i(τ,s,y(s))dτ,i=1,2.假设1对于任意(t,s)ɪQ,k1(t,s,0)与k2(t,s,0)是连续有界的函数,且存在正常数l i, i=1, ,4,使得Ø,k j满足如下条件Ø(t1)-Ø(t2)ɤl1t1-t2,k j(t1,s,y)-k j(t2,s,y)ɤl2(1+|y|)t1-t2, k j(t,s1,y)-k j(t,s2,y)ɤl3(1+|y|)s1-s2, k j(t,s,y1)-k j(t,s,y2)ɤl4y1-y22,7(总第195期)非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性(李晓卫等)对任意t,t1,t2,s,s1,s2ɪ[0,T],y,y1,y2ɪR d, j=1,2均成立.在假设1的条件下,得到以下定理[18].定理1存在正常数L i,i=1, ,5,使得Φ(t),K j(j=1,2)满足以下条件Φ(t1)-Φ(t2)ɤL1t1-t2,K j(t1,s,y)-K j(t2,s,y)ɤL2(1+|y|)t1-t2, K j(t,s1,y)-K j(t,s2,y)ɤL3(1+|y|)s1-s2,K j(t,s,y)2ɤL4(1+y2)t-s2, K j(t,s,y1)-K j(t,s,y2)ɤL5y1-y2,对任意t1,t2ɪ[0,T],s1,s2ɪ[0,T],t,sɪ[0, T],yɪR d均成立.下文中C代表一个任意的正常数.2半隐式欧拉格式的收敛性与收敛阶精确解的存在性㊁唯一性和稳定性已在一些文献中有研究[18].本节讨论半隐式欧拉方法的收敛性与收敛阶.首先,将整个时间区间分割为N个小区间,对于Nȡ1,令h=T/N,t n=n h,对于n=0,1, 2, ,N,当t=t n+1时,y(t n+1)=Φ(t n+1)+ʏt n+10K1(t n+1,s,y(s))d s+ʏt n+10K2(t n+1,s,y(s))d W(s)=Φ(t n+1)+ðn i=0ʏt i+1t i K1(t n+1,s,y(s))d s+ðn i=0ʏt i+1t i K2(t n+1,s,y(s))d W(s)ʈΦ(t n+1)+hðn i=0K1(t n+1,t i,y(t i+1))+ðn i=0K2(t n+1,t i,y(t i))ΔW i,因此,定义Y n+1=Φ(t n+1)+hðn i=0K1t n+1,t i,Y i+1+ðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i.(3)对n=0,1,2, ,N-1及Y0=y(0)=y0,当sɪ[t n,t n+1)时,定义s=t n以及Y1(t)=ðN n=0Y n I[t n,t n+1)(t),(4)^Y1(t)=ðN n=0Y n+1I[t n,t n+1)(t),(5)则得到以下半隐式欧拉格式Y(t)=Φ(t)+ʏt0K1(t,s,^Y1(s))d s+ʏt0K2(t,s,Y1(s))d W(s).(6)引理1假定假设1满足,那么存在一个常数C>0以及h1=13T3L4>0,使得对于h<h1有E(|Y n+12)ɤC,E(Y(t)2)ɤC.证明由式(3)和基本不等式,有Y n+12ɤ3Φ(t n+1)2+3h2ðn i=0K1t n+1,t i,Y i+12+3ðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i2.对上述不等式两端同时取期望,有E|Y n+1|2ɤ3EΦ(t n+1)2+3h2Eðn i=0K1t n+1,t i,Y i+12+3Eðn i=0K2t n+1,t i,Y iΔW i2ɤ6EΦ(t n+1)-Φ(0)2+Φ(0)2+3n+1h2ðn i=0E K1t n+1,t i,Y i+12+3ðn i=0E|K2t n+1,t i,Y iΔW i|2ɤ6EΦ(t n+1)-Φ(0)2+Φ(0)2+3n+1h2L4ðn i=0E((1+Y i+12)|t n+1-t i|2)+ 3h L4T2ðn i=0(1+E|Y i|2)ɤ6L21T2+ 6E y02+3h L4T3ðn i=0(1+E|Y i+1|2)+3h L4T2ðn i=0(1+E|Y i|2),则得到1+E(|Y n+1|2)ɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h+ 3T3L4h+3T2L4h1-3T3L4hðn i=0(1+E|Y i|2).由离散G r o n w a l l不等式1+E(|Y n+1|2)ɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h e3T3L4n h+3T2L4n h1-3T3L4hɤ6L21T2+6E y02+11-3T3L4h e3T4L4+3T3L41-3T3L4hʒ=C,及Y(t)的连续性,得到8中北大学学报(自然科学版)2021年第1期E Y(t)2ɤC.引理2假定满足假设1,在h<m i n(1,h1)的情况下,存在一个与h无关的正常数C,使得E Y(t)-^Y1(t)2ɤC h2,E Y(t)-Y1(t)2ɤC h2.证明对于任意的tɪ[0,T],存在一个整数n使得tɪ[t n,t n+1),由式(4)~式(6),得到Y(t)-Y1(t)=Y(t)-Y n=Φ(t)-Φt n+ʏt n0K1t,s,^Y1(s)-K1t n,s,^Y1(s)d s+ʏt t n K1t,s,^Y1(s)d s+ʏt n0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n,s,Y1(s))d W(s)+ʏt t n K2(t,s,Y1(s))d W(s).