2020年中考数学试题分类汇编之十四 最值类题

中考数学专题:线段/路径最值问题线段最值问题解法分类一、定点到定点⇒连线段点P在直线l上，AP+BP何时最小？二、定点到定线⇒作垂线点P在直线l上，AP何时最小？三、定点到定圆⇒连心线点P在圆O上，AP何时最小？线段最值问题一般转化为上述三个问题.例题赏析：1.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN 的周长最小值为．思路：把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2，周长即为P1M+MN+P2N，转化为求P1、P2两点之间最小值，得△PMN最小值为P1P2＝OP＝6.2.如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．思路：点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，转化为求点B到直线AC的连线最小值，即BN'⊥AC时，最小值为2√2.3.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心、1为半径画圆，E是⊙A上一动点，F是BC 上的一动点，则FE+FD的最小值是．思路：点D沿BC翻折至D'，DF+EF＝D'F+EF，转化为求点D'到圆A上各点的最小距离，易求D'E＝4.4.抛物线y=3/5x2-18/5x+3与直线y=3/5x+3相交于A、B两点，点M是线段AB上的动点，直线PM∥y轴，交抛物线于点N．在点M运动过程中，求出MN的最大值.思路：设M（m，3/5m2-18/5m+3），N（m，3/5m+3），用函数关系式表示MN=（3/5m+3）-（3/5m2-18/5m+3）=21/5m-3/5m2，求得最大值即可.5.在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，点E、F分别是边 AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是思路：点E沿AC翻折，转化为点到点的距离.（将军饮马问题实质就是通过翻折转化为定点到定点的问题）6.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为 .思路：取AB中点E，连接DE、OE，由两点间线段最短，得OD≤OE+DE，最大为1+√2.7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP 沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是简解：B'点运动路径为以C为圆心，BC为半径的圆弧，转化为点到圆的最短距离AC-B'C=1.8.如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为 .思路：正六边形最大半径为1/2，与正方形中心重合，E点运动路径为圆，转化为求点到圆的最短距离，如下图.9.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是 .思路：D是定点，C是直线AC上的动点，转化为求点到线的最短距离.10.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与最小值的差.思路：先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环，外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高，F'是A'B'上任意一点，因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一点，由此转化为点E到圆环的最短和最长距离.E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圆环的最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9，其差为7.2.问：何时需要作辅助线翻折其中的定点（定线或定圆）？答：当动点所在直线不在定点（定线或定圆）之间时，需把定点（定线或定圆）沿动点所在直线翻折以使定点（定线或定圆）处于动点所在直线的两侧，从而便于连接相关线段或作垂线与动点所在直线找到交点.如上述例3，动点F所在直线不在定圆A和定点D之间，因而需把D点沿BC翻折至D'，即可转化为定点D'到定圆A的最短距离，另外亦可把圆A沿BC翻折至另一侧，同样可以转化为定点D到定圆A'的最短距离，如下图.关键方法：动中求定，动点化定线；以定制动，定点翻两边.（1）动中求定，动点化定线：如例7、例8、例10，动点所在路径未画出时需先画出动点所在轨迹，一般动点所在轨迹为线或圆.（2）以定制动，定点翻两边：如例1、例2、例3、例5，定点（线或圆）在动点所在直线同侧时需翻折至两侧，转化为上述三种关系.练1、如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

关于圆的最值问题练习以及解答1．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．（1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ；（2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 .解答：(1)是AB ⊙O 的直径,90 ACB60309090 ABC AP A , 都是弧BC 所对的圆周角60 A P在Rt 中，PCD CD=CP 342 CP3432 CP(2)中，PCD 30,90CPD PCD点D 在已CB 为弦的圆⊙O ´（红弧线上）运动当A,O ´,D 三点共线时AD 最长连接CO ′,BO ´CO ´B 是等边三角形在直角ABC 中， 90 ACB AB=4, ∠ABC=30°3230 • COS AB BCBO ´=DO ´=BC=32 DO C B A∠ABC=30°,∠CBO ´=60°∠ABO ´=90°´ 72)32(42222 BO AB AOA,O ´,D 三点共线时AD 最长AD 最长为32722．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 .解答：作AB 的中点E ，连接CE,EM,AD在直角ABC 中， 90 ACB AC=4,BC=3522 BC AC ABE 是AB 的中点 5.221AB CE M 是DB 的中点EM 是ADM 的中位线121 AD EM EM CE CM CEM EM -CE 中，在点D 运动过程中，点A,D,B 三点共线时，CM 取得最小或最大值EM CE CM EM -CE15.215.2 CMJ 即5.35.1 CMAM D3．如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F 两点，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为解答：过点A 做AD BC 于DZ,由垂线段最短可得此时AD 为⊙O 的最短直径连接OE,OF,过O 作OH EF 于H在Rt ADB 中，22 AB ,∠ABC=45°245 • COS AB BD AD∠EOF,∠BAC 分别是⊙O 所对的圆心角，圆周角，∠BAC=60° ∠EOF=2∠BAC=120°⊙O 中，OE=OF,OH EF∠EOH=EOF 21=60°,EH=EF 21 EH=OEsin60°=23 EF=34．如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为x （2＜x ＜4），则当x 取多少时，PD •CD 的值最大，且最大值是多少？ .解答：过点O 作OE PD 于E ，易证得四边形OECA 是矩形O 为圆心，PD 为弦CE=OA=2PE=PC-CE=x-2PD=2PE=2(x-2)CD=PC-PD=x-2(x-2)=-x+4PD•CD =(23)-x （-24)2)(-x -x （22 2＜x ＜4当x=3时，PD•CD 最为25．如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为( ).解答：连接OA,OB,OD,OC 易证明得到AO 平分∠DAC ，BO 平分 ∠CBEAO 平分∠DAC ，BO 平分∠EBC∠OAC=∠OBCOA=OB当OC AB 时，AC=AB 21=2 当OC AB 时，OC 最短33230 • tg AC OC6．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为多少？解答： PQ 切⊙O 于点Q90 OQP4222 OP OQ OP PQOP 最短，PQ 最短OP 最短为点O 到直线l 的距离352322PQO D C E A BO A B D C P 7.如图，已知A 、B 是⊙O 与x 轴的两个交点，⊙O 的半径为1，P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA 、PB 分别交直线x=2于C 、D 两点，E 为线段CD 的中点．（1）判断直线PE 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）求线段CD 长的最小值；解答（1）略（2）连接OP,OE则1222 OE OP OE PEOE 最短,则PE 最短OE 最短为点O 到直线CD 的距离2PE 最短为3 PECD 最短为322 PE8．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD 的中心，以D 为圆心1为半径作⊙D ，P 为⊙D 上的一个动点，连接AP 、OP ，求△AOP 面积的最大值为.解答：连接OC ，A,O,C 三点共线，过点D 作AC 的垂线交⊙D 于P,AC 于点M,252122 CD AD AO DM AC DC AD S ADC • •2121 512 • AC DC AD DM 517 PM AOP S 最大为417517252121 •PM AO9．如图，A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心的坐标为(-1，0)，半径为1，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是多少？解答：当AD 切⊙于D 时BE 最小Rt ACD 中，AC=3,CD=1 22822 CD AC AD PAEO ∽ACDOE=22 •AD OA CD BE=222 222 ABE S10．如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，求△ABE 面积的最大值是？解答：当射线AD 与⊙C 相切时，△ABE 面积最大为311（方法同第9题，第8题）11．如图，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，求切线长PQ 长度的最小值？解答：当PC AB 时，PQ 最小为7（方法同第6,7题）12．在平面直角坐标系中，Q （3，4），P 是以Q 为圆心，2为半径的⊙M 上一动点，A （-1，0）、B （1，0），连接PA 、PB ，则22PB PA最大值是多少？ .解答：当22PB PA的最大值是100设P(x,y) 222222)1(,)1(y x PB y x PA2)(22222 y x PB PA222y x OP22222 OP PB PA连接OQ 并延长交圆于P 点，此时OP 最长为OQ+OP=7 100272的最大值为222 PB PAA Q C PB PP13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，1）、点B （0，1+t ）、C （0，1﹣t ）（t ＞0），点P 在以D （3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t 的最小值是多少？解答：1-13 当A,P,D 三点共线时t 的值最小A （0，1）、点B （0，1+t ）、C （0，1﹣t ）（t ＞0）AB=1+t-1=t,AC=1-(1-t)=tAB=AC点A 是BC 的中点∠BPC=90°t 21BC APAP 的最小值为AD-PD=11313222。

