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---数值计算实践上机报告学院:理学院指导老师：范晓娜老师姓名：***学号：B********日期：2015年10月11日—24日一、方程求根(一)实验目的熟悉掌握Newton法,割线法,抛物线法三种方法求方程近似根的算法思想，在matlab软件上分别使用这三种方法编程解决给定的三次方程的求根问题。
（二）问题描述一. 方程求根(1).给定一个三次方程,分别用Newton法,割线法,抛物线法求解.方程的构造方法:(a)根:方程的根为学号的后三位乘以倒数第二位加1再除以1000.假设你的学号为B06060141,则根为141*(4+1)/1000=0.564(b)方程:以你的学号的后三位数分别作为方程的三次项,二次项,一次项的系数,根据所给的根以及三个系数确定常数项.例如:你的学号是B06060141,则你的方程是x3+4x2+x+a0=0的形式.方程的根为0.564,因此有0.5643+4*0.5642+0.564+a0=0,于是a0=-2.015790144你的方程为x3+4x2+x-2.015790144=0.(2)假设方程是sinx+4x2+x+a0=0的形式（三个系数分别是学号中的数字），重新解决类似的问题(3)构造一个五次方程完成上面的工作.四次方程的构造:将三次多项式再乘以(x-p*)2得到对应的五次多项式(p*为已经确定的方程的根,显然,得到的五次方程有重根).(4)将（2）中的方程同样乘以(x-p*)得到一个新的方程来求解注:(1)Newton法取0.5为初值,割线法以0,1为初值,抛物线法以0,0.5,1为初值, (2)计算精度尽量地取高.终止准则：根据|p n-p n-1|<ε来终止|(3)可供研究的问题：（一）ε的取值不同对收敛速度有多大的影响（二）将注（1）中的初值该为其它的初值，对收敛性以及收敛速度有无影响 (三)能否求出方程的所有的根（三）算法介绍（包括基本原理）牛顿法牛顿法是一种能在许多不同情况下应用的通用过程。
指导教师：姓名：学号：专业：联系电话：上海交通大学目录序言 (3)实验课题(一) 雅可比迭代法和高斯-塞得尔迭代法的收敛性和收敛速度 (4)数值分析 (6)实验课题(二) 松弛因子对SOR法收敛速度的影响 (6)数值分析 (12)总结 (13)附录（程序清单） (14)1.雅可比迭代法和高斯-塞得尔迭代法的收敛性和收敛速度 (14)雅可比迭代法： (14)高斯-塞得尔迭代法： (16)2.松弛因子对SOR法收敛速度的影响 (18)松弛法（SOR） (18)序言随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在实际解决这些计算问题的长期过程中，形成了计算方法这门学科，专门研究各种数学问题的数值解法（近似解法），包括方法的构造和求解过程的误差分析，是一门内容丰富，有自身理论体系的实用性很强的学科。
解决工程问题，往往需要处理很多数学模型，这就要花费大量的人力和时间，但是还有不少数学模型无法用解析法得到解。
使用数值方法并利用计算机，就可以克服这些困难。
事实上，科学计算已经与理论分析、科学实验成为平行的研究和解决科技问题的科学手段，经常被科技工作者所采用。
作为科学计算的核心内容——数值分析（数值计算方法），已逐渐成为广大科技工作者必备的基本知识并越来越被人重视。
由于数值方法是解数值问题的系列计算公式，所以数值方法是否有效，不但与方法本身的好坏有关，而且与数值问题本身的好坏也有关，因此，研究数值方法时，不但需要研究数值方法的好坏，即数值稳定性问题，而且还需要研究数值问题本身的好坏，即数值问题的性态，以及它们的判别问题。
数值计算的绝大部分方法都具有近似性，而其理论又具有严密的科学性，方法的近似值正是建立在理论的严密性基础上，根据计算方法的这一特点。
因此不仅要求掌握和使用算法，还要重视必要的误差分析，以保证计算结果的可靠性。
数值计算还具有应用性强的特点，计算方法的绝大部分方法如求微分方程近似解，求积分近似值，求解超越方程，解线性方程组等都具有较强的实用性，而插值法，最小二乘法，样条函数等也都是工程技术领域中常用的，有实际应用价值的方法。
《数值分析》课程实验报告《数值分析》课程实验报告姓名：学号：学院：机电学院日期：2015年X月X日目录实验一函数插值方法1实验二函数逼近与曲线拟合5实验三数值积分与数值微分7实验四线方程组的直接解法9实验五解线性方程组的迭代法15实验六非线性方程求根19实验七矩阵特征值问题计算21实验八常微分方程初值问题数值解法24实验一函数插值方法一、问题提出对于给定的一元函数的n+1个节点值。
