浙教版八年级数学上册基础训练：5.5 一次函数的简单应用(二)
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5.5 一次函数的简单应用(二)
1．已知直线l 1：y ＝－3x ＋b 与直线l 2：y ＝－kx ＋1在同一坐标系中的图象交于点(1，
－2)，则方程组⎩
⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝b ，
kx ＋y ＝1的解为(A )
A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2
B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝2 C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2 D. ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2 2．已知一次函数y ＝kx ＋5和y ＝k ′x ＋7，假设k >0且k ′<0，则这两个一次函数的图象
的交点在(A )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3．一次函数y ＝2x －3与y ＝－x ＋1的图象的交点坐标为⎝⎛⎭⎫43
，－13．
4．若直线y ＝－4x ＋b 与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b 5．如图，观察图象，回答问题： (1)点D 的纵坐标等于__b __．
(2)点A 的横坐标是方程k 1x ＋b 1＝0的解．
(3)大于点B 横坐标的x 的值是不等式kx ＋b ＜0的解．
(4)点C 的横、纵坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，
y ＝k 1x ＋b 1
的解．
(5)小于点C 横坐标的x 的值是不等式kx ＋b >k 1x ＋b 1的解．
(第5题)
(第6题)
6．如图，一个正比例函数的图象和一个一次函数的图象交于点A (－1，2)，一次函数的图象交x 轴负半轴于点B ，且△AOB 的面积为5，求这两个函数的表达式．
【解】 设正比例函数的表达式为y ＝k 1x . 把点(－1，2)的坐标代入y ＝k 1x ，得 k 1＝－2，∴y ＝－2x .
∵S △AOB ＝1
2×2BO ＝5，∴BO ＝5，∴点B (－5，0)．
设一次函数的表达式为y ＝k 2x ＋b .
把点(－1，2)，(－5，0)的坐标分别代入y ＝k 2x ＋b ，得
⎩
⎪⎨⎪⎧－k 2＋b ＝2，－5k 2＋b ＝0，解得⎩⎨⎧
k 2＝12
，
b ＝52.
∴y ＝12x ＋52
.
7．在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y (cm)与燃烧时间x (h )的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是30__cm ，25__cm ，从点燃到燃尽所用的时间分别是2__h ，2.5__h ．
(2)分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数表达式． (3)当x 为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等？
(第7题)
【解】 (2)设甲蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数表达式为y ＝k 1x ＋b 1.
由图可知，函数的图象过点(2，0)，(0，30)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2k 1＋b 1＝0，b 1＝30，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k 1＝－15，b 1＝30. ∴y ＝－15x ＋30.
设乙蜡烛燃烧时y 与x 之间的函数表达式为y ＝k 2x ＋b 2. 由图可知，函数的图象过点(2.5，0)，(0，25)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2.5k 2＋b 2＝0，b 2＝25，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k 2＝－10，b 2＝25. ∴y ＝－10x ＋25.
(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－15x ＋30，y ＝－10x ＋25，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝15.
∴当x ＝1时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等．
(第8题)
8．如图，已知A ，B ，C ，D 是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB ≌△CO D.设直线
AB 的函数表达式为y 1＝k 1x ＋b 1，直线CD 的函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2，则k 1·k 2＝__1__．
【解】 设点A (0，a )，B (b ，0)，则OA ＝a ，OB ＝－b . ∵△AOB ≌△COD ，∴OC ＝a ，OD ＝－b . ∴点C (a ，0)，D (0，b )．
∵直线AB 过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 1，0＝bk 1＋b 1，
∴k 1＝－a
b .
同理，k 2＝－b
a
.∴k 1·k 2＝1.
9．如图，直线y ＝kx ＋b 上有一点P (－1，3)，回答下列问题： (1)关于x 的方程kx ＋b ＝3的解是x ＝－1． (2)关于x 的不等式kx ＋b >3的解是x ＞－1． (3)关于x 的不等式kx ＋b －3<0的解是x ＜－1． (4)求不等式－3x ≥kx ＋b 的解． (5)求不等式()k ＋3x ＋b >0的解．
(第9题)
(第9题解)
【解】 (4)观察图象可知，点(－1，3)在函数y ＝－3x 上，构造函数y ＝－3x 如解图． ∴不等式－3x ≥kx ＋b 的解为x ≤－1.