2020年安徽省中考选择题压轴题之最值问题 1．如图，在ABC ∆中，15A ∠=︒，2AB =，P 为AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），连接BP ，则22AP PB +的最小值是( )A ．2B ．3C ．62D ．2【解答】解：如图，在ABC ∆内作30MBA ∠=︒过点A 作AE BM ⊥于点E ，BM 交AC 于点P ，15A ∠=︒Q ，∴∠︒2EP AP ∴= 当BP AE ⊥时，则2AP PB PE PB +=+的值最小， 最小值是BE 的长，在Rt ABE ∆中，30ABE ∠=︒，2AB =cos303BE AB ∴=︒=g ．∴2AP PB +的最小值是3． 故选：B ．2．已知等边ABC ∆中AD BC ⊥，12AD =，若点P 在线段AD 上运动，当12AP BP +的值最小时，AP 的长为( )A ．4B ．8C ．10D ．12【解答】解：如图，作BE AC ⊥于点E ，交AD 于点P ，ABC ∆Q 是等边三角形，AD BC ⊥，30DAC ∴∠=︒ 12PE AP ∴= 当BP AC ⊥时，12AP BP PE BP +=+的值最小， 此时，283AP AD ==． 故选：B ．3．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的动点，且6EF =，M 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则CP PM +的最小值是( )A ．10B ．853-C ．653+D ．335+【解答】解：延长CD 到C '，使C D CD '=，CP PM C P PM +='+，当C '，P ，M 三点共线时，C P PM '+的值最小，根据题意，点M 的轨迹是以B 为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C '到圆上一点M 距离的最小值3C M C B '='-，8BC CD ==Q ，16CC ∴'=， 222216885C B CC BC ∴'='+=+=．CP PM ∴+的最小值是853-．故选：B ．4．如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE ，CE ，且ABE BCE ∠=∠，点P 是AB 边上一动点，连接PD ，PE ，则PD PE +长度的最小值为( )A ．82B ．410C ．854-D ．4134-【解答】解：Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC ∴∠=︒，90ABE CBE ∴∠+∠=︒，ABE BCE ∠=∠Q ，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，90BEC ∴∠=︒，∴点E 在以BC 为直径的半圆上移动，如图，设BC 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AB 对称的正方形AFGB ，则点D 的对应点是F ， 连接FO 交AB 于P ，交半圆O 于E ，则线段EF 的长即为PD PE +的长度最小值，4OE =，90G ∠=︒Q ，8FG BG AB ===，12OG ∴=，22413OF FG OG ∴=+=，4134EF ∴=-，PD PE ∴+的长度最小值为4134-，故选：D ．5．如图，矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，以A 为圆心，1为半径画A e ，E 是圆A e 上一动点，P 是BC 上一动点，则PE PD +最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．23【解答】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A BCD ''以及对称圆A '，连接A D '交BC 于P ，则DE '就是PE PD +最小值；Q 矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，圆A 的半径为1，3A D BC ∴''==，24DD DC '==，1AE '=，5A D ∴'=，514DE ∴'=-=4PE PD PE PD DE ∴+='+='=，故选：C ．6．如图，O e 半径为6，Rt ABC ∆的顶点A 、B 在O e 上，30A ∠=︒，90B ∠=︒，点C 在O e 内．当点A 在圆上运动时，OC 的最小值为( )A ．3B ．33C ．23D ．3【解答】解：连接AO ，当OC OA ⊥时，OC 最短，90B ∠=︒Q ，BC ∴延长线与AO 的延长线交于D ，点D 会在圆上，OC AD ⊥Q ，OA OD =，AC CD ∴=，30CAB ∠=︒Q ，2CD AC CB ∴==，3AB BC =，2222293AD BD AB BC BC =+=+Q ，23BC ∴=， 43AC ∴=，6AO =Q ，23OC ∴=．故选：C ．二．填空题（共10小题）7．如图，ABCD Y 中，30DAB ∠=︒，8AB =，3BC =，P 为边CD 上的一动点，则12PB PD +的最小值等于 4 ．【解答】解：如图过点P 作AD 的垂线交AD 延长线于点E ，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴，30EDP DAB ∴∠=∠=︒，12EP DP ∴=， 要求12PB PD +的最小值，即求PB EP +的最小值， 当点B 、P 、E 三点共线时，PB EP +取最小值，最小值为BE 的长，Q 在Rt ABE ∆中，30EAB ∠=︒，8AB =，142BE AB ∴==． 故答案为：4．8．如图，菱形ABCD 的边长为6，120B ∠=︒．点P 是对角线AC 上一点（不与端点A 重合），则12AP PD +的最小值为 33 ．【解答】解：如图，过点P 作PE AB ⊥于点E ，过点D 作DF AB ⊥于点F ，Q 四边形ABCD 是菱形，且120B ∠=︒，30DAC CAB ∴∠=∠=︒，12PE AP ∴=， 60DAF ∠=︒Q ，30ADF ∴∠=︒，116322AF AD ∴==⨯=， 33DF ∴=Q 12AP PD PE PD +=+， ∴当点D ，P ，E 三点共线且DE AB ⊥时，PE DP +的值最小，最小值为DF 的长， ∴12AP PD +的最小值为33． 故答案为：33．9．如图，O e 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O e 半径为6，点(0,3)A ，点(5,0)B ，点(0,12)C ，将线段OC 绕点O 顺时针旋转(090)αα︒︒剟，得线段OC ’， OC ’与弧MN 交于点P ，连PA ，PB ．则2PA PB +的最小值为 13 ．【解答】解：根据题意可知：3OA =，6OP =，12OC =，连接CP ，COP ∠Q 为公共角，12OA OP OP OC ==， COP POA ∴∆∆∽，∴12AP CP =， 2PA PB CP PB ∴+=+，CP PB BC +Q …，C ∴，P ，B 三点共线时，CP PB +最小，∴在Rt COB ∆中，2213BC OB OC =+=，即2PA PB +的最小值为13．故答案为：13．10．如图，ABC ∆中，10AB AC ==，tan 2A =，BE AC ⊥于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则5CD +的最小值是 5 ．【解答】解：如图，作DH AB ⊥于H ，CM AB ⊥于M ．BE AC ⊥Q ，90AEB ∴∠=︒，tan 2BE A AE ==Q ，设AE a =，2BE a =， 则有：221004a a =+，220a ∴=，25a ∴=或25-（舍弃）， 245BE a ∴==，AB AC =Q ，BE AC ⊥，CM AB ⊥，45CM BE ∴==（等腰三角形两腰上的高相等）)DBH ABE ∠=∠Q ，BEA ∠，5sin DH AE DBH BD AB ∴∠===， 5DH BD ∴=， 5CD BD CD DH ∴+=+， CD DH CM ∴+…，545CD BD ∴+…， 5CD BD ∴+的最小值为45． 故答案为45． 11．如图，ABC ∆中，10AB AC ==，tan 3A =，CD AB ⊥于点D ，点E 是线段CD 的一个动点，则10BE CE +的最小值是 310 ．【解答】解：如图，作EF AC ⊥于F ，CD AB ⊥Q ，90ADC ∴∠=︒，tan 3CD A AD ==Q ，设AD a =，3CD a =， 222AD CD AC +=Q ，229100a a ∴+=，210a ∴=，10a ∴=或10-（舍去）， 10AD a ∴==，3310CD a ==，10sin AD ACD AC ∴∠==， 10sin EF CE ECF CE ∴=∠=g ， 10BE CE BE EF ∴+=+， 当B 、E 、F 三点共线时，10BE CE BE EF BF +=+=， 此时BF AC ⊥，则根据垂线段最短性质知10BE CE BF +=值最小， 此时310sin 1010310CD BF AB A AC =∠=⨯=⨯=g ． 12．如图，已知点A 坐标为(3，1)，B 为x 轴正半轴上一动点，则AOB ∠度数为 30︒ ，在点B 运动的过程中12AB OB +的最小值为 ．【解答】解：过A 作AC x ⊥轴于点C ，延长AC 到点D ，使AC CD =，过D 作DE OA ⊥于点E ，与x 轴交于点F ，Q 点A 坐标为(3，1)， 1AC CD ∴==，3OC =，3tan 3AC AOB OC ∴∠===， 30AOB ∴∠=︒，60DAE ∴∠=︒，12EF OF =， sin 603DE AD ∴=︒=g ，当点B 与点F 重合时，11322AB OB AF OF DF EF DE +=+=+==， 根据垂线段最短定理知，此时132AB OB +=为最小值． 故答案为30︒；3．13．已知，在矩形ABCD 中，6AD =，8AB =，BAD ∠的平分线交DC 于点E ，22.5DAF ∠=︒，若点P 、Q 分别是AD 、AF 上的动点，则DQ PQ +的最小值为 32 ．【解答】解：如图1，在AE 上取点M ，使得AM AP =，作DN AE ⊥于点N ，，AE Q 是BAD ∠的平分线，90245DAE ∴∠=︒÷=︒，22.5DAF ∠=︒Q ，4522.522.5EAF ∴∠=︒-︒=︒，DAF EAF ∴∠=∠，在APQ ∆和AMQ ∆中，AP AM PAQ MAQ AQ AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，APQ AMQ ∴∆≅∆，PQ MQ ∴=，DQ PQ DQ MQ DM ∴+=+=，DN AE ⊥Q ，2sin 45632DN AD =⨯︒== DQ PQ ∴+的最小值为32故答案为：3214．如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，6BC =，150ABC ∠=︒，则线段AP BP PD ++的最小值为 62 ．【解答】解：将ADC ∆逆时针旋转60︒，得到△AD C ''，连接BD '交AC 于P ，交AC '于E ，连接PD ， 30BAD ∠=︒Q ，60DAD ∠'=︒，90BAD ∴∠'=︒，又AB AD AD =='，2262BD AB AD ∴'=+'=，45ABP ∠=︒，又15BAP ∠=︒，60APE PAE ∴∠=∠=︒，EAP ∴∆为等边三角形，PA PE ∴=，又APD AED ∆≅∆'Q ，PD ED ∴='，根据两点之间线段最短，AP BP PD ∴++的最小值62PB PE ED =++'=，故答案为：62．15．如图，30AOB ∠=︒，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且1OM =，3ON =，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP PQ QN ++的最小值是 10 ．【解答】解：作M 关于OB 的对称点M '，作N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，即为MP PQ QN ++的最小值．根据轴对称的定义可知：30N OQ M OB ∠'=∠'=︒，60ONN ∠'=︒，ONN ∴∆'为等边三角形，OMM ∆'为等边三角形，90N OM ∴∠''=︒，∴在Rt △M ON ''中，223110M N ''=+=．故答案为10．11 16．如图，60AOB ∠=︒，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且1OM =，3ON =，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP PQ QN ++的最小值是4 ．【解答】解：作M 关于OB 的对称点M '，作N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，即为MP PQ QN ++的最小值．根据轴对称的定义可知：60N OQ M OB ∠'=∠'=︒，30ONN ∠'=︒，ONN ∴∆'为等腰三角形，OMM ∆'为等腰三角形，180N OM ∴∠''=︒，N ∴'，O ，M '三点共线，∴点P ，Q ，O 三点重合，4M N OM ON ∴''='+'=．MP PQ QN ∴++的最小值是4，故答案为：4．。