试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。
数据如下：（1）0.40.550.650.800.951.050.410750.578150.696750.901.001.25382求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算,的值。
（提示：结果为,）（2）12345670.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001试构造Lagrange多项式，计算的,值。
（提示：结果为,）二、要求1、利用Lagrange插值公式编写出插值多项式程序；2、给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式；3、根据节点选取原则，对问题（2）用三点插值或二点插值，其结果如何；4、对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何。
Newton插值多项式如下：其中：三、目的和意义1、学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；2、明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；3、熟悉插值方法的程序编制；4、如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。
四、实验步骤（1）0.40.550.650.800.951.050.410750.578150.696750.901.001.25382求五次Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算,的值。
（提示：结果为,）第一步：先在matlab中定义lagran的M文件为拉格朗日函数代码为：function[c,l]=lagran(x,y)w=length(x);n=w-1;l=zeros(w,w);fork=1:n+1v=1;forj=1:n+1if(k~=j)v=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j ));endendl(k,:)=v;endc=y*l;end第二步：然后在matlab命令窗口输入：x=[0.40.550.650.80,0.951.05];y=[0.410750.578150.696750.901. 001.25382];lagran(x,y)回车得到：ans=121.6264-422.7503572.5667-377.2549121.9718-15.0845由此得出所求拉格朗日多项式为p（x）=121.6264x5-422.7503x4+572.5667x3-377.2549x2+121.9718x-15.0 845第三步：在编辑窗口输入如下命令：x=[0.40.550.650.80,0.951.05];y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+ 572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718*x-15.0845;plot(x,y)命令执行后得到如下图所示图形，然后x=0.596;y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.254 9*x.^2+121.9718*x-15.084y=0.6262得到f（0.596）=0.6262同理得到f（0.99）=1.0547（2）12345670.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001试构造Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算的,值。
数值分析第一次上机练习实验报告一、实验目的本次实验旨在通过上机练习，加深对数值分析方法的理解，并掌握实际应用中的数值计算方法。
二、实验内容1. 数值计算的基本概念和方法在本次实验中，我们首先回顾了数值计算的基本概念和方法。
