河南省新乡市2018届高三第三次模拟测试数学(文)试题 Word版含解析

新乡市高三第三次模拟测试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得集合U，据此可得结合B，最后求解交集运算即可.详解：求解二次不等式可得：，则：，结合可得：，故=.本题选择B选项.点睛：本题主要考查补集的概念，交集的概念与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由复数，在复平面内对应的点分别为，，可得，利用复数的除法法则可得结果.详解：因为复数，在复平面内对应的点分别为，，，，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知，则=（）A. B. - C. 7 D. -7【答案】C【解析】分析：由，从而利用二倍角公式可得的正弦值与余弦值，从而可得的正切值，利用两角和的正切公式可得结果.详解：，，可得，故选C.点睛：给值求值问题，求值时要注意：(1)观察角，分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系，巧用诱导公式或拆分技巧；(2)观察名，尽可能使三角函数统一名称；(3)观察结构，以便合理利用公式，整体化简求值.4. 某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A. 12B. 15C. 20D. 21【答案】A【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.详解：因为分层抽样的抽取比例为，所以初中生中抽取的男生人数是人.本题选择A选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．5. 已知实数满足，则的最大值与最小值之和为（）A. -7B. -2C. -1D. 6【答案】A【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求得最大值与最小值，最后两者作差即可求得最终结果.详解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，当直线：z=-3x+y过点A(-2,0)时，z取得最大值6，过点B(2，-1)时，z取得最小值-7，它们的和为.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6. 已知等差数列中，，则（）A. 2018B. -2018C. -4036D. 4036【答案】D【解析】分析：由题意首先求得，然后结合等差数列前n项和公式求解前n项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：，则，据此可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 将函数的图像向右平移个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图像，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定伸缩变换和平移变换之后的函数解析式，然后求解三角函数值即可，注意诱导公式和特殊角的三角函数值的应用.详解：因为，所以y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数的解析式为，各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，所以.本题选择B选项.点睛：本题主要考查三角函数图象的平移变换与伸缩变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出的值为（）A. 31B. 33C. 35D. 39【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图中的循环结构运行程序，确定输出值即可.详解：结合题中所给的流程图运行程序如下：首先初始化数据：，第一次循环：，满足；第二次循环：，满足；第三次循环：，满足；第四次循环：，满足；第五次循环：，满足；第六次循环：，不满足；此时结束循环，输出.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9. 设函数，则不等式成立的的取值范围是（）A. （-1,5）B. （-∞，-1）∪（5，+∞）C. （-5,1）D. （-∞，-5）∪（1，+∞）【答案】C【解析】分析：先判断函数奇偶性，利用奇偶性结合解析式可得函数的单调性，利用单调性化简不等式求解即可.详解：函数是偶函数，且在上是减函数，可得在上是增函数，不等式可化为：，即，解得，即，不等式成立的的取值范围是,故选C.点睛：将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.10. .下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的表面积即可.详解：该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥，则其表面积为四个面面积之和：.本题选择A选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．11. 如图，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】分析：利用面面平行，可得线面平行，从而可得点轨迹，利用“垂线段最短”，可得结果.详解：如图，取分别为与的中点，连接，设与的交点为，则平面平面，因为平面，点在线段上运动，，如果正方体的棱长为，要使取得最大值，最小，只需即可此时点与点重合，，故选C.点睛：求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用“垂线段最短”求出正切的最值.12. 已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题点所在的渐近线为三个该渐近线的倾斜角为，则所以直线的倾斜角为则与联立解得因为双曲线的离心率，与联立得，故双曲线的方程为.故选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知非零向量，若，则与的夹角为__________．【答案】【解析】分析：利用求得，然后利用平面向量数量积公式求解即可.详解：因为向量，，与的夹角的余弦值，从而，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 已知函数，在区间上任取一个实数，则的概率为__________．【答案】【解析】分析：由,可得，利用几何概型概率公式可得结果.详解：，由，可得，的概率为，故答案为.点睛：本题題主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.15. 已知等比数列的前项和为，且，则__________（且）．【答案】【解析】分析：由题意首先求得数列的公比，然后结合数列的通项公式即可求得最终结果. 