几何最值一、选择题1．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A ． 2 ＋1B ． 2 ＋12C ．2 2 ＋1D ．2 2 —12{答案} B{解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，所以点C 在以点B 为圆心、1长为半径的圆上，在x 轴上取OA ′=OA=2，当A ′、B 、C 三点共线时，A ′C 最大，则A ′C=2 2 ＋1，所以OM 的最大值为 2 ＋12，因此本题选B ． 2．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝12，有下列结论：①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似；③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋372. 其中，正确结论的序号为（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③{答案} D{解析}设AQ ＝x ，则BP ＝52—x ①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝534，∴DE ＝34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而332≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝32，∴都存在，∴②正确； ③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝34×32－12⋅x ⋅34－12×3×34（52－x ）＝34 x ＋21316，∵52—x ≥0，即x ≤52，∴当x =52时面积最大为31316；③正确； ④如图，将D 沿AB 方向平移12个单位得到E ，连接PE ，即四边形PQDE 为平行四边形，∴QD =PE ，四边形周长为PQ +QD +CD +CP =3+PE +PC ，即求PE +PC 的最小值，作点E 关于AB 的对称点F ，连接CF ，线段CF 的长即为PE +PC 的最小值；过点D 作DG ⊥AB ，∴AG ＝14，EN =FN =HM =34，∴CH ＝332＋34＝734，FH ＝MN ＝32－14－12＝34，∴FC ＝392，∴四边形PCDQ 周长的最小值为3＋392，④错误.（第12题）3．(2020·荆门)如图6，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD (点D 在点C 右侧)在x 轴上移动，A (0，2)，B (0，4)，连接AC 、BD ，则AC ＋BD 的最小值为( )A ．2B ．2C ．6D ．3{答案}B{解析}如图#，过点B 作BB′∥x 轴(点B′在点B 的左侧)，且使BB′＝2，则B′(－2，4)；作A 关于x 轴的对称点A′，则A′(0，－2)；连结A′B′交x 轴于点C ；在x 轴上向右截取CD ＝2，则此时AC ＋BD 的值最小，且最小值＝A′B′＝＝2．故选B ．4．（2020·南通）△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 为BC 的中点，直线l 经过点D ，过B 作BF ⊥l 于F ，过A 作AE ⊥l 于E ．求AE ＋BF 的最大值为A ．B ．2C ．2D ．3{答案}A{解析}过点A 作AH ⊥BC 于点H ，在Rt △AHB 中，∠ABC ＝60°，得BH ＝1，AH ＝，在Rt △AHC 中，∠ACB ＝45°，得AC ＝．当直线l 与AB 相交时，延长BF ，过点A 作AM ⊥BF 于点M ，可得AE ＋BF ＝AE ＋FM ＝BM ，在Rt △AMB 中，BM ＜AB ，当直线l ⊥AB 时，最大值为2；当直线l 与AC 相交时，过点C 作CH ⊥l 于点H ，由点D 为BC 中点可证明△BFD ≌△CHD ，BF ＝CH ，延长AE ，过点C 作CN ⊥AE 于点N ，可得AE ＋BF ＝AE ＋CK ＝AE ＋EN ＝AN ，在Rt △ACN 中，AN ＜AC, 当直线l ⊥AC 时最大值为；所以AE ＋BF 的最大值为．5．（2020·恩施）如图，正方形ABCD 的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则BFE △周长的最小值为（ ）．A. 5B. 6C. 7D. 8{答案}B{解析}连接ED 交AC 于一点F ，连接BF ，∵四边形ABCD 是正方形，图# 图6∵点B与点D关于AC对称，∵BF=DF，△的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，∵BFE∵正方形ABCD的边长为4，∵AD=AB=4，∵DAB=90°，∵点在上且，∵AE=3，∵DE5=，△的周长=5+1=6，∵BFE故选：B.6.（2020·永州）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D. 2【答案】B【详解】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，∵点C到直线l的距离，半径为1，∴的最小值是，故选：B.二、填空题7．（2020·绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．{答案}3－2{解析}延长AD、BC交于点P，作MH⊥PB 于H.∵AB∥CD，∴＝，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝PC，∴△PDC为等边三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°. 由∠AMD＝90°，可知点M在以AD为直径的⊙E上，且在四边形ABCD内的一个动点，根据垂线段最短可知E、M、H三点共线时MH最小.在Rt△PEH中，EP＝6，∠P＝60°，∴EH＝EP·sin60°＝3，∴MH 的最小值＝EH －EM ＝3－2.8．（2020·扬州）如图，在▱ABCD 中，∠B =60° ，AB =10，BC =8，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED 并延长至点F ，使得DF =DE ，以EC 、EF 为邻边构造▱EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值为 .（第18题图）{答案} {解析}本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公式、垂线段最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决．过A 作AM ⊥BC 于M ，设EG 、DC 交于H ．∵在Rt △AMB 中，∠B =60° ，AB =10，s i n ∠B =，∴AM =，▱EFGC 中，∵DF =DE ，∴ED =，又EF =GC ，∴，∵EF ∥CG ，∴△EHD △GHC ，∴，∵CD=AB=10是定长，故不管动点E 在AB 上如何运动，H 始终是定点，H 又在EG 上，它到AB 的最短距离就是HN ，S ▱ABCD =，∴，当动点E 运动到与N 重合（见答图2），EG 最短，此时，HG ==，∴EG 的最小值= HG +NH =．因此本题答案为．（第18题答图1） （第18题答图2）9．（2020·鄂州）如图，已知直线与x 、y 轴交于A 、B 两点，的半径为1，P 为上一动点，切于Q 点．当线段长取最小值时，直线交y 轴于M 点，a 为过点M 的一条直线，则点P 到直线a 的距离的最大值为______________．{答案}{解析}本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．先找到长取最小值时P 的位置即为OP ⊥AB 时，然后画出图形，由于PM 即为P 到直线a 的距离的最大值，求出PM 长即可． 解：如图，在直线上，x ＝0时，y ＝4，y ＝0时，x ＝，∴OB ＝4，OA ＝，∴tan OA OBA OB==∠， ∴∠OBA ＝30°，由切于Q 点，可知OQ ⊥PQ ， ∴PQ由于OQ ＝1，因此当OP 最小时长取最小值，此时OP ⊥AB ，∴，此时PQ ，BP∴，即∠OPQ ＝30°，若使P 到直线a 的距离最大，则最大值为PM ，且M 位于x 轴下方，过P 作PE ⊥y轴于E ，，，∴431OE =-=，∵，∴∠OPE ＝30°，∴∠EPM ＝30°＋30°＝60°，即∠EMP ＝30°，∴2PM EP ==故答案为：．10．（2020·宜宾）如图，四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，CB ⊥AB ，AD ＝3，AB ＝5，BC ＝2，P 是边AB 上的动点，则PC +PD 的最小值是 5 ．【解答】解：延长CB 到C ′，使C ′B ＝CB ＝2，连接DC ′交AB 于P ．则DC ′就是PC +PD 的和的最小值．∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠PBC ′，∠ADP ＝∠C ′，∴△ADP ∽△BC ′P ，∴AP ：BP ＝AD ：BC ′＝3：2，′∴PB ＝AP ，∵AP +BP ＝AB ＝5，∴AP ＝5，BP ＝2，∴PD ＝＝＝3，PC ′＝＝＝2，∴DC ′＝PD +PC ′＝3+2＝5，∴PC +PD 的最小值是5，故答案为5．11．（2020·东营）如图，在Rt △AOB 中，OB=，∠A=30°，⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （其中点Q 为切点），则线段PQ 长度的最小值为 ．{答案}{解析}本题考查了切线的性质、直角三角形的性质及勾股定理．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当OP ⊥AB 时，线段PQ 最短是关键．连接OP 、OQ ，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知,∴当OP ⊥AB 时，线段PQ 最短.∵在Rt △AOB 中，OB=，∠A=30°，∴，，∴OA ×OB=OP ×AB ，即，∴223122PQ ．12．（2020·毕节）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是边AB 的中点，点P 是对角线BD 上的动点，则AP＋PE的最小值是_________．{答案}2，{解析}本题考查正方形的性质，线段最短问题．解：∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，∴BE＝2．∵点P是对角线BD上的动点，连接PC，则PC＝PA．连接EC交BD于点P，此时AP＋PE＝AC＋PE＝EC有最小值，最小值EC2．故答案为213.（2020·永州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接,,PM PN MN，则PMN周长的最小值是_________．【答案】【详解】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为PMN周长的最小值．由可得直线OA的表达式为y=2x，设(x,y)，由与直线OA垂直及中点坐标在直线OA上可得方程组：解得：则(0，5)，由两点距离公式可得：12PP==即PMN周长的最小值．故答案为．三、解答题14．（2020·扬州）如图1.已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F.（1）求证：OC∥AD；（2）如图2，若DE=DF，求的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求DE的值.（第27题图1）（第27题图2）{解析}本题考查了平行线的判定与性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题的关键是作出适当的辅助线，找到解题的思路与途径. （1）利用角平分线性质与外角知识证明∠BOC =∠OAD=∠BOD即可；（2）以O为圆心，OA为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证∠ADB＝90°，再利用互余关系得出∠AOF＝90°，从而求得AD的长，最后由△ADE∽△AOF求得的值；（3）如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q. 先证△ACB≌△ACH得AB=AH=4，BC=HC，于是DC=CB=CH，再由△HCD∽△HAB得到HD与BC的关系式，最后，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，通过二次函数的最值求得BC的长，从而可借助余弦函数求得DE的长.{答案}解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BOD是△AOD的外角，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∴∠OAD=∠ODA，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠BOD，∴∠BOC=∠OAD，∴OC ∥AD；（2）如答图1，以O为圆心，OA为半径作圆，∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF，∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAE=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，又∠DFE=∠AFO，∴∠OAC+∠AFO=90°，∴∠AOF＝90°，AD==AOF＝∠ADB＝90°，∠DAC=∠OAC，∴△ADE∽△AOF，∴；（第27题答图1）（第27题答图2）（第27题答图3）（3）如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q.∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACH＝90°=∠ACB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，在△ACB 和△ACH中，∠ACB＝∠ACH，AC＝AC，∠BAC=∠HAC，∴△ACB≌△ACH，AB= AH=4，BC=HC，又∠BDH=180°-∠ADB＝90°，∴DC=HB=CB=CH，∵点A、D、C、B共圆，∴∠HCD＝∠HAB，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HAB，∴，即，∴HD=BC2，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，则y=AB+AD+CD+BC=4+4-BC2+BC+BC=-x2+2x+8=，∴当x=2时，y有最大值，当BC=x=2时（答图3），==，且它们所对圆心角都为60°，∴∠DCA=∠CDB=30°，∴ED=EC，∴AD=CD=BC，∴AD CD BCDQ=CD=1，在Rt△DQE中，=COS∠CDE，=，∴DE=.15.（2019•济南）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是∠NAB＝∠MAC，NB与MC的数量关系是NB＝CM；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．【解答】解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．16.（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝50°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是EC∥AB．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．【解答】解：（1）①如图②中，∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，②结论：AB∥EC．理由：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE＝∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．17.（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM、NP的数量关系是NM＝NP，∠MNP的大小为60°．（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案为：NM＝NP；60°；（2）△MNP是等边三角形．理由如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形；（3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，∴MN≤2，∴△MNP的面积＝＝，∴△MNP的面积的最大值为．18.（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF＝AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，DE＝AD，又∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，∵点F是DE的中点，∴CF＝DE＝AD；（2）AG＝BC，理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，∵BD＝2CD，∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AB＝AC＝＝a，由（1）可知：△BAD≌△CAE，∴BD＝CE＝2a，∵CF＝DF，∴∠FDC＝∠FCD，∴tan∠FDC＝tan∠FCD，∴＝2，∴GH＝2CH，∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BGH＝45°，∴BH＝GH，∴BG＝BH∵BH+CH＝BC＝3a，∴CH＝a，BH＝GH＝2a，∴BG＝2a，∴AG＝BG﹣AB＝a＝CD＝BC；（3）如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时，如图3﹣2，连接MC，∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，∵BM＝CM，AB＝AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，∴BD＝PD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∴PD＝PD+AP，∴PD＝m，∴BD＝PD＝m，由（1）可知：CE＝BD＝m．19.（2020•威海）发现规律（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．求∠BFC的度数．（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．应用结论（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．【解答】解：（1）如图①，∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC＝∠ACB，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠FBC＝∠ABC＝60°，∴∠ACE+∠FBC＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠ACE﹣∠ACB＝60°；（2）如图②，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BHC＝∠ABD+∠BAC＝∠BFC+∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BFC+α+β＝180°，∴∠BFC＝180°﹣α﹣β；（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，∴MN＝NK，∠MNK＝60°，∴△MNK是等边三角形，∴MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，∴△MOK≌△MQN，∠OMQ＝60°，∴OK＝NQ，MO＝MQ，∴△MOQ是等边三角形，∴∠QOM＝60°，∵OK＝NQ，∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得：当QN⊥y轴时，NQ有最小值，此时，QN⊥y轴，∠NOQ＝30°，∴NQ＝OQ＝，∴线段OK长度的最小值为．.。

⎭⎝⎝44⎭初中代数、几何所有最值问题一代数问题中的最值问题1、从 - 3，- 2，-1,4,5中任取两个数相乘，所得积中最大值为a ，最小值为b ，求－4答案：32、若a , b , c 都是大于1的自然数，且a c= 252b , 求a 的最小值？答案：42.a 的值？b 解析：252b 可以分成某数幂的形式。

252b=6×6×7b ，×即b=7，即 a=6×7=42.3、下面是按一定规律排列的一组数：1 ⎛-1 ⎫第一个数： - 1+⎪2 ⎝ 2 ⎭1 ⎛－1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3 ⎫第二个数： - 1+⎪ 1+⎪1+⎪3 ⎝ 2 ⎪⎪⎭⎝⎭1 ⎛-1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3 ⎫⎛(-1)4 ⎫⎛(-1)5 ⎫第三个数： - 1+ 1+1+1+4 ⎝ 2 ⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎪⎪⎭⎝⎭……第 n 个数：1⎛-1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3⎫⎛(-1)2n -1 ⎫- 1+⎪ 1+⎪1+⎪…… 1+⎪n +1 ⎝ 2 ⎭ ⎪⎪ ⎭⎝⎭⎝2n ⎪；那么在第 10 个数，第 11 个数，第 12个数中，最大数是？答案：第 10 个。