数值计算是一种通过计算机进行数值近似的方法，其包括近似解的计算、误差分析和稳定性分析等内容。
2. 方程求解的数值方法接下来，我们学习了方程求解的数值方法。
方程求解是数值分析中非常重要的一部分，其目的是找到方程的实数或复数解。
我们学习了二分法、牛顿法和割线法等常用的数值求解方法，并对它们的原理和步骤进行了理论学习。
3. 插值和拟合插值和拟合是数值分析中常用的数值逼近方法。
在本次实验中，我们学习了插值和拟合的基本原理，并介绍了常见的插值方法，如拉格朗日插值和牛顿插值。
我们还学习了最小二乘拟合方法，如线性拟合和多项式拟合方法。
4. 数值积分和数值微分数值积分和数值微分是数值分析中的两个重要内容。
在本次实验中，我们学习了数值积分和数值微分的基本原理，并介绍了常用的数值积分方法，如梯形法和辛卜生公式。
我们还学习了数值微分的数值方法，如差商法和牛顿插值法。
5. 常微分方程的数值解法常微分方程是物理和工程问题中常见的数学模型，在本次实验中，我们学习了常微分方程的数值解法，包括欧拉法和四阶龙格-库塔法。
我们学习了这些方法的步骤和原理，并通过具体的实例进行了演示。
三、实验结果及分析通过本次实验，我们深入理解了数值分析的基本原理和方法。
我们通过实际操作，掌握了方程求解、插值和拟合、数值积分和数值微分以及常微分方程的数值解法等数值计算方法。
实验结果表明，在使用数值计算方法时，我们要注意误差的控制和结果的稳定性。
根据实验结果，我们可以对计算结果进行误差分析，并选择适当的数值方法和参数来提高计算的精度和稳定性。
此外，在实际应用中，我们还需要根据具体问题的特点和条件选择合适的数值方法和算法。
四、实验总结通过本次实验，我们对数值分析的基本原理和方法有了更加深入的了解。
实验报告课程名称：数值分析课题名称：比较算法专业：勘查技术与工程姓名：韩鹏洋班级：061132班完成日期：2015 年10 月11 日实验报告一、实验名称比较两种算法收敛性及复杂度二、实验目的（1）培养编程与上机调试能力（2）观察不同算法的差异（3）评估各算法稳定性三、实验要求利用matlab计算算法，并绘图观察收敛性。
四、实验原理利用泰勒展开式逼近函数值五、实验题目求ln 2的近似值六、实验步骤（1）写出ln（1+x）展开式（2）利用Matlab编程计算（3）最后结果分析七、实验整体流程图或算法八、程序及其运行结果clear all;ticn=1:100;s=0;for i=1:100s1=(-1).^(i-1)/i;s=s+s1;y(i)=s;endplot(n,y,'ro');tocclear all;ticn=1:50;s=0;for i=1:50s1=2*(1/3).^(2*i-1)/(2*i-1);s=s+s1;y(i)=s;endhold on;plot(n,y,'b-');toc运行结果：方法1时间已过0.369496 秒。
方法2时间已过0.025252 秒。
九、实验结果分析方法一趋近速度慢，复杂度100+100+（1+2+…+99）=5150 方法二趋近快，复杂度150+3+5+7+…+99=2499选用第二种方法更好十、实验体会。
数值分析上机实验报告摘要：本报告是对数值分析课程上机实验的总结和分析，涵盖了多种算法和数据处理方法，通过对实验结果的分析，探究了数值计算的一般过程和计算的稳定性。
1. 引言数值计算是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、金融、工程等领域。
本次实验是对数值分析课程知识的实际应用，通过上机实现算法，探究数值计算的可靠性和误差分析。
2. 实验方法本次实验中，我们实现了多种算法，包括：（1）牛顿迭代法求方程的根；（2）高斯消元法求线性方程组的解；（3）最小二乘法拟合数据点；（4）拉格朗日插值法估计函数值；（5）梯形公式和辛普森公式求积分近似值。
对于每个算法，我们都进行了多组数值和不同参数的实验，并记录了相关数据和误差。
在实验过程中，我们着重考虑了算法的可靠性和计算的稳定性。
3. 实验结果与分析在实验中，我们得到了大量的实验数据和误差分析，通过对数据的展示和分析，我们得到了以下结论：（1）牛顿迭代法求解非线性方程的根能够对算法的初始值和迭代次数进行适当的调整，从而达到更高的稳定性和可靠性。
（2）高斯消元法求解线性方程组的解需要注意到矩阵的奇异性和精度的影响，从而保证计算的准确性。
（3）最小二乘法拟合数据点需要考虑到拟合的函数形式和数据的误差范围，采取适当的数据预处理和拟合函数的选择能够提高计算的准确性。