再由基本不等式,C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E Y(t)-Y1(t)2ɤ5EΦ(t)-Φt n2+ 5T Eʏt n0K1t,s,^Y1(s)-K1(t n,s,^Y(s))2d s+ 5h Eʏt t n K1t,s,^Y1(s)2d s+ 5Eʏt n0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n,s,Y1(s))2d s+ 5Eʏt t n K2t,s,Y1(s)2d sɤ5L21t-t n2+ 10T Eʏt n0L221+^Y1(s)2t-t n2d s+ 5h Eʏt t n L41+^Y1(s)2t-s2d s+ 10Eʏt n0L221+Y1(s)2t-t n2d s+ 5Eʏt t n L41+Y1(s)2t-s2d sɤ5L21h2+10T h2L22Eʏt n01+^Y1(s)2d s+ 5h3L4Eʏt t n1+^Y1(s)2d s+ 10L22h2Eʏt n01+Y1(s)2d s+ 5L4h2Eʏt t n1+Y1(s)2d sɤ5L21h2+10T h2L22ʏt n01+E^Y1(s)2d s+ 5h3L4ʏt t n1+E(^Y1(s)2)d s+ 10L22h2ʏt n01+E Y1(s)2d s+5L4h2ʏt t n1+E(Y1(s)2)d sɤC h2.同理,Y(t)-^Y1(t)=Y(t)-Y n+1=Φ(t)-Φ(t n+1)+ʏt0K1t,s,^Y1(s)-K1t n+1,s,^Y1(s)d s-ʏt n+1t K1t n+1,s,^Y1(s)d s+ʏt0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n+1,s,Y1(s))d W(s)-ʏt n+1t K2t n+1,s,Y1(s)d W(s).再由基本不等式,C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E Y(t)-^Y1(t)2ɤ5EΦ(t)-Φ(t n+1)2+ 5T Eʏt0K1t,s,^Y1(s)-K1(t n+1,s,^Y1(s))2d s+ 5h Eʏt n+1t K1t n+1,s,^Y1(s)2d s+ 5Eʏt0K2(t,s,Y1(s))-K2(t n+1,s,Y1(s))2d s+ 5Eʏt n+1t K2t n+1,s,Y1(s)2d sɤ5L21t-t n+12+10T Eʏt0L221+^Y1(s)2t-t n+12d s+ 5h Eʏt n+1t L41+^Y1(s)2t n+1-s2d s+ 10Eʏt0L221+Y1(s)2t-t n+12d s+ 5Eʏt n+1t L41+Y1(s)2t n+1-s2d sɤ5L21h2+10T h2L22ʏt01+E(^Y1(s)2)d s+ 5h3L4ʏt n+1t1+E^Y1(s)2d s+ 10L22h2ʏt01+E(Y1(s)2)d s+ 5L4h2ʏt n+1t1+E(Y1(s)2d sɤ5L21h2+C T2h2L22+C L4h4+C L22h2T+C L4h3ɤC h2.定理2在引理1的假设下,存在一个与h无关的正常数M使得E(|y(t)-Y(t)|2)ɤM h2,对任何tɪ[0,T]均成立.证明用式(2)减去式(6),并由基本不等式, C a u c h y-S c h w a r t z不等式和I tô等距,得E y(t)-Y(t)2ɤ9(总第195期)非线性随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉解的收敛性和稳定性(李晓卫等)6Eʏt0[K1(t,s,y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2+ʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))d s2+ʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]d s2+ʏt0[K2(t,s,y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2+ʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2+ʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y1(s))]d W(s)2.对上述6项分别进行处理得到Eʏt0[K1(t,s,y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2ɤT E(ʏt0L25|y(s)-Y(s)|2d sɤT L25ʏt0E(|y(s)-Y(s)|2)d s, Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))]d s2ɤT Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,Y(s))]2d sɤT Eʏt0L23(1+|Y(s)|)2|s-s|2d sɤ2T h2L23ʏt0(1+E(|Y(s)|2))d sɤC h2L23T2, Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]d s2ɤT Eʏt0[K1(t,s,Y(s))-K1(t,s,^Y1(s))]2d sɤT L25ʏt0E(|Y(s)-^Y1(s)|2)d sɤC h2T2L25.