解析：第n 个数是1- n 2(n +1), 把n = 10, n = 11, n = 12, n = 13分别代入得出答案。

4、已知： 20n 是整数，求满足条件的 最小整正数n 的值？答案：5解析：20n=4×5×n ，因为20n 是整数，∴ 20n 是一个完全平方数，∴ n 的最小值为54、当（m+n ）²+1 取最小值时，求m 2 - n 2 + 2 m - 2 n 的值？答案：0解析：（m+n ）²+1 取最小值，m+n=0 时最小。

再用特值法求出答案。

5、设a = 350 , b = 440 , c = 530 , 求a , b , c 中最大和最小的是？答案：最大是b ，最小时c 。

2020年中考数学试题分类汇编之十四最值类题一、选择题1．（2020成都）（3分）关于二次函数228y x x =+-，下列说法正确的是( )A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为(0,8)C ．图象与x 轴的交点坐标为(2,0)-和(4,0)D ．y 的最小值为9- 【解答】解：二次函数2228(1)9(4)(2)y x x x x x =+-=+-=+-，∴该函数的对称轴是直线1x =-，在y 轴的左侧，故选项A 错误；当0x =时，8y =-，即该函数与y 轴交于点(0,8)-，故选项B 错误；当0y =时，2x =或4x =-，即图象与x 轴的交点坐标为(2,0)和(4,0)-，故选项C 错误； 当1x =-时，该函数取得最小值9y =-，故选项D 正确；故选：D ．2.（2020贵阳）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 为长的半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ，若1CG =，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A. 无法确定B. 12C. 1D. 2【答案】C【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB 时，GP 的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB 是⊥ABC 的角平分线，⊥⊥C=90°，⊥当GP⊥AB时，GP=CG=1，故答案为：C．3．（3分）（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x 轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2√5B．2√10C．6√2D．3√5解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=√m2+22+√(m+2)2+42，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=√m2+22+√(m+2)2+42），如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=√22+62=2√10，∴AC+BD的最小值为2√10．故选：B．4．（2020山东泰安）（4分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2√2，∴CD＝2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．二、填空题5．（2020成都）（4分）如图，在矩形ABCD中，4AB=，3BC=，E，F分别为AB，CD 边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH PQ⊥于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为线段DH长度的最小值为．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON CD⊥于N．四边形ABCD是矩形，DF CF=，AE EB=，∴四边形ADFE是矩形，3EF AD∴==，//FQ PE，MFQ MEP∴∆∆∽，∴MF FQ ME PE=，2PE FQ=，2EM MF∴=，2EM∴=，1FM=，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM==，MQ，PQ ∴=////MF ON BC ，MO OB =，1FN CN ∴==，3DN DF FN =+=，1()22ON FM BC =+=，OD ∴==BH PQ ⊥，90BHM ∴∠=︒，OM OB =，1122OH BM ∴== DH OD OH -， 132DH ∴-DH ∴故答案为-6.（2020河南）.如图，在扇形BOC 中，60,BOC OD ∠=︒平分BOC ∠交狐BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点若2OB =，则阴影部分周长的最小值为__________．【答案】.3π 【解析】【分析】如图，先作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，再分别求解,AD CD 的长即可得到答案．【详解】解：C 阴影＝,CE DE CD ++∴ C 阴影最短，则CE DE +最短，如图，作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，则,CE AE =,CE DE AE DE AD ∴+=+=此时E 点满足CE DE +最短，60,COB AOB OD ∠=∠=︒平分,CB30,90,DOB DOA ∴∠=︒∠=︒2,OB OA OD ===222222,AD ∴=+=而CD 的长为：302,1803ππ⨯= ∴ C 阴影最短为22.3π+故答案为：22.3π+7.（2020四川绵阳）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为 。

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2√5−2．【解答】解：如图，连接BE，BD．由题意BD=√22+42=2√5，∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，∴BE=12MN＝2，∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为2√5−2．故答案为2√5−2．2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A．﹣4B．0C．2D．6【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∵（m﹣1）a+b+c≤0，∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，∵a＞0，∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，∴m的最大值为6，故选：D．3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BĈ于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为6√2+π3．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD ′＝90°，∴CD ′=√OC 2+OD′2=√22+22=2√2，CD ̂的长l =30π×2180=π3， ∴阴影部分周长的最小值为2√2+π3=6√2+π3． 故答案为：6√2+π3．4.（2020•鄂州）如图，已知直线y =−√3x +4与x 、y 轴交于A 、B 两点，⊙O 的半径为1，P 为AB 上一动点，PQ 切⊙O 于Q 点．当线段PQ 长取最小值时，直线PQ 交y 轴于M 点，a 为过点M 的一条直线，则点P 到直线a 的距离的最大值为 2√3 ．【解答】解：如图，在直线y=−√3x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x=4√3 3，∴OB＝4，OA=4√3 3，∴tan∠OBA=OAOB=√33，∴∠OBA＝30°，由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2，由于OQ＝1，因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP=12OB＝2，此时PQ=√22−12=√3，BP=√42−22=2√3，∴OQ=12OP，即∠OPQ＝30°，若使点P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过点P作PE⊥y轴于点E，∴EP=12BP=√3，∴BE=√(2√3)2−(√3)2=3，∴OE＝4﹣3＝1，∵OE=12OP，∴∠OPE＝30°，∴∠EPM＝30°+30°＝60°，即∠EMP＝30°，∴PM＝2EP＝2√3．故答案为：2√3．5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2√5B．2√10C．6√2D．3√5【解答】解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=√m2+22+√(m+2)2+42，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=√m2+22+√(m+2)2+42），如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=√22+62=2√10，∴AC+BD的最小值为2√10．故选：B．6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC=12OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE=2+42=5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM ∽△DOE ，∴MN OE=DM DE ， ∴MN 3=35，∴MN =95，当点C 与C ′重合时，△C ′DE 的面积最小，最小值=12×5×（95−1）＝2， 故答案为2．7.（2020•徐州）在△ABC 中，若AB ＝6，∠ACB ＝45°．则△ABC 的面积的最大值为 9√2+9 ．【解答】解：作△ABC 的外接圆⊙O ，过C 作CM ⊥AB 于M ，∵弦AB 已确定，∴要使△ABC 的面积最大，只要CM 取最大值即可，如图所示，当CM 过圆心O 时，CM 最大，∵CM ⊥AB ，CM 过O ，∴AM ＝BM （垂径定理），∴AC ＝BC ，∵∠AOB ＝2∠ACB ＝2×45°＝90°，∴OM＝AM=12AB=12×6=3，∴OA=√OM2+AM2=3√2，∴CM＝OC+OM＝3√2+3，∴S△ABC=12AB•CM=12×6×（3√2+3）＝9√2+9．故答案为：9√2+9．8.（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9√3．【解答】解：作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO =DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DE EF=45， ∴ED GC=45， ∴EO GO =45，∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，当EO ⊥CD 时，EO 取得最小值，∴CH ＝EO ，∴EO ＝4√3，∴GO ＝5√3，∴EG 的最小值是9√3，故答案为：9√3．9.（2020•聊城）如图，在直角坐标系中，点A （1，1），B （3，3）是第一象限角平分线上的两点，点C 的纵坐标为1，且CA ＝CB ，在y 轴上取一点D ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，使得四边形ACBD 的周长最小，这个最小周长的值为 4+2√5 ．【解答】解：∵点A（1，1），点C的纵坐标为1，∴AC∥x轴，∴∠BAC＝45°，∵CA＝CB，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴∠C＝90°，∵B（3，3）∴C（3，1），∴AC＝BC＝2，作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+AE，过E作EF⊥AC交CA的延长线于F，则EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，∴AE=√EF2+AF2=√22+42=2√5，∴最小周长的值＝AC+BC+AE＝4+2√5，故答案为：4+2√5．10.（2020•泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2√2，∴CD＝2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．11.（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C（2，2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点．若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．﹣2D．−14【解答】解：点O是AB的中点，则OQ是△ABP的中位线，当B、C、P三点共线时，PB最大，则OQ=12BP最大，而OQ的最大值为2，故BP的最大值为4，则BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，设点B（m，﹣m），则（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，解得：m2=1 2，∴k＝m（﹣m）=−1 2，故选：A．12.（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB=ADtan30°=10√3，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5√3，∴A′H=√3AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．13.（2020•新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为6．【解答】解：如图所示，作点A关于BC的对称点A'，连接AA'，A'D，过D作DE⊥AC于E，∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH=√3，AA'＝2√3，∠C＝30°，∴Rt△CDE中，DE=12CD，即2DE＝CD，∵A与A'关于BC对称，∴AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，∴当A'，D，E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长，此时，Rt△AA'E中，A'E＝sin60°×AA'=√32×2√3=3，∴AD+DE的最小值为3，即2AD+CD的最小值为6，故答案为：6．。