详解：很明显等比数列的公比，则由题意可得：，解得：，则：.点睛：一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制. 16. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点，射线分别交抛物线于异于点的点，若三点共线，则的值为__________．【答案】2【解析】分析：由题意联立直线方程与抛物线方程可得A,B两点的坐标，然后利用斜率相等得到关于p的方程，求解方程即可求得最终结果.详解：直线OM的方程为，将其代入x2=2py，解方程可得，故.直线ON的方程为，将其代入x2=2py，解方程可得，故.又，所以，，因为A，B，F三点共线，所以k AB=k BF，即，解得p=2.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，分别是内角的对边，已知.（1）求的大小；（2）若，求的面积【答案】(1)；(2).【解析】分析：(1)由题意角化边可得，则.(2)由题意结合同角三角函数基本关系可得.结合正弦定理可得.且又.由面积公式可得.详解：(1)因为.所以，即.又，所以.(2)因为，所以.由，可得.又.所以.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时），又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.(1)将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[0,5),[5,10),···[30,35),[35,40]，在答题卡上完成频率分布直方图；(2)以（1）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；(3)以（1）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20的男生有50人.请完成答题卡中的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”附：.【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析.【解析】分析：（1）由题意知样本容量为，得到频率分布表，进而得到频率分布直方图. （2）因为（1）中的频率为，进而得到名女生观看冬奥会时间不少于小时的概率；....................................（3）因为（1），根据题意，得出列联表，求得的值，即可作出判断.详解：解：（1）由题意知样本容量为，频率分布表如下：频率分布直方图为：（2）因为（1）中的频率为，所以名女生观看冬奥会时间不少于小时的概率为.（3）因为（1）中的频率为，故可估计位女生中累计观看时间小于小时的人数是.所以累计观看时间与性别列联表如下：结合列联表可算得，所以，有的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.点睛：本题主要考查了用样本估计总体，独立性检验的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.19. 在如图所示的几何体中，平面.（1）证明：平面；（2）过点作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：（1）由余弦定理结合勾股定理可证明，利用线面垂直的性质可证明，由线面垂直的判定定理可得平面；（2）取的中点，的中点，连接，截面即为所求，由（1）可知，平面，平面，由“分割法”利用棱锥的体积公式可得结果.详解：（1）证明：在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.（2）取的中点，的中点，连接，平面即为所求.理由如下：因为，所以四边形为平行四边形，所以，从而平面，同理可证平面.因为，所以平面平面.由（1）可知，平面，平面.因为，，所以，所求几何体的体积.点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.20. 已知椭圆的焦距为，且，圆与轴交于点为椭圆上的动点，面积最大值为.（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点，求的取值范围.【答案】(1)圆的方程为，椭圆的方程为.(2).【解析】分析：(1)由题意结合几何关系得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得，，.则圆的方程为，椭圆的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，计算可得.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为利用圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与椭圆方程可得，由弦长公式有.令，换元后结合二次函数的性质可得.则的取值范围是.详解：(1)因为，所以.①因为，所以点为椭圆的焦点，所以.设，则，所以.当时，，②由①，②解得，所以，.所以圆的方程为，椭圆的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.因为直线与圆相切，所以，即，联立，消去可得，.==.令，则，所以=，所以=，所以.综上，的取值范围是.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值；（2）证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）求得,由，解方程即可得结果；（2）.设，要证，即要证在（0，+∞）恒成, 利用导数研究函数的单调性，可得，，从而可得结果.详解：（1）由已知得因为，所以.（2）证明：由（1）知，所以.设，要证，即要证在（0，+∞）恒成立.因为，所以在上为增函数，在上为减函数，所以.①又，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.②由于不等于①和②不能同时取等号，故.所以成立.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；(2)若直线与曲线的交点分别为，求.【答案】(1)答案见解析；(2)10.【解析】分析：(1)极坐标方程化为直角坐标方程可得，则曲线表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为轴的抛物线.(2)直线参数方程为(t为参数)，与C的直角坐标方程联立可得，由弦长公式可得.详解：(1)因为所以，即，所以曲线表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为轴的抛物线.(2)直线过抛物线焦点坐标(0,2)，且参数方程为(t为参数)，代入曲线的直角坐标方程，得，所以.所以.点睛：本题主要考查直线的参数方程的几何意义，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知函数.(1)解关于的不等式；(2)记函数的最大值为，若，求的最小值.【答案】(1)；(2)4.【解析】分析：(1)结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为.(2)由绝对值三角不等式的性质可得.结合指数运算可得.结合均值不等式的结论有.则的最小值为4.详解：(1)当时，由，得，所以；当时，由，得，所以；当时，由，得，无解.综上可知，，即不等式的解集为.(2)因为，所以函数的最大值.应为，所以.又，所以，所以，即.所以有.又，所以，，即的最小值为4.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ， 所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ， 解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，。