采用同样的处理方式,得到Eʏt0[K2(t,s,y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2ɤL25ʏt0E(|y(s)-Y(s)|2)d s,Eʏt0[K2(t,s,Y(s))-K2(t,s,Y(s))]d W(s)2ɤC T h2L23,Eʏt0K2t,s,Y(s)-K2t,s,Y1(s)d W(s)2ɤC h2L25T,那么E y(t)-Y(t)2ɤ(C L23T2+C L25T2+C L23T+C L25T)h2e T(T+1)L25ɤM h2. 3半隐式欧拉格式的稳定性本节在假设1的条件下研究式(6)的数值解的稳定性.定义3设Y n+1nȡ1为式(6)具有初始解ξ对应的解,X n+1nȡ1为式(6)对应初始值为λ的另一个解.对于任意的ε>0,存在一个正常数δ>0使得当E|ξ-λ|2<δ时,有E Y n+1-X n+12ɤε成立,即式(6)的解是均方稳定的.定理3设{y(t)}tȡ0,{x(t)}tȡ0分别为式(1)对应于初始值η和φ的精确解,那么,如果满足假设1,对于任意的hɤ13L25T,式(1)的精确解是均方稳定的.证明由式(2)得y(t)-x(t)=η-φ+ʏt0K1(t,s,y(s))-K1t,s,x(s)d s+ʏt0K2(t,s,y(s))-K2t,s,x(s)d W(s).对上式两端同时取期望,得E|y(t)-x(t)|2ɤ3Eη-φ2+3T Eʏt0|K1(t,s,y(s))-K1t,s,x(s)|2d s+ 3Eʏt0K2(t,s,y(s))-K2t,s,x(s)d W(s)2ɤ3Eη-φ2+3L25(T+1)ʏt0E|y(s)-x(s)|2d s.再由G r o n w a l l不等式得E y(t)-x(t)2ɤ3e x p3L25T T+1Eη-φ2.因此,对于任意的ε>0,存在一个常数δ>0,当Eη-φ2<δ时,有E|y(t)-x(t)|2ɤε.定理4 设Y n+1nȡ1,X n+1nȡ1分别为式(6)对应于初始值ξ和λ的数值解,那么如果假设1成立,则式(6)的数值解就是均方稳定的.证明由式(3)得到Y n+1-X n+12=|ξ-λ+hðn i=0K1t n+1,t i,Y i+1-K1t n+1,t i,X i+1+ðn i=0K2t n+1,t i,Y i-K2t n+1,t i,X iΔW i2ɤ3ξ-λ2+3h2ðn i=0[K1t n+1,t i,Y i+1-K1t n+1,t i,X i+1]2+ 3ðn i=0K2t n+1,t i,Y i-K2t n+1,t i,X iΔW i2.01中北大学学报(自然科学版)2021年第1期对上述不等式两侧同时取期望,得E Y n +1-X n +12ɤ3E ξ-λ2+3h 2Eðni =0K 1t n +1,t i ,Y i +1 -K 1t n +1,t i ,X i +12+3E ðni =0K 2t n +1,t i ,Y i -K 2t n +1,t i ,X i ΔW i 2ɤ3E |ξ-λ|2+3h 2(n +1)ðni =0E K 1t n +1,t i ,Y i +1-K 1t n +1,t i ,X i +1 2+3h ðni =0E |K 2t n +1,t i ,Y i -K 2t n +1,t i ,X i |2ɤ3E |ξ-λ|2+3L 25T h ðni =0E Y i +1-X i +12+3L 25h ðni =0E |Y i -X i |2,则E |Y n +1-X n +1|2ɤ31-3L 25T h E |ξ-λ|2+3L 25T h +3L 25h 1-3L 25T h ðni =0E |Y i -X i |2. 再由离散G r o n w a l l 不等式得E |Y n +1-X n +1|2ɤ31-3L 25T h E |ξ-λ|2e 3L 25T n h +3L 25n h 1-3L 25T h ɤ31-3L 25T h e 3L 25T (T +1)1-3L 25T h E |ξ-λ|2. 因此,对任何的ε>0,存在一个正常数δ>0,当E |ξ-λ|2<δ时,有E |Y n +1-X n +1|2<ε成立.4 数值算例本节给出一个数值算例以验证随机分数阶积分微分方程半隐式欧拉方法的收敛率.类似于文献[18],使用样本均值逼近期望,更准确地说,使用以下表达衡量在最后时刻t N 上的均方误差.ε=11000ð1000i =1|y (i )(t N )-Y (i )(t N )|212,式中:y (i )(t N )和Y (i )(t N )分别为精确解与数值解.例1 考虑1维随机分数阶积分微分方程且γ=1,D αy (t )=s i n (t )Γ(2)+ʏt(2t -s )s i n (2s y (s ))d s +ʏt(2t +s )c o s (2s y (s ))d W (s ),式中:t ɪ[0,1],且初始值y (0)=0.注意到函数Ø,k 1,k 2均满足先前的假设条件,且将在时间步长为h =2-11下的数值解作为随机分数阶积分方程的精确解.在相同布朗路径上任意取3个不同的时间步长,即h =2-6,2-7,2-8,并分别求得其半隐式欧拉格式的数值解及相应的误差ε,相关结果如图1所示.图1 例1中半隐式欧拉格式的均方误差F i g .1 M e a n s q u a r e e r r o r o f s e m i -i m pl i c i t e u 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微分方程中的数值解法稳定性分析数值解法是微分方程求解中常用的方法之一。