2021重庆中考复习最值问题专题练习类型一、利用将军饮马求最值ABCD的边长为3, E在BC上,且BE=2, P在BD上,那么PE+PC的最小值为〔1、如图,正方形C. V142、如图,在菱形ABCD 中,AB=6,点E 在BC 上,BE=3, / BAD=120° , P 点在BD 上,贝U PE+PC的最小值为类型二、利用垂线段最短求最值1、如图,在Rt^ABC中,/ C=90°, AC =8, BC=6,点P是AB上的任意一点,作PDLAC于点D,PEXCB于点E,连接DE,那么DE的最小值为2、在边长为2菱形ABCD中,/ ABC=60 °, M、N分别为线段BC和BD上两个动点,那么MN+CN的最小值是O类型三、利用平行线间的距离求最值1 .如图,菱形 ABCD 的边长为5,面积为20, P 为CD 边上一动点〔异于 C 、D 〕,点M 、N 分别在BD 、 BC 上运动,那么PM + MN 的最小值为2 .如上左图,菱形 ABCD 中,AB = 4, /A=120°,点M 、N 、P 分别为线段 AB 、AD 、BD 上的任意一点, 那么PM + PN 的最小值为类型四、利用三角形三边关系、三点共线求最值1、如图,/ MON = 90° ,矩形 ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM , ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随2、如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB = 2, AD=3,点E 是AB 的中点,点F 是AD 边上的一个动点,将^AEF 沿EF 所在直线翻折,得到△ A' EF,那么A' C 的长的最小值是〔〕A , V10- 1 B.弼 C," ’45D, 2/3 - 13、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6, AD= 2/2, ZA=45° , M 是AD 边的中点,N 是AB 边上的一动点,将4AMN 沿MN 所在直线翻折得到△ A' MN,连接A' C,那么A' C 长度的最小值是D之在边OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中AB=2, BC=1,运动过程中,点 D 到点.的最大距离为〔B 、娓.、等口、55、如图,矩形ABCD 中,AB=6, BC=8,Et *5 c P是边CD上一点,Q是以AD为直径的半圆上一点, 那么BP+PQ4、如图,在矩形ABCD中, AB=2, BC=4,点O、P分别是边AB、AD的中点,点H是边CD上的一个动点,连接OH,将四边形OBCH沿OH折叠,得到四边形OFEH ,连接PE,那么PE长度的最小值是 .的最小值为〔〕A. 10B. 2'/12+46、〔2021?怀柔区一模〕如图,在Rt^ABC中,/D是A'B'的中点,连接BD,假设BC=2, / AB〔C. |\/73+1 D.诉-4H ACB=90°,将△ ABC绕顶点C顺时针旋转得到^ A'B'C,C=60°,那么线段BD的最大值为______ .类型五、利用中位线+三点共线求最值如图,△ ABC中,/ACB = 90° ,转至AD' , F为BD'的中点,线段A rBC=6, AC=12,点D在AC上,且AD = 8,将线段AD绕点A旋CF的最大值为__________________A %类型六、利用胡不归问题求最值/DAB =60° , AB= 6, BC=2, P 为边 CD 上的一动点,贝 U PB+i3 PD2AB = AC=10, tanA=2, BE^AC 于点E, D 是线段BE 上的一个动点,AB 为一边作正方形 ABCD,使P 、D 两点落在直线 AB 的两侧,当 P作业练习BC=8, P 是边AD 上一动点,将^ ABP 沿BP 折叠后得^ BPM ,当线的最小值等于D那么CD+ 增BD 的最小值是〔A. 2V5B. 4诉C. 5/3D. 10与D 的距离最大时,正方形 ABCD 的面积为2、如图,在Rt ABC 中, ACB 90 ,将 ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到^ ABC, M 是AC 的中点,N 是AB 的中点,连接MN , AC 4 , ABC 301、〔2021?南通〕如图,？ABCD 中,2、〔2021?长沙〕如图,△ ABC 中,类型六、利用旋转+三点共线求最值1、如图,PA =/&, PB= 3J1,以 1、如图,矩形 ABCD 中,AB=6,段DM 的长最短时,AP =2、如图,/ MON = 90° ,正方形 ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上运动,当正方形边长为 2时,OD 的最大值为,矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM, ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随之在边OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中 AB=8, BC = 3,运动过程中,点 D 到点.的 最大距离为4、〔2021秋？梁子湖区期中〕如图,在^ ABC 中,/ACB=90° , BC= 2, AC = 6, D 为AC 上一点,AD=4,将AD 绕点A 旋转至AD',连接 BD' , F 为BD '6、如图,PA=2,PB = 4,将线段PA 绕P 点旋转一周,以AB 为边作正方形 ABCD ,那么PD 的最大值为3、如图,/ MON = 90的中点,那么CF 的最大值为5、如图,菱形 ABCD 中,/A = 60° , AB = 6, OA> OB的半径分别为4和2, P 、E 、F 分别是边CD 、 .A 和.B 上的动点,那么 PE+PF 的最大值是〔4+12 B . 6<总+16 C. 18 D. 62T7、：AD=2, BD = 4,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当/ ADB = 60°时,求AB及CD的长；(2)当/ ADB变化,且其它条件不变时,求CD的最大值,及相应/ ADB的大小.2021重庆中考复习最值问题专题练习类型一、将军饮马解：如图,在菱形 ABCD 中,点A 、C 关于BD 对称,连接AE,与BD 的交点即为所求作的点 P,•. Z BAD = 120° , . ABC=180° —120°AE -L BC ,…AE=2-3 2 = 3/3 , 即PE+PC 的最小值为3\f3. 类型二、点到直线距离垂线段最短2、如图,在 Rt^ABC 中,/ C=90°, AC =8, BC=6,点P 是AB 上的任意一点,作 PDLAC 于点D, PEXCB 于点E,连接DE,那么DE 的最小值为解：••• Rt^ABC 中,/ C=90° , AC = 8, BC=6, •.AB = 10,连接CP, ••• PD^AC 于点D, PE^CB 于点E, ••・四边形 DPEC 是矩形,,DE = CP, 当DE 最小时,那么CP 最小,根据垂线段最短可知当CPLAB 时,那么CP 最小,DE = CP=° r=4.82、在边长为2菱形ABCD 中,/ ABC=60 °, M 、N 分别为线段 BC 和BD 上两个动点,那么 MN+CN 的最小 值是 O•••正方形ABCD 的边长为 3, BE=2, AE = J22./=打交,PE+PC 的最小值是.应选：B.2、如图,在菱形ABCD 中,AB=6,点 E 在 BC 上,BE=3, / BAD= 120° , P 点在 BD 上,那么 PE+PC= 60° ,「.△ABC 是等边三角形,AB=6, BE=3, .••点 E 是 BC 的中点,, 1、如图,正方形 ABCD 的边长为3, E 在BC 上,且BE=2, P 在BD 上,那么PE+PC 的最小值为〔根据两点之间线段最短可得AE 就是AP+PE 的最小值,PE+PC = PE+AP,的最小值为 3 ::2.如上左图,菱形 ABCD 中,AB = 4, /A=120°,点M 、N 、P 分别为线段 AB 、AD 、BD 上的任意一点, 那么PM + PN 的最小值为类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值1、如图,/ MON = 90° ,矩形 ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM , ON 上,当B 在边ON 上运动时,A 随之在边OM 上运动,矩形 ABCD 的形状保持不变,其中 AB=2, BC=1,运动过程中,点 D 到点.的■「ODWOE + DE, .•・当0、D 、E 三点共线时,点 D 到点O 的距离最大, 此时AB=2, BC= 1, •1- 0E = AE=-^-AB= 1 , DE = J q 2 十&岳 2 = J ] - 十]2 =,・••OD 的最大值为：J 叵+1.应选：A.2、如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB = 2, AD=3,点E 是AB 的中点,点F 是AD 边上的一个动点,将^类型三、平行线间的距离为最值1.如图,菱形 ABCD 的边长为5,面积为20, P 为CD 边上一动点〔异于 BC 上运动,那么 PM + MN 的最小值为 .C 、D 〕,点M 、N 分别在BD 、最大距离为〔C 、.1455D 、解：如图,取 AB 的中点E,连接OE 、DE 、OD,1 • CE =江②十BC 2= J ] 2 ,3 Z= J 10,「. A' C 的最小值=CE — A' E= 'J— 1 .应选：A.3、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=6, AD =2'/^, ZA=45° , M 是AD 边的中点,N 是AB 边上的一动点,W △ AMN 沿MN 所在直线翻折得到△ A' MN,连接A' C,那么A' C 长度的最小值是4«j .2 •.四边形 ABCD 为平行四边形,,AD//BC, AD = BC = 2/2, CD = AB = 6,,•点 M 为 AD 的中点,/ A=45° ,,DM = MA =&, / MDE = / A= 45° , . . ME= DE DM = 1 , 3 .CE=CD+DE=6+1=7,由勾股定理得： CM2= ME2+CE2,,CM =412+7,=5K ;由翻折变换的性质得： MA' = MA =E,显然,当折线 MA' C 与线段MC 重合时,线段 A' C 的长度 最短,此时 A' C = MC —MA' =5浜一五=啦.4、如图,在矩形 ABCD 中, AB=2, BC=4,点O 、P 分别是边 AB 、AD 的中点,点 H 是边CD 上的 一个动点,连接 OH,将四边形OBCH 沿OH 折叠,得到四边形 OFEH ,连接PE,那么PE 长度的最小值)AEF 沿EF 所在直线翻折,得到△ A' EF,那么A' C 的长的最小值是〔解：以点E 为圆心,AE 长度为半径作圆,连接 CE,当点A'在线段CE 上时,A' C 的长取最小值, 如下图.根据折叠可知： A' E=AE = -1AB = 1,在 Rt^BCE 中,BE 」AB=1, BC=3, / B= 90° ,解：如图,连接 MC;过点M 作MEXCD,交CD 的延长线于点 E.解：如图,连接是—叵二亚_EO、PO、OC. ..四边形ABCD 是矩形,B=/OAP = 90° ,在Rt^OBC 中,BC = 4, OB=1, • . OC=打、十理=百吊在Rt^AOP 中,OA=1, PA= 2, OP = q +22=,后-. OE=OC = -/Yf, PE>OE-OP,,PE 的最小值为4!^一5、〔2021?江岸区校级模拟〕如图,矩形ABCD中,AB=6, BC= 8, P是边CD上一点,Q是以AD为直径的半圆上一点,那么BP+PQ的最小值为〔〕D AP7 BA. 10B. 2713+4C. |VT3+1 D, 6/5 - 4解：设半圆的圆心为O,作O关于CD的对称点O',连接BO '交CD于点P,连接PO交半圆.于点Q,此时BP+PQ 取最小值,如下图.; AB=CD=6, BC=AD=8,,DO ' =_i_AD = 4,过.‘作O' E^BC交BC的延长线于E,那么四边形CDO' E是矩形,,CE=DO' =4, EO' = CD = 6,当BP+PQ取最小值时, BP+PQ= BO' "y OD=^62 + (8<4) 2=6^ -4-应选: D.6、〔2021?怀柔区一模〕如图,在Rt^ABC中,ZACB=90°,将△ ABC绕顶点C顺时针旋转得到^ A'B'C,D是A'B'的中点,连接BD,假设BC=2, Z ABC =60°,那么线段BD的最大值为 4解：连接CD,在RtAABC 中,・. / ACB=90° , BC = 2, / ABC =60° , / A= 30° ,.•.AB = A,B' =2BC = 4,「DB,= DA,,「. CD=^A,B' =2, BD<CD + CB=4,2・••BD的最大值为4,类型五、中位线+三点共线求最值如图,△ ABC中,/ACB = 90° , BC=6, AC=12,点D在AC上,且AD = 8,将线段AD绕点A旋转至AD' , F为BD'的中点,线段CF的最大值为解：如图,取 AB 的中点M,连接MF 和CM,二•将线段 AD 绕点A 旋转至AD' ,,AD' =AD = 8,・・•/ACB = 90° , • AC=12, BC = 6, . • M 为 AB 中点.. CM =3、后,.AD' = 8. 「M 为 AB 中点,F 为 BD '中点,FM如图：.,・当且仅当 M 、F 、C 三点共线且 M 在线段CF 上日CF 最大,此时 CF=CM + FM = 4+3店.类型六、胡不归问题求最值1、〔2021?南通〕如图,？ABCD 中,/DAB =60° , AB= 6, BC=2, P 为边 CD 上的一动点,贝 U PB+iJ! PD,当点B,点P,点E 三点共线且 BELAD 时,PB+PE 有最小值,即最小值为 BE,2、〔2021?长沙〕如图,△ ABC 中,AB = AC=10, tanA=2, BE^AC 于点E, D 是线段BE 上的一个动点,A . 2Ml B. 4我 C, 573 D. 10类型六、旋转+三点共线求最值1、如图,FA =JE, PB= 3\/1,以AB 为一边作正方形 ABCD,使P 、D 两点落在直线 AB 的两侧,当 P••• AB // CD Z EDP = Z DAB = 60° , sin/EDP =EP 二在 DP ^2" . EP —北 EP 2 PD PB+^PD = PB + PE 2. sin/ A = AEBE = 3、值*=67s -=4. D C解：如图,过点 P 作PEXAD,交AD 的延长线于点 E,的最小值等于B )与D51解：如图,将^ PAD绕点A顺时针旋转90°得到△ P'AB, PD的最大值即为P'B的最大值,.・旋转,AP=AP', Z PAP'=90° .・./APP' = 45°.. PP =&AP= 2j~^根据三角形的三边关系可得：PP'+PB>P'B .♦・当点P',点P,点B三点共线时,P'B取得最大值,即PD取得最大值.如图,过点A作AE^P'B△ APP'是等腰直角三角形AE= EP= V3 BE = 4/3 AB2=AE2+BE2= 51,正方形ABCD的面积=AB2=512、如图,在RtABC中, ACB 90,将ABC绕顶点C顺时针旋转得到^ ABC, M 是AC的中点,N是AB的中点,连接MN ,假设AC 4, ABC 30 ,那么线段MN的最小值为2 .解：如图,连接CN .在Rt ABC中,Q AC 4,AB 2AC 8, BC V3AC 4芯,「1-Q CM MA -AC 2 , AN NB , 2 (1)CN -AB 4, 2QMN- CN CM ,MN -4 2,即MN…2, MN的最小值为2.作业练习1、〔2021春？茅箭区校级月考〕如图,矩形ABCD 中,AB = 6, BC = 8, P是边AD上一动点,将^ ABP沿BP折叠后得^ BPM,当线段DM的长最短时,AP= 3解：如图,连接BD, AB=6, BC=8,BD= 10,二,将△ ABP 沿BP 折叠后得^ BPM,.•.AB=BM=6, AP=PM, /A=/PMB=90°,在4 8“口中,MD > BD — BM , •・当点M 在BD 上时,DM 的长最短,,DM =BD — BM= 4, PD2= DM2+PM2, •. ( 8-AP) 2=16+AP2, •.AP=32、如图,/ MON = 90 °,正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动,当正方形边长为2时,OD 的最大值为1+遮.解：如图,取AB的中点E,二,正方形边长为2,.-.OE = AE= BE=A-AB=A X 2= 1, 2 2由勾股定理得,口£ =血2十］2=店由两点之间线段最短可得D、E、.三点共线时OD的值最大,最大值为1+\疗.3、如图,/ MON = 90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM , ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=8, BC = 3,运动过程中,点D到点.的最大距离为9解：如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD,. ODWOE + DE,・•・当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,此时,: AB=8, BC=3,OE = AE = —AB= 4, DE =4h口窑 +AE +4：= 5,「. OD 的最大值为：5+4 = 9;■L.i4、〔2021秋？梁子湖区期中〕如图,在^ ABC中,/ACB=90° , BC= 2, AC = 6, D为AC上一点,AD=4,将AD绕点A旋转至AD',连接BD' , F为BD'的中点,那么CF的最大值为.•.将线段AD绕点A旋转至AD' , AD' = AD=4,・・•/ACB = 90° , AC=6, BC=2, AB 川2= 2\/]^.. M 为AB 中点,. . CM=M!ii . . AD' = 4. .. M 为AB 中点,F 为BD'中点,FM==_AD' =2. CM+FM > CF , 2・•・当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时,CF最大,此时CF = CM + FM =55+2.5、如图,菱形ABCD中,/ A=60° , AB=6, OA> OB的半径分别为4和2, P、E、F分别是边CD、.A和.B上的动点,那么PE+ PF的最大值是〔〕A . 6Ml+12 B, 6,73+16 C, 18解：如图,连接PB,延长PB交.B于F,连接PA交.A于E,要求PE+PF的最大值,可以转化为求PA+PB的最大值. D. 6解：如图,取AB的中点M,连接MF和CM,,①当点P 与点C 重合时,PA 最大,〔由于/ ACDV/ADC,所以,点C 是“小角〞点〕；②当点P 与点C 或者点D 重合时,PB 最大.〔由于/ ACD = / ADC,所以,点C 、D 均是“小角〞点〕.所 以,根据 ①、②可知,当点P 与点C 重合时,PA 、PB 同时取得最大值,此时 PA+PB 的值最大, 在4ACD 中,・. / ADC=120° , AD = DC = 6,・•. AC=2X6X 率=6y/^, ・ . PE+PF 的最大值=AC+AE+BC+BF= 6仆+12.应选：A.6、如图,PA=2,PB = 4,将线段PA 绕P 点旋转一周,以AB 为边作正方形将^ PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△ P'AB, PD 的最大值即为P'B 的最大值,FA=PA', Z PAP'=90° PP'=V2FA = 2/^••・△P'PB 中,P'BVPP'+PB, PP' = V2PA = 2-/2, PB=4,且 P 、D 两点落在直线 AB 的两侧, ABCD ,那么PD 的最大值为 •・•点P 在线段CD 上,解：如下图,・•.当P'、P、B三点共线时,P'B取得最大值〔如图〕此时P'B=PP'+PB = 2/^+4,即P'B的最大值为254.7、：AD=2, BD = 4,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.当/ ADB变化,且其它条件不变时,那么CD的最大值 .解：把^ ADC绕点A顺时针旋转60°得到△ AEB,那么AE=AD, BE=DC, /EAD = 60° ,・.△ADE 为等边三角形,DE = DA=2, / ADE = 60° ,当E点在直线BD上时,BE最大,最大值为2+4=6,・••CD的最大值为6,此时/ ADB = 120° .。

