切线的判定

圆的切线的性质及判定定理圆的相切的定义：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

直线与圆的位置关系：相离：直线和圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径；相交：直线和圆有两个公共点，即圆心到直线的距离小于半径，这条直线叫圆的割线；相切：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。

圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形的概念：如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就是多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形的判定：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

方法总结：1、在解决与圆内接四边形有关的问题时，要注意观察图形，分清四边形的外角和内对角的位置，正确应用性质.2、当两圆相交时，常常通过连结两圆的公共弦，构建出圆内接四边形，进一步解决问题.圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦•一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆周角的特点：(1) 角的顶点在圆上；(2) 角的两边在圆内的部分是圆的弦.圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种：A A A解题规律：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.。

圆的切线与切点的判定圆是几何学中一种基本的图形，而与圆相关的概念有很多。

其中，圆的切线与切点的判定是一项重要的几何问题。

该问题主要研究如何确定切线和切点以及它们之间的关系。

本文将介绍圆的切线和切点的定义、判定方法以及相关应用。

一、圆的切线的定义和判定方法圆的切线是指与圆相切且只有一个交点的直线。

在判定圆的切线时，我们可以使用以下两种方法：方法一：切线斜率法对于圆心坐标为（a，b）、半径为r的圆，圆上任意一点P的坐标为（x，y）。

设切点为T，切线斜率为k。

根据直线斜率的定义，可以得到以下方程：k = (y - b) / (x - a)由于切线与半径垂直，可以得到以下关系：k * (-r) = -1将上述两个方程联立，可以求得切点的坐标，并确定切线方程。

方法二：切线长度法对于圆心坐标为（a，b）、半径为r的圆，如果直线段PT是圆的切线，那么直线段PT的长度等于圆半径r。

即有以下关系：PT的长度 = r通过计算直线段PT的长度，并将结果与圆半径进行对比，可以判断直线是否为圆的切线。

二、圆的切点的定义和判定方法圆的切点是指切线与圆相交的点。

在判定圆的切点时，我们可以使用以下方法：方法一：几何构造法以圆心为起点，作一条半径。

通过直角三角形的性质，我们可以知道切点的位置就在与切线垂直的半径上。

因此，我们可以通过绘制一条与切线垂直的直线，找到与该直线交点的位置，从而确定切点的坐标。

方法二：几何运算法利用圆的数学性质和坐标运算，我们可以通过以下步骤判定切点的位置。

1. 根据切线方程和圆的方程联立，得到切点的坐标。

2. 将切点的坐标代入圆的方程，判断是否满足圆的方程。

3. 如果满足圆的方程，即表示该点为切点。

三、圆的切线与切点的应用圆的切线与切点在现实生活中有很多应用场景。

以下是几个典型的应用示例：应用一：光的反射光的反射是切线与切点的典型应用之一。

根据光的反射定律，入射光线与反射光线的角度相等。

当光线经过一个圆球或曲面时，光线会与曲面相切，形成反射。

切线的判定切线的判定定理 ： 几何符号表达：1、已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB 。

求证：直线AB 是⊙O 的切线。

2、已知：O 为∠BAC 平分线上一点，OD ⊥AB 于D,以O 为圆心，OD 为半径作⊙O 。

求证：⊙O 与AC 相切。

总结：(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。

简记为 。

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。

简记为 。

3、如图，△AOB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝120°，以O 为圆心，5为半径的⊙O 与OA 、OB 相交。

求证：AB 是⊙O 的切线。

4、如图,△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交边BC 于P ， PE ⊥AC 于E 。

求证:PE 是⊙O 的切线。

A OB C OA BC D O BA COA BCEP5、如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC ，∠AEC=∠ODB ，判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并给出证明6、已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，圆O 过D 、B 、C 三点， ∠DOC =2∠ACD =90°。

求证：直线AC 是圆O 的切线；切线的性质切线的性质定理： 几何符号表达：1、以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 是切点， 求证：AP=BP2、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D .求证:AC 平分∠DABO B A CD变式一：如图,AB 为⊙O 的直径, C 为⊙O 上一点,AD ⊥CD ,AC 平分∠DAB . 求证: CD 是⊙O 的切线变式二：如图,AB 为⊙O 的直径, AC 平分∠DAB ,CD 是⊙O 的切线. 求证:AD ⊥CD3、已知:如图, AB 是⊙O 的直径,⊙O 过BE 的中点C ,CD ⊥AE. 求证:DC 是⊙O 的切线.4、已知AB 为⊙O 的直径,DC 切⊙O 于点C,过D 点作 DE ⊥于点F 。

切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l 和⊙O 是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。

4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（ ）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2．求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。