对于许多复杂的微分方程，往往无法通过解析方法获得精确解，因此需要借助数值方法来进行近似求解。

然而，不同的数值解法存在着不同的稳定性特点，其对解的精确度和稳定性有着重要影响。

本文将对微分方程中常见的数值解法进行稳定性分析。

一、欧拉法欧拉法是最简单直观的数值解法，它采用离散化的方式逼近微分方程的解。

对于一阶常微分方程dy/dt = f(t,y)，欧拉法的迭代格式为：y_i+1 = y_i + h*f(t_i, y_i)其中，h为步长，t_i为离散的时间点。

欧拉法的稳定性分析可以通过线性稳定性分析方法进行。

假设精确解为y(t)，采用欧拉法得到的数值解为y_i，则欧拉法的局部截断误差为O(h^2)，即e_i = O(h^2)。

由此可以推导出欧拉法的增长因子为：g(h) = 1 + hf'(t_i, y_i)当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，欧拉法是稳定的；当|h*f'(t_i, y_i)| > 1时，欧拉法是不稳定的。

因此，欧拉法的稳定性要求步长h不能太大，且f(t, y)的绝对值不能太大。

二、改进的欧拉法（Heun法）改进的欧拉法，也称为Heun法，是对欧拉法的一种改进。

它通过估计两个点处的斜率来提高解的精确度。

Heun法的迭代格式为：k_1 = hf(t_i, y_i)k_2 = hf(t_i + h, y_i + k_1)y_i+1 = y_i + 0.5*(k_1 + k_2)Heun法的稳定性分析类似于欧拉法。

同样地，当|h*f'(t_i, y_i)| < 1时，Heun法是稳定的。

三、Runge-Kutta法Runge-Kutta法是一类常用的数值解法，包括二阶(两步)、四阶(四步)、六阶(六步)等不同阶数的方法。

以四阶Runge-Kutta法为例，其迭代格式为：k1 = hf(t_i, y_i)k2 = hf(t_i + h/2, y_i + 0.5*k1)k3 = hf(t_i + h/2, y_i + 0.5*k2)k4 = hf(t_i + h, y_i + k3)y_i+1 = y_i + (1/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)与欧拉法和Heun法相比，四阶Runge-Kutta法具有更高的精确度和稳定性。