(5)不等式(k ＋3)x ＋b ＞0可变形为kx ＋b ＞－3x ，仿照(4)可得x ＞－1.
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝3
4
x 与一次函数y ＝－x ＋7的
图象交于点A.
(1)求点A 的坐标．
(2)设x 轴上有一点P (a ，0)，过点P 作x 轴的垂线(垂线位于点A 的右侧)，分别交y ＝
3
4
x 和y ＝－x ＋7的图象于点B ，C ，连结O C.若BC ＝7
5
OA ，求△OBC 的面积．
(第10题)
【解】 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34x ，y ＝－x ＋7，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝4，y ＝3.
∴点A (4，3)．
(2)过点A 作x 轴的垂线，垂足为D. 在Rt △OAD 中，由勾股定理，得 OA ＝OD 2＋AD 2＝42＋32＝5. ∴BC ＝75OA ＝7
5
×5＝7.
∵点P (a ，0)，∴点B ⎝⎛⎭⎫a ，3
4a ，C (a ，－a ＋7)， ∴BC ＝34a －(－a ＋7)＝7
4a －7.
∴7
4a －7＝7，解得a ＝8. ∴S △OBC ＝12BC ·OP ＝1
2
×7×8＝28.
(第11题)
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的一个顶点为B (1，1)，点A ，C 分别
在x 轴，y 轴上．
(1)点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(0，1)．
(2)判断直线y ＝－2x ＋1
3
与正方形OABC 是否有交点，并说明理由．
(3)将直线y ＝－2x ＋1
3
进行平移，恰好能把正方形OABC 分成面积相等的两部分，请求
出平移后的直线的函数表达式．
【解】 (2)有．理由如下： 把x ＝0代入y ＝－2x ＋13，得y ＝1
3
；
把y ＝0代入y ＝－2x ＋13，得－2x ＋13＝0，解得x ＝1
6
.
∴直线y ＝－2x ＋1
3与坐标轴的交点为⎝⎛⎭⎫0，13和⎝⎛⎭⎫16，0. ∵OC ＝1，OA ＝1，∴直线与正方形有交点． (3)设平移后的直线的函数表达式为y ＝－2x ＋b .
根据题意，易得直线y ＝－2x ＋b 应经过AC 与BO 的交点，即过正方形OABC 的中心
点⎝⎛⎭⎫12，12.
把点⎝⎛⎭⎫
12，12的坐标代入y ＝－2x ＋b ，得 －2×12＋b ＝12，解得b ＝32
.
∴所求直线的函数表达式为y ＝－2x ＋32
.
12．如图， 一次函数的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，将△AOB 沿直线AB 翻
折，得△AC B.若点C ⎝⎛⎭
⎫32，3
2，求该一次函数的表达式．
(第12题)
(第12题解)
【解】 如解图，过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，CN ⊥y 轴于点N . ∵点C ⎝⎛⎭
⎫32，3
2，
∴OM ＝NC ＝32，ON ＝MC ＝3
2
.
∵将△AOB 沿直线AB 翻折得到△ACB ， ∴OA ＝CA ，OB ＝C B.
在Rt △CAM 中，由勾股定理，得AC 2＝AM 2＋MC 2， 即OA 2＝(OM －OA )2＋MC 2，
∴OA 2
＝⎝⎛⎭⎫32－OA 2
＋⎝⎛⎭
⎫322，解得OA ＝1.
∴点A (1，0)． 同理，点B (0，3)．
设直线AB 的函数表达式为y ＝kx ＋b .
把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎨⎧k ＋b ＝0，
b ＝3，解得⎩⎨⎧k ＝－3，b ＝ 3.
∴直线AB 的函数表达式为y ＝－3x ＋ 3.。