切线的判定1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）l2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；l证明d=r即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：⎧⎨⎩有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C在以AB为直径的圆O上，AH⊥CH，且AC平分∠HAB．连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△P AO，可得∠PCO=∠P AO=90°．B（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．B如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠P AC=90°，∴∠BAC+∠P AC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．B1．（2018·滨州）如图，AB 为O 的直径，点C 在O 上，AD CD ⊥于点D ，且AC 平分DAB ∠，求证：（1）直线DC 是O 的切线；（2）22AC AD AO =⋅．【分析】（1）连接OC ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，又AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠OAC ， ∴∠OCA =∠DAC ，∴AD ∥OC ， ∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD ， ∴DC 是圆O 的切线．（2）连接BC ，过点C 作CH ⊥AN 交AB 于H 点，则2AC AH AB =⋅，∵AH =AD ，AB =2AO ， ∴22AC AD AO =⋅．2．（2018·泰州）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，ABC ∠的平分线交O 于点D ，DE BC ⊥于点E ．（1）试判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF AB ⊥于点F，若BE =3DF =，求图中阴影部分的面积．B【分析】 （1）相切．连接OD ，∵BD 平分∠ABE ，∴∠ABD =∠EBD ， ∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB ， ∴∠EBD =∠ODB ，∴OD ∥BE ， ∵DE ⊥BE ，∴OD ⊥DE ， ∴DE 与圆O 相切．（2）易证△BED ≌△BFD，∴BF =BE =DF =3，∴∠ABD =30°，连接OD ，则∠AOD =60°，易证OD =∴(2113262S ππ=⋅-=， 故阴影部分面积为2π-．【角分+等腰得平行】3．（2018·锦州）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，AE平分BAC∠交BC于点E，O是AB 上一点，经过A，E两点的O交AB于点D，连接DE，作DEA∠的平分线EF交O 于点F，连接AF．（1）求证：BC是O的切线．（2）若4sin5EFA∠=，AF=AC的长．【分析】（1）连接EO，则OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵AC⊥BC，∴OE⊥BC，∴BC是圆O的切线．（2）EF平分∠AED，则点F是半圆AD中点，连接OF，则△AOF是等腰直角三角形，∴5OA AF===，∴AD=10，4sin sin5EDA EFA∠=∠=，∴AE=8，DE=6，∵AE平分∠BAC，∴4 cos cos5CAE EAD∠=∠=，即45ACAE=，∴44328555AC AE==⨯=，故AC的长为325．4．（2018·毕节市）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆C交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．（1）求证：EG是圆O的切线；（2）若1tan2C=，AC=8，求圆O的半径．【分析】（1）连接OE，则OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∴∠EOG=2∠C，又∠ABG=2∠C，∴∠EOG=∠ABG，∴OE∥AB，∵EG⊥AB，∴EG⊥OE，∴EG是圆O的切线．（2）连接BE，则BE⊥AC，∵OE∥AB，∴△ABC是等腰三角形，∴E是AC中点，∵AC=8，∴142CE AC==，∵1tan2C=，∴122BE CE==，∴BC=r=OB，故圆O．【有交点，证垂直，全等证明夹角为直角】5．（2019·天水）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，OD AC⊥于点D．过点A作O 的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是O的切线；（2）若60ABC∠=︒，10AB=，求线段CF的长．【分析】（1）连接OC，∵OP⊥AC，∴OP平分AC，∴OP是AC的垂直平分线，∴P A=PC，易证△POA≌△POC，∴∠PCO=∠P AO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是圆O的切线．（2）若∠ABC=60°则△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=5，在Rt△OCF中，CF=故CF的长为6．（2016·郴州）如图，OA ，OD 是O 半径，过A 作O 的切线，交AOD ∠的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交O 于点E ，交CD 的延长线于点B （1）求证：直线CD 是O 的切线；（2）如果D 点是BC 的中点，O 的半径为3cm ，求DE 的长度（结果保留)πB【分析】（1）易证△COA ≌△COD ，∴∠ODC =∠OAC =90°，即OD ⊥CD ，∴CD 是圆O 的切线．（2）若点D 是BC 的中点，则△BOC 是等腰三角形，∴∠OBC =∠OCB ，又∠OCB =∠OCA ，∴设∠OBC =∠OCB =∠OCA =α， ∴390α=︒，30α=︒，∴∠BOD =60°，∴1236DE ππ=⋅⋅=cm ，故DE 的长度是πcm ．7．（2018·丹东）如图，直线AD 经过O 上的点A ，ABC ∆为O 的内接三角形，并且CAD B ∠=∠．（1）判断直线AD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若30CAD ∠=︒，O 的半径为1，求图中阴影部分的面积．（结果保留)πD【分析】 （1）相切．连接AO 并延长交圆O 于点P ，连接CP ，则∠P =∠B ，又∵∠B =∠CAD ，∴∠P =∠CAD ， ∵∠P +∠P AC =90°，∴∠CAD +∠P AC =90°， ∴P A ⊥AD ，∴AD 是圆O 的切线．（2）连接OC ，则∠AOC =2∠APC =2∠CAD =60°，21166S ππ=⋅⋅=扇AOC，21AOCS=∴6S π=阴，故阴影部分的面积为6π-【有交点证垂直，证明夹角为直角】8．（2019·盐城）如图，在Rt△ABC中，90ACB∠=︒，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE AB⊥，垂足为E．（1）若O的半径为52，6AC=，求BN的长；（2）求证：NE与O相切．【分析】（1）∵52r=，∴CD=5，∴AB=10，∴BC=8，连接DN，则DN⊥BC，∴DN∥AC，∴点N是BC中点，∴118422BN BC==⨯=．故BN的长为4．（2）连接NO，∵N、O分别是BC、CD中点，∴NO∥BD，∵NE⊥BD，∴NE⊥NO，∴NE与圆O相切．9．（2018·本溪）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O，D分别为AB，BC的中点，连接OD，作⊙O与AC相切于点E，在AC边上取一点F，使DF＝DO，连接DF．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当∠A＝30°，CF时，求⊙O的半径．【分析】（1）相切．连接OE，则OE⊥AC，∴点E是AC边中点，连接OF，过点O作OH⊥DF交DF于H点，∵DO∥AC，∴∠DOF=∠OF A，又DO=DF，∴∠DOF=∠DFO，∴∠OF A=∠OFD，易证△OFE≌△OFH，∴OH=OE，∴DF是圆O的切线．（2）设半径为r，则CD=r，DF=DO，∴CF=，又CF，∴r=1，10．（2018·江西）如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径做圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于点D ，且∠AOD ＝∠BAD ． （1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）若BC ＝6，tan ∠ABC ＝43，求AD 的长．【分析】（1）∵∠AOD +∠DAO =90°，∠ABD +∠BAD =90°，且∠AOD =∠BAD ，∴∠DAO =∠ABD ，又∠DAO =∠OBC ， ∴∠ABD =∠OBC ，过点O 作OH ⊥AB 交AB 于H 点，易证△BOH ≌△BOC ，∴OH =OC ，∴AB 是圆O 的切线． （2）∵BC =6，4tan 3ABC ∠=，∴AC =8，AB =10， BH =BC =6，AH =4，OH =3，OA =5，∴5OD ===2AD OD ==．故AD 的长为【圆中等腰三角形】11．（2018·鄂尔多斯）如图，O 是ABC ∆的外接圆，AC 是直径，弦BD BA =，EB DC ⊥，交DC 的延长线于点E ． （1）求证：BE 是O 的切线； （2）当3sin 4BCE ∠=，3AB =时，求AD 的长．【分析】（1）连接BO 并延长，分别交AD 、圆O 于点H 、Q ，易证△BDQ ≌△BAQ ，∴DQ =AQ ，又AB =DB ， ∴BQ 是AD 的垂直平分线， ∴BQ ⊥AD ，∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，又∠E =90°，∴AD ∥BE ， ∴BQ ⊥BE ，∴BE 是圆O 的切线．（2）∵∠BAC =∠CBE ，∴∠ACB =∠BCE ，∴3sin 4ACB ∠=，∵AB=3，∴AC =4，BC∵3sin 4BE BCE BC ∠===，∴BE =， ∴HD BE ==，∴AD =2HD ．故AD。