微分方程数值方法中的稳定性分析微分方程是描述自然现象和工程问题的重要数学模型，其解析解往往难以求得。

为了得到数值解，人们发展了各种微分方程数值方法。

在应用这些方法时，我们不仅要考虑其精确度和收敛性，还需要关注其稳定性，确保数值解的可靠性和准确性。

稳定性是微分方程数值方法中一个重要的性质，它描述了当初始条件有微小的变化时，数值解的变动情况。

解的稳定性可以保证当初始条件有微小扰动时，数值解不会产生剧烈的变化，从而使得数值结果更加可靠。

在微分方程数值方法中，稳定性通常通过离散化的截断误差来分析。

截断误差是数值解与确切解之间的差异，它由数值方法的近似性质和离散化过程中的舍入误差所决定。

当离散化误差的增长速度受到一定限制时，数值方法被认为是稳定的。

常见的微分方程数值方法中，有一些方法具有稳定性的特点。

例如，欧拉方法是最简单的一种数值方法，它是显式的一阶方法。

当微分方程满足一定的稳定性条件时，欧拉方法是稳定的。

另外，当微分方程是抛物型或拟抛物型时，差分方法具有稳定的特性。

此外，有限差分方法、有限元方法、谱方法等在不同的条件下也可以具有稳定性。

稳定性分析在选择合适的数值方法时起到重要的指导作用。

当我们面临多个数值方法选择时，稳定性可以帮助我们判断哪种方法更适合我们的问题。

当我们的微分方程具有稳定性条件时，我们可以选择稳定的数值方法进行求解，以确保数值结果的准确性。

除了稳定性分析，我们还可以通过数值实验来验证数值方法的稳定性。

通过选取不同的初始条件和参数，及时数值解是否在不同的情况下保持稳定性。

通过这种方法，我们可以更加直观地了解数值方法的稳定性表现，并根据实验结果进行方法的选择和改进。

总结起来，稳定性是微分方程数值方法中不可忽视的一个重要性质。

通过稳定性分析，我们可以选择合适的数值方法来求解微分方程，确保数值结果的可靠性。

与此同时，数值实验也可以作为一种验证方法，来进一步验证所选方法的稳定性。

稳定性分析和验证的有效性可以为微分方程数值方法的应用提供可靠的理论和实践基础。

求解随机微分方程几类数值计算格式的分析傅味;宫成春【摘要】讨论随机微分方程的几类数值计算格式,构造了求解非线性随机微分方程隐格式的预估校正算法,并利用这些数值算法进行了数值实验,分析比较了各种格式的平均全局误差. 数值结果表明,Euler方法和Milstein方法的显格式和半隐格式的计算精度比隐格式高.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2010(048)002【总页数】6页(P163-168)【关键词】随机微分方程;Euler方法;Milstein方法【作者】傅味;宫成春【作者单位】吉林大学,数学研究所,长春,130012;吉林大学,数学研究所,长春,130012【正文语种】中文【中图分类】O241.81近年来, 随机分析和随机微分方程理论得到迅猛发展[1-5], 并广泛应用于系统科学、工程控制、生物学、金融学等领域. 但大多数情况下, 随机微分方程理论解的精确表达式无法求出, 只有在某些特殊情况下, 才可以求出其精确解[6]. Maruyama[7]使用Euler方法研究了随机微分方程的数值逼近; Milstein[8]给出了具有强1阶收敛性的Milstein方法; Kleoden和Platen[9]系统讨论了求解随机微分方程数值格式的构造及其稳定性和收敛性分析.本文介绍了两类求解随机微分方程的数值格式, 包括Euler方法和Milstein方法的显格式、半隐格式、隐格式和改进后的隐格式. 由于对于非线性情形直接利用隐格式或者半隐格式求解比较困难, 因此类似于确定性系统中数值求解的预估校正方法, 本文构造了半隐式Euler方法、 Milstein方法的预估校正格式, 隐式Euler方法、 Milstein方法的预估校正格式和修正后隐式Euler方法、 Milstein方法的预估校正格式以及中点Euler方法、 Milstein方法和修正后中点Euler方法、Milstein方法的预估校正格式. 并通过数值实验比较了上述算法的平均全局误差.1 几类求解随机微分方程的数值方法考虑自治随机微分方程初值问题:dX(t)=f(X(t))dt+g(X(t))dW(t), t∈[t0,T], X(t0)=X0, X∈R,(1.1)其中: f(·)和g(·)都是连续函数; f为漂移系数; g为扩散系数; E<∞; W(t)是Winner 过程.这类方程有两种特殊的情形: 当g(X)为关于X线性时, 称为乘性(multiplicative)噪声；当g(X)为常量时, 称为加性(additive)噪声. 带有乘性噪声的线性随机微分方程具有如下形式:dX(t)=αX(t)dt+βX(t)dW(t), X(0)=X0,(1.2)其中α,β是实的常数.关于求解随机微分方程数值格式精度的刻画, 有两种常用的评价标准: 一种是当问题涉及关于发展过程的数值模拟时, 数值解的轨迹是否充分接近真实解的轨迹, 这种评价标准称为数值方法的强收敛性; 另一种情形是考虑了解过程各阶矩的近似程度, 这种评价标准称为数值方法的弱收敛性. 设X(t)是方程(1.1)的解, {Xn}是方程(1.1)由某种数值格式获得的近似解.定义1.1[9] 如果存在正常数C>0和h0>0, 使得对于任意的τ=nh∈[t0,T], 有E|Xn-X(τ)|≤Chγ, h∈(0,h0),则称该方法有强收敛阶γ. 强收敛阶度量了当h→ 0时, 误差均值的收敛速度.定义1.2[9] 如果对适当的2(η+1)阶可微多项式p, 存在正常数C>0和h0>0, 使得在任一确定点τ=nh∈[t0,T], 有|Ep(Xn)-Ep(X(τ))|≤Chη, h∈(0,h0),则称该方法有弱收敛阶η.1.1 Euler方法对于某个正整数N, 令设Xj和Wj分别是对X(τj)和W(τj)的近似. 记ΔWj=Wj-Wj-1.显式Euler方法表示为Xj=Xj-1+f(Xj-1)h+g(Xj-1)ΔWj.(1.3)显式Euler方法也称为Euler-Maruyama方法(简记为EM方法), 它是Ito-Taylor 展式[9]在0.5阶处的截断, 它的漂移系数和扩散系数都是显式的. EM方法具有全局强收敛阶和全局弱收敛阶η=1. 如果g=0, X0是常数, 则它的强收敛阶是1.对EM方法的漂移系数进行修改, 即得半隐式Euler方法:Xj=Xj-1+((1-θ)f(Xj-1)+θf(Xj))h+g(Xj-1)ΔWj,(1.4)其中θ∈[0,1]为参数. 半隐式Euler方法也称为θ方法, 它的漂移系数是显式和隐式的结合, 扩散系数是显式的. 特别地, 当θ=0时, 它即为EM方法. 当时, 称为Trapezoidal Euler方法:当θ=1时, 即为向后Euler方法:Xj=Xj-1+f(Xj)h+g(Xj-1)ΔWj.(1.5)如果把EM方法中漂移系数和扩散系数均取为隐式的, 即得隐式Euler方法:Xj=Xj-1+f(Xj)h+g(Xj)ΔWj.(1.6)给定适当的漂移系数和扩散系数, 可以证明半隐式Euler方法和隐式Euler方法具有和EM方法一致的收敛阶[10].文献[11]通过修正漂移系数构造了求解随机微分方程的隐式强0.5阶Euler方法: Xj=Xj-1+(f(Xj)-g′(Xj)g(Xj))h+g(Xj)ΔWj.将该格式应用于方程(1.2)得其中: 当时, 该数值方法是无界的. 为了避免数值方法的无界性, 可以用扩散项g′(Xj)g(Xj)(ΔWj)2代替g′(Xj)g(Xj)h, 由此导出修正后隐式Euler方法:Xj=Xj-1+f(Xj)h+g(Xj)ΔWj-g′(Xj)g(Xj)(ΔWj)2.(1.7)当方程(1.1)为非线性时, 可利用预估校正方法求解上述半隐式和隐式格式. 具体格式如下:(1) 向后Euler方法的预估校正格式(记为BEPC):(1.8)(2) 隐式Euler方法的预估校正格式(记为IEPC):(1.9)(3) 修正后隐式Euler方法的预估校正格式(记为RIEPC):(1.10)(4) 中点Euler方法的预估校正格式(记为IEPCI):(1.11)(5) 修正后中点Euler方法的预估校正格式(记为RIEPCI):(1.12)1.2 Milstein方法Milstein[8]首次给出了具有强1阶收敛的Milstein方法, 即显式Milstein方法(记为EM):(1.13)类似前面的办法, 可得半隐式Milstein方法:其中θ∈[0,1]为参数. 