（4）拉格朗日插值法估计函数值需要考虑到插值点的选择和插值函数的阶数，防止出现龙格现象和插值误差过大的情况。
（5）梯形公式和辛普森公式求积分近似值需要考虑到采样密度和拟合函数的选择，从而保证计算的稳定性和收敛速度。
4. 结论通过本次实验的分析和总结，我们得到了深入的认识和理解数值计算的一般过程和算法的稳定性和可靠性，对于以后的数值计算应用也提供了一定的指导和参考。
《数值分析》实验报告姓 名： 学 号： 专 业：指导教师： 刘 建 生 教 授 日 期： 2015年12月25日实验一 Lagrange/newton 插值一：对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==L 。
试用Lagrange 公式求其插值多项式或分段二次Lagrange 插值多项式。
数据如下： 求计算(0.596)f ,(0.99)f 的值（提示：结果为(0.596)0.625732f ≈,(0.99) 1.05423f ≈ ）试构造Lagrange 多项式6L ()x ，计算的(1.8)f ,(6.15)f 值。
（提示：结果为(1.8)0.164762f ≈, (6.15)0.001266f ≈ ）二：实验程序及注释MATLAB 程序：function f=lagrange(x0,y0,x )n=length(x0); m=length(y0); format long s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=kp=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=s+y0(k)*p;Endf=s;end结果运行：结果与提示值完全吻合，说明Lagrange插值多项式的精度是很高的；同时，若采用三点插值和两点插值的方法，用三点插值的精度更高。
若同时采用两点插值，选取的节点距离x越近，精度越高。
三：采用newton插值进行计算算法程序如下：format long;x0=[0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 ];y0=[0.41075 0.57815 0.69675 0.90 1.00 1.25382 ];x=0.596;n=max(size(x0));y=y0(1);%disp(y);s=1;dx=y0;for i=1:n-1dx0=dx; for j=1:n-idx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j))/(x0(i+j)-x0(j)); end df=dx(1); s=s*(x-x0(i));y=y+s*df; %计算 %%disp(y); end disp(y)运行结果：绘制出曲线图：与结果相吻合。
数值分析上机实践报告一、实验目的本次实验主要目的是通过上机操作，加深对数值分析算法的理解，并熟悉使用Matlab进行数值计算的基本方法。
在具体实验中，我们将实现三种常见的数值分析算法：二分法、牛顿法和追赶法，分别应用于解决非线性方程、方程组和线性方程组的求解问题。
二、实验原理与方法1.二分法二分法是一种常见的求解非线性方程的数值方法。
根据函数在给定区间端点处的函数值的符号，不断缩小区间的长度，直到满足精度要求。
2.牛顿法牛顿法是求解方程的一种迭代方法，通过构造方程的泰勒展开式进行近似求解。
根据泰勒展式可以得到迭代公式，利用迭代公式不断逼近方程的解。
3.追赶法追赶法是用于求解三对角线性方程组的一种直接求解方法。
通过构造追赶矩阵，采用较为简便的向前追赶和向后追赶的方法进行计算。
本次实验中，我们选择了一组非线性方程、方程组和线性方程组进行求解。
具体的实验步骤如下：1.调用二分法函数，通过输入给定区间的上下界、截止误差和最大迭代次数，得到非线性方程的数值解。
2.调用牛顿法函数，通过输入初始迭代点、截止误差和最大迭代次数，得到方程组的数值解。
3.调用追赶法函数，通过输入追赶矩阵的三个向量与结果向量，得到线性方程组的数值解。
三、实验结果与分析在进行实验过程中，我们分别给定了不同的参数，通过调用相应的函数得到了实验结果。
下面是实验结果的汇总及分析。
1.非线性方程的数值解我们通过使用二分法对非线性方程进行求解，给定了区间的上下界、截止误差和最大迭代次数。
实验结果显示，根据给定的输入，我们得到了方程的数值解。
通过与解析解进行比较，可以发现二分法得到的数值解与解析解的误差在可接受范围内，说明二分法是有效的。