九年级切线的判定的知识点在九年级数学学习中，切线是一个重要的概念。

它是与圆形或曲线相切并且只在一个点与其相交的直线。

切线的判定有一些基本的知识点，我们来逐一了解。

1. 切点的唯一性对于任意曲线或圆形，其切线只有一个切点。

这是切线与曲线或圆形接触的一个基本特征。

切线与曲线或圆形在切点处有且只有一个公共点，其他点则不相交。

2. 切线的斜率切线的斜率与曲线或圆形在切点处切线的切点的导数有关。

对于圆形，圆心到切点的连线与切线垂直，因此切线的斜率为零；对于曲线，切线的斜率通过求导数来计算。

3. 切线的判定方法九年级中常用的判定切线的方法有以下几种：a) 切线判定法一：切线与曲线或圆形在切点处垂直相交。

根据垂直相交的性质，如果一条直线与另一曲线或圆形在某一点垂直相交，那么这条直线就是曲线或圆形在该点的切线。

b) 切线判定法二：切线与曲线或圆形在切点处的斜率相等。

根据斜率相等的性质，如果一条直线与另一曲线或圆形在某一点的斜率相等，那么这条直线就是曲线或圆形在该点的切线。

c) 切线判定法三：通过导数来判断。

对于曲线来说，如果曲线的导数在某一点存在且有限，那么通过该点的直线就是曲线在该点的切线。

4. 切线的应用切线在实际问题中具有广泛的应用，特别是在几何、物理等学科中。

在几何学中，切线被广泛用于研究曲线的性质和轨迹。

在物理学中，切线被用于描述速度、加速度等概念，并且在运动学和力学中有着重要的地位。

总结起来，九年级数学中关于切线的判定的基本知识点包括切点的唯一性、切线的斜率以及切线的判定方法。

掌握了这些知识，我们可以更好地理解和运用切线的概念，解决各类与切线相关的问题。

在实际的学习和应用中，我们会发现切线的重要性和广泛性，它对数学和其他学科的研究都有着深远的影响。

因此，九年级的学生应该充分理解和掌握这些知识点，以提升数学素养和解决问题的能力。