中考经典几何题系列：几何最值问题【知识点】几何中最值问题包括： ①“面积最值” ②“线段（和、差）最值”.（1）求面积的最值方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；（2）求线段及线段和、差的最值方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：常用定理： 两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。

（1） 两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线PA +PB 最小， 需转化，使点在线异侧 Bl段和最短。

核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。

方法：1.定点过动点所在直线做对称。

2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。

变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。

1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

（2）一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。

核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。

变异类型：1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。

使△PAB的周长最小。

2.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。

2020二次函数的最值问题(典型中考题）（含答案）一、选择题1． 已知二次函数y=a （x-1）2+b 有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关( )A. a<bB.a=b C a>b D 不能确定答案：C2．当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4，则实数m 的值为（ ）A 、-74 B 、 C 、 2或 D 2或或- 74答案：C∵当－2≤x≤l 时，二次函数 y=-（x-m ）2+m 2+1有最大值4， ∴二次函数在－2≤x≤l 上可能的取值是x=－2或x=1或x=m.当x=－2时，由 y=-（x-m ）2+m 2+1解得m= - 74 ，2765y x 416⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭此时 ，它在－2≤x≤l 的最大值是6516，与题意不符. 当x=1时，由y=-（x-m ）2+m 2+1 解得m=2 ，此时y=-（x-2）2+5 ，它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符.当x= m 时，由 4=-（x-m ）2+m 2+1解得 m=m=它在－2≤x≤l 的最大值是4，与题意相符；当 ，2≤x≤l 在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综上所述，实数m 的值为2或 . 故选C ．3． 已知0≤x≤12，那么函数y=-2x 2+8x-6的最大值是（ ） A -10.5 B.2 C . -2.5 D. -6答案：C解：∵y=-2x 2+8x-6=-2（x-2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x ＜2上y 随x 的增大而增大．又∵0≤x≤12，∴当x=12时，y取最大值，y最大=-2（12-2）2+2=-2.5．故选：C．4、已知关于x的函数.下列结论：①存在函数，其图像经过（1,0）点；②函数图像与坐标轴总有三个不同的交点；③当时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数。