新乡市高三第三次模拟测试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得集合U，据此可得结合B，最后求解交集运算即可.详解：求解二次不等式可得：，则：，结合可得：，故=.本题选择B选项.点睛：本题主要考查补集的概念，交集的概念与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知复数在复平面内对应的点分别为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定复数，然后结合题意进行复数的混合运算即可.详解：由题意可得：，则：，，据此可得：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 已知上的奇函数满足：当时，，则（）A. -1B. -2C. 1D. 2【答案】C【解析】分析：由题意结合函数的解析式首先求得，然后求解的值即可.详解：由题意可得：，则.本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，对数的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 某中学有高中生人，初中生人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生人，则从初中生中抽取的男生人数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.详解：因为分层抽样的抽取比例为，所以初中生中抽取的男生人数是人.本题选择A选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．5. 已知等差数列中，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得，然后结合等差数列前n项和公式求解前n项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：，则，据此可得：.本题选择D选项.点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知实数，满足，则的最大值与最小值之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求得最大值与最小值，最后两者作差即可求得最终结果.详解：作出不等式组表示的平面区域如图所示，当直线：z=-3x+y过点A(-2,0)时，z取得最大值6，过点B(2，-1)时，z取得最小值-7，它们的和为.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.7. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定伸缩变换和平移变换之后的函数解析式，然后求解三角函数值即可，注意诱导公式和特殊角的三角函数值的应用.详解：因为，所以y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数的解析式为，各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，所以.本题选择B选项.点睛：本题主要考查三角函数图象的平移变换与伸缩变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合流程图中的循环结构运行程序，确定输出值即可.详解：结合题中所给的流程图运行程序如下：首先初始化数据：，第一次循环：，满足；第二次循环：，满足；第三次循环：，满足；第四次循环：，满足；第五次循环：，满足；第六次循环：，不满足；此时结束循环，输出.本题选择D选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．9. 下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先确定该三视图对应的几何体，然后结合几何体的空间结构求解该组合体的表面积即可.详解：该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，为三棱锥，则其表面积为四个面面积之和：.本题选择A选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10. 已知三棱锥中，侧面底面，，则三棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由几何关系首先求得外接球的半径，然后利用球的体积公式求解体积的大小即可.详解：如图取BC的中点为D，显然三棱锥P-ABC的外接球的球心O一定在过点D，且垂直于面ABC的垂线DO上.设OD=h，在△PAC中，AC=4,PA=,PC=，利用余弦定理得cos∠PCA=.在△PAC中过P作PH⊥AC，所以PH⊥平面ABC，易求PH=CH=1.在△CDH中，CH=1，CD=，，以DO与DH为邻边作矩形DOGH，因为三棱锥P-ABC的外接球的球心为O，所以OP=OB，OP2=(h+1)2+5,OB2=()2+h2，那么,解得OD=h=1，可得外接球的半径OB=3，.本题选择B选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11. 已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得点A的坐标，结合离心率和三角形的面积得到关于a,b的方程组，求解方程组即可求得a,b的值，进一步可得双曲线的方程.详解：由题意点A所在的渐近线为bx-ay=0，设该渐近线的倾斜角为，则，因为∠AOF=∠OAF，所以直线AF的倾斜角为，，联立方程组，解得，即，所以.因为曲线的离心率，，所以.结合，得a=3，b=.所以双曲线的方程为.本题选择C选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.....................................12. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：将原问结合函数的单调性转化为对任意的恒成立，结合导函数的性质求解实数的最大值即可.