半隐式Milstein方法的漂移系数是显式和隐式的结合, 扩散系数是显式的. 特别地, 当θ=0时, 它即为显式Milstein方法; 当θ=1时, 其为向后Milstein方法:类似地, 也有隐式Milstein方法(此时漂移系数和扩散系数都是隐式的):(1.15)隐式Milstein方法可能不存在或者很大程度上依赖于无界的随机变量, 为此构造出修正后的隐式Milstein方法如下：(1.16)当方程(1.1)为非线性时, 可利用预估校正方法求解上述半隐式和隐式格式. 具体格式如下:(1) 向后Milstein方法的预估校正格式(记为BMPC):(1.17)(2) 隐式Milstein方法的预估校正格式(记为IMPC):(1.18)(3) 修正后隐式Milstein方法的预估校正格式(记为RIMPC):(1.19)(4) 中点Milstein方法的预估校正格式(记为IMPCI):(1.20)(5) 修正后中点Milstein方法的预估校正格式(记为RIMPCI):(1.21)2 数值实验考虑如下非线性随机微分方程:dX(t)=(αX(t)-X2(t))dt+βX(t)dW(t), X(0)=X0,(2.1)其中: α=2; β=0.25; X0=0.5. 方程(2.1)是一个人口变迁问题, 文献[9]给出了方程(2.1)的解析解如下：采用M=5 000次样本模拟, 用h表示时间步长, tj=jh(j=1,2,…,N). 利用随机数生成器生成独立的随机变量Wj～N(0,1). 记为X(tN)的第i个样本逼近. 定义平均全局误差[10]为(2.2)在[0,1]上取不同的步长h, 将Euler方法的格式(1.3),(1.8)～(1.12)和Milstein方法的格式(1.13),(1.17)～(1.21)应用于方程(2.1), 得到相应的平均全局误差列于表1和表2. 由表1和表2可见, 第三、五、六列的值比其他3列的值大, 即用隐式方法的预估校正格式、中点方法的预估校正格式、修正后中点方法的预估校正格式求得的数值解与方程真解的平均全局误差较大. 这可能是因为隐式方法的预估校正格式在很大程度上依赖于随机项, 而随机项产生的误差不易控制. 对于中点方法的预估校正格式和修正后中点方法的预估校正格式迭代步数变多, 同时依赖于前一个随机项和当前随机项的值, 就可能使误差变大. 图1和图2分别给出了取h=2-8时各种Euler格式和各种Milstein格式的数值解与真解.表1 Euler方法各种格式的平均全局误差Table 1 Average global errors of Euler methodsh显式Euler法BEPCIEPCRIEPCIEPCIRIEPCI2-31.125×10-21.524×10-23.632×10-21.276×10-21.611×10-21.445×10-22-46.755×10-37.894×10-33.060×10-27.186×10-31.362×10-21.341×10-22-54.097×10-34.568×10-32.761×10-24.205×10-31.287×10-21.292×10-22-62.630×10-32.761×10-32.625×10-22.622×10-31.262×10-21.267×10-22-71.714×10-31.806×10-32.551×10-21.745×10-31.252×10-21.243×10-22-81.164×10-31.195×10-32.504×10-21.181×10-31.242×10-21.238×10-2(A) 显式Euler方法; (B) 向后Euler方法的预估校正格式; (C) 隐式Euler方法的预估校正格式;(D) 修正后隐式Euler方法的预估校正格式; (E) 中点Euler方法的预估校正格式; (F) 修正后中点Euler方法的预估校正格式.图1 当h=2-8时Euler方法各种格式的数值解和真解Fig.1 Numerical solution of Euler methods and true solution for h=2-8(A) 显式Milstein方法; (B) 向后Milstein方法的预估校正格式; (C) 隐式Milstein 方法的预估校正格式;(D) 修正后隐式Milstein方法的预估校正格式; (E) 中点Milstein方法的预估校正格式; (F) 修正后中点Milstein方法的预估校正格式.图2 当h=2-8时Milstein方法各种格式的数值解和真解Fig.2 Numerical solutions of Milstein methods and true solution for h=2-8表2 Milstein方法各种格式的平均全局误差Table 2 Average global errors of Milstein methodsh显式Milstein法BMPCIMPCRIMPCIMPCIRIMPCI2-31.097×10-21.374×10-23.621×10-28.927×10-31.598×10-21.368×10-22-45.895×10-36.335×10-33.056×10-24.351×10-31.353×10-21.270×10-22-52.911×10-33.104×10-32.764×10-22.038×10-31.287×10-21.272×10-22-61.480×10-31.522×10-32.630×10-21.013×10-31.264×10-21.260×10-22-77.454×10-47.689×10-42.549×10-25.035×10-41.250×10-21.244×10-22-83.597×10-43.876×10-42.506×10-22.433×10-41.242×10-21.236×10-2参考文献【相关文献】[1] Gard T C. 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Split-Step Backward Milstein Methods for Stiff Stochastic Systems [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2009, 47(6): 1150-1154. (王鹏, 韩月才. 求解刚性随机系统的分步向后Milstein方法 [J]. 吉林大学学报：理学版， 2009, 47(6): 1150-1154.)[6] MAO Xue-rong. Stochastic Differential Equations and Their Application [M]. Glasgow: Horwood Publishing, 1997.[7] Maruyama G. Continuous Markov Processes and Stochastic Equations [J]. Rent Circ Mat Palermo, 1995, 4(1): 48-90.[8] Milstein G N. Approximate Integration of Stochastic Differential Equation [J]. Theor Prob Appl, 1974, 19: 557-562.[9] Kleoden P E, Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations [M]. Berlin: Spring-Verlag, 1992.[10] HU Jian-cheng. Euler Methods for Numerical Solution of Stochastic Ordinary Differential Equations [J]. Journal of Chengdu University of Information Technology, 2007, 22(3): 388-393.[11] Milstein G N, Tret’yakov M V. Numerical Solution of Differential Equations with Colored Noise [J]. J Statist Physics, 1994, 77(3/4): 691-715.。