专题14 用函数的思想看图形的最值问题【例1】（2019·河南南阳一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx－32与抛物线y=ax2+bx+52交于点A、C，与y轴交于点B，点A的坐标为（2,0），点C的横坐标为－8.（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与A、C重合），作DE⊥AC于E，设点D的横坐标为m，求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；（3）平移△AOB，使得平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A的对应点A’的坐标.【分析】（1）利用待定系数法求解析式；（2）过D作DF⊥x轴交AC于F，利用三角函数知识将DE长度转化为DF的长度，借助二次函数最值问题求解；（3）设出平移后的点的坐标，分两种情况（O、B在竖直线上，平移后不可能同时在函数图象上）讨论，将坐标代入解析式中求解.【解析】解：（1）将点A坐标代入直线表达式得：0＝2k﹣32，解得：k＝34，故一次函数表达式为：y＝34x﹣32，则点C坐标为（﹣8，﹣352），将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：函数表达式为：y＝﹣14x2﹣34x+52；（2）作DF⊥x轴交直线AB于点F，∴∠DFE＝∠OBA，点D的横坐标为m，则点D（m，﹣14m2﹣34m+52），点F（m，34m﹣32），DF＝﹣14m2﹣34m+52﹣(34m﹣32）＝﹣14m2﹣32m+4，由勾股定理得：AB＝52，∵sin∠DFE＝sin∠OBA＝45 OAAB，∴DE＝DF•sin∠DFE＝45（﹣14m2﹣32m+4）＝﹣15（m+3）2+5，∴当m=－3时，DE的最大值为5；（3）设三角形向左平移t个、向上平移n个单位时，三角形有2个顶点在抛物线上，则平移后点A、O、B的坐标分别为（﹣t+2，n）、（﹣t，n）、（﹣t，﹣32+n），∵O、B在竖直线上，∴这两点平移后的点不可能都在抛物线上，①当点O 、A 平移后的点在抛物线上时，()()2213544213522442t t n t t n ⎧-++=⎪⎪⎨⎪--+-+=⎪⎩， 解得：t ＝52，即点A ′（﹣12，4516）．②当点B 、A 平移后的点在抛物线上时，()()221353442213522442t t n t t n ⎧-++=-+⎪⎪⎨⎪--+-+=⎪⎩， 解得：t ＝4， 即点A ′（﹣2，3）．综上所述，点A ’的坐标为（﹣12，4516）或（﹣2，3）.【变式1-1】（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1， ∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3，∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点， ∴a +b +2=0，9a －3b +2=0， 解得：a =23-，b =43-， ∴抛物线解析式为y ＝23-x 243-x +2； （2）在y ＝23-x 243-x +2中， 当y ＝2时，x ＝0或x ＝﹣2， ∴E （﹣2，2），∴直线OE 解析式为y ＝﹣x ，∠PGH ＝∠COE ＝45°， ∵P （m ，23-m 243-m +2），PG ∥y 轴， ∴G （m ，﹣m ）， ∴PG ＝23-m 243-m +2﹣（﹣m ） ＝23-214m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+4924，∵∠PGH ＝∠COE ＝45°，∴l ＝2PG＝3214m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+48，∴当m ＝14-时，l .【例2】（2019·省实验一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，C （1，0），与y 轴交于点B （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点F ，交直线AB 于点E ，作PD ⊥AB 于点D ．当△PDE 的周长最大时，求出点P 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点B （0，﹣3），C （1，0）， ∴c =-3，1+b +c =0， 解得：b =2，c =-3，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）在y ＝x 2+2x ﹣3中，y ＝0时，x 1＝1，x 2＝﹣3， ∴A （﹣3，0）， ∵B （0，-3）， ∴OA ＝OB ＝3， ∴∠BAO ＝45°， ∵PF ⊥x 轴， ∴∠AEF ＝45°，可得△PDE 是等腰直角三角形，由A （﹣3，0），B （0，3）得直线AB 的解析式为：y =-x -3，C △PDE =PE +PD +DP=PE +2PE +2PE=+1）PE ，设P （m ，m 2+2m ﹣3），则E (m ，－m －3)，PE =－m 2－3mC △PDE =）（－m 2－3m ）=+1）（m +32）2+94+1），∴当m =－32时，△PDE 的周长越大，此时P 点坐标为（－32，－154）.【变式2-1】（2019·平顶山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y =212x bx c -++，经过点A （1，3）、B （0，1），过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C .（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）如图，点G 是BC 上方抛物线上的一个动点，分别过点G 作GH ⊥BC 于点H 、作GE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ，在点G 运动的过程中，△GFH 的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =212x bx c -++过点A （1，3）、B （0，1），∴1021b c c ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩，解得：521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 即抛物线的表达式为：y =215122x x -++，y =215122x x -++=21533228x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴顶点坐标为：53328⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（2）∵A （1，3），由对称轴可知C （4，3） 由B （0，1）、C （4，3）， 得直线BC 的解析式为：112y x =+，BC=，由题意知，∠ACB =∠FGH ，延长CA 与y 轴交于点I ，则I （0，3） ∴BI =2，CI =4， 由△BCI ∽△FGH ，得：BC CI BIFG GH FH==,42GH FH==，∴5FH FG =，5GH FG =，即△GFH 的周长为：C =FH +GH +FG =1FG ⎫+⎪⎝⎭， 设G (m , 215122m m -++)，则F (m , 112m +)，∴C =1FG ⎫+⎪⎝⎭=21122m m ⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()211221255m ⎛⎫⎛⎫-+-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当m =2时，△GFH 的周长有最大值，最大值为：21⎫+⎪⎝⎭. 【例3】（2019·安阳一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (-2，0)，B (4，0)，与直线332y x =-交于点C (0，-3)，直线332y x =-与x 轴交于点D ． （1）求该抛物线的解析式．（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC，PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵C(0,-3)，∴c=-3，将A、B坐标代入y=ax2+bx-3得：423016430a ba b--=⎧⎨+-=⎩，解得：3834ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为：y=38x234-x－3.（2）332y x=-中，当y=0时，x=2，即D(2,0)，连接OP，设P(m，38m234-m－3)，其中：0<m<4，S△PCD=S△ODP+S△OCP－S△OCD=21331123323 28422m m m⎛⎫⨯-+++⨯-⨯⨯⎪⎝⎭=()2327388m --+， ∵38-<0，∴当m =3时，△PCD 的面积取最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（3，158-）. 【变式3-1】（2018·河南第一次大联考）如图，抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x =–1，P 为抛物线上第二象限的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； （2）当点P 的纵坐标为2时，求点P 的横坐标；（3）当点P 在运动过程中，求四边形PABC 面积最大时的值及此时点P 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：3012c a b c b a⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩，解得：a =－1，b =－2，c =3， ∴抛物线的解析式为：y =－x 2－2x +3； （2）在y =－x 2－2x +3中 ，y =2时，得： 2=－x 2－2x +3，解得：x =－或x =－1， ∵点P 在第二象限， ∴x =－1，即点P 的横坐标为：－1；（3）连接AC，过P作PE⊥x轴交AC于E，设直线AC的解析式为：y=kx+n，得：n=3，－3k+n=0，∴直线AC的解析式为：y=x+3，S四边形PABC=S△ABC+S△APC=12×4×3+12×PE×OA=362+PE，设P（m，－m2－2m+3）,则E点坐标为（m，m+3）, ∴PE=－m2－2m+3－（m+3）=－m2－3m，∴S四边形PAOC=362+PE=362+（－m2－3m）=－32（m+32）2+758,∵－32<0，∴点P在运动过程中，当m=－32时，四边形PABC面积最大，最大值为758，此时点P的坐标为（－32，154）.1.（2019·开封二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝43x﹣4与抛物线y＝43x2+bx+c交于坐标轴上两点A、C，抛物线与x轴另一交点为点B；（1）求抛物线解析式；（2）若动点D在直线AC下方的抛物线上；①作直线BD，交线段AC于点E，交y轴于点F，连接AD；求△ADE与△CEF面积差的最大值，及此时点D的坐标；②如图2，作DM⊥直线AC，垂足为点M，是否存在点D，使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）在y＝43x﹣4中，当x＝0，y＝﹣4，即C（0，﹣4）；当y＝0，x＝3，即A（3，0）；把点A、C坐标代入y＝43x2+bx+c，并解得：b=83-，c=－4，∴抛物线解析式为：y＝43x283-x－4；（2）设D（m，43m283-m－4），其中：0＜m＜3，①连接OD，由A（3，0），B（﹣1，0），D（m，43m283-m－4），知OB=1，OA＝3，OC＝4，tan∠ABD＝OFOB，tan∠ABD＝1Dym+，∴OF＝43-（m﹣3），∴S△ADE﹣S△CEF＝S四边形AOFD﹣S△AOC＝12AO•|y D|+12OF•|x D|﹣12OA•OC＝28927 388m⎛⎫--+⎪⎝⎭，∴当m＝98时，S△ADE﹣S△CEF的最大值为278，此时点D坐标为（98，8516）.2.（2018·信阳一模）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN=6，PN=4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4 B．C．7 D．8【答案】D.【解析】解：由题意知，若MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN=4，NE=12MN=3，由勾股定理得：PE=5，∴AE=12MN=3，AP的最大值为：AE+EP=5+3=8．故答案为：D．3.（2019·叶县一模）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，3）∴-1-b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴3k+m=0，m=3，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，∴S△BDC＝12 PD·OB＝32 PD＝﹣32（a﹣32）2+278，∵﹣32<0，∴当a＝32时，△BDC的面积最大，此时P点坐标为：（32，32）；4.（2019·南阳模拟）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3，∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为：y ＝ax （x ﹣6），把A （8，4）代入得：a ＝14， 抛物线解析式为：y ＝14x 2﹣32x ； （2）设M （t ，0），过点N 作ND ⊥x 轴于D ，过A 作AC ⊥x 轴于C ，∴ND ∥AC ， ∴ND OD AC OC=， 由（1）知，AC =4，BC =2，OC =8， ∴48ND OD =，即ND =12OD ， ∵MN ∥AB ，∴∠NMD =∠ABC ，∴tan ∠NMD =tan ∠ABC ，即42DN MD =，DN =2DM ， ∴OD =2DN =4DM ，即OD =43OM ， ∵M （t ，0），∴OM =t ，OD =43t ，ND =23t ， S △AMN =S △OAM －S △OMN =12t ×4－12t ×23t =()21333t --+， ∴当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ）， ∵∠OPQ ＝∠ACO ，（1）当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ， 即84PQ PO =， ∴PQ ＝2PO ，即|14m 2﹣32m |＝2m ， 解得：m 1＝0（舍去），m 2＝14，m 3＝-2，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）；（2）∴当PQ PO AC CO=时，△PQO ∽△CAO ， ∴PQ ＝12PO ， 即|14m 2﹣32m |＝12m ， 解得：m 1＝0（舍去），m 2＝8（舍去），m 3＝4，P 点坐标为（4，0）；综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．5.（2019·郑州联考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝255x -+与x 轴交于A ，C （A 在C 的左侧），点B 在抛物线上，其横坐标为1，连接BC ，BO ，点F 为OB 中点．（1）求直线BC 的函数表达式；（2）若点D 为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD ，CD ，点E 为x 轴上一动点，当△BCD 的面积的最大时，求点D 的坐标，及|FE ﹣DE |的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）在y2x -y ＝0，解得：x 1＝32，x 2＝72， ∴A （32，0），C （72，0） 当x ＝1时，y ＝即B （1，），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b得：702k b k b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，直线BC 的解析式为y＝x. （2）设点D （m2-），则点H （m，m） 过点D 作DH ⊥x 轴交BC 于点H ，HD ＝m 2-+＝294m ⎫-⎪⎝⎭， S △BCD =12×DH ×（x C －x B ） =54DH ， ∴当m ＝94时，HD 取最大值，此时S △BCD 的面积取最大值．此时D （94）. 作D 关于x 轴的对称点D ′则D ′（94，2）， 连接D ′H 交x 轴于一点E ，此时|D ′E ﹣FE |最大，最大值为D ′F 的长度，∵F （12）∴D ′F ，即|FE ﹣DE |的最大值为4． 6.（2019·安阳二模）如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，点A 在x 轴负半轴上，且OA ＝12OB ，抛物线y ＝ax 2+bx +4经过A ，B ，C 三点． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第一象限内抛物线上的动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作PD ⊥BC ，垂足为D ，用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 的最大值．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝4，∴B （4，0），C （0，4），∴OB ＝OC =4，∴OA ＝12OB ＝2， 即A （﹣2，0），把A （﹣2，0），B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +4中，得 424016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 抛物线的解析式为：y ＝﹣12x 2+x +4； （2）过P 作PF ∥y 轴，交BC 于F ，在Rt △OBC 中，∵OB ＝OC ＝4，∴∠OCB ＝45°，∴∠PFD =45°，∴PD=2PF ， 由P (m ，﹣12m 2+m +4)，F (m ，－m +4)，得：PF =﹣12m 2+2m ， ∴PD（﹣12m 2+2m ） =﹣4（m ﹣2）2，其中，0＜m ＜4，＜0， ∴当m ＝2时，PD．7.（2019·平顶山三模）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为．【答案】见解析.【解析】解：过A作AH⊥CD于H．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB∥CD，∠D+∠BAD＝180°，∠D＝60°，∵AD＝AB＝2，∴AH＝AD•sin60°由折叠性质知：BE＝EB′，当BE的值最小时，AE的值最大，由垂线段最短可知，当EB’⊥CD，即EB’=AH BE的值最小，AE的最大值为：2故答案为：28.（2019·名校模考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由.【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A （﹣3，0）．∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1交x 轴于A （﹣3，0），B （1，0）两点， ∴109310a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y ＝13x 2+23x ﹣1； （2）设点E 的坐标为（m ，m +3），则F （m ，13m 2+23m ﹣1） ∴EF ＝（m +3）﹣（ 13m 2+23m ﹣1） ＝13-（m ﹣12） 2+4912， ∴当m =12时，EF 的长度有最大值，最大值为4912，此时点E 的坐标为（12，72）. 9.（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-1，0)，点 C 的坐标为(0，3)，点D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F ，过点 F 作 FG ⊥AD 于点 G ，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H ，求△FGH 周长的最大值.【答案】见解析．【解析】解：（1）将 (-1，0)， (0，3)代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：－1－b +c =0，c =3，解得：b =2，c =3，即抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3.（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴抛物线对称轴为直线 x ＝1，点 D 和点 C 关于直线x ＝1对称，∴D （2，3），设直线 AD 的解析式为 y ＝kx +b ，把 A （﹣1，0），D （2，3）代入得： 023k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为：y ＝x +1；∴E （0，1），∵OA ＝OE ，∴△OAE 为等腰直角三角形，∴∠EAO ＝45°，∵FH ∥OA ，△FGH 为等腰直角三角形，过点 F 作 FM ⊥x 轴交 AD 于 M ，如图，可得FM =FH ，∵FG ＝GH ＝2FH =2FM ，∴C △FGH ＝（）FM ，设F (m ，﹣m 2+2m +3)，则M (m ，m +1)，FM =﹣m 2+m +2∴C △FGH ＝（）FM ，=（（﹣m 2+m +2）=﹣（）21924m ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ∴当 x ＝12时，△FGH10.（2019·焦作二模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线3:4l y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B （0，-1），抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为C （4，n ）. （1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为t （0<t <4），DE ∥y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2）.若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A ’O ’B ’，点A 、O 、B 的对应点分别是点A ’、O ’、B ’. 若△A ’O ’B ’的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A ’的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将B （0，-1）代入34y x m =+得：m =－1， 在314y x =-中，当y =0时，x =43，即A (43，0)， ∵34y x m =+过点C （4，n ），得：n =2，即C (4，2)， 将B （0，-1）、C （4，n ），代入212y x bx c =++得： 2421b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：541b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 即抛物线的解析式为：215124y x x =--.（2）由（1）知，OA =43，OB =1，在Rt △OAB 中，由勾股定理得：AB =53， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO =∠DEF ，∴sin ∠DEF = sin ∠ABO =45，cos ∠DEF =cos ∠ABO =35， ∴EF =DE ·cos ∠DEF =35DE ，DF =DE ·cos ∠DEF =45DE ， ∴p =2（DE +DF ）=145DE ， ∵点D 的横坐标为t ，∴D (t ，215124t t --)，E (t ，314t -)， ∴DE =314t -－（215124t t --）=2122t t -+， p =145（2122t t -+） =()2728255t --+， ∴当t =2时，p 有最大值285. （3）由题意知，A ’、O ’横坐标相等，此二点不会同时在抛物线上， ①当点O ’、B ’在抛物线上时，由O ’B ’=OB =1，抛物线的对称轴：x =54得，O ’横坐标为54－12=34， 即A ’横坐标为：34； ②当点A ’、B ’在抛物线上时，由A ’B ’=AB =53， 设点A ’(n ，y )，则B ’(n +1，y －43)， ∴()()2215124415111324y n n y n n ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=+-+-⎪⎩，解得：n =712- 即A ’横坐标为：712-； 综上所述，点A ’的横坐标为：34或712-.。