详解：不等式.设，则,于是f(x)在上是增函数.因为，，所以，即对任意的恒成立，因此只需.设，，所以在上为增函数，所以，所以，即m的最大值是e.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知非零向量，若与的夹角等于与的夹角，则__________．【答案】4或-4【解析】分析：由题意结合向量的夹角公式得到关于t的方程，求解关于实数t的方程即可求得最终结果.详解：因为，所以与的夹角的余弦值为，而与的夹角的余弦值为，又因为，所以，解得t=4或t=-4.点睛：本题主要考查平面向量的夹角公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是__________．【答案】-449【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式求得常数项，然后结合所有项的系数之和即可求得最终结果.详解：展开式的通项公式为，令可得r=6，所以常数项为，令x=1，得所有项的系数之和是-1，故不含常数项的所有项的系数之和是.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15. 已知等比数列的前项和为，且，则__________（，且）．【答案】【解析】分析：由题意首先求得数列的公比，然后结合数列的通项公式即可求得最终结果. 详解：很明显等比数列的公比，则由题意可得：，解得：，则：.点睛：一是在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1或q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．二是运用等比数列的性质时，注意条件的限制.16. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点，射线分别交抛物线于异于点的点，若三点共线，则的值为__________．【答案】2【解析】分析：由题意联立直线方程与抛物线方程可得A,B两点的坐标，然后利用斜率相等得到关于p的方程，求解方程即可求得最终结果.详解：直线OM的方程为，将其代入x2=2py，解方程可得，故.直线ON的方程为，将其代入x2=2py，解方程可得，故.又，所以，，因为A，B，F三点共线，所以k AB=k BF，即，解得p=2.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，分别是内角的对边，已知.（1）求的大小；（2）若，求的面积【答案】(1)；(2).【解析】分析：(1)由题意角化边可得，则.(2)由题意结合同角三角函数基本关系可得.结合正弦定理可得.且又.由面积公式可得.详解：(1)因为.所以，即.又，所以.(2)因为，所以.由，可得.又.所以.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要经过4个直道与弯道的交接口.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为，摔倒的概率均为.假定运动员只有在摔倒或达到终点时才停止滑行，现在用表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通过的交接口数.(1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率；(2)求的分布列及数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：(1)由题意可知.(2)的所有可能只为0,1,2,3,4.则，且相互独立.据此可得：，，，，.据此可得分布列，计算相应的数学期望值为.详解：(1)由题意可知：.(2)的所有可能只为0,1,2,3,4.则，且相互独立.故，，，，.从而的分布列为所以.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. 在如图所示的几何体中，平面.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.详解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为，所以是的中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角.在，所以.(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得..设是平面的法向量，则令得.取平面的法向量为.设平面与平面所成二面角的平面角为，则，从而.点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 已知椭圆的焦距为，且，圆与轴交于点，，为椭圆上的动点，，面积最大值为.（1）求圆与椭圆的方程；（2）圆的切线交椭圆于点，，求的取值范围.【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为.；（2）.【解析】分析：(1)由题意结合几何关系得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得，，.则圆的方程为，椭圆的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，计算可得.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为利用圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与椭圆方程可得，由弦长公式有.令，换元后结合二次函数的性质可得.则的取值范围是.详解：(1)因为，所以.①因为，所以点为椭圆的焦点，所以.设，则，所以.当时，，②由①，②解得，所以，.所以圆的方程为，椭圆的方程为.(2)①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.因为直线与圆相切，所以，即，联立，消去可得，.==.令，则，所以=，所以=，所以.综上，的取值范围是.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21. 已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】分析：由已知，(1)①若在定义域上单调递增，讨论可得；②若在定义域上单调递减，讨论可得.据此可得.(2)由(1)知，.令的两根分别为，设，则，计算可得令，换元讨论可得.详解：由已知，(1)①若在定义域上单调递增，则，即在(0，+∞)上恒成立，而，所以；②若在定义域上单调递减，则，即在(0，+∞)上恒成立，而，所以.因为在定义域上不单调，所以，即.(2)由(1)知，欲使在(0，+∞)有极大值和极小值，必须.又，所以.令的两根分别为，即的两根分别为，于是.不妨设，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，所以令，于是.，由，得.因为，所以在上为减函数.