证明隐式Euler方法稳定性第六章数值积分6.1数值积分基本概念6.1.1引言在区间上求定积分(6.1.1)就是一个具备广泛应用的古典问题，从理论上谈，排序的定分数需用newton-leibniz公式(6.1.2)其中f(x)是被积函数f(x)的原函数.但实际上有很多被积函数找不到用解析式子表达的原函数，例如等等，表面看看它们并不繁杂，但却无法求得f(x).此外，有的积分即使能找到f(x)表达式，但式子非常复杂，计算也很困难.还有的被积函数是列表函数，也无法用(6.1.2)的公式计算.而数值积分则只需计算f(x)在节点xi(i=0，1,…,n)上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现.本章将了解常用的数值积分公式及其误差估算、算草公式的代数精确度、收敛性和稳定性以及romberg算草法与外推原理等.6.1.2插值算草公式根据定积分定义，对及都有(音速存有)若之劳音速，则分数i(f)可以对数则表示为(6.1.3)这里机械求积公式.称作算草节点，与f毫无关系，称作算草系数，(6.1.3)称作为了得到形如(6.1.3)的求积公式，可在，则得上用lagrange插值多项式1其中(6.1.4)这里求积系数由插值基函数积分得到，它与f(x)无关.如果求积公式(6.1.3)中的系数由(6.1.4)得出，则表示(6.1.3)为插值算草公式.此时可以由插值余项获得(6.1.5)这里ξ∈当n=1时，，(6.1.5)称为插值求积公式余项.，此时由(6.1.4)可得于是(6.1.6)称作梯形公式.从几何上看看它就是梯形abb(见到图6-1)的面积对数曲线y=f(x)下的曲边梯形面积，公式(6.1.6)的余项为(6.1.7)26.1.3算草公式的代数精确度当被积函数由(6.1.5)有即f为次数不少于n的代数多项式时，，故，它说明插值算草公式(6.1.3)准确设立.对通常机械算草公式(6.1.3)，同样可以根据公式是否对m次多项式精确成立作为确定公式(6.1.3)中系数及节点的一种方法.在此先给出定义.定义1.1一个算草公式(6.1.3)若对准确设立，而对不能精确成立，则称求积公式(6.1.3)具有m次代数精确度.根据定义，当时公式(6.1.3)精确成立，故有等式(6.1.8)而(6.1.8)就是关于系数及节点的方程组，当节点取值时，(6.1.8)取m=n就是关于系数得求积系数比如n=1，挑.的线性方程组，谋此方程组就纡，求积公式为在(6.1.8)中令m=1，可以得3Champsaur它就是梯形公式(6.1.6)的系数，它与用公式(6.1.4)算出的结果完全一样.对梯形公式(6.1.6)，当时故求积公式(6.1.6)的代数精确度为一次.对于具有(n+1)个节点的插值求积公式(6.1.3)，当时，故公式准确设立，它至少存有n次代数精确度.反之，若算草公式(6.1.3)至少存有n 次代数精确度，则它就是插值算草公式，即为(6.1.3)的算草系数(6.1.4)算出.实际上，此时对基函数，即为一定可用算草公式(6.1.3)准确设立，若挑f(x)为插值由(6.1.3)精确成立，可得这就是(6.1.4)获得的插值算草公式系数.定理1.1求积公式(6.1.3)是插值求积公式的充分必要条件是(6.1.3)至少具有n次代数精确度.定理说明轻易利用代数精确度概念，由(6.1.8)可以求出插值算草公式.更通常地，所含被内积函数如下基准右图.的导数的算草公式也同样需用代数精确度定义创建.4基准6.1算草公式.试确定系数及，已知其余项表达式为，而因算草公式具备尽可能低的代数准确度，并给出代数精确度的次数及求积公式余项.求解本题虽使用的值，但仍可用代数精确度定义确定参数及.令，分别代入算草公式.令公式两端成正比，则当当当Champsaur，于是存有再令此时，，而上式右端为，两端左右，则算草公式对不精确成立，故它的代数精确度为二次.以求余项可以将代入算草公式当，代入上式些5。