2020年中考数学试题分类汇编之十四最值类题一、选择题10．（2020成都）（3分）关于二次函数228y x x =+-，下列说法正确的是( )A ．图象的对称轴在y 轴的右侧B ．图象与y 轴的交点坐标为(0,8)C ．图象与x 轴的交点坐标为(2,0)-和(4,0)D ．y 的最小值为9- 【解答】解：二次函数2228(1)9(4)(2)y x x x x x =+-=+-=+-，∴该函数的对称轴是直线1x =-，在y 轴的左侧，故选项A 错误；当0x =时，8y =-，即该函数与y 轴交于点(0,8)-，故选项B 错误；当0y =时，2x =或4x =-，即图象与x 轴的交点坐标为(2,0)和(4,0)-，故选项C 错误； 当1x =-时，该函数取得最小值9y =-，故选项D 正确；故选：D ．9.（2020贵阳）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 为长的半径作弧，两弧在CBA ∠内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ，若1CG =，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A. 无法确定B. 12C. 1D. 2【答案】C【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB 时，GP 的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB 是⊥ABC 的角平分线，⊥⊥C=90°，⊥当GP⊥AB时，GP=CG=1，故答案为：C．12．（3分）（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x 轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）A．2√5B．2√10C．6√2D．3√5解：设C（m，0），∵CD＝2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴AC+BD=√m2+22+√(m+2)2+42，∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN=√m2+22+√(m+2)2+42），如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ=√22+62=2√10，∴AC+BD的最小值为2√10．故选：B．12．（2020山东泰安）（4分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．√2+1B．√2+12C．2√2+1D．2√2−12【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B的圆上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2√2，∴CD＝2√2+1，∴OM=12CD=√2+12，即OM的最大值为√2+12；故选：B．二、填空题25．（2020成都）（4分）如图，在矩形ABCD中，4AB=，3BC=，E，F分别为AB，CD 边的中点．动点P从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ，过点B作BH PQ⊥于点H，连接DH．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段PQ长度的最大值为线段DH长度的最小值为．【解答】解：连接EF交PQ于M，连接BM，取BM的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON CD⊥于N．四边形ABCD是矩形，DF CF=，AE EB=，∴四边形ADFE是矩形，3EF AD∴==，//FQ PE，MFQ MEP∴∆∆∽，∴MF FQ ME PE=，2PE FQ=，2EM MF∴=，2EM∴=，1FM=，当点P与A重合时，PQ的值最大，此时PM==，MQ，PQ ∴=////MF ON BC ，MO OB =，1FN CN ∴==，3DN DF FN =+=，1()22ON FM BC =+=，OD ∴==BH PQ ⊥，90BHM ∴∠=︒，OM OB =，1122OH BM ∴== DH OD OH -， 132DH ∴-DH ∴故答案为-15（2020河南）.如图，在扇形BOC 中，60,BOC OD ∠=︒平分BOC ∠交狐BC 于点D ．点E 为半径OB 上一动点若2OB =，则阴影部分周长的最小值为__________．【答案】.3π 【解析】【分析】如图，先作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，再分别求解,AD CD 的长即可得到答案．【详解】解：C 阴影＝,CE DE CD ++∴ C 阴影最短，则CE DE +最短，如图，作扇形OCB 关于OB 对称的扇形,OAB 连接AD 交OB 于E ，则,CE AE =,CE DE AE DE AD ∴+=+=此时E 点满足CE DE +最短，60,COB AOB OD ∠=∠=︒平分,CB30,90,DOB DOA ∴∠=︒∠=︒2,OB OA OD === 222222,AD ∴=+=而CD 的长为：302,1803ππ⨯= ∴ C 阴影最短为22.3π+故答案为：22.3π+17.（2020四川绵阳）如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4,点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD=90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为 。

2020年中考中常考的几类最值问题汇总一、代数中的最值1、代数式有意义，x 的最大值是___________. 答案：92、∣x -1∣+∣x+2∣≥3时,x 的最小正整数值是-____________。

答案：13、∣a ∣+a ≥0 ,a 的最小非负整数值_________ 答案;04、有整数解时，m 的最大值是_________答案：25、（2018东城）已知关于x 的一元二次方程kx ²-6x+1=0有两个不相等的实数根，求出满足条件的k 的最大整数值 答案：8二、线段的最小值1、如图、AB ⊥L 于点B ，CD ⊥L 于点D ，AB=1，BD=CD=3，点P 是线段BD 上一点，试确定P 的位置，使PA+PC 值最小，并求出这个最小值x -9m x 2)2(2=- C答案：52、如图、直角三角形ABC中，AC=1,BC=2,P为斜边AB上一动点，PE ⊥BC,PF⊥CA，则线段EF长的最小值？3、如图，等边三角形ABC的边长是4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数？答案:30ºAB请D在4、如图、在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6,若点P 在边AC 上运动，则BP 的最小值？答案：5、已知、如图1，△ABC 与△CDE 都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90ºO ，M ，N 分别是AB ，AD ，BE 的中点，连接OM ，ON ，MN 。

⑴OM=ON ，OM ⊥ON 。

⑵将图1中的△CDE 绕点C 逆时针旋转的图2，记旋转角为α，（0º＜α＜180º）已知BC=2CD=6,求旋转过程中线段MN 的最小值？答案：（1）连接 AE ，证明△BCD ≌△ACE(SAS ）得出BD ＝AE ，DB ⊥AE ，O ，N ，M 是中点∴OM ∥BD ，OM=½BD ，ON ∥AE,ON=½ON ∴OM=ON,OM ⊥ON∴由⑴易得△NOM 为等腰三角形，且∠NOM=90º，OM=½BD=½AE ＝ON,∵,MN=OM= 52433=BD 226322=BD6、如图，已知AB=9，点E是线段AB上的动点，分别以AE，EB为底边在线段AB的同侧作等腰直角△ABE△BNE，连接MN，设MN的中点为F，当点E从点A运动到点B时，则点F的移动路径的最大值？答案：4.57、在△ABC中，BC=6，∠ABC=30º,BD评分∠ABC，交AC于D，在BD上有一点M，在BC上有一点N，是否存在这样的点M，N，使CM+NM 的值最小。

2020年中考数学必考高分考点：最值问题（试题）专题33 最值问题在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要为以下几种：1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有①若a >0当x ba =-2时,y 有最小值。

y acb a min =-442；②若a <0当x ba=-2时,y 有最大值。

y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大（小）值。

3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数,推得?≥0,进而求出y 的取值范围,并由此得出y 的最值。

4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质在实数范围内,显然有a b k k 22++≥,当且仅当a b ==0时,等号成立,即a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号,然后求出y 在各个区间上的最大值,再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中,x a =是最大值,在不等式x b ≥中,x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法”。

专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2（x ﹣3）2﹣4的最小值为．【例题2】（2018江西）如图,AB 是⊙O 的弦,AB=5,点C 是⊙O 上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点,则MN 长的最大值是．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ,垂足为M ,求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点,当△PBC 面积最大时,求P 点坐标及最大面积的值；（4）若点Q 为线段OC 上的一动点,问AQ ＋21QC 是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值；若不存在,请说明理由．-2-1-1321321y xOMDCBA 专题典型训练题1.（2018河南）要使代数式x 32-有意义,则x 的（） A.最大值为32 B.最小值为32C.最大值为23 D.最大值为23 2.（2018四川绵阳）不等边三角形?ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数,那么此高的最大值可能为________。

最值问题探究1.如下左图，在RtΔABC 中,∠ACB=90°,AC=6 ,BC=8 ,P ,Q 两点分别是边AC ,BC 上的动点,将△PCQ沿PQ 翻折,C 点的对应点为C’,连接,则AC’的最小值是_________.2.问题背景：如上图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE.问题解决：如上图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=42.点O是△MNG内一点，则点O 到△MNG三个顶点的距离和的最小值是3.如下左图,矩形ABCD是一个长为1000米、宽为600米的货场,A、D是入口。

现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH 之长度和为l.(1)求l的最小值。

(2)请指出当l取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置。

4.如上右图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM=6.P为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为 .5.如下左图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是6.如上右图，抛物线)8)(2(41-+=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，点D 为抛物线上第四象限的动点，连接BD 交AC 于点P ，求BPDP 的最大值。

7.已知直线43++=k kx y )0(≠k ，求原点O 到此直线的最大距离。

8.如下左图，已知正方形ABCD 的边长是4，点E 是AB 边上的一个动点，连接CE ，BG ⊥CE 于G ，点P 是AB 边上的另一个动点，则PD+PG 的最小值为9.如上中图，矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，点E. F 分别AD 、DC 边上的点，且EF=2，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___.10.如上右图，在ΔABC 中，∠ACB=90°，斜边上的高是3，则ΔABC 面积的最小值是11.如下左图，正方形ABCD 与正方形CEFG 的边长分别为a,b （b>2a),将正方形ABCD 绕点C 旋转，在旋转过程中，ΔAEG 的面积S 的取值范围是12，如上中图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=3，连接AC，点E为AC上一个动点，点F 为BC上一个动点，连接BE、EF，且始终满足∠ABE=∠BFE.，则线段BF的最小值为13.如上右图，已知等腰RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=20，动点D、F同时从点A 出发，分别沿AC、AB方向运动，点D的速度是每秒2个单位长度，点F的速度是每秒1t时，MF的值最小，最小个单位长度，DE∥AB，点M是DE的中点，当运动时间值是14.如下左图，等腰ABC中，∠ABC=∠ACB=30°,AB=6,BD平分∠ABC，点P，Q分别是边BC和射线BD上一动点，则PQ+QC的最小值是15.如上中图，在平面直角坐标系中A(6,0),B(0,8)，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于点E，F，则线段EF 的最大值为16.如上右图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为83,E为AB的中点,若P为对角线BD 上一动点,则EP+AP的最小值为17.如下左图,等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AC边上一点,若AE=2,当EF+CF取得最小值时,则∠ECF的度数为18.如上中图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,P是斜边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,EF与AP相交于点O,则OF的最小值为19.如上右图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是20.如下左图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=33，点E在BC上，且BE:EC=1：2，P为矩形ABCD内一点，且∠EPC=60°，则线段AP的最小值为21.如上中图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是线段BO上的一个动点,点F为射线DC上一点,若∠ABC=60°,∠AEF=120°，AB=4，则EF可能的整数值有___个.22.如上右图，四边形ABCD在平面直角坐标系中，A(0,0),B(7,0)，∠ABC=45°，点D在y轴正半轴上，CD的长为3，则四边形ABCD的面积的最小值为_____.（结果保留根号）。