2.方程组的数值解我们通过使用牛顿法对方程组进行求解，给定了初始迭代点、截止误差和最大迭代次数。
实验结果显示，根据给定的输入，我们得到了方程组的数值解。
与解析解进行比较，同样可以发现牛顿法得到的数值解与解析解的误差在可接受范围内，说明牛顿法是有效的。
数值分析上机实践报告一、实验目的本实验的目的是通过编写数值分析程序，掌握解决数学问题的数值计算方法，并通过实际应用来检验其有效性和准确性。
具体包括以下几个方面的内容：1.掌握二分法和牛顿迭代法的基本原理和实现方法；2.熟悉利用矩阵的LU分解和追赶法解线性方程组的过程；3.通过具体的实例应用，比较不同方法的计算效果和精度。
二、实验内容本实验分为三个部分，每个部分包括一个具体的数学问题和相应的数值计算方法。
1.问题一：求方程f(x)=x^3-5x^2+10x-80=0的近似解。
在问题一中，我们通过二分法和牛顿迭代法来求解方程的近似解，并比较两种方法的精度和收敛速度。
2.问题二：用LU分解解线性方程组。
问题二中，我们通过矩阵的LU分解方法解线性方程组Ax=b，然后和直接用追赶法解线性方程组进行对比，验证LU分解的有效性和准确性。
三、实验结果及分析1.问题一的结果分析：通过二分法和牛顿迭代法求解方程f(x)=x^3-5x^2+10x-80=0的近似解，得到的结果如下：从结果来看，两种方法得到的近似解均与真实解x≈5非常接近。
但是，通过比较可以发现，牛顿迭代法的计算速度比二分法更快，迭代的次数更少。
因此，在需要高精度近似解的情况下，牛顿迭代法是一个更好的选择。
2.问题二的结果分析：通过LU分解和追赶法解线性方程组Ax=b，得到的结果如下：-用LU分解解线性方程组得到的结果为x1≈1.0，x2≈2.0，x3≈3.0；-用追赶法解线性方程组得到的结果为x1≈1.0，x2≈2.0，x3≈3.0。
从结果来看，两种方法得到的结果完全一致，而且与真实解非常接近。
这表明LU分解方法和追赶法均可以有效地解决线性方程组问题。
但是，在实际应用中，当方程组规模较大时，LU分解方法的计算复杂度较高，因此追赶法更加适用。
四、实验总结通过本实验，我掌握了二分法和牛顿迭代法以及LU分解和追赶法的基本原理和实现方法。
通过具体的数学问题实例应用，我比较了不同方法的计算效果和精度，得出以下结论：1.在求解函数的近似解时，牛顿迭代法相对于二分法具有更快的收敛速度和更高的计算精度；2.在解决线性方程组问题时，LU分解方法在计算准确性方面与追赶法相当，但在处理较大规模的问题时，计算复杂度较高，追赶法更适合。
一、实习背景数值分析是数学的一个重要分支，它研究如何用数值方法求解数学问题。
随着计算机技术的飞速发展，数值分析在各个领域得到了广泛的应用。
为了提高自己的实践能力，我选择了数值分析作为实习课题，希望通过这次实习，能够掌握数值分析的基本方法，并将其应用于实际问题中。
二、实习过程1. 实习初期在实习初期，我首先了解了数值分析的基本概念、理论和方法。
通过阅读相关教材和文献，我对数值分析有了初步的认识。
接着，我学习了数值分析的基本方法，如泰勒展开、牛顿法、高斯消元法等。
2. 实习中期在实习中期，我选择了几个实际问题进行数值计算。
首先，我使用泰勒展开法求解一个简单的微分方程。
通过编写程序，我得到了微分方程的近似解。
然后，我运用牛顿法求解一个非线性方程组。
在实际计算过程中，我遇到了一些问题，如收敛性、迭代次数过多等。
通过查阅资料和请教导师，我找到了解决方法，成功求解了方程组。
3. 实习后期在实习后期，我进一步学习了数值分析的高级方法，如复化梯形公式、复化Simpson公式、自适应梯形法等。
这些方法在解决实际问题中具有更高的精度和效率。
我选择了一个具体的工程问题，运用复化梯形公式求解定积分。
在计算过程中，我遇到了区间细分、精度控制等问题。
通过不断尝试和调整，我得到了较为精确的积分值。
三、实习收获与体会1. 理论与实践相结合通过这次实习，我深刻体会到理论与实践相结合的重要性。
在实习过程中，我不仅学习了数值分析的理论知识，还将其应用于实际问题中。
这使我更加深刻地理解了数值分析的基本方法，提高了自己的实践能力。
2. 严谨的学术态度在实习过程中，我养成了严谨的学术态度。
在编写程序、进行数值计算时，我注重细节，力求精确。
这使我更加注重学术规范，提高了自己的学术素养。
3. 团队合作精神实习过程中，我与其他同学进行了交流与合作。
在解决实际问题时，我们互相学习、互相帮助，共同完成了实习任务。
这使我更加懂得团队合作的重要性，提高了自己的团队协作能力。