微分方程稳定性微分方程是描述自然界或社会现象数学模型的重要工具，在许多领域都得到了广泛应用。

稳定性是微分方程中一个重要的性质，它决定了系统的长期行为。

本文将从微分方程的稳定性入手，探讨其原理及应用。

稳定性概述在微分方程中，稳定性描述了系统在扰动下的表现。

一个系统若具有稳定性，即在初始条件稍微改变时系统也不会产生很大的变化，保持在某种稳定的状态。

相反，若系统不稳定，则初始条件的微小变化可能引起系统行为的剧烈变化。

线性系统的稳定性对于线性微分方程，我们可以通过线性稳定性定理来判断系统的稳定性。

简言之，线性系统的稳定性与其特征根的实部有关。

如果所有特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果存在实部大于零的特征根，则系统是不稳定的。

非线性系统的稳定性相比线性系统，非线性系统的稳定性分析更加复杂。

通常我们需要通过 Lyapunov 函数、相平面分析等方法来研究非线性系统的稳定性。

Lyapunov 函数是一种标量函数，通过分析 Lyapunov 函数的正负号可以确定系统的渐近稳定性、不稳定性或者随机稳定性。

应用案例分析举一个简单的应用案例，考虑如下的非线性微分方程：$$\frac{dx}{dt} = -x^3$$可以通过 Lyapunov 函数的方法来判断系统的稳定性。

定义Lyapunov 函数为 $V(x) = \frac{1}{2}x^2$，对 $V(x)$ 求导得：$$\dot{V}(x) = x \dot{x} = -x^4$$当 $x \neq 0$ 时，有 $\dot{V}(x) < 0$，因此系统是渐近稳定的。

这个简单的例子展示了Lyapunov 函数在非线性系统稳定性分析中的应用。

结论微分方程的稳定性是微分方程理论中的一个核心问题，它关乎系统的长期行为和稳定性。

通过线性稳定性定理和 Lyapunov 函数等方法，我们可以判断系统的稳定性，并进一步研究系统的动力学特性。

在实际应用中，对微分方程稳定性的研究有助于我们更好地理解系统的演化规律，为问题的求解提供重要参考。

首先，我们来介绍什么是euler方法，它是一种数值解决系统微分方程
的方法。

euler方法利用牛顿插值多项式或特定函数为其分子及分母提
供逼近。

它将一维维函数分割成一系列较小的步骤，以此计算未知量
的结果。

euler方法的绝对稳定区间主要指当求解方程时：如果有一个
定值Δt，在所有可能迭代次数中，只要步长Δt不超出这个范围，它就保持稳定。

euler 方法的绝对稳定区间，可以为参数微积分中的一元微分方程提供
比较精确的结果。

简而言之，euler方法能够提供一定的步长, 并基于该步长求解一元微分方程的结果。

euler方法的绝对稳定区间有三个部分，包含a、b和c，a表示为最低
步长，c为最大步长，而b表示euler 方法定义最佳步长。

在euler 方法的绝对稳定区间a和c之间，主要运用误差分析和数值分
析方法对其进行分析，以更加准确地求解函数曲线，即实现euler方法
的绝对稳定性，为用户提供更可靠、高效的解决方案。

总而言之，虽然euler方法也有自己的绝对稳定区间，但它的范围比较
精准，只能运用数值分析的方法加以分析。

只要模型步长不超出该区间，就能保证求解准确性，并优化程序更新过程，从而提高求解精度。