所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线与曲线的交点分别为，，求.【答案】（1）见解析；（2）10.【解析】分析：(1)极坐标方程化为直角坐标方程可得，则曲线表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为轴的抛物线.(2)直线参数方程为(t为参数)，与C的直角坐标方程联立可得，由弦长公式可得.详解：(1)因为所以，即，所以曲线表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为轴的抛物线.(2)直线过抛物线焦点坐标(0,2)，且参数方程为(t为参数)，代入曲线的直角坐标方程，得，所以.所以.点睛：本题主要考查直线的参数方程的几何意义，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知函数.(1)解关于的不等式；(2)记函数的最大值为，若，求的最小值.【答案】(1)；(2)4.【解析】分析：(1)结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为. (2)由绝对值三角不等式的性质可得.结合指数运算可得.结合均值不等式的结论有.则的最小值为4.详解：(1)当时，由，得，所以；当时，由，得，所以；当时，由，得，无解.综上可知，，即不等式的解集为.(2)因为，所以函数的最大值.应为，所以.又，所以，所以，即.所以有.又，所以，，即的最小值为4.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2018年高考考前猜题卷理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （ ） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（ ）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（ ） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（ ） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（ ）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（ ） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（ ）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （ ）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（ ）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（ ） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）； （2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.。

新乡市高三第三次模拟测试数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}{}{}6,5,5,4,3,8122==-≤∈=B C A x x Z x U u ，则B A =（ ） A ．{}6,5 B ．{}4,3 C ．{}3,2 D ．{}6,5,4 2.已知复数21,z z 在复平面内对应的点分别为)1,0(),1,2(--，则=+221z z z （ ） A ．i 22+ B ．i 22- C ．i +-2 D ．i --23.已知R 上的奇函数)(x f 满足：当0 x 时，)1(log )(2x x f -=，则=))1((f f （ ） A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．24.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A ．12B ．15 C.20 D ．215.已知等差数列{}n a 中，2017,320171010==S a ，则=2018S （ ） A ．2018 B ．-2018 C.-4036 D ．40366.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥++02074024y x y x y x ，则y x z +-=3的最大值与最小值之和为（ ）A ．-7B ．-2 C. -1 D ．6 7.将函数21sin )(2-=x x f 的图像向右平移6π个单位长度后，再将图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数)(x g y =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛65πgA ．21-B ．21C.23- D ．238.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行.问人与车各多少？下图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．31B ．33 C.35 D ．399.下图是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．23224++B ．434+ C.23422++ D ．428+10.已知三棱锥ABC P -中，侧面⊥PAC 底面ABC ，2,10,4,90=====∠PC PA AC AB BAC，则三棱锥ABC P -外接球的体积为（ ）A ．π28B ．π36 C.π48 D ．π7211.已知双曲线()0,01:2222 b a by a x C =-的离心率332=e ，对称中心为O ，右焦点为F ，点A 是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点，OAF OAF AOF ∆∠=∠,的面积为33，则双曲线C 的方程为（ ）A ．1123622=-y x B ．1322=-y x C.13922=-y x D ．141222=-y x12.设实数0 m ，若对任意的e x ≥，不等式0ln 2≥-xm me x x 恒成立，则m 的最大值是（ ） A ．e 1 B ．3eC.e 2 D ．e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知非零向量)3,1(),0,(-==b t a，若b a 2+与a 的夹角等于b a 2+与b 的夹角，则=t ．14.73)2(xx -的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是 ． 15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9863=S S ，则=--+11n n n a a a （,2≥n 且N n ∈）． 16.已知抛物线)0(2:2p py x C =的焦点为O F ,为坐标原点，点)2,1(),2,4(pN p M ---，射线NO MO ,分别交抛物线C 于异于点O 的点B A ,，若F B A ,,三点共线，则p 的值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，c b a 、、分别是内角C B A 、、的对边，已知C c a B b A a sin )(sin sin -=-. （1）求B 的大小； （2）若6,31cos ==a A ，求ABC ∆的面积S . 18.2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要经过4个直道与弯道的交接口)4,3,2,1(=k A k .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为43，摔倒的概率均为41.假定运动员只有在摔倒或达到终点时才停止滑行，现在用X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望)(X E .19.在如图所示的几何体中，⊥AC AC DE ,∥平面60,1,2,42,=∠====BCD DC BC DE AC BCD .（1）证明：⊥BD 平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值.20.已知椭圆()01:2222 b a b y a x E =+的焦距为c 2，且c b 3=，圆)0(:222 r r y x O =+与x 轴交于点P N M ,,为椭圆E 上的动点，PMN a PN PM ∆=+,2面积最大值为3.（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）圆O 的切线l 交椭圆E 于点B A ,，求AB 的取值范围. 21.已知函数)(ln 21)(2R a x ax x x f ∈+-=. （1）若)(x f 在定义域上不单调，求a 的取值范围；（2）设n m ee a ,,1+ 分别是)(xf 的极大值和极小值，且n m S -=，求S 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 552552（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 2=. （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为N M ,，求MN . 23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数35)(+--=x x x f . （1）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ；（2）记函数)(x f 的最大值为m ，若m ab bae ee b a -=⋅24,0,0 ，求ab 的最小值.新乡市高三第三次模拟测试 数学参考答案（理科）一、选择题1-5:BACAD 6-10:CBDAB 11、12：CD 二、填空题13.4或-4 14.-449 15.21- 16.2 三、解答题17.解：（1）因为C c a B b A a sin )(sin sin -=-. 所以222c ac b a -=-，即ac b c a =-+222.又212cos 222=-+=ac b c a B ， 所以3π=B .（2）因为()π,0,31cos ∈=A A ， 所以322sin =A . 由B b A a sin sin =，可得469322236sin sin =⨯==A B a b . 又6322233121322)sin(sin +=⨯+⨯=+=B A C . 所以82273366322469621sin 21+=+⨯⨯⨯==C ab S . 18.解：（1）由题意可知：2562741433=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=P .（2）X 的所有可能只为0,1,2,3,4.则)4,3,2,1(43)(==k A P k ，且4321,,,A A A A 相互独立. 故41)()0(1===A P X P ，1634143)()1(21=⨯=⋅==A A P X P ，6494143)()2(2321=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅==A A A P X P ， 256274143)()3(34321=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅==A A A A P X P ， 2568143)()4(44321=⎪⎭⎫⎝⎛=⋅⋅⋅==A A A A P X P . 从而X 的分布列为所以2562564256364216140)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E . 19.解：（1）在BCD ∆中，360cos 2121222=⨯⨯-+= BD . 所以222DC BD BC +=，所以BCD ∆为直角三角形，CD BD ⊥. 又因为⊥AC 平面BCD ，所以BD AC ⊥. 而C CD AC = ，所以⊥BD 平面ACDE .（2）（方法一）如图延长AE ，CD 相交于G ，连接BG ， 则平面 AEB 平面BG BCD =.二面角C BG A --就是平面BCD 与平面BAE 所成二面角. 因为DE AC AC DE 2,=∥，所以DE 是AGC ∆的中位线.1==DC GD ，这样BGC BCD BC GC ∆=⊥==,60,2 是等边三角形.取BG 的中点为H ，连接CH AH ,，因为⊥AC 平面BCD . 所以AHC ∠就是二面角C BG A --的平面角. 在3,4,==∆CH AC AHC Rt ，所以19194194sin ==∠AHC .（方法二）建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，可得)4,1,0(),2,0,0(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(A E C B D .)2,1,0(),4,1,3(=-=EA BA .设),,(z y x n = 是平面BAE 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=++-=⋅02043z y n z y x BA n令3=z 得)3,32,2(-=n.取平面BCD 的法向量为)1,0,0(=m.设平面BCD 与平面BAE 所成二面角的平面角为θ，则193cos =⋅=m n m n θ，从而19194sin =θ.20.解：（1）因为c b 3=，所以c a 2=.①因为a PN PM 2=+，所以点N M ,为椭圆的焦点，所以22241a c r ==. 设),(00y x P ，则b y b ≤≤-0，所以0021y a y r S PMN =⋅=∆. 当b y =0时，()321max ==∆ab S PMN ，② 由①，②解得2=a ，所以3=b ，1=c .所以圆O 的方程为122=+y x ，椭圆E 的方程为13422=+y x . （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1=x ，解得3),23,1(),23,1(=-AB B A . ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为),(),,(,2211m kx x B m kx x A m kx y +++=. 因为直线l 与圆相切，所以112=+k m ，即221k m +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，消去y 可得01248)34(222=-+++m kmx x k ，34124,348,0)23(48)34(482221221222+-=+-=++=-+=∆k m x x k km x x k m k . ()3434134412222212212+-+⋅+⋅=-+⋅+=k m k k x x x x k AB =()()3441433414333423134222222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅=+++k k k k k k =3431214311613222++⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅k k . 令4312+=k t ，则4343102≤+=k t ，所以AB =340,32116132≤++-⋅t t t ， 所以AB =4)4(16132+--⋅t ，所以3643≤AB . 综上，AB 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡364,3. 21.解：由已知),0(1)(R a x a xx x f ∈-+=' ， （1）①若)(x f 在定义域上单调递增，则0)(≥'x f ，即xx a 1+≤在（0，+∞）上恒成立， 而[)+∞∈+,21xx ，所以2≤a ； ②若)(x f 在定义域上单调递减，则0)(≤'x f ，即xx a 1+≥在（0，+∞）上恒成立， 而[)+∞∈+,21xx ，所以∅∈a . 因为)(x f 在定义域上不单调，所以2 a ，即()+∞∈,2a .（2）由（1）知，欲使)(x f 在（0，+∞）有极大值和极小值，必须2 a . 又e e a 1+，所以ee a 12+ . 令011)(2=+-=-+='xax x a x x x f 的两根分别为21,x x ， 即012=+-ax x 的两根分别为21,x x ，于是⎩⎨⎧==+12121x x ax x .不妨设2110x x ，则)(x f 在()1,0x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减，在()+∞,2x 上单调递增， 所以)(),(21x f n x f m ==，所以)ln 21()ln 21()()(2222112121x ax x x ax x x f x f x m S ++-++=-=-=)ln (ln )()(2121212221x x x x a x x -+---=21122121212221212221ln 21ln 21ln )(21x x x x x x x x x x x x x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=+-⨯-=+--= 令)1,0(21∈=x x t ，于是t tt S ln )1(21+--=. )1,2(22)(12222121221212221e e a x x x x x x x x x x t t +∈-=-+=+=+， 由2211e e tt ++ ，得112 t e . 因为0)11(211)11(2122 --=++-='tt t S ，所以t t t S ln )1(21+--=在⎪⎭⎫⎝⎛1,12e 上为减函数. 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--∈224214,0e e e S . 22.解：（1）因为θθρsin 8cos 2=所以θρθρsin 8cos 22=， 即y x 82=，所以曲线C 表示焦点坐标为（0,2），对称轴为y 轴的抛物线.（2）直线l 过抛物线焦点坐标（0,2），且参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 552552（t 为参数）， 代入曲线C 的直角坐标方程，得020522=--t t ， 所以20,522121-==+t t t t . 所以()1042122121=-+=-=t t t t t t MN .23.解：（1）当3-≤x 时，由135+≥++-x x x ，得7≤x ， 所以3-≤x ；当53 x -时，由135+≥---x x x ，得31≤x ， 所以313≤-x ； 当5≥x 时，由135+≥---x x x ，得9-≤x ，无解. 综上可知，31≤x ，即不等式1)(+≥x x f 的解集为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,.（2）因为83535=---≤+--x x x x ， 所以函数)(x f 的最大值8=m .应为844-=⋅ab b a e e e ，所以844+=+ab b a . 又0,0 b a ，所以ab ab b a 4424=≥+，所以0484≥--ab ab ，即02≥--ab ab . 所以有.()0)2(1≥-+ab ab .又0 ab ，所以2≥ab ，4≥ab ，即ab 的最小值为4.。

因为（1）中 的频率为 ，
故可估计 位女生中累计观看时间小于 小时的人数是 ；
所以累计观看时间与性别列联表如下：
男生
女生
总计
累计观看时间小于 小时
累计观看时间不小于 小时
总计
结合列联表可算得
；
所以有 的把握认为“该校学生观看冬奥会时间与性别有关”．
【考点】
独立性检验
【解析】
（1）由题意填写频率分布表，再画出频率分布直方图；
双曲线的离心率
【解析】
根据条件设出渐近线方程，结合三角形的面积以及离心率公式建立方程求出 ， 的值即可．
【解答】
由题意点 所在的渐近线为 ＝ ，
设该渐近线的倾斜角为 ，则 ，
∵ ＝ ，
∴直线 的倾斜角为 ，
则 ，
联立方程组 ，得 ，即 ，
则 的面积 ＝ ，
∵双曲线的离心率 ，
∴ ，得 ，
结合 ＝ ，得 ＝ ， ，
(2)若 的切线 交椭圆 于 ， 两点，求 的取值范围．
21.已知函数 ，曲线 在点（ ）处的切线方程为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）证明： ．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则干所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极标方程为 ．
得到： ，
则： ，
8.
【答案】
D
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：模拟程序的运行，可得